概率论与数理统计学习资料.ppt

1,概率论与数理统计,(二)王柱2011.09.15,2,第一章概率论的基本概念,确定性现象,随机现象,静止,变化,这种在大量重复试验中所呈现出的固有规律性称为统计规律性。,在个别试验中呈现出不确定性，在大量重复试验中又具有统计规律性的现象，称为随机现象。,回顾,3,1.1(一）随机试验,随机试验的特点:,1.能在相同条件下重复进行;,2.每次试验的可能结果不止一个,并能事先明确试验的所有可能结果;,3.但每次试验之前,不可能事先确定那一个试验结果会出现;,4,随机试验及所有可能结果的例子如下:,E1:抛一次硬币,观察正面H、反面T出现的情况。H、T,E3:抛三次硬币,观察正面H出现的次数。0,1,2,3,E4:抛一颗骰子,观察出现的点数。1,2,3,4,5,6,E5:纪录电话交换台一分钟内接到的呼唤次数。0,1,2,3,.,E6:在一批灯泡中任意抽取一只,测试它的寿命。t|t0,5,(二)样本空间,(三)随机事件,随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间。E的每个结果称为E的样本点。,试验E的样本空间的子集合称为E的随机事件。,一个样本点组成的单点集，称为基本事件。,样本空间包含所有的样本点，称为必然事件。,空集不包含任何的样本点，称为不可能事件。,在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，则称这一事件发生。,6,定义1.2.1在一定的条件下,重复做n次试验,na为n次试验中事件A发生的次数。如果随着n逐渐增大，频率na/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做。这个定义称为概率的统计定义。,1.2概率的统计定义,7,样本空间,P(A)=k/n，,n为样本空间中基本事件的总数,k为事件A中包含基本事件的个数,显然,此时P(ei)=1/n，,1.3概率的古典定义（等可能概型）,。定义:,8,1.9几何概率和概率的数学定义(1),1.9.1几何概率,假设区域S以及其中任何可能出现的小区域都是可以度量的，其度量的大小分别用和表示。事件发生的概率取为称为几何概率。,例如:线段、面积、体积,9,例1.9.1,解以及分别表示两个信号进入收音机的瞬间，由假定，,在时间间隔内的任何瞬间，两不相关的信号均等可能地进入收音机，如果当且仅当这两个信号进入收音机的间隔时间不大于，则收音机受到干扰，试求收音机受到干扰的概率。,则样本空间是由点构成的边长为T的正方形，其面积为,依题意，收音机受到干扰的充分必要条件为,这区域如图，它位于区域内直线及之间，其面积为。所求概率为,10,1.5事件的关系与运算a.事件的运算,并（和）事件，,交（积）事件，,差事件，,补事件,A,B,A,B=Ac,11,b.事件的关系,包含关系，,相等关系，,A,B,A,B,相交关系,且,12,A,B,A,B=Ac,互斥关系，,对立关系（互补关系）。,13,c.运算原理：,交换,结合,分配,演示4！,14,对偶,A,B,注意:,C,15,事件的关系与运算一览,包含关系，相等关系，,并事件，交事件，补事件。（差事件）,相交关系，互斥关系，对立关系。,16,运算原理：,交换结合分配对偶,17,A是个事件的集合，亦即为上的集合的集合。,若满足条件:对其中最多可列个事件的运算是封闭的。即，其中最多可列个事件的并、交、补都是事件。则称为事件族。,1.9几何概率和概率的数学定义(2),三位一体的(,A,P),18,1.P(A)0;非负性,2.P()=1;完全性,3.可列可加性,(,A,P)称为概率空间，是指,在随机试验E的样本空间上,对每个事件A赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率,如果这个集合函数P()满足下列条件:,即可列个Ai,i=1,2,.,，,则有,1.9.2概率的数学定义,19,样本空间=S,P(A)=k/n，,n为样本空间S中基本事件的总数,k为事件A中包含基本事件的个数,显然,P(A)=k/n0,P(S)=n/n=1,有穷个基本事件最多能使有穷个两两互斥的事件非空,有穷可加,可列可加,+,此时P(ei)=1/n，,确为概率空间。,因此(,A,P),称为等可能概型,古典概型。,1.,2.,3.,验证等可能概型符合概率的数学定义,。定义:,A为所有不同的事件，（总数为2n）,20,验证几何概率符合概率的数学定义,几何概率也有性质,假设区域S以及其中任何可能出现的小区域都是可以度量的，其度量的大小分别用和表示。事件发生的概率取为称为几何概率。事件族A是包含所有“小区域”及所有“由小区域经过最多可列个集合运算得到的集合”集合族。,1.0P(A)1;,2.P(S)=1;,3.若A1,A2,是两两不相容的事件,则,这是因为，度量是欧式空间的距离形成的，有此性质。,21,我们回忆：在一定的条件下,重复做n次试验,na为n次试验中事件A发生的次数。如果随着n逐渐增大，频率na/n逐渐稳定在某一数值p附近，则数值p称为事件A在该条件下发生的概率，记做。这个定义称为概率的统计定义。,由于频率na/n和等可能的比例一样具有：非负性、完全性、可列可加性。因此，其逐渐稳定的数值也具有此三性，从而这个定义也符合概率的数学定义。,验证概率统计定义符合概率的数学定义,22,概率的性质：,1。P()=0;,2。有穷可加;令An=An+1=,4。P(A)1;,3。,5。,6。,令An=,由,因A,因AAc=,因AB=A(BAB),加法公式,23,例1.5.1一批产品共十件,其中两件为不合格品，从中任取3件，求最多有一个为不合格品的概率。,解设A表示“最多一个不合格品”，B表示“无不合格品”，C表示“正好一个不合格品”。则,例1.5.2又求至少有一个为不合格品的概率。,解设D表示“至少有一个不合格品”，则表示“全是合格品”，有,24,1.4.1元素不允许重复的排列,例1.4.1问能组成多少个无重复数字的两位数、三位数、四位数？并排出来。,解,共能组成个无重复数字出现的两位数，,1.,2.,3.,1.4排列组合与古典概率的计算（1）,共能组成个无重复数字出现的三位数，,共能组成个无重复数字出现的四位数，,25,定义1.4.1将个不同元素按一定的次序排列叫做个元素的一个全排列。从个元素中取出个（，不允许重复）按一定的次序排列，叫做从个元素取个元素的选排列（简称排列）。个元素的全排列总数为；中选的选排列总数记为，则：,26,例1.4.2假定北京和天津之间有8个火车客运站，问要印多少种不同的火车票？,解,包括北京、天津在内共有10个站，任意两个站如甲到乙是一种车票，乙到甲是另一种不同的火车票，所以共要印,27,1.4.2元素允许重复的排列,例1.4.3问能组成多少个两位数、三位数？(每个数码允许重复取),解,共能组成个数字可重复出现的两位数，,1.,2.,共能组成个数字可重复出现的三位数，,28,定义1.4.2：从m个分别具有n1，n2，nm个不同元素的盒中，各取出一个搭配成一组，共有种不同的搭配。,29,特别：从个不同元素取出个（允许重复）元素的排列总数为种。,30,例1.4.4某城用六位电话号码，而首位不允许用0，问该城最多能安多少台“直拨”电话机。,解,首位不允许用0，它只能是1至9这九个数字中的一个，第二位可以是十个数字中的任意一个，同样，第三位、四位、五位、六位都有十种可能，故该城最多能安装的“直拨”电话机数是,31,定义1.4.3：从个元素中取出个（）不管顺序并成一组，叫做从个元素取个元素的组合。中选的组合总数记为，则：,1.4.3组合,可以证明：,32,例1.4.5八男五女组成的学习小组，选三个组长（1）必须是一女二男，共有多少种选法？（2）必须是二女一男，共有多少种选法？（3）至少有一女，共有多少种选法？,解,（1）必须是一女二男，这一女是从五个女的中间选出的，二男是从八个男的中间选出的，所以共有,种选法，同理有（2）,（3）“至少一女”，这句话是指正好一个女的，或正好两个女的，或正好三个女的。故共有,（3）或，从13个人中任选的选法中，去掉全是男的选法。故共有,33,概率论与数理统计,(二)结束,作业:习题一2,15,21,25,演示4！,34,2.1）,35,2.2）,36,15,37,21,38,25,39,包含关系，相等关系，,并事件，交事件，补事件。（差事件）。,相交关系，互斥关系，对立关系。,1.5事件的关系与运算,回顾,40,运算原理：,交换结合分配对偶,41,1.P(A)0;非负性,2.P()=1;完全性,3.可列可加性（加法公式）,(,A,P)称为概率空间，是指,在随机试验E的样本空间上,对每个事件AA赋予一个实数,记为P(A),称为事件A的概率,如果这个集合函数P()满足下列条件:,即可列个Ai,i=1,2,.,，,则有,1.9（2）概率的数学定义,42,概率的性质：,1。P()=0;,2。有穷可加;,4。,3。,5。,6。,43,样本空间=S,P(A)=k/n，,n为样本空间S中基本事件的总数,k为事件A中包含基本事件的个数,显然,P(A)=k/n0,P(S)=n/n=1,有穷个基本事件最多能使有穷个两两互斥的事件非空,有穷可加,可列可加,+,此时P(ei)=1/n，,确为概率空间。,因此(,A,P),称为等可能概型,古典概型。,1.,2.,3.,验证：等可能概型（古典概型）符合概率的数学定义,。定义:,44,验证：几何概率符合概率的数学定义,几何频率也有性质,假设区域以及其中任何可能出现的小区域都是可以度量的，其度量的大小分别用和表示。事件AA发生的概率取为称为几何概率。,1.0P(A)1;,2.P(S)=1;,3.若A1,A2,是两两不相容的事件,则,1.度量是欧式空间的距离形成的，度量有此性质。2.区域S的度量是有界的。3.事件A是“由小区域经过最多可列个集合运算得到的”。,45,我们回忆：在一定的条件下,