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什么是模型?,数学模型从哪里来,到哪里去?,如何去培养数学建模的自觉性?,什么是数学模型?,你想了解数学建模竞赛吗?,数学建模教程令你耳目一新,本书从若干智力游戏、历史趣题和一些看似简单的实用问题入手，循序渐进地引进数学建模的基本思想和方法。,在简要介绍了规划模型、经济数学模型、生物数学模型等基础数学模型之后，对全国大学生数学建模竞赛的若干典型赛题进行了探讨。,第1章从实际问题到数学模型1.1初识数学模型1.2几个历史性问题1.3利益博弈1.4几项智力游戏1.5棋牌中的数学第2章基础数学模型2.1概率模型2.2几个简单的高等数学问题2.3万有引力定律与三个宇宙速度2.4规划模型2.5经济数学模型2.6生物种群增长的数学模型,数学建模教程,第3章竞赛题选讲3.1基金使用计划3.2车灯线光源的优化设计3.3锁具装箱3.4节水洗衣机问题3.5最优捕鱼策略3.6艾滋病疗法评价及疗效预测3.7长江竞渡,附:全国大学生数学建模竞赛章程,一、历史地看数学,二、从模型的角度看数学,三、数学的严谨性和实用性,序言,一.历史地看数学,恩格斯认为，“数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”。,九章算术是我国古代的经典数学名著。,欧几里得的几何原本是近代数学公理化的楷模。,十七世纪，由于科学与技术上的要求促使数学家们研究运动与变化。,十八世纪，解析几何与微积分创立。,十九世纪开始，概率论、拓扑学、运筹学、系统论、控制论、数理统计学等学科产生并且迅速完善起来。,美国著名数学家R.柯朗指出：“毫无疑问，数学的一切进展都不同程度地植根于实际的需要。但是，一旦数学在实际需要的迫使下被推动了，它自身就不可避免地便获得一种动量，使之超越出直接应用的界限。”,数学的内涵发生了变化，人们很难再去用代数、几何以及空间形式和数量关系这样寥寥的词汇来给数学做出令人信服地描述性定义了。因为数学已经深入研究了数和形以外的太多的东西。,数学是关于抽象模型的科学。,二.从模型角度看数学,方程是表现等量关系的数学模型,“1”是最简单的数学模型。,“点”、“面”、“线”都是抽象的模型，几何学可以说是研究模型的科学。,非欧几何以及泛函分析、拓扑理论的诞生，几何这种数学模型挣脱了直观和低维的束缚，空间的内涵有了极大的改变。,数学的发展过程，就是不断地构建新的模型、完善模型和从低层次模型过渡到高层次模型的过程。,至少可以说，数学是一门与抽象模型密切相关的科学。,当今和未来的很多数学研究，其对象或许是建立在已有数学模型基础之上的更加抽象化的模型。,自然科学的主要研究对象是物质存在的自然规律,社会科学的主要研究对象的是社会规律和主观意识,当然，自然科学不能脱离社会，社会科学也不能与自然无关。,数学独立于自然科学和社会科学,三.数学的严谨性和实用性,科学和学说是对客观规律的理论解释.,牛顿是在苹果树下顿悟了万有引力定律，牛顿坚信质量的恒定。,进入上个世纪以后，著名物理学家爱因斯坦推翻了质量不变的神话。,科学研究就是寻求事物的公共特征、探索其公共属性,均衡、知识的通用性和严密性是学科审美的基本依据,数学具有独到的学科美,经验罗列是学科发展的最初级阶段,古罗马建筑的窗户宽长比大多接近0.618,数学最基本的学科特征在于,来源的实践性、,结构的抽象性、,模型的多样性、,推理的精密性、,计算的精确性、,体系的统一性、,应用的广泛性。,把握均衡和追求精确的侧重取向是工程师和学者的主要区别,精确地刻画均衡,很多直感美蕴含着价值因素，美的结论应该立足于价值的精确性,期待数学的介入,首推数学模型,返回,华罗庚所说：“宇宙之大，粒子之多，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁无一不可用数学来表达。”,任何应用问题，一旦建立起了数学的模型，就会立即显现出解决问题的清晰途径和通向胜利的一线曙光。,第1章从实际问题到数学模型1.1初识数学模型1.2几个历史性问题1.3利益博弈1.4几项智力游戏1.5棋牌中的数学,返回,军队作战室中的沙盘、建筑开发商售楼的立体广告，还有航空模型等等。,1.1初识数学模型,为了展示微观的分子结构，要把模型做大些。,象棋和军棋是从战争简化而来的，下棋过程可以理解为战争的模型。,社会的经济增长率、人口增长预测对应着公式和图表。,要是忽略和淡化应用的背景，所遇到的问题就转化成了公式、图表、方程组等等，这样就得到了与实际问题相对应的数学模型。,1.1.1简化和替代,数学是一门古老的科学，也是生命力极其旺盛的科学。不同学科很多方面的应用问题，经过适当的简化和提炼都归结成了数学。数学的知识和方法无处不在。,数学模型只是事物本质属性的某种替代品。,天气有冷有热，物体可重可轻。创造了温度计和秤，冷热就有了度数，物体就有了重量。,有了度量标准，各方面因素都可以赋予一定的量值。,（以数学的抽象方式来体现事物规律的替代品）,“2+1”是数学模型不同的问题可能得到相同的数学模型,1.1.2数是抽象模型,分数和小数,有理数与无理数.,虚数,1.1.3两道算术题,设水池的总容量为1。两台抽水机同时工作所需要时间为,例1两台不同功率的抽水机向一个大水池中注水。如果第一台抽水机单独工作，4小时可以将水池注满；如果第二台抽水机单独工作，6小时可以将水池注满。现在由两台抽水机同时工作，需要多长时间注满水池？,（小时）,请注意，狗奔跑的时间恰好等于大孩追赶小孩所需的时间！,例2大孩和小孩带着一条狗在马路上奔跑。初始时刻小孩在大孩和狗的前面100米，小孩以每分钟20米的速度向前跑，大孩以每分钟30米的速度追赶小孩，狗的速度是每分钟50米。狗和大孩同时开始追赶小孩，它追上小孩后立即折回跑向大孩，与大孩子相遇后返身继续追小孩，。从大孩子开始追小孩到追上小孩的这段时间内，狗一共跑了多少路程？,（米）,1.1.4弧度制,弧度制是对角大小的另一种度量方式，弧度制的基本原理与平面相似形有关。,1,扇形,相似于扇形,因此，可以用扇形弧长与半径之比来确定圆心角。,比如，当扇形的弧长与半径之比为,时，对应的圆心角是直角；,时，对应的圆心角是平角（扇形刚好是半圆）.,当扇形的弧长与半径之比为,弧度制的主要特点是只用数就可以表示角的大小，并不需要在弧度值的后面再加量纲（名数）。,返回,例1孙子算经中记载了这样的一个问题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”,1.2几个历史性问题,如果考虑“独脚鸡”和“双脚兔”的话，脚就由94只变成了47只。,1.2.1丢番图问题,每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：1，,每只“兔”的头数与脚数之比变为1：2。,“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数,鸡的数量就是,（只）。,（只）；,例2一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一块。问大马、小马、马仔各几何。,解设大马，小马，马仔分别为,匹，应有,分别消去和可得,这是一个不完全方程组的求整数解问题丢番图问题。,可见，问题共有七组解。,都是3的倍数，故可能取值如下。,返回,例3华裔科学家李政道在中国科技大学少年班提出“五猴分桃”的问题。,五只猴子分一大堆桃。第一只猴子单独来了，它发现桃子的总数比5的某个倍数多1，于是它吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一；第二只猴子来了，误以为自己最先到达，它发现桃子的总数比5的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一，最后，第五只猴子发现桃子的总数比5的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一。试问起初的这堆桃子至少要有多少个。,设这堆桃子共有个，第五只猴子离开之后剩下个桃子。,第一只猴子连吃带拿，共得到个桃子；剩下,（个）。,第二只猴子共得到个桃子；剩下的个数,第五只猴子离开之后，剩下桃子数目应该是,于是，有,，,故必有,是,的倍数且,是,的倍数。,最小的可能是,41020，,最小的可能是,43121。,据周髀算经记载，早在公元前1100年，商高就知道：,1.2几个历史性问题,1.2.2勾股定理和费尔马大定理,毕达哥拉斯发现“勾三股四弦五”已经是500年以后的事情了。,“勾广三，股修四，径隅五”。,毕达哥拉斯观察地下铺的方砖,发现,中间的部分是等腰直角三角形。,他猜测，对于一般的直角三角形,应有,是任意正整数）。,和,有否还有正整数解呢？,大约在1637年，费马阅读一本名为丢番图的书，其中第二卷第8个命题说的就是“把一个平方数分成两个平方数之和”的问题。费马信手在数的空白处下这样一段话：“将一个立方数分成两个立方数、一个4次方数分成两个4次方数，或者一般地将一个高于二次的幂分成两个同次的幂，这是不可能的。关于此，我确信已经发现了一种美妙的证明，可惜这里空白的地方太小，写不下。”,丢番图认真研究后得到了方程,的通解,，,（,，,当自然数,时，方程,法国17世纪的一位业余数学家费马断言：当,任何正整数,都不能满足这个方程。这就是著名的费马大定理。,直到1993年，这一旷世难题被英国数学家安德鲁怀尔斯所破解。稍后他在理查泰勒的协助下终于完成了全部证明，并因此获得菲尔茨特别奖和沃尔夫奖。,在地图上，任何两个相邻的国家应该着上不同的颜。人们发现，每幅地图上不管有多少个国家，只用四种颜色就可以。,1.2.3四色问题,1970年至1976年，美国伊利诺大学哈肯和阿佩尔合作，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。,这个问题最早是由毕业于伦敦大学的弗南西斯格思里大约于1852年提出来的。1872年，伦敦数学学会上提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界关注的问题。,1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的海伍德证明了一个较弱的命题五色定理。,四色问题的研究，是小问题引出大模型的实例。计算机参与证明的合法地位也由此得到了认可。,1.2.4哥尼斯堡七桥,1726年，瑞士数学家欧拉（17011783）受聘于沙俄科学院，后来出任数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问题。,布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后，学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。,有人突发奇想，能不能在一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次呢？,哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒，成为前苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间，加里宁格勒现仍属俄罗斯。,作为一笔画，应该只有一个起点和一个终点，而其它点只能是通过点,欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。,现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点”A、B、C、D之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出现线路重复呢？,类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。,图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行的一笔画问题。,牛顿定律的发现过程是艰苦细致的，其中包含数度猜想和大量的验证，但是定律的最终体现方式确是数学的形式。力学三定律和万有引力定律一般叙述如下。,1.2.5牛顿定律,万有引力定律：。,第一定律：任何物体都保持静止或作匀速直线运动的状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态；,第二定律：。,从数学的角度来看，第二定律是第一定律的特殊情况。第二定律、第三定律和万有引力定律都是物理现象的数学模型。,第三定律：作用力与反作用力大小相等方向相反，即,;,返回,战国时期，我国出现一位杰出的军事家孙膑。,1.3利益博奕,起初，孙膑在魏国作官，由于同僚庞涓忌贤妒能百般迫害，孙膑几乎丧命于魏国。后来被齐过使臣秘密救出送到了齐国引见给齐国的大将军田忌。,齐王酷爱赛马，田忌多次与国王赌输赢，屡赌屡输。一次赛马时，孙膑随田忌来到赛马场。孙膑了解到，大家的马按奔跑的速度分为上中下三等，等次不同装饰不同，各家的马依等次比赛，比赛为三赛二胜制。,比赛前田忌按照孙膑的主意，第一场，用上等马鞍将下等马装饰起来，冒充上等马，与齐王的上等马比赛。第二场，田忌用自己的上等马与国王的中等马比赛，赢了第二场。关键的第三场，田忌的中等马和国王的下等马比赛，田忌的马略胜了一筹。结果二比一，田忌赢了国王。,后来，齐威王任命孙膑为齐国军师，取得了无数以少胜多、以弱制强的辉煌战例。,1.3.1田忌赛马,即便是在运筹学理论非常完善了的今天，田忌赛马的故事仍不失为经典范例。,假定某海滩沿海岸线均匀分布着很多日光浴者。有两个出售同种饮料的商贩来海滩设摊位，试问如何设位？,显然，在,不难预见，绿色摊位也愿意左移。,处各设一个摊位最合理。,和,但是，红色的摊位如果向右移一点的话，情况如何？,如果它们都在,附近的位置的话，哪个摊位还会有偏移的,打算呢？,1.3.2纳什均衡,一.海滩占位,有互不熟悉的两人在公共场所斗殴，将接受处罚。,若两人均投案，则因在公共场所斗殴各被罚款200元；若两人均不投案，则只能按普通滋事各罚款100元；要是只有一人投案而另一人拒不承认，仍可确定为斗殴，投案者免予处罚，不投案者被认定为是主要肇事方被罚款400元。,我们站在甲的角度来看问题，他并不知道乙是否会投案。假若乙不投案，甲也不投案将罚款100元，但若甲选择投案就会免予处罚；假若乙已经投案的话，甲不投案将被罚款400元，投案则只罚款200元。,甲,乙,二.囚徒困惑,可见，不论乙是否会与警察配合，从甲的实际利益出发，他总会投案的。,出于同样的原因，乙也会选择投案。,结果，甲乙二人均被罚款200元，虽然他们都知道还有各罚100元的处罚方案，但那样的结果不太可能出现。,即便是重新征求各自的意见，甲和乙都没有改变态度的愿望。,这一结果的出现，被称为纳什均衡。,约翰F.Nash(纳什)是著名的美国数学家，1928年生，1950年获普林斯顿大学博士学位1994年获诺贝尔经济学奖。纳什均衡是他最具代表性的学术成果。,1.3.3海盗分金,假定这五个海盗都是高智商且极其贪财的。试问海盗1会制定出怎样的分赃方案，以使自己免于葬身鱼腹。,5名海盗抢到了100块金币（大小完全相同），他们准备采用以下的方法分赃。,抽签为每人确定1、2、3、4、5这五个不同的序号，先由抽到1的人提出自己的分赃方案，如果他的方案被超过一半人赞同，那么就按照他的意见分赃；但是如果他的意见没有得到过半数人赞同的话，他将被扔进大海去喂鲨鱼。,当海盗1被投入大海之后，由序号是2的人重新制定分赃方案。如果海盗2的方案在现有海盗中超过半数同意便执行，否则也将海盗2投入大海。依次类推。,如果船上只剩下了海盗4和海盗5两个人的话，根据规则4号海盗只能提出0:100的分赃方案，5号独得全部，就不必反对了。四号才可以活命。,要想弄清楚海盗1应该制定怎样的分赃方案，还是从假若只剩下两个人时的情况说起。,海盗3能够预见到自己被投海后将发生的事情，他应该懂得：自己制定的分赃方案只要能给海盗4一块钱，海盗4就会满足的。于是，3号提出的方案一定是99:1:0。让5号白白去投反对票好了。,海盗2要想避免被扔下海，它必须争取两张赞同票。但是，即便分给海盗3全部100块中的98块金币，贪婪的海盗3也不会赞成，可以争取的两张赞同票只能是海盗4和海盗5了。,其实，只要共拿出3块金币分给海盗4和海盗5，就可以用最小的成本获得平安。于是，海盗2的方案就选择了97:0:2:1。,海盗1不能指望任何方案能使海盗2满意，它可以制定出94:0:1:3:2的分赃方案。那样，它可以获得三张赞成票。,现在回到问题的开始。,然而，视钱如命的海盗1不会浪费哪怕是一枚金币，他实际拿出来的分赃方案将是97:0:1:0:2。,海盗2号和海盗4当然会反对了，但是海盗3和海盗5都不反对，因为这已经是他们最好的收益了。,1.3.4权力指数,否定其他股东预决议的能力称为他的权力指数。,某公司有A、B、C、D、E五个股东，遵循“一股一票”的决策原则。他们的股份分别为：A占36股，B占16股，C占16股，D占16股，E占16股。,公司在做出重大决策的时候，需要按股权进行投票表决。在很多情形下，大股东的态度对于决策有着出人意料的巨大影响。,具体的说，某项决议的通过，按照股权进行表决时有以下几种可能。,（1）假若A暂时不在场，B、C、D、E是否可以直接做出决定而无需顾及A的态度？,（2）假若股东B暂时不在场，A、C、D、E是否可以直接做出决定而无需顾及A的态度？,（3）同样道理，假若股东C、D、E暂时不在场，情况怎样？,（1）假若A暂时不在场，由B、C、D、E对于某项议案进行了初步的表决，我们称之为预决策。,如果在预决策过程中，赞成票持股的总和或者反对票持股的总和已经超过了总数100股一半的50股的话，其实无须再征求A的意见便可执行预决策。,但如果预决策中赞成票持股的总和与反对票持股的总和都没有达到50股的话，就必须征求A的意见才能形成最后的决议！此时，A的态度决定着议案被取舍。,预决策时，共有,种情形。,除掉情形1）和情形16以外，其余的14种情形下，议案能否通过是完全由A的态度所取舍的。因此，A的权力指数为14。,然而，B推翻预决策的能力却是微弱的！具体地说，A同意时只有C、D、E均反对才由B的态度所取舍，A不同意时则只有C、D、E均赞成的情形才由B的态度来决定。其它情形的预决策都不会被B所改变。,（2）假若股东B暂时不在场，A、C、D、E预决策的选择也有种情形。,B的权力指数为2。,C、D、E的权力指数也都是2。,在多数情形下，大股东A的好恶决定着决策取向。,1.3.5议员名额的分配,议会是一些国家的决策机构，议员的名额分配应该兼顾不同区域国民的利益。,某国家有区域大小不等（不同民族）的六个地区。根据人口的不同比例，国家议会的议员人数按地区分配如下表。,议员的总人数是31。虽然地区A、地区B、地区C的议员都不足以单独左右议会决议，但这三个地区中任何两个地区的票数之和都已经超过了议会的半数。,有人建议将A地区的议员人数恢复到12人。这时，议员总数增加到33人。,即便增加地区的权力指数，D、E、F地区的权力指数已经为零，不必担心继续降低。,重新计算会发现，地区A的权力指数上升了1.615，地区B和地区C的权力指数有了明显的下降。,那是因为9716的票数达不到总票数的一半，A、D、E、F的联合足以对抗BC。,出人意料的结果是:,D、E、F的权力指数都不再是零！,然而，B推翻预决策的能力却是微弱的！具体地说，A同意时只有C、D、E均反对才由B的态度所取舍，A不同意时则只有C、D、E均赞成的情形才由B的态度来决定。其它情形的预决策都不会被B所改变。,（2）假若股东B暂时不在场，A、C、D、E预决策的选择也有种情形。,B的权力指数为2。,C、D、E的权力指数也都是2。,在多数情形下，大股东A的好恶决定着决策取向。,返回,大禹治水的时代诞生了河图洛书。右图所示的就是洛书中的算图。用现代数学语言来演绎，它表示的是三阶幻方。,1.4几项智力游戏,三阶幻方俗称九宫格，就是在平面上画好的表格，再把19这九个数字分别填写在这九个方格内。要求每行的三个数字之和、每列的三个数字之和以及每条对角线上三个数字之和都相等。,当幻方的阶数高于3阶时，问题会变得复杂起来。,1.4.1幻方,从已经填好的右表来看，1、2、3这三个较小的数分别填在了既不同行又不同列的位置上，9、8、7这三个较大的数也分别填在了既不同行又不同列的位置，这应该是起码的游戏常识。,把最小的数字“1”填在第一行中间的方格内是可以理解的。次小的数字“2”和以后的数字都应该填在哪里呢？,1,2,3,4,5,6,7,8,9,（1）如果刚刚填完的数字既不在表格的第一行，也不在最后一列，则下一个数字填写在这个数字的右上角。,（2）如果刚刚填完的数字正好在表格的第一行，但是不在最后一列，则下一个数字填写在表格的最下边一行右边的一列；,（3）应该填写的位置如果已经有了数字，则填写在下一行相同的位置。,上述方法不但适用于三阶幻方，也适用于五阶、七阶的幻方。,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,表中每一行、每一列五个数字的和都是65，两条对角线上五个数字的和也是65。,按照以上的填写方法，任何奇数阶的幻方都不难完成。,但需要指出的是，这种方法用于偶数阶的幻方的时候，会出现一定的问题。首先遇到的问题是“1”应该填在那里。,这两个表都是已经填好的四阶幻方.,偶数阶的幻方可以采取一分为四的预填写办法，预填写之后对调少数数字进行调整，这一般来说是可行的。,一.走马分油,1.4.2韩信故事两则,韩信骑在马上说:“葫芦归罐罐归篓，二人分油回家走。”说完了，打马远去。,两个人按照韩信的办法倒来倒去，果然把油分成每人5斤，各自回家。,两人在路边分油。有一只容量10斤的篓，里面装满了油。还有一只7斤的空罐和3斤空葫芦。两人想要把这10斤油平分成每人5斤。,二人到底是怎样把油分开的呢？,葫芦可以量出3斤，关键在于如何量出另外的2斤油来。,这其实可以是一个用加减号连接10、7、3构造算式的问题，运算过程的中间的数不能超过10，而最终得数是5。这里，出现2是关键性的企盼。这道算术题的答案是,把这个算式变成实际操作见下表，表中各列代表着每个步骤三种容器盛油量。,分油的过程还可以用下图来演示。,图中从左向右的几个箭头指明了利用3斤的葫芦一再从篓中盛油到罐中，当7斤的罐装满之后，在右侧斜线所表示的葫芦中余下2斤油。至此，分出5斤油就容易做到了。,012345678910,01234567,1,2,3,2斤,二.韩信点兵,韩信在此只是就小数字的情形来说明自己的点兵之法。这28个字的实际含义是：,“三人同行七十稀，五束梅花廿一支，七子团圆整半月，除百零五便得之。”,先命令士兵站成三列，将最后一排的人数乘以70；,再重新站成五列，将最后一排的人数乘以21；,然后改站成七列，将最后一排的人数乘以15。,把这三个乘积加起来，去掉105的整数倍，得到的就是士兵人数。,为了说明韩信点兵的数学原理，可以用,表示士兵总人数。设,注意到,一定是一个整数，,便知:,“三人同行七十稀，五束梅花廿一支，七子团圆整半月，除百零五便得之。”,1.4.3华容道,游戏借喻于三国故事华容道上蜀将关羽义释战败的曹操。,游戏的基本要求是充分利用剩余的空间，合理滑动这些棋子，使得大正方形（曹操）率先从下面的缺口处移出。,曹操,赵云,关羽,张飞,黄忠,马超,兵,兵,兵,兵,我们注意到：图中的剩余空间可容纳两个兵，而两个兵的面积等于任何一个矩形的面积，曹操又刚好等于矩形面积的2倍。,游戏的基本要领是适当运动这四个兵，为其它棋子创造移动空间。游戏者要利用尽可能少的行棋步数，想方设法从缺口处放走曹操。,（一）,（二）,13,27,（三）,（四）,42,61,（五）,（六）,67,94,行棋过程请注意以下要领：,（1）为了便于运行其它的兵将，曹操的下行路径应该是沿着左侧或右侧而不是中央，因而首先要让曹操离开中央位置；,（2）关羽同其它四个矩形擦肩而过的时候，上下各需要两枚兵填充位置；,（3）既然“华容道”借喻的是三国故事，最终当然应该是关羽率兵放走了曹操。,用华容道的这十枚棋子还可以构造不同的游戏，其规则与此相同。为区别这三种不同的构图，上图称为“横刀立马”，这两图分别称为“过五关”和“水泄不通”。,完成上述过程需要行棋近百步，已知的最好成绩约80步。,横刀立马,水泄不通,1.4.4棋盘麦粒梵塔九连环,国王打算奖赏国际象棋的发明人西塔，问他想要什么。,印度有一个古老的传说：舍罕王厌倦了皇宫单调的生活，一些大臣千方百计地寻找种种新奇的玩艺儿帮他解闷。,西塔献上一种新发明的玩具。他用木头雕刻出王、后、车、马、相、兵共三十二个棋子，一半被染成黑色。画出的64个小方格，在不相邻的一半方格内图上黑色。,梵塔说：“陛下，请您在这张棋盘的第1个小格里，赏给我1粒麦子，在第2个小格里给2粒，第3小格给4粒，以后每一小格都比前一小格加一倍，直至摆完64个格子。,国王觉得微不足道，告诉侍者计算一下粒数，下午就请西塔拿着口袋来装麦子。,可是，下午西塔并没有领奖赏他的麦子，因为宫廷总管还没有算出来。直到三天后，总管告诉国王说：“西塔要的麦子太多，把全国所有的麦子都给他也不够！”,西塔要求得到的麦粒到底有多少呢?,人们估计，全世界两千年也难以生产这么多麦子!,在印度北部的圣庙里，一块黄铜板上插着三根宝石针。印度教的主神梵天在创造世界的时候，于其中一根针上从下到上地穿好了由大到小的64片金片，这就是所谓梵塔。,不论白天黑夜，总有一个僧侣在按照下面的法则移动这些金片：一次只移动一片，不管在哪根针上，小片必须在大片上面。,把64片金片，由一根针上移到另一根针上，并且始终保持上小下大的顺序，这一共需要移动多少次金片呢？,移动第1片只需1次，第2片则需2次，第3片需4次，第64片需移动金片共有2的63次方次之多。,假如每秒钟移动一次，共需要多长时间呢?一年大约有31556926秒，计算表明，移完这些金片需要五千八百多亿年!,不管把哪一片金箔移到另一根针上，移动的次数都要比移动上面一片的次数增加一倍。,借助于计算机计算出了结果，全部次数为18446744073709551615次。,这和麦粒问题的计算结果是完全相同的!,“九连环”,想要摘下右数第一个圈儿和第二个圈儿是容易做到的的，只要抽动手柄，金属圈儿就可以从手柄的中间落下来。,游戏的目标是将所有的金属圈儿从手柄上摘下来。,但是要想摘下第三个圈儿的话，却需要卸掉第一个圈儿而保留第二个圈儿；要想摘下第四个圈儿的话，需要卸掉第一个和第二个圈儿而保留第三个圈儿；要想摘下第九个圈儿的话，需要卸掉第一个至第七个圈儿而保留第八个圈儿。,如果将圈儿的个数增加到与金箔数相等的64个而做成“六十四连环”的话，完成操作所需要的时间必将会远远超过上面的五千八百亿年!,1.4.5猴子过河,有三只母猴各带一只小猴子，准备利用一条小船渡河。试设计渡河方案。注意：,（1）每只猴子都会划船，但船上每次只能承载两只猴子（不论大猴还是小猴）；（2）每只小猴子在接触到其它母猴的时候必须有自己的母亲在场，否则将被伤害。,将三个大猴分别记为A，B，C，对应的三个小猴子分别记为a，b，c。,A,B,C,a,b,c,首先过河的可以是Aa（Bb、Cc同理）或ab（bc、ac同理），但最先渡河的不能是AB（BC、AC同理）。,总之，当船第一次回到北岸时，留在南岸的是a。,第二次过河的只有一种可能，就是bc，其它方案都不可行。再由c将船送回北岸。,第三次过河的只能是AB，其它方案都不可行。,A,B,C,c,a,b,现在的问题是，由谁将船送回北岸？,北岸,南岸,只能由Aa（或Bb）送船！,1.4.6猜帽子,某老师有三个非常聪明的学生，为考察其中那个学生最聪明，老师展示了三黑二白一共有五顶帽子。要求学生闭上眼睛后，给每位学生戴上一顶帽子。然后，让他们同时睁开眼睛，通过观察别人来断定自己头上帽子的颜色。,结果，三个学生互相看了看，都稍稍犹豫一下，同时说自己戴的是黑色帽子。试说明理由。,答案：事先，三个学生就都可以想到，老师不可能用上两个白帽子。否则，第三个学生可以毫不犹豫地断定自己头上戴的是黑帽子，这显然不公平。,为此，只要看到一个同学戴的是白帽子的话，就可以说自己头上的帽子是黑色了。这一点，相信其他学生也清楚。,但是，在睁开眼睛的一瞬间，每一位同学都注意到，另两个同学没有马上做出回答，这说明什么？,充分证明了自己戴的必然不是白色帽子（其实已经断定所有人带的都是黑色帽子）！,有若干人在水龙头前排队打水，每人的水桶大小不同。请问应如何排队才能使总体的等待时间最少？,1.4.7打水排队,假设已经排好队，有持大桶（15分钟可接满）、小桶（10分钟可接满）两人相邻。谁排在前面，能使两人总的等待时间最短？,大桶15分钟接满,小桶10分钟接满,小桶10分钟接满,大桶15分钟接满,10X21535（分）,15X21040（分）,结论：小桶在前面,任何相邻两只桶都应该“前小后大”。否则就应该调换位置。,对于上述结论，不妨进行公决。你能猜到投票的结果吗？,返回,将101粒棋子堆放在棋盘内，参赛的两人轮流从棋盘内取走棋子。规定每人每次至少取走1粒棋子，也可以取2粒或者3粒，但每次取棋子不能多于3粒。两人轮换取走棋子，直至取完为止，拿到最后一粒棋子为胜利者。,1.5棋牌中的数学,1.5.1智取棋子,甲要使自己能够取胜，必须创造条件，使得当乙在最后一次取棋子时棋盘上有且仅有4粒棋子！,现在,由甲首先出手,试问是否有必胜的方法。,这样，不论乙拿走几粒，甲总可以将剩余棋子一次取完从而确保获胜。,假如倒数第二个回合中，在轮到乙取棋子的时候，如果棋盘上刚好剩8粒棋子的话,总之，甲必胜的策略是率先给乙留下4的倍数！,现在回到问题的开始,既然本次游戏有101粒棋子，可以采取“先取1再凑4”的策略！,不论乙这次拿走的是1粒棋子、2粒棋子还是3粒棋子，甲都可以从容应对，针对乙的不同选择，甲在本回合相应地要拿3粒、2粒、1粒棋子，使得棋盘上刚好剩下4粒棋子而进入最后一个回合。,这样，在甲第26次出手时会宣布胜利，而乙并不具有第26次出手的机会。,1.5.2双炮残局,以下红方只需走与黑棋同奇偶的步数，则必胜。,九八七六五四三二一,123456789,红方先走：七进三,思考题：桌上有三堆火柴，分别为，根。现在有两人轮流来取，每次可以从任意一堆火柴中取出一根或多根（但最后一次必须是取一根），如果取到最后一根火柴的人算赢，问先取的人应当如何取才能稳操胜券？,1.5.3象棋子粒价值量化,9分,54分,45分,2分,12分,九八七六五四三二一,123456789,攻：11分,防：10分,九八七六五四三二一,123456789,和棋,一般来说，进攻分值超过防守分值可胜,攻：2529分,防：8分,九八七六五四三二一,123456789,黑胜,一般来说，进攻分值超过防守分值可胜,加2,成和棋,返回,1.5.4势的积蓄,九八七六五四三二一,123456789,布局,九八七六五四三二一,123456789,九八七六五四三二一,123456789,九八七六五四三二一,123456789,九八七六五四三二一,123456789,九八七六五四三二一,123456789,九八七六五四三二一,123456789,返回,12345678910111213141516171819,一二三四五六七八九十十一十二十三十四十五十六十七十八十九,1.5.5围棋基本计算,围棋的棋盘由纵横各十九条线绘制而成。棋子分为黑白两种，黑181粒，白180粒。下棋时，两人分别将棋子摆放在交叉点上。,开始比赛时由执黑棋的一方先走.,12345678910111213141516171819,一二三四五六七八九十十一十二十三十四十五十六十七十八十九,三口气,一口气,12345678910111213141516171819,一二三四五六七八九十十一十二十三十四十五十六十七十八十九,有两个眼的棋是活棋!,12345678910111213141516171819,一二三四五六七八九十十一十二十三十四十五十六十七十八十九,围空,胜负的判定,全盘361点，各占180.5应该判为和棋。,黑棋先下，最后需退给白棋四分之三子后结算。,因此，若黑棋183.5,白棋177.5时判黑胜,因为:,若黑棋183,白棋178时判黑负,因为:,日本和韩国用围空的多少直接计算胜负，而无需将棋盘全部填满。目多为胜。,黑棋先下，最后需退给白棋五目半(也有7.5目或8目的规则)后结算。,目是下棋的位置，若黑棋下一子则自己得一目且剥夺了白棋占这一目的权利。故一子相当于两目的价值。:,基本战术,12345678910111213141516171819,一二三四五六七八九十十一十二十三十四十五十六十七十八十九,(1)枷吃,12345678910111213141516171819,一二三四五六七八九十十一十二十三十四十五十六十七十八十九,(2)打劫,(3)打二还一,12345678910111213141516171819,一二三四五六七八九十十一十二十三十四十五十六十七十八十九,(4)倒扑,12345678910111213141516171819,一二三四五六七八九十十一十二十三十四十五十六十七十八十九,(5)征子与引征,AKQJ1098765432,AKQJ1098765432,AKQJ1098765432,AKQJ1098765432,顺时针叫牌、发牌和打牌,1.5.6桥牌开叫点数,AKQJ,AKQJ,AKQJ,AKQJ,一副牌共13墩。一般认为，除16张AKQJ外其它牌张,不太可能赢墩。A、K、Q、J分别计4、3、2、1点，总共,40个牌点。平均每方20点，超过20点为强牌一方。,40点13墩，计算可知约3点可赢一墩牌。如果开叫在,一的水平，需要赢167墩牌才算完成定约，因而要持,有不少于3721点的大牌才可以开叫。,假如你本人手中持有13点的大牌的话，你的同伴和上、,下家总共有27点，故平均每人9点，己方共22点的可能性,结论：持13点者必须开叫。,如果首家不叫，你是第二家的话，持12点便可开叫了。,较大。超过21点，可以完成水平为一的定约。,因为你已经知道上家不是一手强牌（少于13点），你的同,伴牌力不少于10点的可能性较大，故必须开叫。,结论：第二家持12点者应开叫，第三家11点开叫。,AKQL,AKQL,AKQL,AKQL,自然叫牌法,一副牌共13墩。一般认为，除16张AKQL外其它牌张,不太可能赢墩。A、K、Q、L分别计4、3、2、1点，总共,40个牌点。平均每方20点，超过20点为强牌一方。,40点13墩，计算可知约3点可赢一墩牌。如果开叫在,一的水平，需要赢167墩牌才算完成定约，因而要持,有不少于3721点的大牌才可以开叫。,:A964:9843:J:KQJ7,:K72:QJ65:953:1092,:QJ103:K:8764:A654,:QJ103:K:8764:A654,打牌,局况表,叫牌（定约）,下家必须选择上家右侧或下方的叫品，也可以放弃不叫。,小满贯大满贯,返回,桥牌竞赛奥妙无穷，处处都闪烁着数学的光辉。对桥牌有兴趣的读者，可以参阅相关的桥牌书籍。,返回,第2章基础数学模型2.1概率模型2.2几个简单的高等数学问题2.3万有引力定律与三个宇宙速度2.4规划模型2.5经济数学模型2.6生物种群增长的数学模型,返回,2.1概率模型,排列的直接原型是人员或者事物的排队。这里所讲的排队不带有歧视性。在排队过程中，所有的元素（个体）机会均等。,例1要把A、B、C三个人排成一队，有几种排法？,一全排列,三人排队总共有,种不同的排法。,四人排队，排头可以选定为这四人中的任何人。不论选定了谁站在排头，接下来的安排就变成了三人排队的问题。所以，共有,种不同的排法。,人排队可以转化成,个,人排队问题，故,全排列数为,2.1.1排列和组合,种不同的排法，黄组都有种不同的排法与之对应。,列前，黄组（人）排在后面，有几种排法？,例2把个人分成红、黄两组并且排成一列，规定红组（人）,二选排列,前面个人（红组）的排法共有种，对于红组的每一,因此，在这样限制条件之下的排法总数为共有,实际上，如果将红组的人规定在其它的个位置，排法的总数也与此相同。,像这样限定部分人排在规定部位的排列称为选排列，排列计算公式为,排法的总数为。,例3某个部门有把个成员，因工作需要准备派人外出。试问共有几种不同的选择。,三组合,如果将所有成员排成一列，排在前个位置的人为外出者，则,由于外出的人之间可以忽略次序，留下的人也忽略次序。因此，分组的方案显然远不及这个排列数。方案总数可以表示为,这刚好是全排列和选排列之商。,一般是认为两种结果出现的机会均等，就是说两种结果出现的可能性各占一半，各自的概率都是。,有些时候，人们并不能完全确定某个事件是否会出现，常常需要对事件发生的可能性做出判断。概率理论最初所涉及的就是这样的问题。,如果任意向上抛起一枚硬币，让它自由落地，事先并不敢肯定当它落地后会是“正面向上”还是“反面向上”。,2.1.2古典概率,如果用,和,分别代表两种不同的结果，用,和,代表两个结果出现的概率（可能性）。应该有,，,。,发生的概率就是,发生。则事件,个等可能性的不同结果，其中种情况,改为先后上抛两枚硬币的话，请问两枚硬币落下后同是正面或者反面的概率有多大？,其中分母表示一共有种可能的结果，分子表示共有种结果符合要求。,显然，共有四种可能发生的结果：正正，正反，反正，反反。,“正反面相同”的概率应该是.,如果做某项试验共有,都会导致某种事件,这就是古典概率的计算公式。,必然会发生事件的概率认为是1，这与人们常说“百分之百会如此”的习惯相一致，因为,例4某人连续投掷同一枚硬币。假定每次正面向上与反面向上的概率相同。试问：（1）事件连续两次都是正面向上的概率是多少？（2）事件第一次正面向上、第二次反面向上的概率是多少？（3）事件两次投掷正反面相同的概率有多大？（4）事件连续10次都是正面向上的概率是多少？,；不可能会发生的事件称其概率为。,更多事件的概率都是介于和之间的正数。,假定小偷一次行窃得逞的可能性为90,他连续10次作案均得逞的概率是多少?,由于不计较四张牌的抽取顺序，取法的总数应该是54取4的组合数,例5从一副共54张的扑克牌中任意抽取4张，这四张牌都是A的概率有多大？,符合要求的结果只有一个，所以发生事件A的概率应该是,大约为一亿分之六。,这里并不计较四张牌的抽取顺序，取法的总数应该是54取13的组合数,例6从一副共52张扑克牌（四种花色各13张，不包括大王和小王）中任意抽取13张，其中有四张牌是A的概率有多大？,符合要求的结果个数为,例7据说意大利医生兼数学家卡当有赌博嗜好。他曾曾参加过这样的一种赌博：把两颗骰子掷出去，以每个骰子朝上的点数之和作为赌的内容。已知骰子的六个面上分别为16点，那么，赌注下在多少点上最有利？,两个骰子朝上的面共有36种可能,7是最容易出现的和数，它出现的概率是,所以，卡当预言说押7最好，因为出现7点的概率最大。,前三种结果之一发生，梅尔将会赢得全部的12枚金币；梅尔赢得全部的12枚金币的概率是赢钱的期望值为。,例8在17世纪的某一天，一位名叫保罗的人与赌徒梅尔赌钱。他们事先每人拿出6枚金币，然后掷骰子，约定谁先胜三局便赢得12枚金币。比赛开始后，保罗胜了一局，梅尔胜了两局。这时因为发生其它意外的事情中断了他们的赌博。在商量着12枚金币如何分配的时候两人发生了分歧。保罗认为，根据已经比赛的胜出局数，他应该拿走三分之一的金币4枚，梅尔应该得余下的8枚。但是，梅尔对此并不认同，他觉得自己获胜的可能性大，应该得到比8枚更多的金币。,他们先后请求数学家帕斯卡和费尔马帮助裁决。两位数学家的结论可以说是不谋而合，认为保罗应得3枚金币，梅尔应得9枚金币。具体理由如下。,如果能够继续进行两句的较量的话，则胜负自明。现在假定余下两局胜负机会均等，则这两句的胜负共有四种可能的结果：,（梅尔胜，梅尔胜），（梅尔胜，保罗胜），（保罗胜，梅尔胜），（保罗胜，保罗胜）。,名同学每个人在365天中任何一天出生的机会均等，不同状况的总个数为,例9设一个班级共有名同学。如果每个人生日在一年365天中每一天的可能性是均等的。这名同学的生日各不相同的概率是多少？,满足要求的基本事件个数为,事件发生的概率为,35人的班级有人生日相同的概率是,例10(蒙特霍尔问题)在某个具有观众参与的电视节目中，主持人（据说是蒙特霍尔）向你指示三扇关着的门：号门、号门和号门。他告诉你，其中某一扇门的后面有一辆高级轿车，而其它门后面东西的价值是微不足道的。你可以在这三扇门中任意指定一个并且将无偿获得门后面所摆放的东西。,经过犹豫再三，你选定了其中一扇门，比如是2号门。其实，你对2号门后是否有汽车没有任何把握。,为了增加悬念，使得电视节目更加好看，主持人并没有立刻打开你所选定的那扇2号门，而是打开了3号门！人们看到，3号门内没有汽车，只是放着一个值不了几个钱的塑料垃圾桶。,此时，主持人给你提供了一次重新选择的机会，告诉你现在可以放弃2号门而改选1号门。到底改不改？,多数人会支持你坚持原来的1号门，他们认为1