近世代数-群的概念.ppt

1.2群的概念,群的定义群的性质群的判别,一群的定义,定义1.2.1设是一个非空集合,若对中任意,两个元素通过某个法则“”，有中惟一确定的,算（algebraicoperation）元素是通过运,算“”作用的结果,我们将此结果记为,例有理数的加法、减法和乘法都是有理数集,Q上的代数运算,除法不是Q上的代数运算如果只考,虑所有非零有理数的集合Q*,则除法是Q*上的代数运,算.,剩余类集对，规定,例设为大于1的正整数，为的模,证我们只要证明,上面规定的运算与剩余类,的代表元的选取无关即可设,则,于是,从而,则“”与“”都是上的代数运算,所以+与都是上的代数运算.,一个代数运算，即对所有的有如,果的运算还满足,(G1)结合律，即对所有的有；,(G2)中有元素，使对每个，有,定义1.2.2设是一个非空集合，“”是上的,(G3)对中每个元素，存在元素，使,在不致引起混淆的情况下,也称为群,（unitelement）或恒等元（identity）；,注1(G2)中的元素称为群的单位元,(G3)中的元素称为的逆元（inverse）,则称关于运算“”构成一个群（group），记作,我们将证明：群的单位元和每个元素的逆元,都是惟一的中元素的惟一的逆元通常记作,（commutativegroup）或阿贝尔群（abeliangroup),，有，则称是一个交换群,3群中元素的个数称为群的阶（order），,2如果群的运算还满足交换律，即对任意的,（finitegroup），否则称为无限群（infinitegroup).,所以结合律成立.,另一方面，且有,又对每个有,从而关于“”构成群，显然这是一个交换群,所以0为的单位元.,所以是的逆元.,注1当群的运算用加号“”表示时，通常,将的单位元记作0，并称0为的零元；将,的逆元记作,并称为的负元,2习惯上，只有当群为交换群时，才用“”,来表示群的运算，并称这个运算为加法，把运算的,结果叫做和，同时称这样的群为加群相应地,将,不是加群的群称为乘群，并把乘群的运算叫做乘法，,运算的结果叫做积在运算过程中，乘群的运算符号,通常省略不写今后，如不作特别声明，我们总假定,群的运算是乘法当然,所有关于乘群的结论对加群,也成立（必要时,作一些相关的记号和术语上改变）,例全体非零有理数的集合Q*关于数的乘法,构成交换群,这个群的单位元是数1，非零有理数,的逆元是的倒数同理，全体非零实数的,集R*、全体非零复数的集合关于数的乘法也,构成交换群,例实数域R上全体阶方阵的集合，,关于矩阵的加法构成一个交换群全体阶可逆,方阵的集合关于矩阵的乘法构成群，,群中的单位元是单位矩阵，可逆方阵,的逆元是的逆矩阵,当时，是一个非交换群,例集合关于数的乘法构成交换群,关于数的乘法构成一个阶交换群,证(1)对任意的，因为,所以,例全体次单位根组成的集合,因此于是“”是的代数运算,(3)由于，且对任意的，,所以1为的单位元,(4)对任意的，有，且,所以有逆元,的乘法也满足交换律和结合律,(2)因为数的乘法满足交换律和结合律，所以,因此关于数的乘法构成一个群通常称这个群为,次单位根群，显然是一个具有个元素的交换群,例设是大于1的正整数，则关于剩余,类的加法构成加群.这个群称为的模剩余类加群,(2)对任意的，,所以结合律成立,(3)对任意的,所以交换律成立,(4)对任意的，,且,所以0为的零元,(5)对任意的,且,所以为的负元,从而知，关于剩余类的加法构成加群,例设是大于1的正整数，记,则关于剩余类的乘法构成群,证(1)对任意的，有,于是，从而,(2)对任意的,所以剩余类的乘法“”是的代数运算,所以结合律成立.,(3)因为，从而，且对任意的,且,所以1是的单位元,(4)对任意的，有，,由整数的性质可知，存在，使,所以，且,显然,所以为的逆元,这就证明了关于剩余类的乘法构成群,注(1)群称为的模单位群，显,然这是一个交换群当为素数时，常记作.,易知，,(2)由初等数论可知（参见1），的阶等于,这里是欧拉函数如果,其中为的不同素因子，那么,例10具体写出中任意两个个元素的乘积以,及每一个元素的逆元素易知,直接计算，可得,表1.2.1,由表中很容易看出,注观察表1.2.1，我们发现可以把表1.2.1表,示为更加简单的形式（见表1.2.2）,表1.2.2,形如表1.2.2的表通常称为群的乘法表,（multiplicationtable），也称群表（grouptable）,或凯莱表（Cayleytable）人们常用群表来表述,有限群的运算如下表所示：,在一个群表中,表的左上角列出了群的运算符号,（有时省略），表的最上面一行则依次列出群的,所有元素（通常单位元列在最前面），表的最左,列按同样的次序列出群的所有元素表中的其余,部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘,积注意，在乘积中，左边的因子总是,左列上的元素,右边的因子总是最上面一行的,元素由群表很容易确定一个元素的逆元素,又如果一个群的群表是对称的，则可以肯定，这个,群一定是交换群,二群的性质,定理1.2.1设为群，则有,(1)群的单位元是惟一的；,(2)群的每个元素的逆元是惟一的；,(3)对任意的，有；,(4)对任意的，有；,(5)在群中消去律成立，即设，,如果，或，则,证(1)如果都是的单位元，则,（因为是的单位元），,因此,所以单位元是惟一的,(2)设都是的逆元，则,（因为是的单位元），,于是,所以的逆元是惟一的,(3)因为是的逆元，所以,从而由逆元的定义知，是的逆元又由逆元的,惟一性得,(4)直接计算可得,及,从而由逆元的惟一性得,(5)如果，则,同理可证另一消去律,定理1.2.2设是群，那么对任意的，,证取，则,所以方程有解,又如为方程的任一解，即则,这就证明了惟一性,同理可证另一方程也有惟一解,指数与指数法则,积与运算的顺序无关，因此可以简单地写成,群的定义中的结合律表明，群中三个元素的乘,进一步可知，在群中，任意个元素,的乘积与运算的顺序无关，因此可以写成.,据此,我们可以定义群的元素的方幂,对任意的正整数，定义,再约定,（为正整数）,则对任意整数都有意义，并且不难证明：,对任意的有下列的指数法则,(1)；,(2),(3)如果是交换群，则,（如果不是交换群，一般不成立）,当是加群时,元素的方幂则应改写为倍数,相应地,指数法则变为倍数法则：,(1),(2),(3),（因为加群是交换群，所以（3）对加群总是成立的）,定理1.2.3设是一个具有代数运算的非空,集合，则关于所给的运算构成群的充分必要条件是,三群的判别,(1)的运算满足结合律；,(2)中有一个元素（称为的左单位元）,使对,任意的有,(3)对的每一个元素，存在（称为的,左逆元），使这里是的左单位元,证必要性由群的定义，这是显然的,充分性只需证:是的单位元,，是的,逆元即可,设由条件(3)知，存在使,而对于也存在使,于是,且,进而由条件（1）知，为群,由条件(2)及式(3)知，是的单位元是的逆元，,注这个定理说明，一个具有乘法运算的非空,集合，只要满足结合律，有左单位元，每个元素,有左逆元，就构成一个群,同理可证，一个具有乘法运算的非空集合，如,果满足结合律，有右单位元，且中每个元素有,右逆元，则构成群,定理1.2.4设是一个具有乘法运算且满足结,合律的非空集合，则构成群的充分必要条件是：,对任意的方程及在中有解.,证必要性已证（见定理1.2.2）,充分性任取，由条件知，有解，,设为，则.又对任意的，有解,设为,设为于是,从而知是的左单位元,其次，对每个，有解，设为.于是,从而知有左逆元,于是由定理1.2.3知，构成群,例11设是一个具有乘法运算的非空有限集合，,如果满足结合律，且两个消去律成立，则是一,个群,对任意的考察与，如果,证设,则由左消去律