江苏省盐城市2019届高三考前适应性试卷数学(PDF解析版).pdf

20192019 年年高高考考适应性适应性考试考试 数学试题数学试题 命题人：蔡 磊 复核人：宋 钢 【第第卷】卷】 一、填空题一、填空题： （本大题共（本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 70 分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1已知集合33Axx，103B ， ，则AB 1,0 【解析解析】取公共部分，得：1,0AB 2已知复数z满足1zii （i为虚数单位） ，则z 1i 【解析解析】 1i1 1 1 i zi i ，所以，1zi 3高三某班级共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学号用系统抽样方法 抽取6人进行调查，若抽到的最小学号为3，则抽到的最大学号为43 【解析解析】分组间隔： 48 8 6 k ， 编号分组依次为： 1,8 ， 9，16 ， 17，24 ， 25，32 ， 33，40 ， 41，48 ， 则最大学号为35 843 4执行如图所示的流程图，输出的n 4 【解析解析】解：当 n1 时，S1，不满足退出循环的条件，故 n2，S4； 当 S4，不满足退出循环的条件，故 n3，S9； 当 S9，不满足退出循环的条件，故 n4，S16； 当 S16，满足退出循环的条件，故输出的 n 值为 4 5从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数记为x，则 3 log x为整数的概率为 1 3 【解析解析】从集合1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取一个数，共有9种可能， 3 log x为整数的有1,3,9，共 3 个，所以，所求概率为 1 3 P 6已知一组数据为2,3,4,5,6，则它们的标准差为2 【解析解析】因为 23456 4 5 x ， 所以 222221 24344454642 5 S 7已知一个圆锥的高为4，其体积为 3 ，则该圆锥的母线长为 65 2 【解析解析】圆锥的体积为： 1 4 33 VS ， 解得圆锥的底面积为： 4 S ，所以，圆锥的底面半径为： 1 2 R ， 圆锥的母线长为： 2 2 165 4 22 8 设实数, x y满足 0 1 21 xy xy xy ， 若20zxay a取最小值的最优解有无数个， 则实数a的值为4 【解析解析】不等式组表示的平面区域如下图所示， 由图可知，当目标函数2zxay经过线段BC时取得最大值，故4a 9已知函数( )sin,0 4 f xxxR 的最小正周期为，将 yf x的图象向右平移 (0) 个单位长度，所得函数 yg x为偶函数时，则的最小值是 3 8 【解析解析】依题意，有： 2 ，所以，2，将( )yf x的图象向右平移(0) 个单位长度， 得：( )sin2()sin(22) 44 g xxx 是偶函数， 所以2, 42 kkZ ，即 13 , 28 kkZ ，又因为0，所以，的最小值是 3 8 10若双曲线 22 2 1 11 xy aa 的离心率为2，则实数a的值为2 【解析解析】由题知该双曲线为等轴双曲线，故 2 1 1aa ，即 2 20aa，则12a 或 又因为1a ，所以2a 11在平面直角坐标系xOy中，若圆 1 C： 2 22 1(0)xyrr上存在点P，且点P关于直线 0 xy的对称点Q在圆 2 C ： 22 211xy上，则r的取值范围是101101r 【解析解析】 2 C关于直线0 xy的对称圆C： 22 121xy，由题意，圆C与圆 1 C有交点，所 以1101rr，故101101r 12设点P为边长为2的正三角形ABC边BC上一动点，当PA PC取最小值时，PAC的面积为 3 4 【解析解析】作 ADBC 于 D，ABC是正三角形，所以，D 为 BC 中点， 以 D 为原点建立下图所示的平面直角坐标系，三角形 ABC 的边长为 2， 设 P（m，0） ，A（0，3） ，C（1,0） ， PA PC(, 3)(1,0)mm 2 2 11 24 mmm ， 当 1 2 m 时，PA PC取得最小值，此时 113 2sin 2234 PAC S 13已知定义在R上的偶函数 yf x的导函数为 fx，且函数 f x满足：当0 x 时， 1x fxf x ， 12019f则不等式 2018 1f x x 的解集为1,00,1 【解析解析】当0 x 时， 1x fxf x ， 10 x fxf x ， 令 1F xx f xxx f x ，则 10Fxx fxf x ，即当0 x 时， F x单调递增又 f x为R上的偶函数， F x为R上的奇函数且 00F， 则当0 x 时， F x单调递增不等式 2018 1f x x ，当0 x 时， 2018x f xx ， 即 2018x f xx ， 1112018Ff ，即 1F xF ，01x； 当0 x 时， 2018x f xx ， 2018x f xx ， 112018FF ， 即 1F xF ，10 x 综上，不等式 2018 1f x x 的解集为 1,00,1 14正项数列 n a中， n S为数列 n a的前n项和，且对任意*nN满足 2 14 nn aS若不等式 220220 nknk SSa a对任意正整数n都成立，则正整数k的最大值为47 【解析解析】因为 2 (1)4 nn aS，当 n1 时， 2 111 (1)44aSa，即 2 11 210aa ，解得： 1 a1， 当 n1 时，由 2 (1)4 nn aS，得 2 11 (1)42 nn aSn ， 两式相减，得： 22 11 224 nnnnn aaaaa ，即： 11 ()(2) nnnn aaaa 0， 因为 n a是正项数列，所以， 1 20 nn aa ，即 1 2 nn aa ， 所以 n a是等差数列，所以， n a2n1， 2 n Sn， 22 220222(21)(21)2022 nknk SSa anknk 22 24222021nknknk 22 2(42)220210nknkk恒成立，令 22 ( )2(42)22021f nnknkk， 对称轴为： 1 2 nk，因为 n，k 都是正整数，所以，当 nk 时， 0f n 成立， 即 22 ( )2(42)22021f kkkkkk 2 420210kk， 即 2 420210kk，43470kk，所以，k的取值范围为：047k 所以，整数k的最大值为47 二、解答题：二、解答题： （本大题共本大题共 6 小题，计小题，计 90 分分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15（本小题（本小题满分满分 14 分）分） 如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，F 在 PC上一点， PD平面 ABCD （1）求证：ADDF； （2）若 E是 BC的中点，PF=2FC，证明：PA平面 DEF 【解析解析】证明：（1）在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形， F 在 PC上一点，PD平面 ABCD ADDC，ADPD，DCPD=D，AD平面 PDC， DF 平面 PDC，ADDF （2）连结 AC，交 DE于 O，连结 OF，E是 BC的中点，PF=2FC， EOCAOD， 1 2 COCECF OAADPF ， PAFO，PA 平面 DEF，OF 平面 DEF，PA平面 DEF 16 （本小题（本小题满分满分 14 分）分） 在ABC中，a、b、c分别是三内角A、B、C的对应的三边，已知 222 acbac （1）求角B的大小； （2）若3b ，且 22 2sin2sin1 22 AC ，求, a c 【解析解析】 （1）在ABC中， 222 2cosacbacB，又 222 acbac 1 cos 2 B 0,B 3 B 6 分 （2） 22 2sin2sin1 22 AC ，1 cos1 cos1AC 8 分 2 coscos1,coscos1 3 ACAA ， 22 coscoscossinsin1 33 AAA ， 31 sincos1 22 AA，sin1 6 A ， 0A，, 33 AC , 3ac14 分 17 （本小题（本小题满分满分 14 分）分） 某市有一特色酒店由10座完全相同的帐篷构成 （如图1） 每座帐篷的体积为 3 54 m， 且分上下两层， 其中上层是半径为1r r （单位：m） 的半球体， 下层是半径为rm， 高为hm的圆柱体 （如图2） 经 测算，上层半球体部分每平方米建造费用为2千元，下方圆柱体的侧面、隔层和地面三个部分平均 每平方米建造费用为3千元设所有帐篷的总建造费用为y干元 （1）求y关于的r函数解析式，并指出该函数的定义域； （2）当半径r为何值时，所有帐篷的总建造费用最小，并求出最小值 【解析解析】 （1）由题意得 32 2 54 3 rr h 2 分 所以 2 542 3 hr r 所以 222 2 542 2223231010060 3 yrrrhrrr r 化简可得 2 54 60yr r 5 分 又因为1,0rh，所以 2 542 0 3 r r ，则 3 13 3r故定义域为 3 13 3rr7 分 （2）设 2 54 f rr r ， 3 13 3r则 2 54 2frr r ，令 0fr ，则3r 9 分 当1,3r时， 0fr， f r单调递减；当 3 3,3 3r时， 0fr， f r单调递增 所以当3r 时， f r取极小值，即为最小值，且 min1620f r 13 分 答：半径r为3m时，一座帐篷的总建造费用最小，且最小值为1620千元 14 分 注：注：通过通过列表或文字表述求最小值皆可列表或文字表述求最小值皆可 18 （本小题（本小题满分满分 16 分）分） 已知椭圆 22 22 :10 xy Cab ab 的离心率为 1 4 ，左顶点为 A，右焦点为 F，且5AF （1）求椭圆C的方程； （2）已知圆M的圆心 7 ,0 8 M ，半径为r点P为椭圆上的一点，若圆M与直线,PA PF都相切， 求此时圆M的半径r 【解析解析】 （1）椭圆离心率为 1 4 ，左顶点为 A，右焦点为 F，且5AF 1 4 5 c a ac ，解得： 4 1 a c 2 15b 椭圆C的方程为： 22 1 1615 xy 4 分 （2）由题意得：( 4,0),(1,0)AF，设点P的坐标为 00 (,)xy，则 22 00 1 1615 xy 当 0 1x 时，直线:1PF x ，与圆M相切，则 715 1() 88 R ， 不妨取 15 (1,) 4 P，直线 15 4 :(4) 1( 4) PA yx ，即34120 xy 点M到直线PF的距离为 22 7 |3 ()12| 15 8 8 34 r ， 直线PF与圆M相切 当 15 8 r 时，圆M与直线,PA PF都相切 8 分 当 0 4x 时，点P与点A重合，不符合题意； 当 0 1x 且 0 4x 时，直线 00 00 :(4),:(1) 41 yy PA yxPF yx xx 化简得： 000000 :(4)40,:(1)0PA y xxyyPF y xxyy 圆M与直线,PA PF都相切 0000 2222 0000 77 |4| 88 (4)(1) yyyy r yxyx 12 分 0 0y ，又 2 20 0 15(1) 16 x y代入化简得： 2 00 1221210 xx，解得： 0 1x 或 0 121x 0 44x 且 0 1x 无解 15 分 综上： 15 8 r 16 分 19 （本小题（本小题满分满分 16 分）分） 已知函数 1 x x f x e ， 2 1g xax （其中aR） ，设 h xf xg x （1）求函数 f x的极值； （2）当 1 0 2 a，且ln210aa 时，试判断方程 0h x 的实根个数，并说明理由； （3）若 0h x 对任意1,x 恒成立，求正数a的取值范围 【解析解析】 （1） 1 ( ) x x f x e ( ) x x fx e 当(,0)x 时，( )0fx ，( )f x单调递增；当(0,)x时，( )0fx ，( )f x单调递减 所以当0 x 时，函数( )f x存在极大值(0)1f，无极小值； 3 分 注：注：若没有指出“无极小值”扣若没有指出“无极小值”扣 1 分分 （2）因为 2 1 ( )( )( )1 x x h xf xg xax e ， 1 2 ( )22 x xx e x a h xaxax ee 1 0 2 a， 1 1 2a ，即 1 ln0 2a ，令( )0h x ，解得0 x 或 1 ln 2 x a 当(,0)x 时，( )0h x ，( )h x单调递增；当 1 (0,ln) 2 x a 时，( )0h x ，( )h x单调递减； 当 1 (ln,) 2 x a 时，( )0h x ，( )h x单调递增 5 分 又(0)0h， 1 (ln)(0)0 2 hh a ，因为ln210aa ，所以 11 ln 2aa 且 2 11 11 11 11 ()()10 aa aa ha aa ee ， 函数( )h x在R上连续， 所以( )h x有一个零点为 0，且在 11 (ln,) 2aa 上有另一个零点，即函数( )h x有两个零点 当 1 0 2 a时，方程( )0h x 的实根个数为 2 个 9 分 （3）由题知， 0h x 对任意1,x 恒成立，即 min0h x 由（2）知，当 1 0 2 a时， 1 ln0 2a 且 1 (ln)(0)0 2 hh a ，故不满足，舍去 当 1 2 a 时， 1 ln0 2a ， 1 ( )0 x x e h xx e ， h x在R上单调递增，无最小值，不满足故舍去 当 1 2 a 时， 1 ln0 2a ， 当 1 (,ln)x a 时，( )0h x ，( )h x单调递增； 当 1 (ln,0) 2 x a 时，( )0h x ， ( )h x单调递减；当(0,)x时，( )0h x ，( )h x单调递增 min ( )min (0), ( 1)h xhh (0)0, ( 1)10hha 1a 16 分 20 （本小题（本小题满分满分 16 分）分） 数列 n a中，对任意给定的正整数n，存在两个不相等的正整数, i jij，使得 nij aa a，且in， jn，则称数列 n a具有性质P （1）若仅有3项的数列1, , a b具有性质P，求ab的值； （2）求证：数列 2019 n n 具有性质P； （3）正项数列 n b是公比不为1的等比数列若 n b具有性质P，则数列 n b至少有多少项？请说 明理由 【解析解析】 （1）数列1, , a b具有性质P， 1ab ab ， 1 1 a b 或 1 1 a b ， 2ab或2ab 3 分 （2）假设存在不相等的正整数, i j()ij，使得 nij aa a，即 201920192019 nij nij （*） 解得： (2019)in j in ，取1in，则存在 1 (2020) in jnn ，使得（*）成立 数列 2019 n n 具有性质P 8 分 （3）设正项等比数列 n b的公比为q，0q 且1q ，则 1 1 n n bb q 数列 n b具有性质P 存在不相等的正整数, i j()ij，in，jn，使得 11 111 ij bb qb q ，即 1 2 1 ij b q ，且3n ， 1ji ，且,*i jN， 21ij， 若21ij，即 1 1 b q ， 2 1b ， 3 bq， 要使 1 1 ij bbb q ，则 2 1 q 必为 n b中的项，与 1 1 b q 矛盾；21ij； 若22ij，即 1 2 1 b q 2 1 b q ， 3 1b ， 4 bq， 要使 1 2 1 ij bbb q ，则 3 1 q 必为 n b中的项，与 1 2 1 b q 矛盾；22ij； 若23ij，即 1 3 1 b q 2 2 1 b q ， 3 1 b q ， 4 1b ， 5 bq， 2 6 bq， 3 7 bq， 这时对于1,2,7n ，都存在 nij bbb，其中ij，in，jn 数列 n b至少有 7 项 16 分 20192019 年年高高考适应性考试考适应性考试 数学试题数学试题 命题人：蔡 磊 复核人：宋 钢 【第第卷】卷】 （附加题附加题总分总分 40 分，分，考试考试时间时间 30 分钟）分钟） 21 （本小（本小题满分题满分 10 分）分） 已知二阶矩阵A有特征值 1 1及对应的一个特征向量 1 1 1 和特征值 2 2及对应的一个特征向 量 2 1 0 ，试求矩阵A 【解析解析】设二阶矩阵 ab A cd ，其中a b c d R, , ,， 因为 1 1 是矩阵A的属于 1 1的特征向量，则有 110 110 ab cd ， 4 分 又因为 1 0 是矩阵A的属于 2 2的特征向量，则有 210 100 ab cd ， 6 分 根据，则有 10 10 20 0 ab cd a c , , , , 8 分，2101abcd ,因此 21 01 A 10 分 22 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 在极坐标系中，直线l的极坐标方程为 4 R，以极点为原点，极轴为x轴的正半轴建立平面 直角坐标系，曲线C的参数方程为 4cos , 1cos2 x y （为参数） （1）求曲线C的普通方程； （2）求直线l与曲线C的交点 P 的直角坐标 【解析解析】 （1）由方程 4cos , 1cos2 x y 可得 222 1 2cos2( ) 48 x yx， 又因为1cos1 ，所以44x 所以曲线C的普通方程为 2 1 ( 44) 8 yxx 5 分 （2） 将直线l的直角坐标方程为yx 直线l的方程代入曲线方程中， 得 2 1 8 xx， 解得0 x ， 或8x （舍去） ，所以直线l与曲线C的交点 P 的直角坐标为(0,0) 10 分 23 （本小题满分（本小题满分 10 分）分） 高尔顿（钉）板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的圆柱形铁钉（如图） ， 并且每一排钉子数目都比上一排多一个， 一排中各个钉子恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央 从 入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一 排铁钉， 它将以相等的可能性向左或向右落下， 接着小球再通过两钉的间隙， 又碰到下一排铁钉 如 此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球 （1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？ （2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球个数为X，求X的分布列与 数学期望 54321 【解析解析】（1）记“小球落入 4 号容器”为事件A，若要小球落入 4 号容器，则在通过的四层中有三 层需要向右，