（技术经济及管理专业论文）基于Copula理论的金融市场相依结构研究.pdf

中文摘要 经济全球化和金融市场国际化导致了金融市场之间的联系越来越紧密，彼此 的关系更加复杂。由于准确刻画金融市场之间的相依结构是研究投资组合以及风 险管理的基础，在金融决策中，为了提高决策的准确性，降低决策风险，研究分 析金融市场之间的相依结构是非常必要的。 c o p u l a 函数是将随机向量的联合分布函数与其对应各分量的边缘分布函数 连接在起的函数，是描述多个金融市场之间相依结构的重要工具。运用它构造 联合分布函数时不受边缘分布函数的限制，可以将随机向量的边缘分布函数及其 相依结构分开研究。本文运用c o p u l a 函数研究金融市场相依结构的建模问题， 探讨关于c o p u l a 函数的一些理论问题及其在风险管理、投资组合中的应用。 运用c o p u l a 函数来构建金融资产相依结构的基础是在众多的c o p u l a 函数族 中选择一个合适的c o p u l a 函数，常用的方法是a i c 或b i c 准则，该准则在c o p u l a 函数密度函数存在的条件下有效。为了解决c o p u l a 函数的密度函数不存在或密 度函数没有显式表达式时c o p u l a 函数的选择问题，本文提出了基于非参数核密 度估计的c o p u l a 函数选择原理，并用蒙特卡罗模拟方法，在金融资产边缘分布 函数属于不同类型的情况下，将a i c 准则与基于非参数核密度估计的c o p u l a 函 数选择原理进行了系统的比较。 系统地研究了目前存在的一些基于c o p u l a 函数的相依性测度，并在此基础 上，利用门限c o p u l a 函数，分别给出了下门限相依性测度与上门限相依性测度 的概念。 由于现实金融市场间的相依结构通常随市场的调节不断变化，而且市场“利 好消息”与“利坏消息”对金融市场相依结构的影响通常具有不对称性，因此， 本文基于门限g a r c h 模型思想，提出了具有门限结构的时变c o p u l a 模型，并 利用该模型研究了世界及地区股票市场对我国股票市场间相依结构的影响问题。 在金融风险管理及投资组合方面，系统研究了基于v a r 和e s 的金融风险管 理方法，构建了一元a p d g a r c h 模型，并将该模型与多元c o p u l a 相结合，研 究了不同相依结构下的均值一e s 有效前沿问题。实证结果表明，在研究投资组 合以及风险管理问题时，考虑金融市场间的非对称尾部相依结构是十分必要。 本论文是国家自然科学基金资助项目多变量矩序列长期均衡关系及动态金 融风险规避策略研究( n o ：7 0 4 7 1 0 5 0 ) 的组成部分。 关键词：c o p u l a 函数，a p d g a r c h 模型，核密度估计，在险价值，e x p e c t e d s h o r t f a l l ，投资组合，风险溢出 a b s t r a c t d e p e n d e n c i e sa m o n gf i n a n c i a lm a r k e t sh a v e s i g n i f i c a n t l y i n c r e a s e da n d r e l a t i o n s h i p sa m o n gt h e mb e c o m em o r ec o m p l e x t h i sp h e n o m e n o ni sad i r e c t c o n s e q u e n c eo fe c o n o m i cg l o b a l i z a t i o na n dt h eg l o b a l i z a t i o no ft h ef i n a n c i a lm a r k e t a st h ef o u n d a t i o no fr i s km a n a g e m e n ta n dp o r t f o l i o i n v e s t m e n t , d e s c r i p t i o no n d e p e n d e n c es t r u c t u r ec o r r e c t l yi nf i n a n c i a lm a r k e t si sv e r yi m p o r t a n t s oi ti s n e c e s s a r yt o r e s e a r c ho nt h ed e p e n d e n c es t r u c t u r e a m o n gf i n a n c i a lm a r k e t si n f i n a n c i a l d e c i s i o n - m a k i n gi no r d e rt oi n c r e a s et h ec o r r e c t i o no fd e c i s i o na n dt o d e c r e a s et h er i s ko fd e c i s i o n c o p u l af u n c t i o n s ，w h i c ha r ei m p o r t a n tt o o lt od e s c r i b et h ed e p e n d e n c es t r u c t u r e o ff i n a n c i a lm a r k e t s ，a r ef u n c t i o n sw h i c hc o n n e c tt h e j o i n td i s t r i b u t i o nf u n c t i o nw i t h i t sm a r g i n a ld i s t r i b u t i o n s i ti sp o s s i b l et os t u d yt h ed e p e n d e n c es t r u c t u r eo fr a n d o m v e c t o r si r r e s p e c t i v eo ft h e i rm a r g i n sb yu s eo ft h ec o p u l af u n c t i o nt oc o n s t r u c tt h e m u l t i v a r i a t ej o i n td i s t r i b u t i o n t h i sp a p e rs t u d yd e p e n d e n c es t r u c t u r ea m o n gf i n a n c i a l m a r k e t sb a s e do nt h ec o p u l at h e o r ya n dd i s c u s ss o m ea c a d e m i cq u e s t i o no fc o p u l a f u n c t i o na n di t sa p p l i c a t i o ni nr i s km a n a g e m e n ta n d p o r t f o l i oi n v e s t m e n t t h ef o u n d a t i o no fm o d e l i n gt h ed e p e n d e n c ea m o n gt h ef i n a n c i a la s s e t sb yc o p u l a f u n c t i o ni st h ec h o i c eo fa na p p r o p r i a t ep a r a m e t r i cc o p u l ai na g i v e ns e to fc o p u l a s t h ec o m m o n l yu s e da p p r o a c ht os e l e c t i n gc o p u l ai sa i co rb i cc r i t e r i o nw h i c hr e l i e s o nt h ed e n s i t yf u n c t i o no fe a c hc o p u l ai nt h eg i v e ns e to fc o p u l a s h o w e v e r , t h e e x p l i c i te x p r e s s i o n so fd e n s i t yf u n c t i o no fs o m ec o p u l a sm a yb ev e r yc o m p l i c a t e do r v e r yd i f f i c u l tt oo b t a i n ，w h i c hc a u s eg r e a ti n c o n v e n i e n c ei nt h ea p p l i c a t i o no fa i co r b i cc r i t e r i o n i nt h i ss e n s e ，an e wc o p u l as e l e c t i o nm e t h o db a s e do nn o n p a r a m e t r i c k e r n e ld e n s i t ye s t i m a t i o ni sp r o p o s e d u n d e rd i f f e r e n tm a r g i n a l d i s t r i b u t i o n s ，t h e c o p u l a s e l e c t i o nm e t h o db a s e do n n o n p a r a m e t r i ck e r n e ld e n s i t ye s t i m a t i o ni s c o m p a r e dw i t ha i cb ym e a n so fm o n t ec a r l os i m u l a t i o nm e t h o d s d e p e n d e n c em e a s u r e sb a s e do nc o p u l af u n c t i o n s ，w h i c ha r eu s e dc o m m o n l y , a r e s y s t e m i c a l l ys t u d i e di nt h i sp a p e r f r o mt h ea n a l y s i s ，t h ed e f i n i t i o n so fu p p e r t h r e s h o l dd e p e n d e n c em e a s u r e sa n dl o w e rt h r e s h o l do fd e p e n d e n c em e a s u r e sa r e p r o p o s e db yt h r e s h o l dc o p u l af u n c t i o n s t h ed e p e n d e n c es t r u c t u r e so ff i n a n c i a lm a r k e t sa r ei n c e s s a n t l yc h a n g i n gw i t ht h e a c c o m m o d a t i o no fm a r k e t a n da s y m m e t r yl i e si nt h ei n f l u e n c eo fp o s i t i v ea n d n e g a t i v e i n n o v a t i o n so nt h ed e p e n d e n c es t r u c t u r e so ff i n a n c i a l m a r k e t s o ，a t i m e 。v a r y i n gc o p u l am o d e lw i t ht h r e s h o l ds t r u c t u r ei sp r o p o s e db a s e do nt h ei d e ao f t h et h r e s h o l dg a r c hm o d e l b yt h i sm o d e l t h ei n f l u e n c eo fi n t e m a t i o n a la n d r e g i o n a ls t o c km a r k e t so nt h ed e p e n d e n c es t r u c t u r e so fd o m e s t i cf i n a n c i a lm a r k e ti s s t u d i e d i nt h ea s p e c to fr i s km a n a g e m e n ta n dp o r t f o l i o i n v e s t m e n t ，f i n a n c i a lr i s k m a n a g e m e n tm e t h o d sb a s e do n v a ra n de sa r e s t u d i e d f u r t h e r m o r e ，t h e a p d g a r c hm o d e ii se s t a b l i s h e d w i t ht h i sm o d e la n dm u l t i v a r i a t e c o p u l a f u n c t i o n s ，t h ee f f i c i e n tf r o n t i e ro fp o r t f o l i oo p t i m i z a t i o nb a s e do nm e a n e si ss t u d i e d t h ee x p e r i e n t i a lr e s u l ti n d i c a t e st h a ti ti sv e r yn e c e s s a r yt oc o n s i d e rt h ea s y m m e t r y t a i ld e p e n d e n c es t r u c t u r ei nr e s e a r c ho nr i s km a n a g e m e n ta n d p o r t f o l i oi n v e s t m e n t t h er e s e a r c hi ss p o n s o r e db yn a t i o n a ln a t u r a ls c i e n c ef o u n d a t i o no fc h i n a ： r e s e a r c ho nl o n gr u ne q u i l i b r i u mi nm u l t i v a r i a t em o m e n t ss e r i e sa n da v o i d i n g t a c t i c so fd y n a m i cf i n a n c i a lr i s k ( n o 7 0 4 7 10 5 0 ) k e y w o r d s ：c o p u l af u n c t i o n ，a p dd i s t r i b u t i o n ，g a r c hm o d e l ，k e r n e ld e n s i t y e s t i m a t i o n ，v a l u ea tr i s k ，e x p e c t e ds h o r t f a l l ，r i s km a n a g e m e n t ，p o r t f o l i oi n v e s t m e n t , r i s ks p i l l o v e r 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特另t j ) j i l 以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获缛丞鲞盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：纠山讼签字日期：五矽p 年9 月罗e t 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫盗盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权基鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：主仙矽 导师签名： 了秀铡 ， 签字日期：x m 箩年9 月9 日签字日期：2 啪苫年9 月罗日 第一章绪论 第一章绪论 金融市场的发展需要金融分析技术的支持，金融分析方法的不断改进又为金 融的进一步发展提供了依据。现代金融正以一日千里的速度快速发展，对金融问 题的研究需要不断改进的适合实际需要的新的分析方法。 鉴于此，本文研究了统计学中的一种新的统计工具c o p u l a 函数，分析了 c o p u l a 函数的主要特点、建模思想和解决问题的方法，并将c o p u l a 函数理论引 入到金融时间序列的建模中，分析金融市场的相关结构问题，讨论了c o p u l a 函 数在风险管理及投资组合方面的具体应用。 本章从总体上介绍了论文选题的金融背景以及方法论背景，阐述了c o p u l a 函数理论及其在国内外金融领域应用的现状及进展情况，指出了目前存在的问 题，并给出论文选题的理论意义与实际意义。最后介绍了本文研究的结构安排与 主要创新工作。 1 1 论文选题背景与研究现状 1 1 1 研究背景 自2 0 世纪8 0 年代，随着世界各国经济的复苏，金融市场逐渐呈现出了金融自 由化、信息化、融资证券化和金融创新等特点，全球经济趋向于一体化，世界各 国经济、金融系统从最初的孤立分散系统整合为如今各子系统间存在较强耦合作 用的世界经济大系统。这既增加了各国经济之间的联系、促进经济发展，但同时 也为风险在世界范围内的传播创造了机会，加大了全球金融市场之间的相互影 响，导致了各个市场之间波动的互相传播，金融风险在不同市场之间传导、放大， 从而使得全球金融市场的波动性和风险不断加大。这就使得金融风险的防范与管 理越来越受到理论界与业务界的高度重视，从而导致风险管理、投资组合及最优 化决策等问题成为当今金融研究的热点问题。 传统的最优化投资组合的做法是基于马克维茨( m a r k o w i t z ) ( 1 9 5 2 ) 【l 】提出 的均值方差模型，该模型使得资产组合预期收益和风险定量分析进入一个新时 代。不可否认，马克维茨的组合投资理论开创了对金融风险进行定量测度与防范 的先河，是后续许多其它理论研究的基础。但是随着金融理论与实践的不断深化 和金融计量建模技术不断发展，该理论的不足之处也逐渐显现出来，突出表现在 天津大学博士学位论文 基于c o p u l a 理论的金融市场相依结构研究 以下几个方面： 第一，用多元正态分布函数来描述各金融资产间的相关结构。虽然多元正态 分布函数计算简便，然而用它描述金融资产间的相关结构却不太合理，由于用多 元正态分布函数描述各金融资产间的相关结构，将要求各金融风险资产的收益率 序列服从正态分布函数，这与金融资产收益率具有尖峰、厚尾等特性相矛盾。因 此，在放松正态分布假设下研究投资组合理论是非常有必要的，而且具有重要的 应用价值。 第二，用p e a r s o n 线性相关系数作为资产相关性的度量指标。在多元正态分布 的情况下或者在评价线性相关性的时候，采用p e a r s o n 相关系数来度量随机变量 之间的相关性是足够的，但是当涉及到非正态性行为或者非线性、非对称的相关 结构时，p e a r s o n 线性相关系数可能会导致错误的结论，而现实金融市场之间的 相关结构通常具有非线性与非对称性。另外，当金融数据样本容量很大时， p e a r s o n 线性相关系数的概率分布与统计相关性检验就失效了，故p e a r s o n 的线性 相关系数已经不能适应现代金融风险分析的需要，因此迫切需要一种能够度量金 融市场相依结构的非线性度量指标。 第三，将金融资产收益率的方差作为未来投资风险的度量工具。虽然方差风 险测度便于人们对风险的理解并且计算简便，然而它并非是令人满意的风险测度 方法。首先，它具有对称性，把收益与损失按照同样的方式处理；其次，方差不 适合描述小概率事件的风险；同时，在收益不服从正态分布或效用函数不选择二 次效用函数时，均值方差决策与期望效用方法不吻合。由于投资组合理论向非 正态分布条件下扩展，方差已不适应投资组合风险管理的要求，因此风险度量的 方法相应地也应由其它风险度量方法所取代。 在这样的背景下，目前关于组合投资理论研究主要集中在风险度量工具的选 择和金融资产相关结构的建模这两部分。虽然v a r ( v a l u ea tr i s k ) 是目前最流 行也是最常用的风险测度工具，由于其不是一致的风险测度而且不能度量超过 v a r 值的尾部风险，因此将它作为风险度量工具会低估极端事件发生时所产生的 风险【2 训。鉴于此，用一致性风险测度e s ( e x p e c t e ds h o r t f a l l ) 1 5 代替均值一方差 模型中的方差风险测度，研究均值_ e s 准则下的金融资产投资组合问题具有重 要意义。 关于金融资产相关结构建模这一问题，目前最常用的方法是利用c o p u l a 函数 来构造刻画金融资产相关结构的联合分布函数。c o p u l a 理论最早是s k l a r l 6 在 1 9 5 9 年的研究中提出的，随着边缘分布建模理论的不断发展完善，以及计算机 技术的迅猛发展，c o p u l a 理论在9 0 年代后期得了迅速发展，并应用到金融领域 【7 - l0 1 。 、 第一章绪论 c o p u l a 理论的优势主要包括如下几个方面： 首先，通过c o p u l a 函数可以构造灵活的多元分布函数。现有的大多数多元 分布函数都是一元分布函数的简单延伸而且它们通常都要求所有的边缘分布都 服从同样的分布( 如多元正态分布的所有边缘分布都服从正态分布，多元学生t 分布的所有边缘分布都服从一元学生t 分布) ，而现在我们可以将k 个任意形式 ( 如正态分布、学生t 分布、指数分布、对数正态分布等等) 的边缘分布通过任 意c o p u l a 函数连接起来，生成一个有效的多元分布函数。 其次，常用的p e a r s o n 线性相关系数是线性相关的度量指标，通常只在变量 的线性变换下才不会发生改变，而由c o p u l a 函数导出的一致性和相关性测度， 对于严格的单调增变换都不改变，因此实用性和应用范围更广。 另外，c o p u l a 理论在实际应用中有许多优点，如运用c o p u l a 函数构建金融 模型时，可以将随机变量的边缘分布和他们之间的相关结构分开来研究，其中边 缘分布的选择不受限制，而且若对变量作单调增变换，由c o p u l a 函数导出的一 致性和相关性测度的值不会改变。 因此基于c o p u l a 理论的模型更实用、更有效，而且可以广泛应用于多变量 金融时间序列分析、风险管理和投资组合等方面。 1 1 2 研究现状 ( 一) c o p u l a 函数选择及拟合度检验的研究现状 在应用c o p u l a 函数构造随机变量联合分布函数时，需要首先解决的问题是 对给定的观测数据，选择一个合适的c o p u l a 函数来描述其真实的相依结构。因 此关于c o p u l a 函数的选择及拟合度检验的问题一直是统计研究领域及应用领域 所关心的热点问题。近年来国外专门讨论c o p u l a 函数选择以及拟合度检验的文 章很多，而且也取得了许多有意义的成果。最常用的c o p u l a 函数选择方法是基 于似然函数的方法，如判断模型优劣的a i c 准则【1 l 】以及c h e n 和f a n ( 2 0 0 5 ) 2 j 提出的利用伪似然比检验来选择半参数的多变量c o p u l a 函数模型。目前研究 c o p u l a 函数选择及检验问题的研究，大多围绕以下两大主题： 第一，通过与已知给定的模型求最小k o i m o g o r o v s m i m o v 距离或 a n d e r s o n d a r l i n g 距离。如g e n e s t 和r i v e s t ( 19 9 3 ) 删提出应用如( f ) 及其非参 数估计k 。( f )的最小距离确定最优c o p u l a 函数，其中心( f ) ：p ( c ( 甜，vp ) m 叫是多元a r c h i m e d e 卸c o p u l a 函数c 如，- 。) 的生成无，对于非 零常数口，o 矿也是a r c h i m e d e a n c o p u l a 函数c ( u ，“j ) 的生成元。 由定义2 4 知，a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数由其生成元唯一确定，常用的 a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数有c l a y t o nc o p u l a 、f r a n kc o p u l a 和g u m b e lc o p u l a 。 c l a y t o n c o p u l a 函数如果生成元( ，) = t 一一i ，0 0 ，则面。( ，) = ( 1 + 旷归， 将其代入( 2 一1 2 ) 式即可得到c l a y t o nc o p u l a 函数的形式 c “( “f ，”j ) = ( 町9 + t + “? - d + 1 ) 一1 ” ( 2 1 3 ) 当d = 2 时。c l a y t o nc o p u l a 的密度函数如f ： c “( l ，n 2 ，目) = ( 1 + 回( “l “：) 州( 矿+ “尹一1 ) _ 廿 ( 2 1 4 ) 图2 - 3 是不同参数对应的c l a y t o n c o p u l a 密度函数图。 ；u簿2。e o ，o 。u e l ，赣， ：t ，黔：| 纛 ( a j0 ；1( b ) 0 = 2( c ) 0 = 3 图2 - 3 c l a y t o n c o p u l a 函数密度函数圈 f r a n k c o p u l a 函教如果生成元纯( ，) = 一l n 等，口r 0 j ，则 西1 p ) = 一去j n 】一( 1 一# 坩) p 。】，将其代a ( 2 1 2 ) 式即可得到f r a u k c o p u l a 函数豹 形式： c “( “，“。：口) = 一i 1m ( 1 + i ! ! ! i ! ；：! ；：业) ( z ，s ) 当d = 2 时，图2 - 4 是不同参数下f r a n k c o p u l a 的密度函数图。 第二章c o p u l a 理论概述 黉 | ；| 攀l ，嚣i ，；| 逡j ， u 2 0 5 。- 。 0 5 。, 6 w 0 5 。5 u 1 6 u 2 05 。，0 0 4 ， ( a ) 口= l( b ) 目= 2 2 2 3 极值c o p u l a 函数 图2 一sg u m b e lc o p u l a 函数密度函数图 另一类重要c o p u l a 荫数是与极值分布函数对麻的极值c o p u l a 函数。假设 x = ( x 硝) 如是来自具有边缘分布函数一( ) ，e ( ) ，c ( ) 的联台分布函数 f ( x 。屯) 的一个独立同分靠样本，d 3 s k l a r 定理知存在c o p u l a l 蟊数c ( ) 使得 f ( o ) = c ( ( ( x ) ，e ( x d ) ) 。 令m 。- m a x # “，一“，f7 ，i = 】，d ，设，。( ，_ ) 是随机向量 ( m 。，一m ) 的联台分布函数，则 天津大学博士学位论文 基于c o p u l a 理论的金融市场相依结构研究 死( 葺，乃) = p ( m x , 一， 气勤) = f 。( x l ，x d ) ( 2 1 7 ) = c 1 ( 曩( 而) ，乃( 劫) ) f t ：is k l a r 定理知，存在c o p u l a 函数，使得 ( 而，) = ( 石。( 而) ，巧( 勤) ) ( 2 - 1 8 ) 因此有 c 0 ( e 7 ( 五) ，巧( 勤) ) = c ( e ( j c l ) ，乃( 吻) ) ( 2 - 1 9 ) 若( ，) = c ( ，) ，则称c o p u l a 函数c ( ，) 具有极大稳定性 ( m a x - s t a b l e ) ，同时称具有极大稳定性的c o p u l a i 函数为极值c o p u l a 函数。根据j o e ( 1 9 9 7 ) 7 2 】的定义，称具有如下形式的c o p u l a 函数为极值c o p u l a i 函数： c ( “l ，“d ) = c ( “：，“：) ，v t o ，u ，【o ，1 】，f = 1 ，d ( 2 - 2 0 ) 显然d 元的g u m b e lc o p u l a 函数是极值c o p u l a i 函数，由于其满足( 2 2 0 ) 式，即 ( c 瓯( “l ，扰d ；秒) ) = e x p - t ( - i n u l ) 9 + + ( 一i n u d ) 护 乃) = e x p - ( 一t i n u i ) 8 + + ( 一t i n u d ) 8 】力 = e x p - ( - l n u ! ：) 口+ + ( 一l n 甜：) 口】夕台) = c 咖( ”：，“：；口) 当d = 2 时，二元极值c o p u l a 函l 数可表示为： c ( u l ，“2 ) = e x p ( 1 n u l + l n “2 ) 爿( - 牟) ) ( 2 2 1 ) i n “1 十i n u 2 其中二元相依函数a ( w ) 满足如下两个条件： ( i ) m a x ( w ，l w ) 么( w ) 1 ，0 w l5 ( i i ) 4 ( w ) 是凸函数。 常用的二元极值c o p u l a 函数有g u m b e lc o p u l a 函数、非对称g u m b e lc o p u l a 函数、g a l a m b o sc o p u l a 以及非对称的g a l a m b o sc o p u l a 等。 g u m b e lc o p u l a 函数 g u m b e lc o p u l a 函数前面作为a r c h i m e d e a nc o p u l a 函数己介绍过，它同时也 是一个极值c o p u l a 函数，其对应的相依函数为： a ( w ) = ( w 8 + ( 1 一w ) 9 ) i 9 ，口 1 ，) ( 2 2 2 ) 非对称g u m b e lc o p u l a 函数 非对称g u m b e lc o p u l a 函数是g u m b e lc o p u l a 函数的一般化，其对应的相依 函数为： a ( w ) = ( 1 - a ) w + ( 1 - 历( 1 一w ) + ( ( 口w ) 9 + ( 觑l w ) ) 9 ) l 口，0 口，p l ( 2 2 3 ) 因此非对称g u m b e lc o p u l a 函数具有如下形式： c ，g u 。，声( “l ，“2 ) = 甜? 叫甜2 l - , a e x p ( - ( - a i n u l ) 汐+ ( - i n “2 ) 一】归，口芝l ( 2 2 4 ) 图2 - 6 是不同参数下非对称g u m b e lc o p u l a 的密度函数图。 第二章c o p u l a 理论概述 6 4 2 ， 0 1 u 2 0 5 。ju 舻。，。+ 。i ， u 2 05 。7 。a ( a ) o - = 01 卢= 1 目= i5 ( b ) a = 0 5 卢= 0 5 ，0 = 15( c ) “= 0 , 5 卢= 0 5 ，0 = 3 图2 - 6 非对称g n m b e l c o p u l a 函数密度函数图 g a l a m b o sc o p u l a 函数 g a l a m b o sc o p u l a 函数是比较常用的极值c o p u l a l 霜数，其对应的相依函数为： 一( w ) = i 一 一十( 1 一w ) “】一”，目 0 因此g a l a m b o sc o p u l a 函数具有如下形式： c ( q 心) = 蝎如。x p ( i n q ) 4 + ( 一i n “2 ) 坩】“8 ，口 0 图2 7 是不同参数下g a l a m b o sc o p u l a 的密度函数图。 i + ：，一怒 、 f 遘 u 、i 7 j 参 ( a ) 0 = lb ) 自= 2( c ) 目= 3 ( 2 - 2 5 ) ( 2 2 6 ) 图2 - 7 g a l a m b o s c o p u l a s 数密度函数图 非对称的g a l a m b o sc o p u l a 非对称g a l a m b o sc o p u l a 函数是g a l a m b o sc o p u l a 函数的般化，其对应的 相依函数为： 一f 一) = l 一 ( 口呐一+ f 1 0 一r 一”，目 o ，0 口卢i ( 2 2 7 ) 因此非对称g a l a m b o sc o p u l a 函数具有如下形式： 瞄如( “1 ，虬) = u i “2e 。p 【( 一口i n “1 ) 1 + ( 一, a i n u 2 ) 4 】叫9 ，0 0 ( 2 2 8 ) 图2 8 是不同参数下非对称g a l a m b o sc o p u l a 的密度函数图。 滋糖逡j 藩一 。漆孙 大津大学博t 学位论文基于c o p u l a 理论的金融市场相依结构研究 ( a ) 口= 01 ，卢= 1 ，0 = 15 ( b ) d = 0 5 ，卢= 05 0 = 15 ( c ) 口= 0 5 卢= 0 5 ，o = 3 圈2 - 8 非对称g a l a m b c o p r a 函教密度函数图 2 2 4 非参数型c o p u l a 函数 经验c o p u l a 函数令x = “，硝) 如为随机向量x = ( 置，以) 一个样 本，经验c o p u l a 函数的分布函数定义如下： e ( 争，等) = 妻1 ( x f “s z “，”s 牡t j ) 一i t s 日山( 2 - z 。) 其中华表示顺序统计量，i z ，2 ，一，d 且l 一，0s t ，l 为示性函数。 经验c o p u l a 函数的频率函数为 畔，争引嚣，澎。k 。 沼训 其中经验c o p u l a 函数的分布函数及其频率函数的关系如下： e c 争争一争 薹畔，争书( 2 - 3 1 ) 核c o p u l a 函数令j = ( 硝) 如为随机向量x = ( x r 以) 一个样本 如果随机向量x 的联台分布函数的密度函数可由如下的核密度函数给出 旭，川：士杰竹k ( 兰) 3 2 ) r f h 。7 5 1 7 一。 其中“表示随机变量置，f = 1 ，d 对应的核光滑系数，世( ) 表示核函数；那么 该随机向量x = ( 工，x 。) 的联台分布函数为： 吣x ，、= o 沁，s 。出：，t 2 3 3 ) 若随机变量置，i = l ，d 的分布函数为： 铅班击；r ( 竺坶一k ，“ ( 2 - 川 鎏一 一德缝攀。一文吼 、，、一囊銎，一 ， ， 一、02 一黪糕 第二章c o p u l a 理论概述 则由命题2 2 可得与户( ) 对应的核c o p u l a 函数为 e ( ，) = 户( 毛1 ( ) ，。- 。i ( ) ( 2 3 5 ) 2 3c o p u l a 函数的参数估计方法及选择原理 2 3 1c o p u l a 函数的参数估计方法 若描述金融资产间相依结构的真实c o p u l a 函数属于参数c o p u l a 函数族 e = q ，0 踢，则对参数0 的估计方法通常分为两类：完全参数估计法和半参 数估计法。 完全参数估计法设x = ( 置，咒) 为d 元随机向量，矗( 五，磊) ， 民( x 2 ，岛) ，氏( 吻，磊) 分别为随机变量五，k 的边缘分布函数，则由s k l a r 定理知，随机向量x 的联合分布函数为： f “，勤；磊，屯；印= c ( 毛“，点) ，日。( 硝，以) ；d ( 2 - 3 6 ) 若边缘分布函数最( 薯，点) ，i = l ，d 的密度函数厶( t ，谚) ，i = l ，d 存在，且 c o p u l a 函数c 的密度函数为c ，则随机向量x 的联合密度函数为： d ，( _ ，劫；磊，磊；口) = c ( 曩。( x l ，瓯) ，( 乃，8 a ；o ) 兀矗( ，毒) ( 2 - 3 7 ) i = 1 那么参数( 4 ，以；口) 基于样本x = ( ，硝) ：，的对数似然函数为： rrd ( 磊，磊；p ) = i n c ( f x , ( 墨，4 ) ，氏( ，国) ；秒) + i n 厶( “，巧) ( 2 3 8 ) t = lt = l ，= l 根据参数估计方法的步骤，完全参数估计法可以分为精确极大似然估计法 ( e x a c tm a x i m u ml i k e l i h o o dm e t h o d ，简记e m l ) 和边际分布推断法( i n f e r e n c e f u n c t i o nf o rm a r g i n sm e t h o d ，简记i f m ) 。 精确极大似然估计法的估计原理是边缘分布函数的参数巧，i = 1 ，d 和 c o p u l a 函数的参数口在一个似然函数中同时估计，即 = ( 4 ，皖；秒) = a r g m a x l ( 4 ，磊；秒) ( 2 3 9 ) d u r r l e m a n 证明估计量6 是一致有效且渐近服从正态分布的估计量 7 3 - 7 5 1 ，即 r ( 6 一o o ) 专n ( 0 ，厂1 ( 。) ) ，其中i ( 0 0 ) 为f i s h e r 信息矩阵。 边际分布推断法的估计原理是将边缘分布函数的参数和c o p u l a 函数的参数 分两步进行估计，通常也称作两阶段估计法。 天津大学博士学位论文 基于c o p u l a 理论的金融市场相依结构研究 第一步：建立基于样本x = ( 崭，硝) ) ：。的各边缘分布函数的对数似然函 数并利用极大似然估计法求出相应的参数，即 厶( 点) = l n 厶( “，4 ) ，i - 1 9 oo ，d ( 2 4 0 ) t = l 则参= a r g m a x l , ( 8 , ) ，i = 1 ，d 。 第二步：将第一步估计出的参数( 4 ，杰) 代入三( 磊，岛；口) 得到 三( 五，杰；秒) = l n c ( ( 墨，a ) ，( 巧，杰) ；口) + 矗( z ，毒) ( 2 4 1 ) t = lt = li = l 贝0 台= a r g m a x l ( 彦l ，杰；口) 。 这样可以得到整个参数估计向量6 删= ( 蠢，杰；多) 。j 0 e 和x u ( 1 9 9 6 ) 证 明两阶段法估计量 脚是一致有效且渐近服从正态分布的估计量，即 歹( 6 删一 。) - - n ( 0 ，v 一1 ( o ) ) ，其中v ( o 。) 是g o d a m b e 信息矩阵【7 5 ，7 6 1 。 半参数估计法设x = ( x l ，托) 为d 元随机向量，那么x 基于样本 x = ( 墨，巧) ) ：，的联合经验分布函数为： ( 2 4 2 ) 则随机变量z ，i = 1 7 - o7 d 对应的经验分布函数为： & ( 薯) = 亭1 ) ，江1 ，d ( 2 4 3 ) 其中1 ) 为示性函数。 基于经验分布函数的标准极大似然估计法( c a n o n i c a lm a x i m u ml i k e l i h o o d m e t h o d ，简记c m l ) 的估计原理是假设随机变量的各边缘分布函数服从经验分 布函数( 2 4 3 ) ，因此其对应的对数似然函数为： 三( 秒) - - e l n c ( j r