材料力学 第10章 能量法ppt课件.ppt

第3章能量方法,31概述,1.能量法：,利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可变形固体的位移、变形和内力等的方法。,2.能量法的应用范围：,（1）线弹性体；非线性弹性体,（2）静定问题；超静定问题,（3）是有限单元法的重要基础,（一）、轴向拉伸或压缩,1、应变能,（1）轴力沿轴线不变,一、杆件应变能的计算,32应变能余能,（2）轴力沿轴线变化,2、应变能密度,（二）、扭转,1、应变能,（1）扭矩沿轴线不变,（2）扭矩沿轴线变化,2、纯剪切应力状态下的应变能密度,（三）、弯曲,（1）纯弯曲,（2）横力弯曲,微段dx,整个梁,（四）、组合变形下的应变能,(五)非线性弹性体的应变能表达式,对图(a)的拉杆,F在d上所作微功为dW=Fd,F作的总功为：,（F-曲线与横坐标轴间的面积）,由能量守恒得应变能：,类似，可得其余变形下的应变能：,(此为由外力功计算应变能的表达式）,应变能密度:,(-曲线与横坐标轴间的面积）,若取边长分别为dx、dy、dz的单元体，则此单元体的应变能为：,整个杆的应变能为：,(此为由应变能密度计算应变能的表达式),应变能的计算方法,（1）已知,对于线弹性问题,（2）已知,对于线弹性问题,(3)已知内力函数求应变能(线弹性问题),(4)已知位移函数求应变能,例弯曲刚度为EI的简支梁受均布荷载q作用，如图所示。试求梁内的应变能。,解：梁的挠曲线方程为：,荷载所作外力功为：,得：,例如图杆系受F作用，求应变能。,A,B,F,解：,或：,（几何非线性弹性问题）,其F-间的非线性关系曲线为：,应变能为：,二、余能,设图a为非线性弹性材料所制成的拉杆，拉杆的F-曲线如图b。,“余功Wc”定义为：,与余功相应的能称为余能Vc，余功Wc与余能Vc在数值上相等。,（F-曲线与纵坐标轴间的面积）,即：,也可由余能密度vc计算余能Vc：,余能密度vc为：,（图c中-与纵坐标轴间的面积）,对线弹性材料，余能和应变能仅在数值上相等，其概念和计算方法却截然不同。,注意：,对非线性材料，则余能Vc与应变能V在数值上不一定相等。,余功、余能、余能密度都没有具体的物理概念，仅是具有功和能的量纲而已。,例试计算图a所示结构在荷载F1作用下的余能Vc。结构中两杆的长度均为l，横截面面积均为A。材料在单轴拉伸时的应力一应变曲线如图b所示。,解：,两杆轴力均为：,33卡氏定理,1.卡氏第一定理,设图中材料为非线性弹性,应变能只与最后荷载有关，与加载顺序无关。按比例方式加载,假设与第i个荷载相应的位移有一微小增量di,则应变能的变化为：,（卡氏第一定理）,外力功的变化为：,注意：,卡氏第一定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体。,式中Fi及i分别为广义力、广义位移。,必须将V写成给定位移的函数，才可求其变化率。,卡氏第一定理,例平面桁架，受集中力F，如图a所示。两杆的材料相同，弹性模量为E，面积均为A，且均处于线弹性范围内。试按卡氏第一定理，求结点B的水平和铅垂位移。,解：,设结点B的水平和铅垂位移分别为1和2，,先假设结点B只发生水平位移1（图b）,则：,同理，结点B只发生铅垂位移2（图c）,当水平位移与铅垂位移同时发生时，则有（叠加）,应用卡氏第一定理得,解得：,桁架的应变能为,2.卡氏第二定理,设有非线性弹性的梁，,梁内的余能为：,假设第i个荷载Fi有一微小增量dFi，外力总余功的相应改变量为：,余能的相应改变量为：,（余能定理）,特别：对线弹性体,（卡氏第二定理）,注意：,卡氏第一定理和余能定理既适合于线弹性体，也适合于非线性弹性体，而卡氏第二定理，仅适合于线弹性体。,所导出的位移是加力点沿加力方向的位移。,当所求位移处无相应广义力时，可在该处“虚加”上广义力，将其看成已知外力，反映在反力和内力方程中，待求过偏导后，再令该“虚加”外力为0。,实际计算时，常采用以下更实用的形式：,例图示桁架结构。已知：F=35kN,d1=12mm,d2=15mm,E=210Gpa。求A点垂直位移。,例弯曲刚度为EI的悬臂梁,如图所示,材料为线弹性。试用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端的挠度。,解：,在自由端“虚加”外力F,例图示弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集中力F作用。环的材料为线弹性的，不计圆环内剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移和相对转角。,解：,1、张开位移,2、相对转角：,Mf,Mf,例不计轴力和剪力影响，计算图示钢架A点垂直位移y及转角A,1.计算A点垂直位移y,解：,2.计算B截面转角A,在A处施加力矩M0,Mo,（“-”表示A与M0转向相反）,例轴线为半圆形的平面曲杆，作用于A端的集中力P垂直于轴线所在的平面。试求A点的垂直位移。已知GIp、EI为常量。,解：,F,R,A,1、应变能余能,应变能,余能,2、卡氏定理,卡氏第一定理,卡氏第二定理,回顾,卡氏第二定理的实用形式,桁架结构,梁与刚架结构,34用能量法解超静定系统,（3）求力-位移关系：应用能量原理（余能原理、卡氏第二定理）计算基本静定系分别在荷载和多余未知力作用下的位移；,（2）建立变形协调条件；,用能量法解超静定系统的步骤：,（4）求解多余未知力：将力-位移间物理关系，代入变形协调条件，得补充方程。由补充方程解出多余未知力。,（1）选取基本静定系；,（5）进行其他计算。,例作图示梁的弯矩图，EI为常数。,解：,（1）选基本静定系,（2）变形协调条件,（3）求力-位移关系,FB,l,例由同一非线性弹性材料制成的1、2、3杆，如图a所示。已知三杆的横截面面积均为A，材料的应力-应变关系为=K1/n，且n1；并知1、2两杆的杆长为l。试计算各杆的内力。,解：,（1）选基本静定系统如图b。,（2）变形协调条件:D=0,（3）求力-位移关系:用余能原理,由图b的平衡得各杆轴力：,余能密度为：,总余能为,（4）求解未知力,例试作图示结构的弯矩图。,解：,q,例试作图示结构的弯矩图。,（1）基本静定系；,（2）变形条件：Bx