（工商管理专业论文）基于稳定分布的投资组合研究.pdf

中文摘要 组合投资( p o r t f o l i os e l e c t i o n ) 是当前机构投资者在资本市场上的主流投资 策略，对投资组合的研究有着重要的理论和实践意义。 本文首先介绍了传统的投资组合理论的基本概念、分散化原则、i v l a r k o w t z 均值方差模型，并讨论了传统的投资组合理论的局限性，尤其模型中证券收 益率服从正态分布的假设。经过大量的实证研究表明，证券收益率有着“高峰厚 尾”的特性，稳定分布能较好地拟合证券收益率的分布。其次，讨论了稳定分布 的表达形式和有关性质，详细介绍了决定稳定分布形式和性质的稳定性指数瑾、 偏度参数、尺度参数盯、位置参数，给出了稳定分布参数的估计方法。在收 益率服从稳定分布的前提下，建立概率准则的投资组合模型，由于稳定分布没有 确定的解析表达式，本文还给出了一种基于遗传算法的随机模拟求解方法。最后， 进行了实证分析，选取了上海股市的5 只股票的数据，给出了它们的稳定分布的 参数估计，在概率准则模型下，用本文设计的求解方法求得了投资组合的最优解。 关键词：投资组合稳定分布概率准则随机模拟遗传算法 a b s t r a c t p o r t f o l i os e l e c t i o ni s c u r r e n t l yt h em a i ni n v e s t m e n ts t r a t e g yo f t h ei n v e s t m e n t i n s t i t u t i o n sa n dt h er e s e a r c ho nt h i si s s u eh a si m p o r t a n tt h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a l p u r p o s e t h i st h e s i sf i r s t l yi n t r o d u c e st h ec l a s s i c a lp o r t f o l i os e l e c t i o nt h e o r y i n c l u d i n g b a s i cc o n c e p t s ，d i v e r s i f i c a t i o nr u l e ，m a r k o w i t z s p o r t f o l i o m o d e l a n dt h e nt h e l i m i t a t i o n so ft h ec l a s s i c a l p o r t f o l i ot h e o r y a r e d i s c u s s e d ，e s p e c i a l l y a b o u tt h e h y p o t h e s i so ft h en o r m a ld i s t r i b u t i o no ft h es e c u r i t yr e t u r n t h r o u g ht h ee m p i r i c a l r e s e a r c h 。i ti si n d i c a t e dt h a tt h es e c u r i t yr e t u r nh a st h ec h a r a c t e r i s t i co f h i g h - k u r t o s i s a n d h e a v y - t a i l e da n d t h es t a b l ed i s t r i b u t i o ni sa b l et of i tt h ed i s t r i b u t i o no f t h e s e c u r i t y r e t u r n s e c o n d l y ，t h et h e s i sd e s c r i b e st h ee x p r e s s i o nf o r ma n dp r o p e r t yo ft h es t a b l e d i s t r i b u t i o n ，a n dd i s c u s s e dt h es t a b i l i t yp a r a m e t e r a ，s k e w n e s sp a r a m e t e r j ，s c a l e p a r a m e t e r t y a n dl o c a t i o np a r a m e t e r i nd e t a i l b a s e d0 1 1t h ep r e m i s et h a tt h e r e t u n li s s u b j e c t t os t a b l e d i s t r i b u t i o n , t h ep o r t f o l i oi n v e s t m e n tm o d e lw i t ht h e p r o b a b i l i t yc r i t e r i o ni sp r e s e n t e d b e c a u s eo f t h es t a b l ed i s t r i b u t i o nh a sn od e f i n i t i v e a n a l y t i ce x p r e s s i o n , as t o c h a s t i cs i m u l a t i o nb a s e dg e n e t i ca l g o r i t h mi sa p p l i e dt os o l v e t h ep o r t f o l i oi n v e s t m e n tu n d e rt h es t a b l ed i s t r i b u t i o n a tl a s t w ec a r r i e do u ta n e m p i r i c a ls t u d y n l e f i v el i s t e d c o m p a n i e si ns h a n g h a is e c u r i t ye x c h a n g e sa r e c h o o s e n 。a n dt h e i rs t a b l ed i s t r i b u t i o np a r a m e t e ra r ee s t i m a t e d w i 廿lt h ep r o b a b i l i t y c r i t e r i o nm o d e l ，t h eo p t i m a ls o l u t i o ni sc a l c u l a t e d k e yw o r d s ：p o r t f o l i os e l e c t i o n ，s t a b l e d i s t r i b u t i o n ，p r o b a b i l i t yc r i t e r i o n , s t o c h a s t i cs i m u l a t i o n ，g e n e t i ca l g o r i t h m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘壅盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：豸嘭扩签字日期：w 口弓年，2 月；j 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫盗盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘壅盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：哒t 旷 签字日期：五喝年i2 _ 月；1 日 ：矽 签字日期：伊够年，z 月夕日 墨星查堂堡主兰垡竺苎 笙二兰竺笙 1 1 论文的研究背景 第一章绪论 1 9 9 0 年1 2 月，上海，深圳两个证券交易所相继成立，标志着新中国证券市 场的诞生，使我国证券市场进入了一个全新的发展阶段。在历尽1 0 多年的发展 中，尽管不乏曲折和坎坷，但仍然取得了举世瞩目的重大成就。 首先，证券发行规模逐年扩大，品种结构日趋合理。截止到2 0 0 3 年8 月底， 境内外上市公司已达1 2 6 8 家，累计筹集资金9 3 6 3 。7 1 亿元，流通市值达1 3 0 6 3 。2 4 亿元，总市值达4 0 3 0 5 6 8 亿元，相当于g d p 的4 5 。发行的证券品种已有股票 ( a 股，b 股) 、基金、国债、企业债券、可转换债等。 其次。机构投资者的队伍逐渐壮大。我国证券市场发展初期，市场的投资主 体是个人投资者。个人投资者的资金有限，通常买卖频率较高，追涨杀跌，多为 跟风行为，没有固定的投资理念和策略。2 0 0 0 年初，中国证监会提出超常规发 展机构投资者的政策。至2 0 0 2 年底，证券公司的数量达1 2 4 家，营业部达2 8 0 0 家，注册资本突破1 0 0 0 亿元：基金管理公司近3 0 家，己发行的封闭式和开放式 证券投资基金达6 0 多只，规模达i 0 0 0 多亿元。机构投资者成为证券市场的主体 也是我国证券市场逐步走向成熟的标志。 随着我国证券市场的发展，证券市场在金融市场体系乃至社会经济中的地位 日渐提高。证券市场的筹资、调节经济、资本配置、确定资本价格、综合反映经 济状况、引导资金流向等功能逐步显现出来，对社会经济增长与发展起到了重要 的作用。 然而，证券市场特有的风险性也同时对金融市场的安全以及经济稳健运行有 潜在的威胁。防范和控制证券市场风险，是监管机构和投资者的共同目标。监管 机构建立相关的法律、法规，并使之有效的执行，保护投资者的合法权益，维持 证券市场的公平而有秩序，减少人为增加的市场风险因素。而投资者则应选择理 性的投资策略，尽可能的增加收益，减少风险。现代投资理论的发展对投资者的 投资行为有重要的理论和实践指导意义，国外的学者对此进行了大量的研究，获 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 得了重要的成果。 1 9 5 2 年3 月哈里马柯维茨( m a r k o w i t z ) 在金融杂志上发表的论文“资 产组合的选择”，即是现代投资组合理论产生的标志。m a r k o w i t z 首开先河，对 风险问题进行了明确地描述，说明分散投资降低风险的缘由，并提出投资组合选 择的均值方差模型。它标志着现代投资组合理论的开端。此后，夏普( s h a r p e ) 的“单因素模型”、“多因素模型”和夏普的资产定价模型( c a p m ) 以及罗斯的 套利定价模型( a p t ) ，又进一步扩充了该方法在实践运用中的理论基础。经济 学家们利用数量化方法不断丰富和完善组合管理和实际投资管理方法，并使之成 为投资学中的主流理论之一。 1 2 投资组合研究的现状和缺陷 马柯维茨是现代投资组合理论之父。他在这方面开创性的著作和论文，有史 以来第一次清晰地勾画出现代投资组合理论的框架。他书中的真知灼见和建议为 这个领域的后续发展奠定了基础。马柯维茨把投资组合问题描述成对资产组合的 均值和方差选择模型。他证明了均值方差组合理论的基本定理，也就是保持 方差不变，使预期收益最大，或者是保持一定的预期收益，使方差最小。由这两 条基本原则可导出有效边界，而投资者可以从有效边界上根据自己的风险偏好分 别选择他们资产组合。他理论中更重要的结论在于资产选择不能只考虑单个证券 的特性，还要研究单个证券与其他证券的联动。考虑到这种联动的作用，就可以 构造一个比那些忽略证券互动有较小风险的组合，但收益率相同 只考虑投资组合收益的均值和方差相对来说是一种简单的模型。研究其他的 高阶或低阶矩更能完备地描述投资组合收益的分布。研究人员( l e e ，1 9 7 7 k r a u s 和l i l z e n b e r g e ，1 9 7 6 ) 引入偏度( s k e w n e s s ) 来描述收益的分布。其他学者( f a m a ， 1 9 6 5 ；e r o n 和g r u b e r ，1 9 7 4 ) 采用了精确的方法描述更接近于现实的收益分布。 然而，尽管出现了这些替代的方法，均值方差模型仍然是现代投资组合理论 的基石。马柯维茨的投资组合理论被夏酱( 1 9 6 6 ) 、林特纳( l i t n e r , 1 9 6 5 ) 和莫 辛( m o s s i n ，1 9 6 6 ) 在资本资产定价模型( c a p m ) 中加以扩展。资本资产定价 模型建立了一个以一般均衡框架中理性预期为基础的投资行为模型。尤其是，投 资者有着同质的收益率预期即他们以相同的方式解读信息。资本资产定价模 天津大学硕士学位论文第一章绪论 型是一个引人注目的进展，由三个人独立完成。 实际上，最早使用统计方法分析收益率的著作是在1 9 0 0 年由巴舍利耶 ( b a c h e l i e r ) 发表的，他把分析赌博的方法应用于股票、债券、期货和期权，由 此经济学家建立了股票价格的时间序列模型。巴舍利耶的论文是一项具有远见的 开拓性工作，远远超前于他的时代，其贡献中的一项就是认识到随机游走过程( 后 来为维纳所形式化) 是布郎运动。1 0 年以后，爱因斯坦重新发现了这一关系。 巴舍利耶提供了最早的期权回报图，他也为跨式期权和其他一些有关期权的 策略提供了图解。但对他的分析工作起着关键作用的假定：市场收益率是独立同 分布( d ) 随机变量的论点，却很少得到经验证据的支持。 奥斯本( o s b o r n e ) 在他的有关布郎运动的论文中将股票价格遵循随机游走 的主张形式化，他收集了随机游走理论背后的各种概念，这些概念最终使概率微 积分的使用正当化。实质上，这一学者群体知道统计分析提供了一整套建立模型 和分析的工具。然而，工具是为其背后的假定所限制的。其中最重要的局限就是， 研究的对象必须是一个l i d 随机变量，因为股票市场和其他资本市场是大系统， 其自由度( 或投资者) 的数目很大，当下的价格必须反映每个人已有的信息。价 格的变化只能来自没有预期到的新信息。 法马( f a m a ) 最终把这些观测形式化成有效市场假说( e 瑚) ，它宣称市场 是一个鞅，或公平博弈；这就是，信息不能被用来在市场上获利。 将e m h 与c a p m 结合起来，并作了一些修改，这就是现代资产组合理论， 或m p t 。e m h 补强了m p t ，投资界接受了方差和标准差作为风险的度量。资本 市场理论的早期创立者仍旧是很清楚这些假定及其局限性的。萨缪尔森 ( s a m u e l s o n ) 、夏普和法马( 还有其他人) 都发表过文章为非正态分布修改m p t 。 在夏普、法马发表他们的著作时，收益率的非正态分布性的证据是强有力的，两 本书都包括了有关标准的资产组合理论所需修改的部分，以对稳定帕雷托分布 ( s t a b l ep a r e t i a nd i s t r i b u f i o n ) 做出解释。 此外，正态分布及其对于模型独立性的高斯假定，使用起来都很方便。随着 e m h 获得越来越广泛的接受并越来越少被质疑，计量经济学在资本市场的应用 也变的更复杂了。主要的进展包括布莱克和斯科尔斯( b l a c ka n ds c h o l e s ) 的期 权定价模型( o p t i o np r i c i n gm o d e l ) 和罗斯( r o s s ) 的套利定价理论( a r b i t r a g e 天津大学硕士学位论文 第一章绪论 p r i c i n gt h e o r y ，a p t ) 。a p t 是一个比c a p m 更为广义的定价理论，它认为价格 变化来自各个因素的没有预期到的变化，因此，a p t 可以处理非线性关系。 整个5 0 年代和6 0 年代，人们懂得正态性假定的影响。非正态的收益率分布 一直被认为是可能的。然而，在7 0 年代，特别是在8 0 年代，e m h 一般被作为 事实讲授。但任何时候都应该保持的一种健康的怀疑主义。 股票市场具有复杂的非线性动力系统的特征，既受确定性规律支配，同时又 表现出某种随机现象，具有时变性，随机性和模糊性的特点。用帕雷托稳定分布 对金融数据建模的思想来自m a n d e l b r o t 的开创性的研究工作，必须承认：自从 巴舍利耶( b a e h e l i e r ) 的开创性工作以来，在投机价格理论方面m a n d e l b r o t 的假 设毫无疑问是最具有革命性的发展。m a n d e l b r o t 认为实际记录与在传统的扩 散物理中所发现的是不一致的，价格记录被巨大的不连续变化所打断，这些变化 倾向于积聚在一起，违背了高斯分布所要求的平滑趋势。正如他后来所写，连 续性假设的唯一依据是许多科学研究有意或无意地倾向于模仿那些在牛顿物理 学中被证明是成功的方法，但是价格是不同的：两种结构不含可比性。当价 格记录逐渐变长时，均方差看起来并不稳定。更进一步，m a n d e l b r o t 认为无论时 标是以星期，月为单位，还是以年为单位，时间序列的几何形状均保持不变。他 发现相对于正态分布而言，无条件收益率分布在均值处峰部要比正态分布所预测 的要高，而且尾部比正态分布所预测的要厚，既所谓的尖峰厚尾现象。后来法马 在他的博士论文中支持这一思想。m a n d e l b r o t 的稳定分布在经济学家那里并没有 得到最热烈的支持，若说有这种支持的话，它是最近才被一些计量经济学家和经 验学家重新给予关注。由于种种原因，对于列维稳定分布的经验普适性问题现在 比7 0 年代有更多的争论。 稳定分布由列维于二十年代提出，它是中心极限定理的更一般的形式。广义 中心极限定理表明，对大量的独立同分布随机变量的和进行适当的标准化处理 后，如果极限分布存在，则此分布一定属于稳态分布族，因此当残差项被假定为 所有不能由模型所反映的外界干扰的和时，稳定帕雷托分布的这一性质就是必须 的。稳定分布族具有卷积不变性，正态分布是稳定帕雷托分布的特例。稳定帕雷 托分布允许厚尾性以及非对称性，和其他允许厚尾的分布，如t 分布，混合正态 分布，双边威布尔分布相比，帕雷托稳定分布能够很好地处理具有厚尾与倾斜现 天津大学硕士学位论文第一章绪论 象，由于许多大型数据集具有厚尾、狭峰的特征，用稳态分布去逼近较理想 ( n o l a n ，1 9 9 9 ) 。当稳定性指数介于i 和2 之间时，除一阶矩外，稳定分布的其 他矩均为无穷，当稳定性指数介于0 和i 之间时，稳定分布的一阶矩也为无穷， 另外，除个别特殊分布外，其他稳定分布不可能写出闭型解析密度函数。 由e n g l e 引入的自回归条件异方差( a r c h ) 模型以及由b o l l e r s l e v 推广的 广义a r c h ( g a r c h ) 模型能够反映金融资产时间序列的两个重要特征：波动 集聚性或者条件异方差性以及尖峰或者厚尾性，也就是，无条件分布的尾部比正 态分布所预测的要厚。无条件分布的厚尾性和g a r c h 现象并非无关，d i e b o l d 指出由正态分布新息导致的g a r c h 过程可以产生具有厚尾的无条件分布的时 间序列；d ev f i e s 以及g r o e n e n d u k 等表明一定的g a r c h 过程能够产生无条件稳 定帕雷托分布。厚尾并不仅仅是股票市场特有的现象，其它金融时间序列也表现 出同样的特性( pe _ t e r s ) 。这些厚尾分布常常显示出由非线性随机过程所产生的一 种具有长期记忆系统的迹象，对于具有这种状态持续特性的时间序列来说，传统 的c a p m 、a p t 等模型将不再适用。 p e t e r s ，m a n t e g n a 和s t a a l e y 等论述了美国股票市场股票收益具有稳态特性。 m u c u l l o c h 把c a p m 推广到最一般的多变量稳态情形，并详细论述了稳态分布 在金融领域中的应用。h a r t 讨论了韩国金融市场的稳定分布以及v a r ，徐龙炳和 陆蓉的研究表明，中国股票市场波动呈现非线性，具有状态持续性特征。h u r s t 等讨论了对数稳定分布下的期权定价公式，m i r n i k 和r a c h e v 讨论了稳定分布下 的期权定价公式，k h i n d a n o v a 等讨论了稳定分布的v a r 模型。在用g a r c h 模 型拟台时间序列时，经常会发现g a r c h 的残差仍然是厚尾的，因此条件以及无 条件收益率分布，稳定帕雷托残差分布的g a r c h 过程( m c c u l l o c h ；l i u 和 b r o r s e mp a n a r s k a 等：m i t t i n i k 等；m i t m i k 和p a o l e l l a ；m i t t n i k 和p a o l e l l a 等) 也得到了研究。殷勇( 1 9 9 6 ) ，姜理，刘永清，h a n ，m i t t n i k 研究了稳定分布下 的投资组合问题。 1 3 论文的研究内容及基本结构 本文主要讨论在与传统资本市场理论相同的市场假设下，构造出基于稳定分 布的投资组合模型。实证研究了稳定分布假设和基于稳定分布的投资组合模型。 墨星查堂堡主兰堡堡苎 苎二兰竺笙 本文的基本结构： 第二章，简要地介绍了证券投资组合理论的基本概念、分散化原则、 m a r k o w i t z 均值一方差模型。 第三章，全面介绍了稳定分布。讨论了稳定分布的表达形式和有关性质，详 细介绍了决定稳定分布形式和性质的稳定性指数口、偏度参数、尺度参数盯、 位置参数。 第四章，介绍了稳定分布参数的估计方法。 第五章，对随机模拟和遗传算法的理论简要论述，并针对概率准则下证券投 资组合问题，设计了基于遗传算法的随机模拟求解方法。 第六章，在假设证券收益率服从稳定分布的情况下，利用收集到的真实数据 估计稳定分布的各种参数，对建立的概率准则模型，在收益率服从稳定分布的假 设下，用随机模拟的方法求解，作出实证分析。 天津大学硕士学位论文第二章证券投资组合理论 第二章证券投资组合理论 2 1 现代证券投资组合理论 现代投资组合理论起源于2 0 世纪5 0 年代的西方发达国家。其本质内容是关 于风险的准确度量和对风险资产的定价。他的建立与发展为西方发达国家资本市 场的规范运作和快速发展发挥了重要作用。 现代投资组合理论的发展大致经历了两个阶段：第一个阶段大约从1 8 世纪 初起到1 8 世纪5 0 年代。在这个阶段，投资者并没有成熟的投资理论可循，人们 普遍的把股票等金融工具当作投机工具，对收益和风险的判断主要是根据个人经 验。投资所依赖的是直觉、经验和一些传统的投资理论。比如在组合投资方面， 人们也意识到分散投资可以降低风险，得出“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里” 的投资哲学；而一些传统的理论，如道琼斯公司的创始人查尔斯道和爱德华琼 斯提出的“道琼斯股价理论”和由约翰梅纳德凯恩斯1 9 3 6 年在其就业、 利息和货币一书中提出的“空中楼阁理论”。这些理论既缺乏坚实的理论基础， 又缺乏充分的实践验证，不足以对投资者提供重要的指导意义。当然，在这个时 期也有许多学者在定量研究方面作了尝试。如1 9 9 0 年b a c h e l o r 关于投机理论的 博士论文中发现股票价格变化服从布朗运动。1 9 4 4 年n e u m a n n 和m o r g e n s t e m 提供了效用理论来描述投资者风险态度。这些都为金融理论后的研究打下了坚实 的基础。 第二个阶段从2 0 世纪5 0 年代开始进入定量研究时期。一般认为，1 9 5 2 年3 月哈里马柯维茨在金融杂志上发表的论文资产组合的选择是现代投资 组合理论产生的标志。马柯维茨首开先河，对风险问题进行了明确地描述，说明 分散投资降低风险的缘由，他注意到一个典型的投资者不仅希望“收益高”，而 且希望“收益尽可能确定”。这意味着投资者在寻求“预期收益最大化”的同时 追求“收益的不确定性最小”，在期初进行决策时必然力求使这两个相互制约的 目标达到某种平衡。马柯维茨分别用期望收益率和收益率的方差来衡量投资的预 期收益和不确定性，建立均值方差模型来阐述如何全盘考虑上述两个目标进行决 天津大学硕士学位论文第二章证券投资组合理论 策。从而提出了投资分散化原则，即投资者应该通过同时购买多种证券而不是一 种证券进行证券投资，建立了投资组合选择的均值一方差模型。 在此基础上，1 9 6 4 年夏普建立了资本资产定价模型( c a p m ) 。模型解释了 每一个投资者都会在市场中遭遇到的两种风险一与市场整体相联系的系统风险 和与特定公司相联系的非系统风险，并用一个简单的线性方程式表示了资产预期 收益与预期风险之间的理论关系，指出了分散投资对于降低非系统风险的可能 性。该模型精确描述了资产的收益、风险以及二者关系，被看作金融理论的基石 而广泛应用于投资绩效评价、确定资本预算等领域中。然而，自其建立之日起至 今关于c a p m 的检验仍众说纷纭。c a p m 先天固有的局限性使之检验与实践运 用都受到一定的阻碍。 然而，1 9 7 6 年，理查德罗尔对这一模型提出了批评，因为模型要依赖于 大量假设条件，并且永远无法用经验事实来检验。依据假设更少更合理的投资组 合模型，史蒂夫罗斯突破性的发展了资本资产定价模型，提出套利定价理论 ( a p ta r b i t r a g ep r i c i n gt h e o r y ) 。他的思路是“一种价格法则”：两种具有相同 风险和回报率水平的证券其价格相同。因此，a p t 与c a p m 相比，显得非常粗 糙，表现在a p t 对资产收益的经验分布没有做任何假设，对投资者的效用函数 也没作任何加强性假设。套利定价理论也可看作是夏普提出的资本资产定价理 论的的单一指标模型的扩展，a p t 比c a p m 为证券趋势分析提供了更好的拟合。 另外，a p t 容易扩充到多阶段定价模型。 现代证券投资组合理论一直是经济学研究的一个重要理论前沿。特别是近年 来，随着计算机技术的飞速发展及智能化研究的不断深入，也极大促进了现代证 券组合理论在实际中的应用。 2 2 收益和风险 2 2 1 单个证券的收益和风险 对于风险投资来说，收益和风险总是一对孪生兄弟，如果你想得到较高的收 益，就得承担较大的风险；如果只愿接受较小的风险，那么只能获得较低的收益。 1 收益率及其度量 天津大学硕士学位论文第二章证券投资组合理论 任何一项投资的结果都是可用收益率来衡量，通常收益率r 如下定义 ，：w i - - w 0 1 0 0 w o 其中，w l 为期末资产，为期初资产。 收益率对应于一定的投资期间，相应有日收益率，周收益率和年收益率等等。 在股票投资中，投资收益等于期内股票红利收益与价差收益之和，其收益率 可表示为： ，= 绁警豁糕茅堂圳。 。 期初市价总值 。 通常情况下，收益率受许多不确定因素的影响，因而是一个随机变量。有概 率论可知，当知道不同的r 对应的概率或概率分布函数f ( x ) 时，r 的数学期望或 收益率均值为： = e = 虢，t = 五= e x d f ( j ) 2 风险及其度量 所谓投资风险，就是在投资活动过程中，由于各种事先无法预料的不确定因 素带来的影响，使资金经营的实际收益率与预期收益率存在一定的偏差，从而有 蒙受损失的可能性。即当一个投资者以期望收率为依据进行决策时，就必须面对 得不到期望收益率的风险。 可能的收益率越分散，它们与期望收益率的偏离程度就越大，投资者承担的 风险也就越大，因而风险的大小由收益率与期望收益率的偏离程度来反映。在数 学上，这种偏离程度由收益率的方差仃2 来度量： 盯2 ( r ) = e ( ，一卢) 2 = e ( x 一) 2 d f ( x ) 在实际应用中，我们往往并不知道收益率r 的分布函数f ( x ) 是什么，无法求 出相应的两个积分。根据统计理论，可以用他们的样本得到它们的估计值。可以 证明，如下方式得到的样本均值丘、样本方差毋2 分别为和和仃2 的无偏估计： 丘2 吉善i 子2 = 击( 一面) 2 n l 百 墨星查堂堡主兰垡竺苎 蔓三童堑鲞丝童塑垒型鲨 2 2 2 投资组合的收益和风险 假设选定n 种资产进行组合投资，“表示第f 种资产的期望收益率，q 是他 们的风险( 收益率的标准差) ，置是资产组合中第f 种资产的投资比例系数， 而【o ，1 】且一= 1 ( 1 ，2 ，行) ，岛为资产f 与资产，收益的相关系数，是的f 种 i = l 和第j 种资产收益率的协方差。如组合资产的总收益的期望值记为r ，总方差记 为仃2 ，则 2 3 分散化 2 3 1 分散化原则 ，= 五一 口2 = 薯_ ，j 一1 x 革j p pj f ，= l ( 2 2 1 ) ( 2 - 2 ，2 ) 投资分散化就是将资金分散到不同类别的风险资产中，而不是全部集中于一 种资产，从而达到减少投资者投资风险的一种投资策略。用一句俗语可概括其含 义“不要把所有的鸡蛋放在一个篮子里”。分散化原则表明通过分散持有不同的 风险资产，有时人们可以在不减少预期收益率的情况下，减少整体风险的暴露程 度。 为什么投资分散化能减少投资风险呢? 过去，在考虑投资收益与风险问题 时，主要讨论个别证券资产。但是，投资决策并不仅仅局限于个别证券。事实上， 人们所持有的资产有多种形式，如银行存款、股票、债券等各种不同的资产。按 照分散化投资原则，投资者可以将资金分散投资于若干个不同的证券，由于某种 证券价格下跌造成的损失可能因其他证券价格的上扬而得到弥补，从而减轻了个 别证券的风险对投资者的影响。 2 0 世纪6 0 年代，有人计算了纽约交易所4 7 0 种普通股的风险。通过随机分 组，计算每组组合的收益率的平均标准差，得到的结论是：当组合中证券的数目 天津大学硕士学位论文第二章证券投资组合理论 由1 种逐渐增加到1 5 种时，组合风险逐步下降，接近市场系统风险水平：当证 券数目由1 5 增加到2 0 时，组合的风险将不再随着证券数目的增加而明显减少： 当证券组合的数目大于2 0 时，组合的风险几乎不再减少，同时组合的非系统风 险逐渐趋于零。这说明，市场上证券受一共同风险因素的影响，它源于与市场整 体有关的因素，即便是最充分的分散化亦不能消除，我们称之为系统风险。相反， 个别证券的特有的风险即与市场无关的风险非系统风险，在分散化投资中被 消除。同时另外一些研究成果表明：用随机选取的证券组成的简单多元化组合， 其收益不受证券数目多少的影响，只是组合的风险与证券数目有关。 2 3 2 影响资产组合风险分散化的因素 资产组合，就是如何构筑各种有价证券的头寸( 包括多头和空头) 来最好的 符合投资者收益和风险的权衡。因而，组合资产的风险也就被分散于组合中的单 个资产中，它分散化的程度受到每一个资产的风险，每一个资产在组合中所占的 比重以及它们之间的相关性的影响。 首先，我们讨论组合资产的风险与单个资产间的关系。 由式( 2 - 2 - 2 ) 表明，在其他参数确定的前提下，组合资产的风险与组合中 每一个资产的风险成正比关系。组合中各资产的风险越小，组合资产的风险也就 相应的越小。 其次，我们在对资产之间的相关性进行分析。 对于任意两个资产i 和，它们收益之间的相关性可以用相关系数 ( c o r r e l a t i o n c o e f f i c i e n t ) 岛或协方差( c o v a r i a n c e ) 来表示。当岛 0 或 0 时，说明两种资产f 和，收益率同向变化，并称之为正相关；当砖， 0 肌班。辱 其中中表示标准正态分布( 0 ，1 ) 的分布函数。 ( 4 ) 常数，对于任意的0 盘 0 ，位置参数。 四个参数的变化产生了稳态分布的不同形式。正态分布和c a u e h y 分布是稳态分 布的特殊情形。 稳态分布之所以得到很广泛的应用至少有以下几个方面的原因： 首先，研究表明很多随机变量服从非高斯稳态分布： 其次，广义中心极限定理表明，对大量的独立同分布随机变量的和进行适当 的标准化处理后，如果极限分布存在，则此分布一定属于稳态分布族。 第三，由于许多大型数据集具有厚尾、狭峰的特征，用高斯分布描述效果不 好，但用稳态分布去逼近较理想( n o l a n ，1 9 9 9 a ) 。 从分布的特征函数角度进一步讨论上述问题，将有助于对问题的深刻认识。 若随机变量t 服从正态分布，则其特征函数f ( t ) 满足： l o g f ( t ) = 枷一p 2 2 ) t 2 ( 3 3 ) 其中：爿表示均值；盯2 表示方差。 对于标准正态分布，均值为0 ，标准差为1 。 具有厚尾、高峰特征的分布是p a r e t o 分布的特殊情形。l e v y 概括了其概率 分布的特征函数。 其中 一般( 1 r + i f l m 2 ( s 蛔i g n o ) i n 咖 0 0 + i l l o 口= 叫立鬣 天津犬学硕+ 学位论文 第三章稳定分布 参数口是稳定性指数或特征指数。参数盯，芦以及芦是睢一的，它们分别是 尺度，偏度以及位最参数。( 当口= 2 时，是无关的) 。 其中的四个参数口、仃、p 分别具有如下的意义： 口是稳定性指数或特征指数，标志着分布的峰度以及尾部的厚性， 口【o ，2 。当口= 2 时，稳态分布即为正态分布。且具有均值，方差口是2 盯。 是偏斜度的测度，卜1 ，+ 1 】。当声= 0 时，分布是对称的：户= l 时， 分布是右厚尾的，随声逐步逼近+ 1 右偏斜程度增加；当 0 时，情形相反。当 a = 1 ，声= 0 时，即为c a u c h y 分布。 是均值的位置参数；盯是尺度调整参数。对稳态分布来说，可以通过位 置参数和尺度调整参数进行标准化，即对一个稳态分布s 。( 口，芦，来说，通过标 准化得到咒( 仃，尸，声) = & ( ( x - x ) t c r ，卢，x ，l ，o ) 取口= 2 、声= 0 、仃= 1 、= 1 代入式( 3 2 ) 即可得到( 3 - 3 ) 正态分布 的特征函数。 特征指数口对分布的特性起着至关重要的作用，当口2 时，分布的特性将 发生巨大的变化。 当l a 2 时，方差不确定或无穷；只有当a = 2 时，方差有限且稳定，此 时方差才是重要的信息；否则，无穷方差是可能的并且是典型的情形。当口2 时，作为离中趋势或风险尺度的样本方差近乎无意义。 当0 口1 时，不存在稳定均值，此范围中的口较罕见。然而，当1 五) = c 。( 1 + 夕弦。 这一尾部性质给出了估计口的一个方法，即在对数尺度下样本分布函数在尾 部的斜率。事实上，如果数据服从稳定分布，那么尾部应在对数尺度下收敛于斜 率为一口的直线。 但这个方法至少有两个缺陷：m c c u l l o c h ( 1 9 9 7 ) 指出对于服从口( 1 ，2 ) 的 稳定分布数据，这一方法将导致过高估计口，同时f o f a c k 以及n 0 1 a n ( 1 9 9 8 ) 指出当口接近2 时，分布函数实际上只在很远的尾部类似于代数渐进行为，也就 是说，只有当数据很大时，分布函数的尾部才类似于代数渐进行为，而且代数衰 减的起始点与所使用的参数有关，它是关于a 和的复杂函数。 一个较好的稳定性指数口的估计量是希耳估计量 一 1 口2 - ：一 i 句k ：1 1 0 9 以小p l o g 以一i ：h 其中x 。代表样本z 。，x ：，z 。的第 ，个顺序统计量。许多模拟研究表明， 希耳估计量对于f 分布以及帕雷托分布有很好的表现，但它仍然导致过高估计稳 定性参数口。 天津大学硕士学位论文第四章稳定分布的参数估计 4 2 分位数估计法 分位数法是基于m c c u l l o c h ( 1 9 8 6 ) 的思想，并且是对法马和r o l l ( 1 9 7 1 ) 研究的推广。 设b ，j = l ，2 ，挖是稳定随机变量x ( 盯，卢，p ) 的独立样本，口，户， 盯和是待估参数。令z ，表示总体的p 分位数，即x ，满足，( z ，) = p ，其中f 是 的分布函数。令x ，表示样本的p 修正分位数。详细解释如下： 如果；鲋) 是第f 个顺序统计量，其中 口( f ) ：掣， 并且存在着一个正整数f + 使得p = g ( 产) ，那么；，= ；州”否则总能找到一 个f n 使得 q ( i ) 0 4 ，它用 样条逼近法逼近稳定密度函数，并且用直接搜索法以最大化似然函数。虽然近似 梯度搜索法运算速度会快几倍，但n o l a n 指出这个方法到目前为止仍是不可靠 的。 天津大学硕士学位论文 第五章基于遗传算法的随机模拟求解方法 第五章基于遗传算法的随机模拟求解方法 前面几章介绍了传统的投资组合理论，也说明了传统理论的缺陷，尤其是证 券收益率服从正态分布的假设，不能很好地刻画“高峰厚尾”的金融现象。国内 外的学者经过大量的实证研究，认为稳定分布能够更准确地描述证券的收益率。 然而由于稳定分布没有明确的解析形式，这使得假设在稳定分布的条件下，很难 求得最优组合的解。因此本章介绍了一种基于遗传算法的随机模拟求解方法，用 m a f l a b 编程在计算机上实现。 5 i 概述 随机模拟，又称为蒙特卡罗( m o n t ec a r l o ) 模拟、蒙特卡罗方法或统计实 验法等。2 0 世纪4 0 年代中，物理学家v o nn e u m a n n 等人在计算机上用随机抽样 的方法模拟了中子连锁反应，并把这种方法称为了m o n t ec a r l o 方法( 随机模拟) 。 随机模拟是通过反应系统本质的数学模型，运用数学计算机对过程或系统的运行 进行模仿，从而定量的获得系统的形状指标，为决策服务。 虽然随机模拟是一种不很精确的技术，其提供的仅仅是一个统计估计而不是 精确解，并且耗时很多，费用高，但对那些无法用解析方法处理的模型，随机模 拟也许是唯一能够获得问题答案的方法。 2 0 世纪6 0 年代中期，美国m i c h i g a n 大学的j o h nh o l l a n d 提出了位串码技 术；随后，他将该算法用于自然和人工系统的自适应行为的研究中，并加以推广 应用到优化及机器学习中，而且正式命名为遗传算法。遗传算法是受到生物进化 与遗传的启发而形成的一种独特的优化方式。它是利用某种编码技术作用于称之 为染色体的二进制数串，其基本思想是模拟由这些串组成的群体的进化过程。遗 传算法通过有组织地然而随机地信息交换来重新结合那些适应性好的串，在每一 代中，利用上一代串结构中适应性好的位和段来替代原来的部分。 类似于自然进化，遗传算法通过作用于染色体上的基因，寻找好的染色体来 求解问题。遗传算法对求解问题的本身一无所知，它所需要的仅是对算法所产生 天津大学硕士学位论文第五章基丁遗传算法的随机模拟求解方法 的每个染色体进行评价，并基于适应值来选择染色体，使适应性好的染色体比适 应性差的染色体有更多的繁殖机会。 5 2 随机模拟 在研究一个过程或系统时，由于问题的复杂性，往往不能直接利用解析方法 去研究。这时，可以利用计算机模拟来处理这类大型复杂的问题。以下将从方法 的基本思想、模拟中随机数的产生、模拟的典型步骤及蒙特卡罗随机模拟的特点 来简要地介绍蒙特卡罗随机模拟。 5 2 1 随机模拟方法的基本思想 随机模拟的基本思想是，为了求解数学、物理、工程技术以及生产管理等方 面的问题，首先建立一个概率模型或随机过程，使他的参数等于问题的解：然后 通过对模型或过程的观察或抽样试验来计算所求参数的统计特征，最后给出所求 解的近似值。而解的精确度可用估计值的标准误差来表示。 假设要求的量z 是随机变量孝的数学期望e ( 亭) ，那么近似确定x 的方法是对 f 进行n 次重复抽样，产生相互独立的善值的序列最，岛，蟊，并计算其算 术平均值： 品5 专善点 根据柯尔莫哥罗夫大数定理有：p ( 1 呻品= 工) - 1 ，因此，当n 充分大时，下式： 品* e ( , ) - - x 成立的概率等于1 ，亦即可用品作为所求量x 的估计值。 我们可以通过一个简单的情况来理解随机模拟方法在数学上的应用。例如我 们模拟一个发生概率为p 的随机事件4 。考虑一个随机变量毒，若在一次试验中 事件a 出现，则善取值为1 ；若在一次试验中事件a 不出现，则善取值为0 。令 天津大学硕士学位论文第五章基于遗传算法的随机模拟求解方法 q = 】一p ，那么随机变量的数学期望e ( 善) = 1 p + 0 q = p ，此目- p - - o ：试验中事件a 出现的概率。孝的方差皓一e 皓)