（管理科学与工程专业论文）广义双线性系统非合作微分博弈理论研究.pdf

ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt og u a n g d o n gu n i v e r s i t yo f t e c h n o l o g yf o rt h ed e g r e eo f m a s t e ro fm a n a g e m e n tsc i e n c e r e s e a r c ho nn o n - - c o o p e r a t i v ed i f f e r e n t i a lg a m ef o r s i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s m a s t e rc a n d i d a t e ：z h uh u a i n i a n s u p e r v i s o r ：p r o f z h a n gc h e n g k e m a y2 0 10 s c h o o lo fm a n a g e m e n t g a u n g d o n gu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y g u a n g z h o u ，g u a n g d o n g ，p r c h i n a ，5 10 5 2 0 摘要 摘要 广义双线性系统是最接近广义线性系统的一类广义非线性系统，近些年来，非 线性系统的理论分析与应用一直是管理科学领域研究的热点与难点。微分博弈作为 博弈论最活跃的分支之一，凭借它强大的建模能力，吸引了众多专家学者的研究兴 趣。本学位论文重点研究连续型和离散型广义双线性系统的微分博弈理论，包括鞍 点均衡、n a s h 均衡和s t a c k e l b e r g 均衡，并将其应用于连续型广义双线性系统的混 合h 2 h o o 鲁棒控制。主要的研究结果如下： 建立了广义双线性系统微分博弈的鞍点均衡、n a s h 均衡和s t a c k e l b e r g 均衡问 题的数学模型，给出了系统各种均衡策略存在的条件。在此基础上，设计了各种均 衡策略的求解算法。进一步，利用数值算例验证了算法的正确性和有效性。 基于线性系统混合h 2 h 。鲁棒控制的概念，建立了连续型广义双线性系统混合 h 2 h 。鲁棒控制的数学模型，讨论了其混合h 2 h 鲁棒控制策略的设计方法，通过引 入两个博弈人相应的性能指标( 其中一个性能指标表示h 2 意义上的目标要求，另一 个性能指标表示h 。意义上的目标要求) ，将混合h 2 h 。鲁棒控制问题转化为广义双 线性系统的s t a c k e l b e r g 博弈问题，进一步给出了s t a c k e l b e r g 策略的存在条件，得到 了一个新的求解混合h 2 h 鲁棒控制策略的数值方法，最后的数值算例仿真验证了 算法的有效性。 关键词：广义系统；双线性系统；微分博弈；鞍点均衡；n a s h 均衡；s t a c k e l b e r g 均 衡；混合h 2 h 。鲁棒控制 广东工业大学硕士学位论文 a b s t r a c t s i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m ，d i f f e r e n tf r o mal i n e a rs i n g u l a rs y s t e m ，i sak i n do f n o n l i n e a rs i n g u l a rs y s t e m c o n t r o lt h e o r i e sa n da p p l i c a t i o n so fn o n l i n e a rs y s t e m sh a v e a l w a y sb e e nah o tr e s e a r c hf o c u sd u et ot h e i rp o t e n t i a l si nr e c e n ty e a r s m e a n w h i l e ， b e c a u s eo ft h e i r c a p a b i l i t y o fs y s t e mm o d e l i n gd i f f e r e n t i a lg a m e sh a v ea l s ob e e n e x t e n s i v e l ys t u d i e d t h ef o c u so ft h i sd i s s e r t a t i o ni st h ed i f f e r e n t i a lg a m e s o fc o n t i n u o u s t i m ea n dd i s c r e t et i m es i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s ，i n c l u d i n g ，s a d d l e p o i n te q u i l i b r i u m ， n a s he q u i l i b r i u ma n ds t a c k e l b e r ge q u i l i b r i u m ，a n de x t e n d e di n t ot h ea p p l i c a t i o no ft h e m i x e dh 2 i - i 。r o b u s tc o n t r o lf o rs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s t h em a i nc o n t r i b u t i o n sf o rt h i s d i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s ： t h em o d e lo fs a d d l e p o i n te q u i l i b r i u m ，n a s he q u i l i b r i u ma n ds t a c k e l b e r g e q u i l i b r i u mo fs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m sa r e e s t a b l i s h e da n dt h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n sf o r e a c hs t r a t e g ya r ed e d v e d a c c o r d i n gt ot h e s ec o n d i t i o n s ，t h ea l g o r i t h m sf o re a c hs t r a t e g y a r ed e s i g n e d f u r t h e r , t h en u m e r i c a le x a m p l e sa r eu t i l i z e dt oc o n s o l i d a t et h ec o r r e c t n e s s a n de f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m s b a s e do nt h ec o n c e p t i o no ft h em i x e dh 2 i - i r o b u s tc o n t r o lf o r l i n e a rs i n g u l a r s y s t e m s ，t h em o d e lo ft h em i x e dh 2 h 。r o b u s tc o n t r o lf o rs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m si s e s t a b l i s h e d t h ed e s i g nf o rt h em i x e dh 2 h 。r o b u s tc o n t r o ls t r a t e g i e sa r ed i s c u s s e d b y i n t r o d u c i n gt w op e r f o r m a n c ei n d e x e so ft h et w op l a y e r s ( o n ei n d e xe x p r e s s e dt h e o b j e c t i v eo nt h eh 2n o r m ，t h eo t h e ri n d e xe x p r e s s e dt h eo b j e c t i v eo nt h eh mn o r m ) ，t h e m i x e dh 2 h 。r o b u s tc o n t r o lp r o b l e mi sc o n v e r t e di n t oas t a c k e l b e r ge q u i l i b r i u mp r o b l e m o fs i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s f u r t h e r m o r e ，t h ee x i s t e n c ec o n d i t i o n sf o rs t a c k e l b e r g e q u i l i b r i u ma r eg i v e n ，an e wn u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n gt h em i x e di - 2 h 。r o b u s t c o n t r o ls t r a t e g i e si so b t a i n e d ，a n dt h en u m e r i c a le x a m p l es i m u l a t i o nv e r i f i e st h e e f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m k e yw o r d s ：s i n g u l a rs y s t e m s ；b i l i n e a rs y s t e m s ；d i f f e r e n t i a lg a m e ；s a d d l e p o i n t e q u i l i b r i u m ；n a s he q u i l i b r i u m ；s t a c k e l b e r ge q u i l i b r i u m ；m i x e dh 2 h r o b u s tc o n t r o l i i 第一章绪论1 1 1 选题背景与意义1 1 1 1 理论意义分析1 1 1 2 实际意义分析3 1 2 国内外研究现状4 1 2 1 广义双线性系统理论研究方面4 1 2 2 状态空间博弈理论研究方面4 1 2 3 鲁棒控制理论研究方面4 1 3 本文主要工作和结构安排5 1 3 1 主要工作5 1 3 2 结构安排6 第二章预备知识7 2 1 广义系统及双线性系统概述7 2 1 1 广义系统概述7 2 1 2 双线性系统概述8 2 2 最优控制理论概述1 0 2 2 1 最优控制问题的描述1 0 2 2 2 极大值原理1 0 2 2 3 广义极大值原理1l 2 3 微分博弈的相关知识1 2 2 3 1 微分博弈的基本概念13 2 3 2 微分博弈的非合作n a s h 均衡解法1 4 第三章连续型广义双线性系统的微分博弈理论18 l l i 广东y - ：i f ：大学硕士学位论文 3 1 连续型广义双线性系统微分博弈的鞍点均衡策略1 8 3 1 1 问题描述18 3 1 2 主要结论1 9 3 1 3 数值算例2 2 3 2 连续型广义双线性系统微分博弈的n a s h 均衡策略2 3 3 2 1 问题描述2 3 3 2 2 主要结论2 4 3 2 3 数值算例2 8 3 3 连续型广义双线性系统微分博弈的s t a c k e l b e r g 策略3 0 3 3 1 问题描述3 0 3 3 2 开环s t a c k e ib e r g 策略存在的必要条件31 3 3 3 开环s t a c k eib e r g 策略的推导3 2 3 3 4 数值算例。3 4 3 4 刀、结3 6 第四章离散型广义双线性系统的微分博弈理论3 7 4 1 离散型广义双线性系统微分博弈的鞍点均衡策略3 7 4 1 1 问题描述3 7 4 1 2 主要结论3 8 4 1 3 数值算例4 2 4 2 离散型广义双线性系统微分博弈的n a s h 均衡策略4 3 4 2 1 问题描述4 3 4 2 2 主要结论4 4 4 2 3 数值算例4 9 4 3 离散型广义双线性系统微分博弈的s t a c k e l b e r g 策略5 0 4 3 1 问题描述5 0 4 3 2 开环s t a c k e ib e r g 策略存在的必要条件5 1 4 3 3 开环s t a c k elb e r g 策略的推导5 3 4 3 4 数值算例。5 5 4 4 ，j 、结5 6 第五章基于s t a c k e l b e r g 策略的广义双线性系统混合h 2 h 。鲁棒控制5 7 i v 目录 5 1 引言5 7 5 2h 2 h 。混合博弈问题描述5 7 5 3 基于s t a c k e l b e r g 策略的混合h 2 h 。控制的一般解5 8 5 3 1 定义5 8 5 3 2 相应问题的队最优解6 0 5 4s t a c k e l b e r g 策略的推导6 3 5 5 数值算例6 6 5 6d 、结6 7 结论与展望6 9 参考文献7 l 攻读学位期间发表的学术论文7 6 独创性声明。7 7 致谢7 8 v 广东工业大学硕士学位论文 co n t e n t s a b s t r a c t ( c h i n e s e ) i a b s t r a c t ( e n g l i s h ) i i c o n t e n t s ( c h i n e s e ) i i i i c o n t e n t s ( e n g l i s h ) v i c h a p t er1 ln tr o d u c tio n 1 1 1b a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo fs t u d y 1 1 1 1t h e o r e tic aia n aiy sis 1 1 1 2m e a nin g f uia n aiy sis 3 1 2r e s e a r c ha th o m ea n da b r o a d ：4 1 2 1r e s e a r c ho fs i n g u i a rb iii n e a rs y s t e m st h e o r y 4 1 2 2r e s e a r c ho fg a m et h e o r yins t a t es p a c e 4 1 2 3r e s e ar c ho fr o b u s tc e n tr ei t h e o r y 4 1 3p r i m et a s ka n ds t r u c t u r a la r r a n g e m e n to ft h i sp a p e r 5 1 3 1p rim et a s k 5 1 3 2s t r u c t u r aia rr a n g e m e n t 6 c h a p t e r 2p r e r e q uisit e s 7 2 1o v e r v i e wo fs i n g u l a rs y s t e m sa n db i l i n e a rs y s t e m s 7 2 1 1o v e r vie wo fsin g uia rs y s t e m s 7 2 1 2o v e r vie wo fbi i in e a rs y s t e m s 8 2 2o v e r v i e wo fo p t i m a lc o n t r o lt h e o r y 10 2 2 1d e s c rip tio no fo p tim aic e n t r ei 1 0 2 2 2m a x miu mp rin cipie 10 2 2 3g e n e r aim a x miu mp rin oipie 1 0 2 3r e l a t e dk n o w l e d g eo fd i f f e r e n t i a lg a m e 12 2 3 1t h eb a sic ；c o n c e p to fdif f e r e n tiaig a m e 1 3 2 3 2n o n c o o p e r a t iv en a s he q uii ib riu mo fdif f e r e n tiaig a m e 1 4 c h a p t e r 3d i f f e r e n t i a i g a m et h e o r e yo fc e n t i n u o u s 。t i m es i n g u i a rb iii n e a r s y s t e m s 18 c o n t e n t 3 is a d d l e p o i n te q u i l i b r i u mo f c o n t i n u o u s - t i m es i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s 1 8 3 1 1p r o bie ms t a t e m e n t 18 3 1 2m ainr e s ult s 19 3 1 3n u m e ric aie x a m pie 2 2 3 2n a s he q u i l i b r i u mo fc o n t i n u o u s - t i m es i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s 2 3 3 2 1p r o bie ms t a t e m e n t 2 3 3 2 2m ainr e s uit s 2 4 3 2 3n u m e ric ai e x a m p ie 2 8 3 3s t a c k e l b e r gs t r a t e g i e so fc o n t i n u o u s - t i m es i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s 3 0 3 3 1p r o bie ms t a t e m e n t 3 0 3 3 2n e c e s s a r yc o n d i t i o n so fo p e n i o o ps t a c k e i b e r gs t r a t e g i e s 3 1 3 3 3d e riv a tio no fo p e n lo o ps t a c k eib e r gs t r a t e g ie s 3 2 3 3 4n u m e ric aie x a m pie 3 4 ：；4s u m m a r y 3 6 c h a p t e r 4d i f f e r e n t ia i g a m et h e o r e yo fd is c r e t e 。t i m es i n g u i a rb iii n e a r s y s t e m s 3 7 4 1s a d d l e p o i n te q u i l i b r i u mo fd i s c r e t e - t i m es i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s 3 7 4 1 1pr o ble ms t a t e m e n t 3 7 4 1 2m ainr e s uit s 一3 8 4 1 3n u m eric ai e x a m p ie 4 2 4 2n a s he q u i l i b r i u mo fd i s c r e t e - t i m es i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s 4 3 4 2 1pr o ble ms t a t e m e n t 4 3 4 2 2m ainr e s ult s 4 4 4 2 3n u m e ric aie x a m pie 4 9 4 3s t a c k e l b e r gs t r a t e g i e so fd i s c r e t e - t i m es i n g u l a rb i l i n e a rs y s t e m s 5 0 4 3 1p r o bie ms t a t e m e n t 5 0 4 3 2n e c e s s a r yc o n d i t i o n so fo p e n i o o ps t a c k e i b e r gs t r a t e g i e s 5 1 4 3 3d e riv a tio no fo p e n io o ps t a c k eib e r gs t r a t e g ie s 5 3 4 3 4n u m e ric ai e x a m p ie 5 5 4 4s u m m a r y 5 6 v 广东工业大学硕士学位论文 c h a p t e r 5m i x e dh 2 h 。r o b u s tc o n t r o is t r a t e g i e so fs i n g u i a rb iii n e a rs y s t e m s b a s e do ns t a c k eib e r gs t r a t e gie s 5 7 5 1i n t r o d u c t i o n 5 7 5 2p r o b l e ms t a t e m e n to fm i x e dh 2 h 。d i f f e r e n t i a lg a m e 5 7 5 3g e n e r a ls o l u t i o no fm i x e dh 2 h 。r o b u s tc o n t r o lb a s e do ns t a c k e l b e r gs t r a t e g i e s 。58 5 3 1d e finitio n s 5 8 5 3 2t e a m - o p t i m a is o i u t i o no fr e i a t e dp r o b i e m s 6 0 1 ；4d e r i v a t i o no fs t a c k e l b e r gs t r a t e g i e s 6 3 5 5n u m e r i c a le x a m p l e 6 6 1 ；6c o n c l u s i o n 6 7 c o n ciu sio n sa n dp r o s p e c t 6 9 r e f e r e n c e 7 1 p u b l i s h e da r t i c l e sd u r i n gp o s t g r a d u a t ep e r i o d 7 6 s t a t e m e n to fo rigin ai 7 7 a c k n o w l e d g e m e n t 7 8 第一章绪论 1 1 选题背景与意义 第一章绪论 随着现代科学技术的发展，博弈论作为一种研究方法和工具，已在经济学领域 以及管理科学与工程、控制理论与控制工程等学科方向得到了广泛的应用。本文拟 在前人研究的基础上，针对描述多部门投入产出分析模型、期权定价模型等实际问 题的广义双线性系统的本质特征，构建各种类型的广义双线性系统非合作微分博弈 模型以及基于博弈思想的广义双线性系统鲁棒控制模型。所要研究的科学问题如下： 用式( 1 1 ) 描述的连续广义双线性系统( 或式( 1 2 ) 描述的离散形式广义双线性 系统) 的博弈理论 e 圣o ) = 彳o ) x p ) + b ( f ) 甜( r ) + c ( f ) 1 ，( ，) + x ( f ) j 汀o ) ) 材o ) + 工( ，) o ) ) v ( f ) ( 1 1 ) e x ( k + 1 ) = a ( k ) x ( k ) + 【b ( 七) + x ( j j ) m ( 七) ) 】z ，( 七) + 【c ( 七) + x ( 七) ( 七) 】v ( 七) ( 1 2 ) 其中，e 是秩为， 甜( 七) 和 x ( 七) ( 七) ) ，( 七) 的含义类似) ，m ，为适当 维数的矩阵。博弈问题是：两博弈人如何在满足状态方程约束( 1 1 ) ( 或者其离散形 式( 1 2 ) ) 的条件下各自选择自己的决策控制变量“( f ) 和，( f ) ，使各自的性能指标泛 函j l ( u ( t ) ，o ) ，x ( ，) ) 、以 ( f ) ，1 ，( ，) ，x o ) ) ( 或者它们的离散形式) 达到最优“1 。 本文主要研究连续型和离散型时不变广义双线性系统非合作微分博弈理论，下 面分别从理论意义和实际意义两方面阐述本文的选题背景和意义。 1 1 1 理论意义分析 1 从正常系统到广义系统的需求分析 广义系统，也称为奇异系统、描述变量系统、微分代数系统。它的一般形式是 戤( f ) = f ( x ，u ，) ，其中e 是秩为， 行的聆维奇异方阵，显然若e 是非奇异矩阵，则 它是正常系统童( f ) = f ( x ，u ，1 ，) ，而当e 是奇异矩阵时，经过标准的矩阵奇异分解，它 广东- t & 大学硕士学位论文 可变换为茹笺浆搿。从表达式我们知，它具有独特的不同于正常状态空间 系统的性质，系统不仅具有微分方程所描述的动态约束，并且具有代数方程所描述 的静态约束，因而比起仅含有动态约束的正常系统来说，用它来描述某些物理系统 和经济系统更具有一般性例如1 9 5 3 年经济学家l e o n t i e f 提出的动态投入产出模 型f 3 1 ： x ( 七) = 彳( 七) x ( 七) + e 【x ( j j + 1 ) 一x ( 七) 卜y ( 七) ( 1 3 ) 其中，x ( k ) r 刀为产出，y ( k ) r 一为有效消费供给量，a ( k ) r 删为消耗系数矩 阵，e r 为投资系数矩阵。由于并不是所有产业部门均对投资有所贡献，故e 是 奇异的，因此动态投入产出系统是典型的广义系统。此外还有h o p f i e l d 神经网络输 入输出系统、单机多产品批量调度中的时间平衡方程系统h ，都必须用广义系统描 述。目前正常系统的博弈理论已经取得丰富成果，而且广义线性系统的非合作博弈 理论也已经获得相应成果并成功用于分析广义线性系统的鲁棒控制问题，而对广义 双线性系统方面，研究成果则甚少，因此需要研究广义双线性系统的非合作博弈理 论。 2 从线性系统到双线性系统的需求分析 线性系统的博弈理论已经取得丰富成果并在许多领域得到成功应用。但线性 系统是对现实情况的一种理想化近似描述，多数情况下，非线性特性、不确定扰动 性才是真实的自然现实吲。而双线性系统j ( f ) = 彳( ，) x ( f ) + b ( f ) 材( ，) + x ( ，) m ( f ) ) 材( ，) 是一 类特殊的非线性系统，其中缸o ) m o ) ) 甜( ，) = _ 鸠( f ) 甜o ) 为双线性项。研究表明， 双线性系统是描述诸如社会经济系统、人口变化、生态环境变化过程以及化学工程 的有效工具4 ，。例如：在期权定价理论中，布莱克一斯科尔斯关于期权标的资产在， 时刻的价格p ( t ) 满足扰动双线性微分方程 d p ( t ) = b ( t ) p ( t ) d t + a ( t ) p ( t ) d b ( t ) ( 1 4 ) 其中，b ( t ) 为系统扰动，通常假设为布朗运动过程，反映金融市场的不确定性变化， 因此它是一个广义扰动双线性模型。又例如m a o k i 提出的两部门宏观经济增长 模型：r ( t + 1 ) = 【4 + e + 群+ c ，仃， r ( t ) ，其中，7 7 ( r ) 是两部门之间资本存量的初 始转移量。尤其，由于广义双线性系统具有许多独特的不同于正常双线性状态空 间系统的性质，使它更适合于描述一般经济系统，例如在l e o n t i e f 提出的动态产出 2 实际生产过程中，投入要素比例是不断变化的( 比如发展中国家在比较落后时投入 较多的劳动工时，同时使用较少的固定资本，但随着经济的发展，将使用越来越多 的固定资本，同时投入的劳动工时却基本上变化不大。因此，随着时间的推移，固 定资本与劳动工时这两种要素的投入比例将不断发生变化) 1 l jo 因此必须研究投入 要素比例不断变化的投入产出情况，p c h a n d e r 和f t o k a o 分别研究了型如( 1 5 ) 的非线性投入产出模型睁州： x ( i ) = a ( x ) x ( 1 0 + e x ( k + 1 ) 一工( 七) 】+ y ( j i ) ( 1 5 ) 其中，a ( x ) 是产出五( 七) ，吒( 七) 的非线性函数。对非线性系统( 1 5 ) 的双线性近 式化逼近研究表明，广义双线性系统是一个适当的描述模型。即只要将彳( x ) 按泰勒 展开式展开到第二项，就得到如下( 1 6 ) 式的广义双线性系统，： x ( 七) = 【彳( 七) + ，( 后) x ( 七) ) 】x ( 七) + e x ( k + 1 ) 一x ( 七) 】+ j ，( 七) ( 1 6 ) 目前国内外学者已经在广义双线性系统的最优控制问题等方面展开了广泛研 究并取得了丰富成果晦，。因此，研究基于博弈理论方法的广义双线性系统是必要的 也是可行的。 1 1 2 实际意义分析 鲁棒控制是针对系统普遍存在的不确定性，为了保持控制系统的稳定性并满足 所希望的控制性能要求而产生的新型控制，是人们处理不确定性的基本方法之一m ，。 鲁棒控制设计的博弈论方法的基本思想是n 2 ，：将控制策略设计者视为博弈的一方即博 弈入p l ；将随机性( 或不确定性) 干扰视为博弈的另一方即“博弈人p 2 ：从而将鲁棒 控制问题转化为两人博弈问题，即博弈人p l 如何在预期到博弈人p 2 的各种干扰策略 情况下设计自己的策略，既实现与博弈人p 2 的均衡又使自己的目标最优。通过将不同 性能要求的鲁棒控制问题转化为各种类型的鞍点均衡问题、n a s h 均衡问题或 s t a c k e l b e r g 策略问题，再由博弈理论的鞍点均衡策略、n a s h 均衡策略或 s t a c k e l b e r g 策略即可得到鲁棒控制策略。这种博弈论方法已经在线性系统的鲁棒控 制研究中取得了巨大成功，如文献 1 7 2 0 分别给出了凡鲁棒控制、h ：比鲁棒控制器 设计的博弈论方法；s s a s a k i 和k u c h i d a 分别用博弈论方法和线性分形重构方法研 究了h a o 输出反馈控制问题n ”。在随机双线性系统的鲁棒控制研究方面，s x u 和t c h e n 给出带m a r k o v 转换的不确定离散情形的鲁棒比控制僻1 。然而，用博弈论方法研究广义 广东工业大学硕士学位论文 双线性系统各种性能鲁棒控制的结果很少且还不完善。因此，我们要深入研究广义双线 性非合作博弈理论，努力寻求广义双线性系统鲁棒控制问题的新方法，新结果。 总之，无论从理论意义分析，还是实际意义分析来说，对广义双线性系统非合 作微分博弈进行深入研究都是必要的，也是可行的。 1 2 国内外研究现状 1 2 1 广义双线性系统理论研究方面 对( 正常或广义) 双线性系统的稳定性理论、可控性、能达性以及双线性系统 辨识、最优控制理论、变结构控制理论、以及双线性系统在经济和生物等领域的应 用等等方面的研究，已取得了系列成果。华向明在文献 2 3 中则对1 9 9 0 年以前的研 究结果进行了系统化整理；近期的研究结果有唐功有教授利用“成功逼近方法 给 出了双线性离散系统的最优控制k 蚰，同时给出了一类非线性系统( 含双线性系统) 的次优逼近算法乜引；m s c h e n 给出了一类离散时间双线性系统的非线性控制m ，； 李俊民教授给出了离散双线性动态系统二次型的最优控制迭代算法，。z a g a n o v i c 和z g a j i c 系统地研究了广义双线性系统的最优控制理论，；y j k i m 针对广义 摄动双线性系统利用g a l e r k i n 逼近技术给出了最优控制策略幢t 1 a t a m i l s e l v a n ，n r a m a n u j i a m ，v s h a n t h i 研究了带连续源叠加项的广义线性系统求解的数值方法心”。 但根据本项目组文献查询结果，目前文献还没有系统性地研究基于博弈理论方法的 广义双线性系统。 1 2 2 状态空间博弈理论研究方面 刘晓平教授、h x u 和k m i z u k a m i 等人系统的研究了线性广义系统的鞍点均衡、 n a s h 均衡，s t a c k e l b e r g 博弈理论和激励( i n c e n t i v e