（管理科学与工程专业论文）时滞神经网络模型的稳定性研究.pdf

中文摘要 本文主要对几类时滞神经网络模型的平衡点和周期解的存在性及其全 局指数稳定性进行了深入地研究，得出了一些新的结论这些结论将为设计 具有全局指数稳定的平衡点和周期解的神经网络提供理论依据 本文的主要工作如下； 第一，运用拓扑度理论、h o l d e r 不等式、m 一矩阵的性质以及构造合 适的l y a p t m o v 函数方法，对具有常时滞和变时滞的模糊细胞神经网络模型 的平衡点的存在性及其全局指数稳定性进行了研究，给出了平衡点存在性和 全局指数稳定性的充分性判据，并给出了与时滞的变化有关的指数收敛率的 估计 第二通过构造合适的l y a p u n o v 函数并运用代数不等式及改进了的 l y a p u n o v 定理对具有变连接权及变时滞的细胞神经网络的平衡点的存在性 和全局渐近稳定性和全局指数稳定性给出了充分性判据 第三、运用积分不等式、m 一矩阵的性质，以及建立在重合度基础上的 m a w h i n sc o n t i n u a t i o n 定理研究了具有周期系数和周期时滞的细胞神经网 络模型的周期解的存在性利用常数变易法、积分不等式、g r o n w a l l s 引理 研究了其周期解的指数稳定性，给出新的充分性判据，并给出了指数收敛率 的估计 第四、研究了带有周期系数和周期时滞的双向联想记忆神经网络模型的 周期解的存在性和全局指数稳定性，给出了新的充分性判据该判据不仅与 系统的系数有关还与系统的周期和衰减率的平均值有关 第五、运用不等式分析及构造合适的l y a p u n o v 函数等方法对具有变时 滞的c o h e n - g r o s s b e r g 神经网络模型的平衡点的存在性和全局指数稳定性进 行了研究，给出了充分性判据，并给出了指数收敛率的估计 关键词；细胞神经网络，双向联想记忆神经网络，c o h e n - g r o s s b e r g 神经网 络，平衡点，周期解，全局指数稳定性，变时滞 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ee x i s t e n c ea n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo f e q u i l i b r i u mp o i n ta n dp e r i o d i cs o l u t i o na r ei n v e s t i g a t e dd e e p l yf o rs o m e c l a s s e so fa r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s t h er e s u l t sa r ef a i r l yn e wa n dh e l p - f u it od e s i g ng l o b a l l ye x p o n e n t i a l l ys t a b l ea n do s c i l l a t o r yn e u r a ln e t w r o k s f i r s t l y , t h ee x i s t e n c ea n d 舀o b a ls t a b i l i t yo fd e l a y e df u z z yc e l l u l a rn e u - r a ln e t w o r k s ( f c n n ) w i t he i t h e rc o n s t a n td e l a y so rt i m e - v a r y i n gd e l a y si s p r o p o s e db yu s i n gt h et h e o r yo ft o p o l o g i c a ld e g r e e ，h o l d o ri n e q u a l i t yp r o p - e r t i e so fn o n s i n g u l a rm m a t r i xa n das u i t a b l el y a p u n o vf u n c t i o n a l t h e s u f f i c i e n tc r i t e r i aa r eo b t a i n e df o rg u a r a n t e e i n gt h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a - b i l i t yo ff c n nw i t hc o n s t a n ta n dt i m e - v a r y i n gd e l a y sa n dt h ee s t i m a t i o n o fe x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c er a t ew i t hr e g a r dt os p e e do fv a r yo fd e l a y si s p r e s e n t e d s e c o n d l y , s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n st h a te n s u r i n gt h eg l o b a lc o n v e r g e n c e a n de x p o n e n e t i a lc o n v e r g e n c eo fac e l l u l a rn e u r a ln e t w o k sw i t ht i m e - v a r y i n g c o n n e c t i o nw e i g h t sa n dt i m e - v a r y i n gd e l a y sa r eo b t a i n e db yu s i n gas u i t a b l e l y a p u n o vf u n c t i o n a l ，a l g e b r i ci n e q u a i i t ya n di m p r o v e dl y a p u n o vt h e o r e m t h i r d l y , b yu s i n gi n t e g r a li n e q u a l i t y , t h ep r o p e r t i e so fn o n s i n g u l a rm - m a t r i xa n dac o n t i n u a t i o nt h e o r e mb a s e do nc o i n c i d e n c ed e g r e e ，s o m en e w s u i f i c i n tc o n d i t i o n sa r eo b t a i n e de n s u r i n ge x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u t i o n o f c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k sw i t hp e r i o d i cc o e f f i c i e n t sa n dd e l a y s ，a n dt h eg l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o ni ss t u d i e db yu s i n gv a r i a t i o no f c o n s t a n t ，i n t e g r a li n e q u a l i t y , g r o n w a l l sl e m m a ，a n da tt h es a m et i m e ，t h e e x p o n e n t i a n yc o n v e r g e n tr a t e sa r ea l s oe s t i m a t e d f o u r t h l y , t h ee x i s t e n c ea n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fp e r i o d i cs o - l u t i o na r ed i s c u s s e df o rt h eb i d i r e c t i o n a la s s o c i a t i v em e m o r y ( b a m ) n e u r a l n e t w o r k sw i t hp e r i o d i cc o e f f i c i e n t sa n dd e l a y s s o m en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o ra s c e r t a i n i n gt h ee d s t 6 q 1 e ea n dg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i c s o l u t i o no fs u c hb a mn e u r a ln e t w o r k sa r eo b t a i n e db yu s i n gt h ep r o p e r t i e s o fn o n s i n g u l a rm - m a t r i x ，i n t e g r a li n e q u a l i t ya n a l y s i sa n dac o n t i n u a t i o nt h e - o r e mb a s e do nc o i n c i d e n c ed e g r e e t h e s ec o n c l u s i o n sa r ep r e s e n t e dn o to n l y i nt e r m so fs y s t e m sp a r a m e t e r sb u ta l s ot h ep e r i o do ft h es y s t e ma n dt h e m e a nv a l u e so fd e c a y i n gr a t e s f i n a l l y , t h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo fc o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t - w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y si ss t u d i e d b yc o n s t r u c t i n gs e v e r a ls u i t a b l e l y a p u n o vf u n c t i o n a l s ，s o m es u f f i c i e n tc r i t e r i af o rt h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a - b i l i t ya n dt h ee x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c er a t eo ft h ee q u i l i b r i u mp o i n to ft h i s s y s t e ma r eo b t a i n e d k e y w o r d s ：c e l l u l a rn e u r a ln e t w o r k s ，b i d i r e c t i o n a la s s o c i a t e dm e m o r yn e u - r a ln e t w o r k s ，c o h e n - g r o s s b e r gn e u r a ln e t w o r k s ，e q u i l i b r i u m ，p e r i o d i cs o l u - t i o n ，g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t y ，t i m e - v a r y i n gd e l a y m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘室盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：主、j 丰乙茵 签字日期：2 。5 年1 2 月2 0 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫壅盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权叁鲞盘鲎可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：芡一j 手色首 导师签名： 、7 7 纵 签字日期：2 0 0 5 年1 2 月2 0 日签字日期：2 0 0 5 年1 2 月2 0 日 第一章绪论 1 1 人工神经网络研究历史 万物之灵的人类，拥有高度发达的大脑而优越于其他生物人脑既是一 个极其庞大而又复杂的系统，又是一个功能极其完善的系统利用机器模仿 人类的智能是长期以来人们认识自然，改造自然和认识自身的理想从历史 上看，1 9 4 6 年在美国宾夕法尼亚大学诞生的电子计算机已经对生产力的发 展和科学技术的进步起着巨大的推动作用但是，它必须不折不扣地按照人 们已经编制好的程序步骤来进行相应的数值计算和逻辑运算，它没有主动学 习能力和自适应能力，因此，在现行计算机上实现人工智能的方法和途径与 人脑固有的智能信息处理方式有着很大的区别，这就导致电子计算机在智能 信息处理中有着难以逾越的局限性使得人们有必要从向脑神经系统学习中 获得前所未有的智慧源泉，创造能够自学习，自适应，高度智能的名副其实 的新电脑一一神经计算机，从而把人类文明推到一个崭新的高度因此，人 类当前所面临的重大科技研究课题之一，是要揭示大脑活动的机制和人类智 能，人工神经网络作为人脑生物神经系统的模拟，其研究历经兴起、萧条、 兴盛三个衄折的发展阶段早在1 9 4 3 年心理学家m c c u l l o c h 和数学家p i t t s 就在数学生物物理学会会刊( b u l l e t i no fm a t h e m a t i c a lb i o p h y s i c s ) 上发表 文章总结了生物神经元的一些基本生理特性，并提出形式神经元的数学描述 与结构方法( 即m - p 模型) 【7 3 1 ，在m - p 模型中，赋予形式神经元的功能较 弱，但网络的计算能力巨大，这种巨大的计算潜力在于网络中足够的神经元 以及神经元之间的联系，同时神经元还具有并行计算的能力m - p 模型的提 出开刨了神经网络模型的理论研究1 9 4 9 年心理学家d o h e b b 根据心理 学中条件反射机理，研究人工神经网络中恰当的学习方式，提出神经元之间 突触联系强度可变的假设他认为学习过程是在突触上发生的，突触的联系 强度随其前后神经元的活动而变化根据这一假设提出的学习率为神经网络 的学习算法奠定了基础5 0 年代末，r o s e n b l a t t 提出感知机，第一次把神 经网络的研究付诸工程实践这是一种学习和自组织的心理学模型，它基本 第一章绪论 上符合神经生理学知识，模型的学习环境是有噪声的，网络构造中存在随机 连接，这符合动物学习的自然环境从6 0 年代初到8 0 年代初的这段时期， 神经网络的研究处于缓慢发展的低潮时期，有人甚至称之为神经网络发展的 。冰河期。其主要原因有三：其一是当时未能为神经网络找到一种行之有效 的算法其二是当时正处于微电子技术由晶体管向集成电路( i c ) 大规模 集成电路( l s i ) 和超规模集成电路( v l s i ) 迅速发展的阶段现行的冯诺 依曼( v o nn e u m a n n ) 计算机的运算速度和储存容量急速提高，软件日益丰 富，很多学者都把将电脑向人脑接近的人工智能发展方向，寄托在不断改进 和提高现行计算机的性能的途径上还有个重要的原因是，当时美国麻省 理工学院著名的人工智能学家m m i n s k y 潜心数年，对以感知器为代表的网 络系统的功能及其局限性从数学上做了深入地研究，于1 9 6 9 年出版了颇具 影响的p e r c e p t r o n 一书，他们的结论是悲观的，由于m i n s k y 在学术界 的地位和影响，故其后若干年内这一研究方向处于低潮，难能可贵的是，即 使神经网络的研究处于低潮时期，在国际上仍然有少数具有远见卓识的学者 在继续坚持他们的工作，从而为神经网络研究的发展奠定了理论基础标志 神经网络研究兴盛时期的到来是美国加州理工学院生物物理学家j h o p f i e l d 教授于1 9 8 2 年和1 9 8 4 年发表在美国科学院院刊上的两篇文章1 9 8 2 年他 在文【5 1 1 中提出了h o p f i e l d 神经网络模型，这种模型具有联想记忆的能力， 他在这种神经网络模型的研究中引入了能量函数( l y a p u n o v 函数) ，阐明 了神经网络与动力学的关系，并用非线性动力学的方法来研究这种神经网络 的特性，建立了神经网络的稳定性判据，并指出信息储存在网络中神经元之 间的连接上，这一成果的取得使神经网络的研究取得了突破性进展1 9 8 4 年，h o p f i e l d 在文【5 2 】中设计与研制了他所提出的神经网络模型的电路， 并指出网络中的每一神经元可以用运算放大器来实现，所有神经元的连接可 以用电子线路来模拟这一方案为神经网络工程实现指明了方向同时他也 进行了神经网络应用研究，成功的解决了复杂度为n p 的旅行商( t s p ) 计算难题，引起人们的震惊这些成果的取得激发了越来越多的人投入到神 经网络研究中来，从而带来了神经网络的兴盛期随着近些年来神经网络研 究的不断深入，人们越来越认识到；由于人工神经网络独特的结构和处理信 2 第一章绪论 息的方法，它们在诸如信号处理，模式识别、优化计算等许多实际领域具有 广泛的应用前景，因此，神经网络的研究现已引起了包括应用数学、计算机 科学、人工智能、认识科学、信息科学，微电子学、自动控制与机器人，脑 神经科学，军事科学等学科领域内的科技工作者的巨大热情和广泛兴趣，人 们普遍认为它将使电子科学和信息科学等产生革命性的变革，并将促使以神 经计算机为基础的高技术群的诞生和发展，正因为如此，多年来，美国、德 国日本，加拿大等众多国家十分重视人工神经网络的研究，并在此研究领 域投入了大量的人力和财力我国于上世纪9 0 年代初开始人工神经网络研 究，虽已获得了一些好的结果，但目前投入的人力和研究经费尚少，仍处于 起步阶段 3 第一章绪论 1 2 研究现状 人工神经网络研究是个众多学科领域交汇的系统工程，从而需要这些 交叉学科科研工作者的共同参与至今为止，国内外人工神经网络研究工作 者已建立了大量的网络模型，并对其进行了研究在这些模型中，又相当大 一部分为微分方程模型，如著名的h o p f i l e d 模型，g r o s s b e r g 模型，c e l l u l a r ( 细胞) 神经网络模型等这些模型绝大部分由工程技术学科的研究工作者 所建立，它们的研究由于缺少应用数学工作者，特别是微分方程研究者的充 分参与，使得多年来对这些模型的动力学行为的研究主要呈现在数值模拟 方面，致使众多模型的动力学行为至今仍未得到充分的揭示，特别是对具有 时滞的微分方程神经网络模型，其动力学行为的定性研究更少而由于网络 中神经元之间信号传输需要一定时间的客观事实，微分方程神经网络模型中 具有时滞更加符合客观实际因此，人工神经网络的深入研究迫切需要一批 应用数学工作者，特别是微分方程研究者的加入本文的研究课题是几类神 经网络模型的动力学行为研究一般来说，神经元的输入输出关系是非线性 的，其动力学性能也呈现为非线性因此，神经网络模型具有丰富的动力学 行为，如平衡点，周期解、混沌、分叉等当神经元的模型，神经键的连接分 布，阈值分布决定后，这个神经网络的动力学特性也就决定了当某一时刻 神经元的状态决定后，其状态将按动力学方程发生转移，向某一稳定状态靠 近这种实际上可观测的状态称为吸引子如果吸引子不随时间发生变化， 则称为系统的稳定平衡点针对不同的应用领域，要求我们设计出具有相应 动力学行为方式的神经网络如对于执行联想记忆功能的网络，要求平衡点 的数目越多越好，因为平衡点的数目越多，网络的记忆储存量就越大而对 于执行优化计算功能的网络则要求平衡点越少越好，最理想的状况是具有唯 一的平衡点，该平衡点将是相关能量函数的最小值点，也即问题的最优解 另外，神经网络还能以动态吸引子( 周期解，极限环，奇怪吸引子) 的行为 方式储存记忆，理论和实验表明，人类大脑有相应的行为方式因此动态吸 引子的研究也是神经网络动力学的重要方面在上述应用中我们希望在给出 初值的情况下，模型的解能收敛到相应的平衡点或周期解处，使网络功能得 4 第一章绪论 以实现，因此稳定性是设计具有上述每一种功能的神经网络的前提而时滞 的引入往往会对神经网络的稳定性产生重要影响这就要求我们对时滞神经 网络模型平衡点、周期解的存在性以及稳定性进行研究，研究结果将为神经 网络的设计和应用提供理论依据事实上，国外众多的微分方程研究者已经 注意到了这领域的重要性，近年来纷纷将主要精力投入到这一领域的研究 中，并已获得了许多优秀成果【3 ，4 ，5 ，6 ，7 ，9 ，1 0 ，1 1 ，3 5 ，3 9 ，4 2 ，4 3 ，4 4 ，4 5 ，4 9 ， 7 0 ，7 1 ，7 2 ，7 4 ，7 6 ，7 8 ，7 9 ，8 5 ，8 6 ，8 7 ，8 8 】下述细胞神经网络模型( c n n ) 是由c h u a 和y a a g 在1 9 8 8 年提出的 3 3 1 nn z ：( t ) = 一d i 盈( t ) 4 - 厶( q ( t ) ) 4 - 缈( 巧( t ) ) + 五， = 1 ，2 ，n j = lj = l ( 1 2 1 ) 其中，戤( t ) 为神经元的状态，d i 为衰减率，和为连接权，乃和毋 为信号函数，五为外部输入1 9 9 2 年，c h u a 和r o s k a 在模型( i - 2 - 1 ) 中引入时滞得到下面的模型【3 4 】 nn ( t ) = - 4 z i ( t ) + 啦j f a x a t ) ) - 4 - 彩( 巧o 一) ) - 4 - 五( 1 - 2 - 2 ) j = l，= l 文f 1 2 ，6 9 ，1 0 1 ，2 5 ，9 6 ，5 6 对系统( 1 - 2 - 2 ) 平衡点的存在性及其稳定 性做了研究，并给出了平衡点存在性和稳定性的判据文 2 8 ，1 3 ，4 6 ，1 4 ，1 5 ， 1 6 ，3 8 ，1 7 ，4 7 ，3 7 对系统( 1 2 2 ) 周期解的存在性及其稳定性做了研究， 并给出了周期解存在性和稳定性的判据但系统( 1 - 2 - 2 ) 的时滞和连接权 为常数，在实践中随着时间变化的时滞和连接权更符合实际情况，因此，文 2 9 7 ，9 3 ，9 8 ，1 5 ，3 0 ，9 1 】对下述变时滞的c n n 模型的平衡点存在性及其稳 定性做了研究，并给出了判据 nn ，、 ( t ) = 一函固( t ) + 乃( 巧( t ) ) + 彩( 0 一勺( t ) ) ) 4 - 五 ( 1 - 2 - 3 ) j = lj = l 、 对下述具有变时滞以及变连接权的c n n 模型 “n，、 $ 衲= 一函( 咖( d + ( t ) 乃( 巧( t ) ) - 4 - ( t ) 毋( t ) ( 巧0 一( t ) ) ) + 五( t ) j = lj = l ( 1 2 - 4 ) 5 第一章绪论 文【6 3 ，6 4 ，6 5 ，4 8 】在函( t ) ，( f ) ，( 力，五( t ) ，- , a t ) 为汕周期函数的情况下 对周期解的存在性及其稳定性做了研究，并给出了判据在文【4 8 】的判据中 骢也( t ) 起着决定性作用 在系统( 1 - 2 - 2 ) 中引入模糊运算便得到 五= 一d i 翰( t ) + o 吣y a z a t ) ) + 6 巧嘶+ j r + 八o j y a = a t r ) ) n j nj n j 2 l + v 励办旧( t r ) ) + 八码嘶+ v 嘞i = 1 ，2 ，竹 j = lj 篇lj = l ( 1 2 - 5 ) 其中， 代表“且”运算，v 代表“或。运算 若在系统( 1 - 2 - 5 ) 中引入变时滞便得到 nnn 血= 一函筑( t ) + 啦j f j z j t ) + 6 巧呦+ ，+ ao a j f j ( z j ( t 一吩( t ) ) ) j = lj = lj = l n nn + v 屈j y j ( z a t - t a t ) ) ) + 八呦+ v 嘞呦江1 ，2 ，1 j = l j = lj = l ( 1 - 2 - 6 ) 在1 9 8 8 年， k o s k o 在文【5 5 】中提出了双向联想记忆神经网络这种 网络被成功地运用于模式识别和自动控制因此也引起了人们极大的研究兴 趣近些年来，关于双向联想记忆神经网络模型静态吸引子的研究涌现出了 些优秀的研究成果【6 0 ，1 0 0 ，1 9 ，4 3 ，7 5 ，2 6 ，5 4 ，2 1 】众所周知，动态吸引 子的研究也是非常重要的一个研究领域在文f 2 2 ，2 3 ，5 7 】中，主要对下述 具有常系数和常时滞的双向联想记忆神经网络模型的周期解的存在性及稳定 性给出了研究 ，p iz ：( t ) = 一口l 戤( + 叼f j ( y j c t 一匈) ) + 五， = 1 ，2 ，n ， 尝1 ( 1 - 2 - 7 ) l 彰( t ) = 一b 鲫( t ) + b t 或( 0 一乃 ) ) + 如，j = 1 ，2 ，p 6 第一章绪论 对于下列具有变系数的双向联想记忆神经网络模型 fz ：( t ) = 一啦( t ) ( t ) + 妻a o ( t ) y j ( y j ( t 一勺) ) + 五( t ) ， = 1 ，2 ，n ， 1 n l 谚( t ) = 一b j ( t ) y ，c t ) + b i i ( t ) g i c x ( t 一乃) ) + j j ( t ) ，j = 1 ，2 ，p t=1 ( 1 2 - 8 ) 文【3 2 】给出了模型( i - 2 - 8 ) 的周期解的存在性及其稳定性的判据 对于下面具有变时滞的双向联想记忆神经网络模型 卜( t ) 一啪( t ) + 妻厶( 珊( t 一勺) + 嫩江1 2 ，- ， i 坊= 一b j j ( 叠e 以一吲纠) + 础) ，j = 1 ，2 ，p ( 1 - 2 - 9 ) 文【2 4 】给出了模型( 1 - 2 - 9 ) 的周期解的存在性及其稳定性的判据 对于下面具有变系数和变时滞的双向联想记忆神经网络模型 f ( t ) ：一啦( t ) q ( t ) + 妻( t ) f j ( t ，秘。一( t ) ) ) + 五( t ) ， ：1 ，2 ，n ， l j = l 。 i 坊一啪) 们) + 耋吲t ) g it , x i ( t 一州啪) + 加) ，j = 1 ，2 ，p ( 1 - 2 - 1 0 ) 文【6 5 ，6 7 ，4 8 给出了模型( i - 2 i o ) 的周期解存在性和稳定性的判据 且在该判据中，起决定性作用的是o r a ；i 。n 。a i ( t ) 和0 0 使得 ( t ) i f e 一彬，耽 0 成立，则称( t ) 是指数稳定的，并且q 称为指数收敛率 1 4 第二章细胞神经网络模型的动力学行为分析 为了方便证明我们的结果，给出如下一些引理 引理2 1 1 1 8 4 ：假设z 和一是系统( 2 - 1 1 ) 的两个状态，那么可以得到 下面两个不等式 nnn i 八哟乃( 巧) 一八啦j 乃( ) i i 哟( ) 一 ( 弓) i ， j = lj = 1j = l n n n iv 岛后( 巧) 一v 尚乃( ) l i a j l l f j ( x j ) 一，j ( 弓) i 定义2 1 2 【2 9 】：对于矩阵g = ( 趵) 。，如果( i ) 鳓 0 ，f ，j = 1 ，2 ，7 1 , ， ( i i ) 约0 当i j 时，( i i i ) g - 1 0 ，其中g - 1 0 表示g - 1 的所有元素 是大于等于零的，则称g 是非奇异的m 矩阵 引理2 1 2 【1 ，8 】：如果矩阵e = ( ) 。的所有对角元素是正的，非对角 元素是非正的，那么矩阵0 是非奇异的m 一矩阵的充要条件是存在正数 nn n ， = 1 ，2 ，t l 使得r j 0 或白 勺 0 成立 j = lj = l 容易证明下面的引理成立 引理2 1 3 对任意r 1 ，0 1 ，口2 0 有下式成立 口- 矿；西+ 孚西 2 1 2 具有常时滞的f c n n 模型的平衡点的存在性、唯一性及其全局稳 定性 我们研究了系统( 2 - 1 - 1 ) 的平衡点的指数稳定性，并且给出了指数收 敛率的估计 1 5 第二章细胞神经网络模型的动力学行为分析 如果( d i a i 耳一k i n k ) 是非奇异的m 一矩阵，根据引理2 1 2 ， 有正常数r i ，i = 1 ，2 ，n 使得下式成立 nnn 一画n + i 叼ij 勺缸+ 吩。狮版+ o 岛乜 0 ， ( 2 - 1 2 ) i = ti f xj r l 其中d = d i a g ( d l ，如，厶) ，i a i = ( 1 a i j l ) 。，川= ( i o j 1 ) 。，例= ( i a j i ) 。， k = d i a g ( k t ，k 2 ，k ) 有如下结论 定理2 1 1 假设条件a 1 成立，如果( d 一k i a l k i n k ) 是非奇异 的m 一矩阵，那么系统( 2 - l - 1 ) 有唯一的平衡点矿并且x + 是全局指数 稳定的，其指数收敛率a ”，这里 是下列方程的最小正实根 nnn 协一函】以+ i i l n + ( r l a j t k i + r j z j i k i ) e 打= o ，i = 1 ，2 ， 其中d ，i a i ，川，例，k 和n 分别和( 2 - 1 2 ) 中的相同 证明：运用引理2 1 1 和拓扑度定理，可以得到系统( 2 1 - 1 ) 的平衡点 的存在性和唯性其证明与文献【1 8 】中相同，因此略去 现在我们证明平衡点的指数稳定性令弘= 戤一z ：，则我们可得到如 下方程 nnn 晓= 一面玑( t ) + 乃( 玑+ $ ；) 一乃( 。：) + a 啦j j ( y j ( t - r ) + 弓) i = 1i = x i = 1 nnn 一八乃( 巧) + v 助乃( 蚴0 7 ) + 巧) 一v z , j j ( j ) ，i = 1 ，2 ，n j = xj = lj r l ( 2 - 1 3 ) 因为( d l a i k i a l k i z i g ) 非奇异的m 一矩阵由( 2 - 1 2 ) 可得存 在正数r d ，i = 1 ，2 ，n 使得下式成立 nnn - d i r d + i 叼t i 勺+ 勺哟i 觑+ q 岛i 0 j = 11 = 1j = l 1 6 第二章细胞神经网络模型的动力学行为分析 因此，存在一个充分小的正数a 使得下式成立 i l l nn n 一面) n + i 叼 h + 眨二r j a # i k i + r j 岛t d e 打 0 ，沿着方程( 2 - 1 3 ) 的解 | ，( ) = ( y l ( t ) ，抛( t ) ，( t ) ) t 计算y 的右上导数，并且运用引理2 1 1 我 们得到 nn 矿( ( t ) ) q 【一画弘( t ) + i , 峋l l f a m ( o + 苟) 一力( 巧) i ；1 j n + f a 乃( 协 一r ) + ) 一八乃( z ；) l + i v z , # a m ( t r ) + 巧) 学1。 j 一 。j 暑 一v 乃( 巧) i 】e + a r , l y t ( t ) l e m + n 【l a n 玎厶( 蜥o ) + 苟) j = 1 i = 1i = 1 j = l nn n 一八m d a = ；) l + i v 局乃( 蜥( t ) + 巧) 一v 尚乃( 巧) 咿件7 - 1。 j n j 旬 一n 【| 八o , # a m ( t r ) + 唠) 一八办( 巧) i 1 1 j 一 。 ，- 1 + l v 犀, j r j ( y j ( t r ) + 哆) 一v 岛办( 巧) f 】e 舳 由上式得 y ( 善，( f ) ) sy ( 刍，( o ) ) ， 因此，可以得到 n nn nj 执( 功i e 她n ( 1 鼽( o ) i ) + n 燃“i + 蚓) 圳妒 1 7 0 o玑 打 扣 岛 n 。芦 + 岛 。脚 l，l 产 + 勺町 。苘 + r 盔 一 掣 一 第二章细胞神经网络模型的动力学行为分析 则有 令 量二! ! 竺竺! 量= ! 墨鉴! ! 竺! ：! 竺! 型型：舰 船n 因此，平衡点矿是全局指数稳定的证明完毕 2 1 3 带有变时滞的f c n n 模型的指数稳定性 我们将研究如下带有变时滞的f c n n 模型的平衡点的指数稳定性和估 计其指数收敛率 nnn 魂= 一d f 戤( + ，j ( 巧( ) + b 吩+ 五+ 人嘞，j ( 巧( 亡一乃( t ) ) ) ，= 1j = 1i = t nnn + v 岛厶( 巧( 亡一勺( t ) ) ) + 八嘶+ v 丑。吻，i = 1 ，2 ，m j = lj = 1i =