（教育学专业论文）上海高中数学教材中数形结合思想方法的研究.pdf

中文摘要 高中阶段的学生所学的数学知识能实际运用到社会上的其实不多，学习 数学这门学科主要在于学习用数学的眼光，用数学的思维方式处理问题的能 力。因此高中数学教学更应注重隐藏予各个数学知识点的背后的数学思想方 法。 现行的高中数学教学大纲指出：“数学是研究空间形式和数量关系的科 学 ，由此可见“形”与“数”是我国中小学数学教育的两大研究对象，数 形结合解决问题的思想方法历来受到高度关注。上海的课程改革一直走在全 国的前沿，因此选择研究上海高中数学教材中的数形结合思想方法。 首先，研究教材各章节中本身所蕴含的数形结合思想方法，总结出上海 现行高中数学教材中对应章节与此章节中相应的可渗透的数形结合思想方 法之处，并且以辅助目录的形式给出。 其次，以调查问卷的形式，分析学生对于数形结合思想方法的理解程度： 按章节分析学生对数形结合的运用能力；调查比对男女学生、文理科学生对 于几何解题与代数解题的喜好；调查学生对形象化解题和形式化解题的接受 度；统计归类学生对数形结合解决问题规范化解题所提出的见解等。 所摘选的例题力求来源于课本，提出对各章节数形结合数学方法运用的 建议。根据问卷调查所得到的结论，建议在高三文理分科的教学时，理科班 更为注重以形解数，而文科班更为注重以数解形的思想方法。 关键词：数学思想方法，数形结合，数学教材 a b s t r a c t t h em a t h e m a t i c a lk n o w l e d g el e a r n e di nh i g hs c h o o lc o u r s ei sa c t u a l l yp u ti nu s e o fal o wf r e q u e n c yt h ek e yp o i n ti sl e a r n i n g h o wt os o l v ep r o b l e m si nt h ev i s i o no f m a t h e m a t i c s t h e h i g h s c h o o lm a t h e m a t i c s t e a c h i n g s h o u l df o c u so nt h e m a t h e ：m a t i c a lt h i n k i n gi n s t e a do fm e r e l yt h ee x a mp o i n t s “m a t h e m a t i c si st h es c i e n c eo fs p a t i a lf o r m sa n dq u a n t i t a t i v er e l a t i o n s ”s t a t e d t h ec u r r e n th i g hs c h o o lm a t h e m a t i c ss y l l a b u s i nc o n c l u s i o n ，t h eg e o m e t r ya n da l g e b r a a r et h et w oo b j e c t so f p r i m a r y a n ds e c o n d a r ym a t h e m a t i c se d u c a t i o n s t u d y c u r r i c u l u mr e f o r mi ns h a n g h a ih a sb e e nw a l k i n gi nt h ef o r e f r o n tt h r o u g h o u tt h e c o u n t r y , s ot h i sr e s e a r c hf o c u s e so nt h ec o m b i n a t i o nm a t h e m a t i c a lt h i n k i n go f g e o m e t r ya n da l g e b r 毛“t h ec o m b i n a t i o nt h i n k i n g ”，i nt h es h a n g h a ih i g hs c h o o lm a t h t e x tb o o k s a n a l y s i so ft e a c h i n gm a t e r i a l sr e s e a r c ht e x t b o o kc h a p t e r si ni t s e l fc o n t a i n st h e n u m b e rs h a p eu n i o nt h o u g h tm e t h o d ，s u m m a r i z e st h ee x i s t i n gs h a n g h a ih i g hs c h o o l m a t ht e a c h i n gi nt h ec o r r e s p o n d i n gc h a p t e r sa n dt h es e c t i o n sc o r r e s p o n d i n gt ot h e p e r m e a b l em e t h o d o l o g yo fn u m b e r - s h a p ec o m b i n a t i o n ，a n dt oa s s i s tt h ed i r e c t o r ya r e g i v e n i nt h ef o r mo t h et e a c h i n gr e s e a r c hi sd e l i v e r e di ns u r v e ya n da n a l y s i si nt h ef o l l o w i n g a s p e c t s ， 1 t h es t u d e n t s u n d e r s t a n d i n go nt h ec o m b i n a t i o nt h i n k i n gi ni n d i v i d u a lc h a p t e r s ； 2 t h ea b i l i t yt or e a l i z et h ec o m b i n a t i o nt h i n k i n gi ni n d i v i d u a lc h a p t e r s ； 3 t h ep r e f e r e n c eo nt h eg e o m e t r ya n da l g e b r ai nm a l ea n df e m a l es t u d e n t s ； 4 t h ep r e f e r e n c eo nt h eg e o m e t r ya n da l g e b r ai nt h el i b e r a la r t sa n ds c i e n c e s t u d e n t s ； 5 t h ea c c e p t a n c eo fv i s u a l i z e da n df o r m u l i z e ds o l u t i o n ； 6 t h es t u d e n t ss u g g e s t i o n so nt h es t a n d a r d i z e ds o l u t i o ni nc o m b i n a t i o nt h i n k i n ga n d e t c t h ee x a m p l e sa r ee x c e r p t e df r o mt h et e x t b o o k s s u g g e s t i o n sa l ep r o p o s e df o rt h e c o m b i n a t i o nt h i n k i n g a c c o r d i n gt ot h es u r v e yr e s u l t ，t h es c i e n c es t u d e n t ss h o u l dp a y m o r ea t t e n t i o nt ot h ev i s u a l i z e ds o l u t i o na n dt h el i b e r a la r t ss t u d e n t st ot h ef o r m u l i z e d s o l u t i o ni n t h es e p a r a t em a t h e m a t i c a lc o u r s ei ng r a d e12 k e y w o r d s ： m a t h e m a t i c a li d e o l o g y ；s y m b o l i c - g r a p h i cc o m b i n a t i o n ；m a t h e m a t i c st e a c h i n gm a t e r i a l 第一章绪论 1 1 研究背景及选题意义 “什么是数学? 、“学习数学有什么意义? ”，当今的学生、家长、社会 都有着这样一种疑问。各界舆论均要求中国教育来一次大改革，某电视节目的预 告片中反反复复的出现一句话：“你一辈子不用的东西决定你的一辈子! ，数 学是否是他所指的一辈子不用的东西之一呢? 如果说小学数学中所习得的计算 能力是人一辈子必须具备的知识，那么高中数学中所学习的知识呢，又有几个大 学毕业生还记得椭圆的定义，记得三角公式呢? 我始终认为，学数学的关键不在于习得了多少知识，而在于学习“知识迁 移的能力”、“知识应用的能力”，学习用数学的眼光，用数学的思维方式处理 问题的能力。例如，以培养将帅为目的的西点军校，之所以要开设高深的数学课 程，其目的不在于未来指挥作战时要用到这些知识，而是基于如下考虑：只有经 过严格的数学训练，才能使学生在未来的军事活动中，把特殊的活力与灵活的反 映结合起来，使其具有把握军事行动的能力和适应力。成功人士们或许早已遗忘 了中学时代学习的数学知识，但他们所受到的数学训练与数学思想方法却在他们 的事业和生存方式中起着重要的作用，使他们受益终身。日本数学家和教育家米 山国藏曾说过：学生们在初中或高中所学到的数学知识，在进入社会后，几乎没 有什么机会应用，因而这种作为知识的数学，通常在出校门后不到一两年就忘掉 了，然而不管他们从事什么业务工作，那种铭刻于头脑中的数学精神和数学思想 方法，却长期在他们的生活和工作中发挥着重要作用。因此高中数学教学更应注 重隐藏于各个数学知识点的背后的数学思想方法。 函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归与转化的思想等数学 思想方法一直在高考中被大量考察。1 它们没有被单独列为章节，却贯穿于教材 的始末。如果说数学知识是数学内容，可以用文字和符号来记录和描述，那么数 学思想则是数学意识，只能领会、运用，属于思维的范畴。如何抓住这些虚无缥 缈的东西，它们又能为高中生数学学习带来哪些益处? 现行的高中数学教学大纲指出：“数学是研究空间形式和数量关系的科学 。 由此可见“形”与“数 是我国中小学数学教育的两大研究对象，因此数形结合 1 徐有标，刘治平高考中的数学思想方法【m 】北京：龙门书局，2 0 0 1 1 解决问题的思想方法历来受到高度关注。1 9 5 1 年，我国首次制定的中学数学课 程标准指出：“数学以讲授数量计算，空间形式及其相互关系的普通知识为主 沟通形数，奠定学习解析数学的基础。”1 9 6 3 年的教学大纲则指出“通过数形 结合思想的教学，对学生进行对立统一观点的教育”。之后，每一次的教学大纲 的修订几乎都强调了这一思想方法。 作为一名普通的数学教师，本着做踏实的研究，做基于日常教学的研究的主 导思想，笔者选择了研究上海数学教材中的数形结合思想方法。 1 2 概念界定 钱佩玲主编的中学数学思想方法一书中给出了数学思想的界定：数学思 想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内 容和对数学的认知过程中提炼上升的数学观点，它在认知活动中被反复运用，带 有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想2 。而数形结合思 想方法采用了代数方法和几何方法中最“精髓”的方面：几何图形的形象直观， 便于理解；代数方法的一般性、解题过程的机械化、可操作性强，便于把握。而 由笛卡尔所奠基的解析几何使几何从定性研究发展到定量研究，倡导了用代数方 法研究几何问题，可谓是数形结合的典范。 1 3 研究方案及研究方法 将在文献研究的基础上，分析上海教育出版社出版的高中数学教材的每一章 节，研究每一章节知识点的教学中可以融合入数形结合思想的内容，初步编制一 份对应目录。依据学生的现状，依据教与学的客观实际，制定调查问卷。 具体方法如下： ( 1 ) 查阅资料，收集材料，收集有关的文献，对文献进行整理、研究； ( 2 ) 研究上海高中数学教材； ( 3 ) 基于上述的研究，制定调查问卷； ( 4 ) 通过问卷反馈结果，评价数形结合思想方法的优缺点，评价是否所有 的学生都适合此思想方法文理科学生差异比较； 2 钱佩玲中学数学思想方法【m 】北京：北京师范大学出版社，2 0 0 8 2 ( 5 ) 修订目录； ( 6 ) 回顾总结，撰写论文。 论文研究过程可以用如下的框架简述： 文献研究卜叫教材研究 回顾总结k 一教材开发 3 问卷调查 厂 主 数据分析 第二章理论基础 2 1 课程标准 普通高中数学课程标准( 下简称课标) 中指出“数学教育在学校教育 中占有特殊的地位，它使学生掌握数学的基础知识、基本技能、基本思想，使学 生表达清晰、思考有条理，使学生具有实事求是的态度、锲而不舍的精神，使学 生学会用数学的思考方式解决问题、认识世界。”3 说明数学思想方法的重要性。 对于数形结合思想在数学知识中的应用，课标中仅在平面解析几何初步 的教学中提出，要求教师要帮助学生经历“几何问题代数化；处理代数问题；分 析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。的过程，指出“这种思想应贯穿 平面解析几何教学的始终，帮助学生不断地体会数形结合的思想方法。”解 析几何作为1 7 世纪数学发展的重大成果之一，其本质是用代数方法研究图形的 几何性质，着实体现了数形结合的重要数学思想。如果用一句话来总结课标 中对数形结合思想的定位的话，即为：体会数形结合的思想，初步形成用代数方 法解决几何问题的能力。 但是无论是从学生的学习认知上，还是老师的教学认知上来讲，高中阶段数 形结合思想的应用远远跳出了课标中“以数解决形的问题”的这个范畴，相 反地，用具体的图形来解决抽象的代数问题，在解决函数、三角、复数等问题时 有着广泛的应用，在各省市的高考题中也时有体现。 2 2 心理学理论 在顾明远先生主编的教育心理学中，把学校教育中的智育这一环节归入 到陈述性知识的学习，教师应根据学生心理特点将知识“有效”的传授给学生。 而陈述性知识学习的几个阶段中应解决的主要心理问题分别是：同化、保持和迁 移4 。在不同的知识章节之间如何嫁接起一座桥梁，使得知识点虽不一，但思考 解决问题的方法却都有一定的依据，我认为数学思想方法便是这座桥梁，一座完 成在知识点之间迁移的桥梁。因此，数学思想方法的学习有助于学生推理能力的 发展。 3 中华人民共和国教育部普通高中数学课程标准【e b 】 h t t p ：w e n k u b a i d u c o m v i e w 0 3 c a 4 8 f 5 f 6 1f b 7 3 6 0 b 4 c 6 5 0 8 h t m l ，2 0 0 3 4 张大均，顾明远教育心理学【m 】北京：人民教育出版社，2 0 0 4 4 针对于数学教育心理，顾泠沅先生主编的数学学习的心理基础与过程一 书中所阐述的研究几何教学的范希尔理论分为5 个思维水平：视觉、分析、非形 式化的演绎、形式的演绎和严密性。可应用于所有学科的s o l o ( s t r u c t u r eo ft h e o b s e r v e dl e a r n i n go u t c o m e ) 分类法理论的5 个模式则为：感觉动机、想象、 具体符号、形式、后形式，与范希尔理论颇为相似。最低的层次均为感觉范畴， 也可以说人从出生起便具有的形的感觉是最为直觉的，最可以为学生所感知、所 熟悉、所接受的。 图2 - 1 是韬尔( d a v i dt a l l ) 引进的“数学 的三个世界”的概念。具体化世界，包括感知、 行为以及对感知和行为的反应；过程概念化世界， 主要涉及一些符号，如算术学、代数学和微积分 中的符号，这些符号即表示一个过程，有表示一 个概念；形式化世界包括定义和证明，它们导致 了公理化理论体系的形成5 。这三个世界在认知上 是按顺序发展的，具体化世界以一种感觉驱动的 形式发展，其根源在于生理上的感知和行为。 图2 1 而对于学生们而言往往显得抽象的数学符号、形式若能够返回到最为根源的 感觉驱动“形”，那么是否更加会有利于学生的理解。 2 3 方法论 王亚辉所编著的数学方法论问题解决的理论中指出：系统科学的整 体原理可表述为e 薹= e 膏+ e 联6 。我认为对于数学认知来说，这里的e 弗可 以看做是数学知识，而e 联则可看做是数学思想方法。数学方法能深刻的揭示 数学知识之问的本质联系，使数学知识之间具有整体性、统一性、系统性，从而 便于学生形成良好的数学认知结构。日本数学教育家米山国藏认为“最重要的就 是数学的精神、思想和方法，而数学知识只是第二位的。 确实，授人以鱼，不 如授之以渔，真正能够受用终生的不一定是数学知识，而是隐与其背后思想方法。 钱佩玲主编的中学数学思想方法一书中给出了数学思想的界定：数学思 5 鲍建生，周超数学学习的心理基础与过程【m 】上海：上海教育出版社，2 0 0 9 6 王亚辉数学方法论问题解决的理论【m 】北京：北京大学出版社，2 0 0 7 5 想是对数学知识的本质认识，是对数学规律的理性认识，是从某些具体的数学内 容和对数学的认知过程中提炼上升的数学观点，它在认知活动中被反复运用，带 有普遍的指导意义，是建立数学和用数学解决问题的指导思想。而数形结合思想 方法采用了代数方法和几何方法中最“精髓 的方面：几何图形的形象直观，便 于理解；代数方法的一般性、解题过程的机械化、可操作性强，便于把握。解析 几何则是数形结合的典范。 2 4 中小学生数学能力发展心理学 克鲁切茨基通过实验区分出三种“数学头脑”的基本类型：分析型、几何型 和调和型7 。 分析型是倾向于以语言逻辑的关系来思考，即与视觉形象成分相比，语 言逻辑成分占有明显优势，这个类型的代表不具备视觉形象的概念化能力。 几何型是倾向于以视觉形象的关系来思考，具有非常好的视觉形象成 分，习惯于形象的解释抽象的数量关系，而且表现出相当的独创性，甚至当问题 依靠推理很容易解决，使用形象方法则显得多余或困难时，他们仍旧选择几何方 法。 调和型兼具前两种类型的特征。这类学生在语言逻辑成分的主导作用下，保 持语言逻辑成分和视觉形象成分的平衡发展。他们的空间概念虽然发展得很好， 能够创造性的使用形象来阐明抽象关系，但这种形象和图式是从属于语言逻辑分 析的，他们能够成功的运用分析方法和集合形象方法来解答问题。因此可以说大 多数数学能力强的学生都属于这个类型。 数学能力是近些年来所讨论的热点问题，通过克鲁切茨基对三种“数学头脑” 的区分来看较明确的指出了，拥有调和型数学头脑的为数学能力强的学生。也就 是说“形 不仅是帮助学生解决问题的良好方法，能够合理的应用好“数形结合 关系才是数学能力强的表现。作为教师，不仅是要引导学生学习数学思想方法， 更要把数学数学方法为已用，要合理选用、恰当使用、不生搬硬套。 2 5 国内研究现状 7 克鲁切茨基中小学生数学能力心理学 m i 教育科学出版社，1 9 8 4 6 1 9 6 4 年，在华罗庚先生撰写的谈谈与蜂房结构有关数学问题这一科普 小册子中有一首小词：“数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞。数无形时少直 觉，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事非；切莫忘，几何代数 统一体，永远联系，切莫分离! ”8 自此，“数形结合”一词便开始流行起来。 近年来发表在各种刊物上的文章不计其数，并且与日俱增，具体的数据如图 2 2 所列，而各地师范院校硕士、博士研究生发表的毕业论文中，有关于“数形 结合”这个主题的共有6 篇，其中5 篇为硕士论文、1 篇为博士论文。 i _ i 。阻 一一一h 一硎 | 舯 图2 2 罗新兵在其2 0 0 5 年的博士论文数形结合的解题研究表征的视角一 文中，把数形结合定性为“在解决代数表征方式呈现的问题时能够构建与运用图 形表征，在解决图形表征方式呈现的问题时能够构建与运用代数表征。 9 并研究 得出“学生在解决代数问题时运用图形表征比在解决解析几何问题时运用代数表 征次数相对要多 ，对于数形结合的定性，笔者认为恰如其分，但是对于运用的 次数这样的论断持保留意见，高中生对于解析几何问题非常直觉的便是以直角坐 标系来使几何问题代数化，再通过熟练的运算解决问题，往往会忽略运用如椭圆、 双曲线、抛物线等圆锥曲线本身的定义、性质来解决问题。而解决代数问题时想 到运用图形表征予以解决，则对思维要求较高，同学相对应用较少，不过一旦能 够想到，并且合理、灵活的运用，那么通常能够减少解题时间、提高解题正确率。 徐文龙在其2 0 0 2 年的硕士论文“数形结合”的认知心理研究中得到“数 表征能力与数形结合表现显著相关，所以在解析几何的实际教学中要有目的的进 行数表征操作的训练。”1 0 的结论。由于所面对的对象不同，上海教材与全国教 材所要求与侧重点不同，特别是圆锥曲线的第二定义在上海教材中完全没有被提 及，故这个结论换一个环境还有待考证。 。王元等华罗庚科普著作选集【m 】上海：上海教育h 版社，1 9 8 4 1 8 1 9 罗新兵数形结合的解题研究表征的视角f d j 上海：华东师范大学，2 0 0 5 1 0 徐文龙“数形结合”的认知心理研究【d 】上海：广西师范人学，2 0 0 2 7 第三章上海高中教材中的数形结合思想 在初中的数学学习中，有理数的意义，绝对值，有理数大小的比较，平面内 点的位置与坐标，二元一次方程的图形，用图解二元一次方程组，不等式的解集， 单项式乘法，正比例函数的图像和性质，一次函数的图像和性质，二次函数的图 像和性质，分段函数，勾股定理及其应用，列方程解应用题，方差与标准差，圆 和圆的位置关系等内容已经都涉及到了数形结合思想。由于学生来自于不同的学 校，他们对数形结合思想的认知程度、运用能力肯定是有所差异的。 在上海高中数学的基础性课程( 非拓展型，非文理分岔) 课本中共五册1 8 章，如果按内容则可以分为6 个单元：集合、命题、算法初步；方程与代数；函 数与分析；数与运算；图形与几何；数据整理与概率统计。1 1 集合、命题、算法 初步单元是高中数学的基础；图形与几何单元是对向量的坐标表示、平面解析几 何( 直线、圆锥曲线) 、空间图形和简单几何体的研究，是研究形的单元；而其 他四个单元方程与代数、函数与分析、数与运算、数据整理与概率统计单元 则可以被列为研究数的范畴。因此笔者把数形结合思想归为2 个大类：数结合形 的思想方法；形结合数的思想方法。经过统计得：高一高二课本中有2 8 个处点 到了用形来解决数的问题；有1 5 处点到了用数来解决形的问题。还有些题即可 数解又可形解，但结论应是统一的，所以在解题时应时刻注意数与形的等价性。 3 1 数结合形的思想方法 第一章集合和命题的学习，目的在于学习作为表述数学对象的一种数学语言 集合，以及作为表述数学内容最精确和简练的语言数学命题的充分必要 性，以此来培养学生清晰而有条理地表达自己的数学思想、养成分析习惯。 课本中继第一节要求学生学会列举法和描述法表示之后，第二节便提出了集 合的图示法。并且6 个例题均可以用文氏图、数轴、两个一次函数图像交点予以 解决。如果说集合和命题是高中数学的基础，那这样的编排足以说明以形解决数 的问题也是高中数学的重要思想方法之一。 第二章不等式中，以图像直观地、形象化地使学生理解二次不等式、分式不 等式、绝对值不等式的解，避免死记硬背解法，图像也给检验不等式的解题结果 上海市中小学( 幼儿园) 课程改革委员会高级中学课本数学教学参考资料高中一年级第一学期【m 】上 海：上海教育出版社，2 0 0 8 1 8 带来了依据。同时为函数基本性质的教学打下铺垫。 从第三章到第六章基本围绕着函数展开，函数的基本性质、幂函数、指数函 数和对数函数、三角函数。可以说是先整体，后例证的过程。运用图像形象化的 特质可以帮助这些特殊函数的记忆，也可以帮助学生理解函数的奇偶性、单调性、 最值、零点、周期性这些基本性质。 第七章中数列的通项及求和公式本身可以作为特殊的函数具有函数特质，有 些数列题用图像法解决快速、简捷。而点列对于今后在日常生活中更有着实际的 意义，可以通过点列来建模、预测。 以上可以构成以“形”解“数”思想方法教学的一个连贯的体系。 l 、潜意识阶段：集合和不等式教学时，唤醒学生初中所习得的图像知识， 如数轴、一次函数图像、二次函数图像等。 2 、明朗和形成阶段：函数的基本性质教学时，图像肯定是重头戏，而幂函 数，作为有九种大致图像的函数，能够使得学生更为认识到图像的重要性。 在这一阶段的教学中，可以有目的有意识的渗透、介绍和突出用图形的思想 来解决函数问题的思想。 3 、深化阶段：指数函数、对数函数、三角函数、数列的教学可以作为深化 阶段，除了对奇偶性、单调性、最值、零点的重复理解应用外，也进一步深 化对称性、周期性，进一步理解定义域。为用图像法探求其他未知函数打下 坚实基础。 目录一：用形的方法帮助理解、解决数的问题 课本章节以形解数 1 2 集合之间的关系初识文氏图 1 3 集合的运算运用文氏图、数轴、一次函数图像解决 问题 第一章阅读材料( 一) 德摩根与集文氏图解决集合中元素个数的问题 合问题 2 2 一元二次不等式的解法二次函数图像的应用 2 3 其他不等式的解法数轴、绝对值函数图像的应用 9 2 4 基本不等式及其应用两个基本不等式的几何解释 2 5 不等式的证明 可以用图形直观说明不等式的成立 3 1 函数的概念以图形判别是否是函数 3 3 函数的运算形象化理解和函数的概念 渐近线的初识 3 4 函数的基本性质图像对称性与函数奇偶性的等价性 奇偶性、单调性、最值、二分法探求函 图像增减趋势说明函数单调性 数的零点近似值以图像理解函数的零点 4 1 幂函数 以图像记 乙函数的性质 4 2 指数函数的图像与性质 以图像彳己忆函数的性质 4 3 借助计算器观察函数递增的快慢函数图像的精确化 4 5 反函数的概念 函数y = 厂( x ) ，x d 与其反函数 y = 厂1 ( x ) 图像关于直线y = x 对称 4 6 对数函数的图像与性质以图像记i 乙函数的性质 课题一声音传播问题通过具体的数学模型，作出函数图像， 选取合理函数模型，拟合具体函数。初 步体验数学建模的过程、方法。 5 1 任意角及其度量准确判断角的终边在平面直角坐标系 中的位置，为三角比的学习打下基础。 5 2 任意角的三角比借助单位圆理解角的三角比( 正弦、余 弦、正切) 与圆上点的坐标之间的关系， 以图形直观的理解三角比值，避免死记 硬背一些特殊角的三角比值，也为之后 的三角函数、三角方程、三角不等式的 学习打下基础。 1 0 5 3 同角三角比的关系和诱导公式同角三角比的八个关系可利用单位圆 有关线段推得( 不如三角比定义) 可利用单位圆上点的对称性理解诱导 公式。 5 4 两角和与差的余弦、正弦和正切利用单位圆和两点间距离公式证明两 角差的余弦公式。 6 1 正弦函数和余弦函数的图像与性通过正弦线转化为正弦函数图像的过 质程，总结“五点法”作图，以形成整体 的正弦函数图像的概念。 6 2 正切函数的图像与性质通过正切线转化为正切函数图像的过 程，总结正切函数的图像与性质。 6 3 y = a s i n ( o 嘎x + t p ) ( a o ，国 0 ) 的图 借助辅助教学手段，如几何画板、t i 图形计算器或其他媒介，研究函数 像与性质 y = a s i n ( a r c + 妒) ( a o ，国 0 ) 与 y = s i n x 图像和性质之间的关系，总结 中学阶段可研究函数性质，以及研究各 个函数性质的方法，以及函数图形之间 的伸缩、平移变化等。 6 4 反三角函数通过反三角函数图像进一步加深对反 函数概念的理解。 6 5 最简三角方程利用三角函数或单位圆解三角方程。 7 1 数列 数列项的序数n 与其对应的用坐标 ( 刀，a n ) 表示，图像为一列散列的点。 7 2 等差数列以图像说明等差数列通项公式与一次 函数的联系与区别。 7 7 数列的极限通过图像直观理解数列极限的概念 3 2 形结合数的思想方法 可以说凡是需要定量的几何问题必须通过一定的计算来解决，高中阶段的隶 属于解决“形”之问题范畴的向量的坐标表示、平面解析几何( 直线、圆锥曲线) 、 空间图形和简单几何体的研究几乎都需要“数来结合。数不但简单的指运算， 更为重要的是总结出一种通性和通法来解决有关于形的问题。 特别是上海现行数学教材相比对于前期的上海数学教材、相比对于外省市数 学教材而言，平面解析几何中坐标平面上的直线这一章节弱化了直线方程的 截距式，增加了点方向式与点法向式；两条直线的位置关系判定也借助于二阶行 列式进行运算，并与向量相结合解释；两直线的夹角公式也与向量相统一，抛弃 了直接用两直线斜率与两角差正切公式相结合求夹角的方法；点到直线的距离问 题中更提出了用运算解决点关于直线相对位置的通用算法。可以说这一章节中无 处不见向量的影子，无处不能感受到教材力图在每一个角落展现用数的方法来解 决形的问题。教材前后编排统一，力图为学生创造一个解决“形”问题的通性通 法，也与当今社会计算机高速发展、算法思想高速发展的大环境相契合。 通过坐标平面上的直线的学习，学生可以感受到形与数的完美结合，感受到 数学的飞速发展。数学家、莫里斯克莱因指出：“在1 7 世纪早期，数学实质 上依然只是一个几何体系，代数则居于附庸地位，这个体系的核心是欧式几何。 解析几何的引入，使代数获得了新生，也使变量数学的发展有了一个好的开端， 并为微积分的诞生准备了条件1 2 。正像解析几何的创始入笛卡尔所主张的“采 取几何学和代数学中一切最好的东西，互相取长补短。 第1 4 章空间直线与平面和第1 5 章简单几何体构成了高中立体几何 部分。相对于上一期教材弱化了线面垂直的性质定理，三垂线定理，面面平行的 性质定理等定理，要求学生具备一定的空间想象能力，对于计算却好似故意埋一 伏笔在此，待到学习空间向量时再统一的予以解决。总之，课本中对文理科学生 统一要求的立体几何知识还是以定性为主，对于较复杂的线线角、线面角、面面 角的计算则放置于了高三理科教材的空间向量一章中。 1 2 上海市中小学( 幼儿园) 课程改革委员会高级中学课本数学教学参考资料高中二年级第二学期【m 1 上 海：上海教育出版社，2 0 0 8 p 3 1 2 目录二：用“数”的方法帮助理解、解决“形的问题 课本章节以数解形 课题三平面图形的矩阵变换通过平面图形的矩阵变换，了解矩阵变 换的几何意义矩阵作为扩充的数系， 用以解决平面图形的放缩、旋转变化问 题。 9 4 三阶行列式用行列式表示平面直角坐标系中的三 角形面积公式，以及同一平面上三点共 线的充要条件。 1 1 1 直线的方程利用向量刻画直线的方向特征，用坐标 法建立形与数之间关系。 1 1 2 直线的倾斜角和斜率明确直线可用代数中的二元一次方程 来表示。 1 1 3 两条直线的位置关系运用二元一次方程组的解的个数来讨 论两条直线的位置关系；用直线的方向 向量来推导和总结两直线的夹角，相比 较用斜率而言避免了遗漏的情况。 1 1 4 点到直线的距离运用点在直线法向量上的投影的绝对 值来推导点到直线的距离( 此方法也同 样适用于点到平面的距离) 通过艿：喜饥；c 值的正负确定点 4 a 2 + b 2 关于直线的相对位置。 1 2 1 曲线和方程构建起曲线和方程之间的一一对应关 系，即构建其形与数之间的一一对应关 系。 1 2 2 圆的方程曲线与方程等价性的初步认识 1 2 3 椭圆的标准方程利用椭圆的定义( 几何意义) 推导椭圆 的标准方程 12 4 椭圆的性质会通过方程来研究椭圆的性质 1 2 5 双曲线的标准方程利用双曲线的定义( 几何意义) 推导双 曲线的标准方程 1 2 6 双曲线的性质会通过方程来研究双曲线的性质 特别关注用代数方法来证明渐近线 1 2 7 抛物线的标准方程利用抛物线的定义( 几何意义) 推导抛 物线的标准方程 1 2 8 抛物线的性质会通过方程来研究抛物线的性质 1 5 5 几何体的体积初步认识微积分的思想 3 3 数形统一 三角函数、复数、向量本身就是以几何元素和几何条件为背景建立起来的 “数”的概念”，所以在这些问题中更要注意数形统一。 例如，解斜三角形中已知两边一邻角，三角形解的个数问题，即可用图形解 决，又可用代数( 判别式法) 解决，课本中强调了这两种解题方法的辨证统一。 又如，早在十六世纪数学家就不得不引进负数的平方根的表达式，但“虚数 这个词说明了这个表达式曾被认为是有某些虚构和不实际的东西。直到十九世纪 初时，复数运算有了简单的几何解释，这才消除了人们对复数的合理性的长期疑 虑1 4 。充分说明复数几何意义对于复数的重要性。 而向量更是上海高中数学教材中最为特色的部分。 比如课本上的例题：求i i ec o s ( a 一卢) = c o s ac o s f l + s i n as i n f l 幅 证明：建立平面直角坐标系，点层、昱是单位圆上两点， o p , 、吡与x 轴正方向的夹角分别为a 、卢， 则向量a = 镅= ( c o s a ，s i n a ) ，b = 必= ( c o s f l ，s i n 3 ) 。 1 3 蔡小雄更高更妙的高中数学思想与方法i m i 第二版浙江：浙江大学出版社，2 0 1 0 ，p 5 2 4 r 克朗h 罗宾什么是数学对思想和方法的基奉研究【m 】增订版左平张饴慈上海：复旦 大学出版社，2 0 0 8 1 0 7 5 上海市中小学( 幼儿园) 课程改革委员会高级中学课本数学高中二年级第一学期f m 】上海：上海教 育出版社，2 0 0 7 p 6 8 1 4 因为口- b = lai ibc o s ( a - e ) = c o s ( a p ) ， 又因为向量数量积的坐标表示为a - b = c o s ac o s f l + s i n as i n p ， 所以c o s ( a 一卢) = c o s ac o s f l + s i n as i n 3 本例用向量方法证明了两角差的余弦公式，充分体现向量的几何与代数的双 重性。 在复数、向量的部分作为教师也应多注重一题多解，以避免学生对于“数” 解或“形”解中某一种方法的迷信。 【例】已知：iz + il _ l ，z c ，lz - _ 口fl ( a r ) 的最大值为3 ，则a = 。 数解：设z = x + 少( x ，y r ) ， 由iz + fi = 1 得x 2 + ( y + 1 ) 2 = l ， 即工2 + y 2 + 2 y = 0 。 又f 爿三一a i l = 归i 而= 归巧万丽= 、( 2 a - 2 ) y + a 2 且y 一2 ，0 】，t 的最大值为3 ， f 2 口一2 0f 2 口一2 二的解集为 x 设计目的：用图形解决不等式问题是否能够提高解题正确率? 第一感觉：形解( 1 4 人) 数解( 5 4 人) 最终解决： 表4 1 图形解决代数解决数形共同解决未能解决 正确错误正确错误正确错误 人数 1 074 74ooo 用代数解决的正确率高达9 2 2 ，而用图形解决的正确率仅为5 8 8 。这个 结果出乎意料之外，特别是对于用图形解决的正确率的结果。反思一下，使用图 形解决错误的同学答案都是( 硼，o ) u ( o ，1 ) ，图形均没有问题，他们所遇到的障碍 是一维变为二维之后，横、纵坐标的混淆。因此，所见的、真实的图形结果正确 的转化为代数结果也是数形结合解题的一个关键步骤，数形专数的转化，一步 也来不得差错。 2 、求证：x 2 2 x 一2 设计目的：形是否能够取代数的运算? 第一感觉：形解( 4 人) 数解( 6 4 人) 最终解决： 表4 2 图形解决代数解决数形共同解决未能解决 正确错误正确错误 正确错误 人数01 22 62 7l02 本题为课本上不等式证明部分的例题，以比较法证明不等式后配以图形说明 二次函数图像完全在一次函数上方。用代数方法解决的错误率达到了一半以上， 1 9 基本是源于证明逻辑的错误，误把分析过程错认为证明过程而导致的。而有 1 7 6 的同学直接通过作图来证明这一事实，课本上明确指出了图形只能作为说 理的过程，而不能作为证明，这是在使用数形结合解题时一定要注意的问题。 3 、函数y = 上i x l - 1 的单调递增区间是 设计目的：学生是否能掌握函数作图，并正确读出函数图像中所蕴含的函数 性质? 第一感觉：形解( 3 9 人) 数解( 2 9 人) 最终解决： 表4 3 图形解决代数解决数形共同解决未能解决 正确错误正确 错误 正确错误 3 22 5 人数 515 ( 2 2 + 1 0 )( 1 2 + 1 3 ) 本题为函数部分的课本例题。用代数解决的2 6 位 同学其过程基本为y 单调递增，则ix i _ 1 单调递减，则 ( - - - 0 0 ，0 为所求单调递增区间，其中又有1 3 人发现定义 域的限定，故答案为( 棚，一1 ) u ( 一1 ，0 】，但这仍不能算 作是标准答案。唯一一名用代数方法解答正确的同学 j y l 1 | ) 一 l2j f 。 ： _ 、 一 i 图4 1 在一旁注明了由计算器得，笔者认为其本质还是属于描点法作图。用图形解决的 同学对于y = x i - 1 的图像较为熟悉，能够正确作出，所遇到的障碍其一是取倒数 时没有注意到单调性的转变，其二是作出图像后仍不能清楚的描述所看到的结 论，指出函数在两个区间上分别单调递增。还有个别学生的图形虽然凹凸性是错 误的，但没有影响到判别单调性。 由此笔者所得到的启发有：1 、引导学生用好计算器作为有益的辅助解题工 具。2 、尽量使用图像来探究未知函数的性质。3 、高中阶段的函数图像凹凸性问 题之难以解决性是否会影响问题解决。 2 0 4 、在a a b c 中，a = 3 0 0 , c = 3 ，a = 5 ，则此三角形解的个数是 设计目的：解斜三角形问题，作图与余弦定理的正确率谁高谁低? 第一感觉：形解( 5 4 人) 数解( 1 4 人) 最终解决： 表4 4 图形解决代数解决数形共同解决未能解决 正确错误正确错误 正确 错误 人数 2 416 2 062 本题为课本解斜三角形部分的例题变形。第一 感觉用形解的同学占了7 9 4 ，其中有1 3 人( 2 4 ) 在解题过程中转而用代数方法解决，并且都得到了 b 正确的解答。用代数解决错误的同学原因在于余弦a 定理得b 两解后忽略b 作为边长要大于o 。 cc 图4 2 而用图形错误的同学所做图像基本都如右图，完全忽略边的长短，故而回答 有2 解。 一 本应作为一个用图形解法能够又快又准回答正确的题目，由于学生作图的草 率而得到错误答案，在渗透以形解答问题的时候不得不再强调所做图形的相对准 确性。 不等式s i i l x 三2 的解集是 设计目的：考察学生用数形结合思想方法解决三角不等式问题。 第一感觉：形解( 5 3 人) 数解( 1 5 人) 最终解决： 表4 5 图形解决代数解决数形共同解决未能解决 正确错误正确错误正确错误 人数 4 01 7740oo 最简三角方程可以通过背公式来解决，但是碰到三角不等式问题时，习惯于 2 1 背公式解决问题的同学则碰到了障碍，s i n x = 三的解为x = k r r + ( 一1 ) 等( 七z ) ， zo 但现在碰到的题目形式是不等式，就有同学把此不等式的解集直接写作了 x i x k r r + ( 一1 ) 等( 七z ) ) ，可见这些同学并没有真正的理解三角比、三角函数 o 的意义。只有把单位圆牢记于心，把三角函数图像牢记于心，才可算是真正掌握 三角知识。相信就算最终是选择“数 来解决此问题的学生，虽未在问卷上出现 图形，但在脑海中肯定会有图形浮现。正像一位同学在问卷描述的对于数形结合 的理解“心中有形，卷中无形。 6 、首项大于0 的等差数列 ) ，前n 项和为瓯，s 。= 0 ，则数列的前 和最大。 设计目的：面对数列，学生能否想到它也可以是一种特殊的函数? 第一感觉：形解( 9 人) 数解( 5 9 人) 最终解决： 表4 6 图形解决代数解决数形共同解决未能解决 正确错误正确错误正确错误 人数1 0 33 02 50oo 数列很容易的被归入纯代数的范畴，但课本在数列第1 节便指出了可把 数列通项公式理解为定义域为自然数的特殊的函数。多数的同学选择了代数解 决，那么这些同学所要跨越的思维障碍有： s 3 ：1 3 口l + 堡尝d ：o 口l + 6 d ；o ooo0 0 oo og s 3 = o 转化为q 与d 的关系 瓯嘲+ 掣d 硼+ 掣( 一分一是圳聍) = 一卺【。一罢) 2 + 了1 6 9 j _ 转化为关于n 的函数，正确配方 o 玎，口l 0 ，故疗= 6 或7 时，最取