（教育学专业论文）高职学生学习“导数的应用”所遇到的困难及教学对策.pdf

h i g h e rv 6 c a t i o n a l s c h o o i ，ss t u d e n t s d i f f i c u i t yi n s t u d y i n gt h e a p p c a t i o no fd e r v a t i v ea n dt h ec o r r e s p o n d i n gd i d a c t i c ss t r a t e g y b y s h e n s u p e i s o r ：p r o b a oj i a n s h e n g ad i s s e r t a t i o ns u b m i t t e dt o t h ed e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c si n e a s tc h i n an o 姗a lu n i v e r s i t y i np a r t i a lf u l f i l l m e n t o ft h er e q u i r e m e n t s f o r t h ed e g r e eo f m a s t e ro fe d u c a t i o n o c t o b e r2 0 1o i i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文高职鹄生学习“导数的应用所遇到的困 、， 难及教学对策，是在华东师范大学攻读硗生博士( 请勾选) 学位期间，在导师 的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 日期：五汐年，月】日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 高职学生学习“导数的应用 所遇到的困难及教学对策系本人在华东师 范大学攻读学位期间在导师指导下完成的磺孟博士( 请勾选) 学位论文，本论 文的研究成果归华东师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留和 使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网送 交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库 被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据 库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式 合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密”学位论文拳， 于年 月r 解密，解密后适用上述授权。 ( y ) 2 不保密，适用上述授权。 翩签名趁丛本人签名渔箜 奉“涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定 弘必年| 旯叫b 过的学位论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方 为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权) 。 沈易硕士专业学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 赵小平副教授华师大主席 陈月兰副教授华师大 天烈康副教授华师大 吕长虹教授华师大 丁亿高级教师静教院附校 i v 摘要 本次研究结合作者在高等职业学校的教学进行，目的在于分析学生在相关内 容学习中的困难，并探寻有效的教学措施研究涉及“导数的应用的教学，包 括“中值定理 、“函数的单调性、“函数的极值与最值 和“曲线的凹凸性”四 个部分在研究中，通过在每次教学后对案例学生的访谈，以及在每一部分教学 内容完成后在( 两个) 班级中进行的测试获得反馈信息通过这些反馈，及时对 教学的效果作出评价，并据此调整下一阶段的教学策略 教材上这一章内容的显著特点为多种表征在教学中的综合使用，主要体现在 所有概念和定理都借助于图像引入，而需要学生解决的问题则以符号运算为 主文献指出，表征是在数学教学中必须得到考虑的重要因素一方面，抽象的 数学对象和关系知识必须通过某种表征得到外显和传递；另一方面，不同的表征 所传递的信息以及传递信息的效率是不同的，在教学中必须通过不同表征的组合 才能使学生对其所代表的数学对象有一个较为完整的理解；此外，学生必须能区 分数学对象的表征和数学对象本身通过对教学反馈信息的分析，可以发现在函 数的单调性和极值部分，图像表征能够有效支持学生对计算过程的理解，与之相 比，图像在中值定理部分的作用则并不显著由此可以得出结论，虽然学生在解 决本章问题时不可避免地以模仿式的算法推理为主，但学生对所模仿的计算方法 的理解和掌控，则决定于符号和图像两种表征在教学中所形成结合的紧密程度 根据以上的分析，作者对于导数应用部分在高职的教学提出了自己的看法 关键词：表征，推理方式，教学策略 v a b s t r a c t t l l i sr e s e a r c hi si m e 掣锨e dw i t ht l l ec o u r s et l l ea u 胁o rc a r r ) 皿go u ti i lal l i 曲e r v o c a t i o n a ls c h o o l ，a i l da i m sa tu n d e r s 伽1 d i i l g 孤dc o p i n g 埘t ht 1 1 ed i m c u l t i e sg c u d e m s e x p 嘶e n c e d ，n l ep a r to fc o i l r s ei n c l u d e di 1 1t 1 1 i sr e s e a r c hi sa p p l i c a t i o no fd e r i v a t i v e ， w h i c hc a l lb ed i v i d e di n t of o u rp a r t s ：t h em e a l lv a l u et h e o r e m ，也ej u d g m e n to f m o n o t o l l i c i 够f o rd i 伍。r e n t i a b l ef i l n m i o n s ，t h e ( 1 0 c 州g l o b a l ) m a x i m aa i l dm i l l i m 鸟a n d t 1 1 ec o n c a v ea i l dc o n v e xc u r v e s ，d u r i n gt h er e s e a r c h ，t l l ef e e d b a c ki sc o l l e c tm a i l l l y v i ai n t e r v i e wi i l l 】 n e d i a t e l y 疆e rc l 弱s ，a n dt e s t 、) l ，h e ne a c hp a ni sf i i l i s h e d 1 1 1 ed a t ai s t l l e ne v a l u a t e df o r t h ed e s i 弘o ft h ef o l l o 晰n gl e s s o n s t h em a i nf e a ：t u r eo f 恤sc h a p t e ri st h eu s eo fm u l t i p l er 印r e s e n t a t i o n s ，谢t hi t s c o n c e p t so rt h e o r e m si n t r o d u c e db y 鲈a p hw h i l em o s to ft h ep r o b l e m ss t u d e n t ss 0 1 v e n e e ds y i n b o l i cc a l c u l a t i o n a sl i t e r a ：t u r ep o i n t so m ，t h er e p r e s e n t a t i o ni sac m c i a l f a c t o ri nt e a c h i n gm a t h e m a t i c s f i r s t ，a b s t r a c tm a m e m a t i c a lo b j e c t sa n di t sr e l a t i o n s c 籼o tb ee x p r e s s e dw i t ho u tr e p r e s e n t a t i o n ；s e c o n d ，d i 丘i e r e n tr e p r e s e n t a t i o n sc o n t a i n d i 行e r e n ti n f o m l a t i o no ft h es 锄eo b j e c t ，o re x p r e s st h es a m ei n f o m a t i o ni nd i f f e r e n t e a e c t i v e n e s s ，s ot h ec o u r s em u s ta c c o m m o d a t ed i 成r e n tr e p r e s e m a t i o n st 0m a ) 【i r n j z e s t u d e n t su n d e r s t a i l d i n g ；t h i r d ，t h es t l j d e n t sm u s t1 e 锄t 0s e p a r a t eo b j e c t s 丘o mi t s r e p r e s e n t a t i o n s 1 1 1t h i sr e s e a r c h ，g r a p h sp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei ns u p p o n i n g 咖d e m s s 0 1 v i n gp r o b l e m so fm o n o t o l l i c i t ) ，a n de x t r e m ev a l u e s ，b u tm e a l l sl i m ew h j l es _ t u d e n t s s o l v ep r o b l e m sr e l 纳e dt om e a nv a l u et h e o r e m b e c a u s eo ft h a t ，i tm a yb ec o n c l u d e d t h a te v e nt h er e a s o i l i n gs u t d e n t su s e dd 1 1 r i n gt h el e s s o n si n l i sr e s e a r c hc a na l w a y sb e c l a s s i f i e da si m i t a t i v e ，t h ei m i t a t e dp r o c e d l i r e sm a ym a l ( e ss e n s et os t u d e n t sw h e nt h e g r a p h 觚ds y m b o l i cr e p r e s e n t a t i o n sc a l l1 i i l ku pc l o s e l y b a s e do nt h ea i l a l y s e s ，t l l i sa r t i c l ep u tf o n a r di t so w ni d e aa _ b o u t t 1 1 e i n s t m c t i o no fa p p l i c a t i o no fd e r i v a t i v ei nh i g h e rv o c a t i o n a ls c h 0 0 1 k e yw o r d s ：r e p s e n t a t i o n ，r e a s o n i n gt y p e ，d i d a c t i c ss t r a t e 野 目录 摘要v a b s t r a c t v i 1 简介1 1 1 研究的背景1 1 2 研究的理由和条件2 1 3 研究的问题和目的4 2 文献综述及理论框架5 2 1多个理论框架在数学教学研究中的作用5 2 2 关于表示方法的研究7 2 3 有关教学过程的研究1 2 2 4 国内关于高等职业学校数学教学的研究16 2 5 文献研究的结论1 9 3 研究方案与设计2 1 3 1 研究问题与时间2 1 3 2 研究对象2 1 3 3 研究过程及方法2 2 4 研究过程2 4 4 1 研究前期阶段2 4 4 2 拉格朗日中值定理的教学2 6 4 3 函数单调性的判定法的教学4 4 4 4 函数的极值及其求法函数的最大值和最小值的教学5 8 4 5 曲线的凹凸和拐点的教学7 1 4 6 后测及调查问卷情况分析8 3 5 研究结论9 2 5 1 对教学的回顾和反思9 2 5 2 前测、后测学生情况的比较：9 3 5 3 学生的错误和困难，以及教学对策9 4 5 4 本次研究的不足9 5 6 参考文献9 6 附录1前测试卷( 研究前一个月期末试卷) 1 0 1 附录2 调查问卷( i ) 1 0 3 附录3 后测试卷( 研究结束期中试卷) 1 0 5 附录4 关于导数的应用学习情况的调查问卷( i i ) 1 0 7 附录5 延期后测卷1 0 9 致谢。l10 1 1 1 1 研究的背景 1 简介 1 1 1国际上对微积分教学的研究 近年来，世界各地出现了诸多与微积分教学有关的研究如英国的j o h n m o n a g h a n ( 2 0 0 8 ) 、d a v i d1 砒l ( 2 0 0 1 ) 对“无限”有关概念的认识的研究，马其 顿的j o a n n am 锄o n a - d o w n s ( 2 0 0 1 ) 、以色列的i v yk i d r o n ( 2 0 0 8 ) 和西班牙的 j o a q u i mb 抽6 等人对极限概念有关教学所作的讨论，土耳其的e r h a i lb i n g o l b a l i 和j o l l i lm o n a 曲a n ( 2 0 0 8 ) ，以及西班牙的c e n cf o n t 和a n g e lc o n t r e r 2 u s ( 2 0 0 8 ) 对“导数 概念有关教学的研究，荷兰的k o e n oq a v e m e i j e r 和m i c h i e ld o o n r t a l l ( 1 9 9 9 ) 对使用现实主义数学思想指导微积分教学中的研究等这些使用不同框 架的研究，从历史、认识论、符号学、教学理论等不同角度对微积分有关内容的 教学进行了分析 与这些研究相应，不断有各种以减轻教学中各种困难为目标的尝试出 现e k m o m 在研究中将这些尝试归纳为： 源于美国，后传播至全球的“微积分改革运动 ( c a l c u l u sr e f o m m o v e m e n t ) ： 强调使用多种方法补充传统的微积分教学； 在高等教育前介绍微积分； 微积分教材的开发； 对于在微积分课堂教学中使用信息技术( c o m p u t e r - t e c l l i l o l o g y ) 有关项目 的介绍； 采用具有图形、数字和符号功能的便携式图形计算器 尽管有这些尝试，但学习微积分的道路仍然阻碍重重( t a l l & t i r o s h ，2 0 0 l ； a s p i n w a l l & m i l l e r ，2 0 0 1 ；j u t e r 2 0 0 4 ) 由于在高等数学中，对概念的理解和使 用更依赖于其数学定义，而非直观上的性质根据这一观点，微积分在一定程度 上可看作由初等数学向高等数学过渡性的中间态：一方面，微积分的部分重要概 念需要定义来进行严格的界定，如极限、收敛、连续性等，在问题的推导中必须 严格遵循这些概念的定义和数学性质方能得到正确的结论，不少内容超出大部分 初学者能直观理解的范围；另一方面，在微积分课程中，也有较多重要结论具有 直观性，如连续函数的介值定理、这次研究中所涉及的微分中值定理等这就决 定了一般学生在认识微积分时有两种参照系：一种是教材所给出的逻辑推理结 构，另外一种则是自身所具有的直观形象d a v i d 聊l ( 1 9 8 1 ) 的研究中，概念 定义( c o n c 印td e f i n i t i o n ) 可归为前者，而后者则属于概念意象( c o n c e p ti i i l a g e ) ， 两者间的差别可能导致冲突的因素( c o n m c tf a c t o r ) 在指导学生的学习中，教师 可以通过有意识地设置问题情境使学生认识到潜在的冲突因素，以促进学生概念 意象的进化一在教材和教法上，也应根据不同的学生及专业需要进行调整 1 1 2 国内职业教育的发展 随着我国经济和教育的发展，职业教育近年来得到前所未有的重视与发 展自2 0 0 2 年以来召开了三次全国职业教育工作会议，国务院两次下发关于发 展职业教育的决定全国中、高等职业学校招生规模达到2 0 0 8 年的1 1 0 0 万( 其 中中等职业学校招生8 1 0 万，接近当年普通高中招生人数( 8 3 7 万) 2 0 0 7 年开 始制定，经过近两年征求意见，即将颁布的国家中长期教育和改革发展规划纲 要( 2 0 1 0 _ 2 0 2 0 ) 将职业教育首次并列于高中阶段教育和高等教育之间，并明 确规定：合理确定普通高中和中等职业学校招生比例，今后一个时期总体保持普 通高中和中等职业学校招生规模大体相当纲要强调了把提高质量作为重点；要 以服务为宗旨，以就业为导向，推进教育教学改革，提升职业教育基础能力 面对这样一个庞大的群体，研究他们的特点和需要，指导和帮助他们完成微 积分的学习任务、理解并掌握必须的基础知识和基本技能是教学工作者的重要任 务 1 2 研究的理由和条件 1 - 2 1 研究的理由 根据h e r s h k o w i t z ( 2 0 0 1 ) 的研究，学生所获得的抽象知识结构在经过足够 2 的巩固后能够逐渐得到稳定这说明学生若有充足的时间和主观意愿，经过足够 的练习和思考之后，能从依赖于某种直观形象逐步向使用抽象的定义和性质转 变但实际教学并非理想状态，部分学生难以做到主动对自己的认知结构进行精 雕细琢在职业学校中，这一点尤为显著虽然不能否认职业学校学生和普通高 中学生存在共同点，但他们在某些方面相差甚远，一方面是两类学校设置的课程 和选用的教材及要求不同，更大的原因则是两类学校对学生入学的要求不同 根据教育部2 0 0 7 年制定的中等职业学校文化基础课程和部分专业技术基 础课程教学大纲汇编，“导数的应用”所包括的内容是：微分的定义及表达式， 微分的几何意义，函数单调性的判定法，函数的极值及其求法，曲率( 可选) 在 本次研究中，实际采用的教材则包括了中值定理与函数的单调性、极值、最值和 曲线的凹凸性虽然在各内容的安排上遵循逻辑顺序，但缺少能够表示这些概念 相互间关系的理论推导由此可以看出，职业学校学生在学习微积分时，接触到 较为严格的理论体系的机会不大从一方面来说，这当然降低了这门课程的门 槛但在学习这种缺少完整理论体系的教学内容，可能导致学生得到的概念、定 理和方法之间无法建立有效的联系 j o a q u i mb 砷6 等人的研究表明，单纯通过一。 盘 减少理论部分来降低教学内容抽象性的方法，会在实际上使数学的逻辑结构和具 体解决问题的技术之间产生断裂( b 砷6 ，e ta l ，2 0 0 5 ) 同时，由于职业学校学差一。 的知识基础相对较差，且缺少学习微积分所必须的物理知识，在本次研究中，甚 至发现部分学生没有简单的整式配方知识和“质点 、“速度 等概念 这些差别决定了对于职业学校的数学教学，不能被粗糙地看作高中数学教学 的添加或大学高等数学教学的简化版本，方法上也有所不同，对两者的研究也不 存在从属关系笔者注意到大部分微积分教学研究中的对象都是普通大学或中学 的学生，部分研究更是直接指出了这些学生在学习微积分时受到其他相关科目的 影响( b i n g o l b a l i & m o n a g h a n ，2 0 0 8 ) ，而本次研究的对象由于缺乏其他方面的知 识联系，他们对于导数的认识几乎是“纯数学的 在目前的研究中，较为多见的是考虑概念的教学，或者学生的解题策略，且 大多针对普通高等学校的微积分教学 有关高等职业学校微积分课程的教学研究，尤其是探求其中反映学生认知结 构和表征转化的文献、资料并不多见，作者试图从中进行探索在教学实践中感 到对于“导数的应用”这部分内容教学的研究，有助于理解命题意向的形成及其 对学生的解题策略、行为的影响同时，这一研究也是作者本身作为数学教师的 一个反思希望通过研究中多方面资料的学习，能近距离地观察高等职业学校学 生在数学学习中的习惯、方式和情感，有助于揭示和探寻数学教学在职业类学校 存在的问题及其深层次原因 1 2 2 研究的条件 作者在8 年的教学实践中，主要从事高等职业学校的高等数学教学，也同时 担任全日制重点高中的数学教学、在职教师成人教育中高等数学的教学任务教 学中有比较、有感悟，也积累了一定的素材 1 3 研究的问题和目的 本次研究对在读高等职业学校学生学习“导数的应用部分内容的情况进行 分析和解读通过作业和访谈，收集案例学生在学习“导数的应用一章前四节 内容过程中的各种信息和行为，包括对所学定理的认识、解题策略、解题时出现 的错误等，并以此作为调整下一步教学的依据在每一专题内容教学结束时，对 所学内容进行测试并分析四个专题内容结束时，为评价所有学生对本章内容的 掌握程度进行后测，检验学生对学习内容的整体理解和掌握并通过延期后测， 检验学生对有关内容掌握的牢固程度 通过研究，试图回答以下问题： 1 学生在学习“导数的应用 部分内容时有哪些困难，有哪些典型错误， 这些困难和错误的原因是什么? 2 学生的这些困难，是否可以通过一定的教学措施减轻或消除? 4 2 文献综述及理论框架 2 1 多个理论框架在数学教学研究中的作用 2 1 1 研究框架的作用 一般认为，在教学研究中的结论，与研究人类在社会环境中其他行为一样， 极大地依赖于基础假设，处理问题的总体方式，和所使用的理论与方法( c l l r i s t e r b e 唱s t e n ，2 0 0 8 ) 在这样的背景下，使用一定的框架( 1 j r 锄e w o r k ) 就成为研究 的必要条件根据l e s t e r 的观点，框架可以被看作想法( 如抽象和关系) 的一个 基本结构，这一结构是调查研究现象的基础，由所采用的研究视角决定表现出的 相关方面，并作为一个引导与将研究概念化的视点因此，框架提供了包括一个 用于指导研究并将之概念化的结构，包括研究问题和所用概念的本质，和如何分 析数据，使之能超越常识( c h r i s t e rb e r g s t e n ，2 0 0 8 ) 作为一个由相关概念、语 言、方法等组成的工具，框架提供了研究者发展模型和理论的工具( l e s h & _ 禳 s r i r 锄趾，2 0 0 5 ) 童 随数学教学研究由量向质转变的趋势，研究框架的数量不断增加( s i l v e r & h e r b s t ，2 0 0 7 ) ，这也是数学教学研究进化的结果( l e s h & s r i r 锄a 1 1 ，2 0 0 5 ) 稂 据e i s e l l l l a n 于1 9 9 1 年进行的分类，框架可归为三类：理论的( t h e o r e t i c a l ) ，实 际的( p r a c t i c a l ) 和概念的( c o n c e p t u a l ) 其中理论的框架主要是一个依赖于某 一正式理论指导研究的结构，其便于系统化的研究进程，但有可能导致脱离实际 的学院式研究，从这一角度说，理论的框架更接近于意识形态( l e s h & s 血撇a i l ， 2 0 0 5 ) ；相反，实际的框架则基于积累的经验，使用“可行的方法 来指导研究， 其与实际教学紧密相关，但缺陷在于少有普遍的标准和存在局内人视角的狭窄 性；概念的框架则是用于验证的提纲性结构，不同于使用正式理论的解释和使用 积累的经验，取决于研究者对于研究问题有关方面的思考，概念框架可基于不同 的理论和实践经验由此看出，概念框架在使用中具有较大的灵活性，一般需要 根据具体的研究进行选择因而，即使要在研究中使用已有的框架，往往也需对 之进行一定的修改 5 2 1 1 在一次研究中使用多个研究框架 根据融c h a r dl e s h 和b h 硼a _ ms r i r a m a l l 的观点( 2 0 0 5 ) ，数学教学研究的目的 并非回答那些措施有效或无效，而是要深入阐述为什么会有效或无效但问题在 于数学教学是一个复杂系统，整个系统的性质并非每一个元素性质的简单合并， 将这些因素逐个独立研究的结果对整体来说缺乏意义这决定了在数学教学的研 究中，不能依赖于一组简单的对应关系来理解蕴藏的规律，而需要从多个角度进 行分析各个不同的理论视角提供了处理教学过程的不同途径，各研究框架的不 同，决定了它们能在研究中起到互补的作用( i v yk i d r o n ，2 0 0 8 ) 当然，在使用 不同研究框架时，需考虑到每一种处理方法均有各自的焦点，在获得互补性带来 的便利时，应当确保不同研究框架与其基本假设的明确关系 考虑到以上的讨论，本次研究决定主要采用多个框架：符号系统( s e m i o t i c ) 和表征( r e p r e s e n t a t i o n ) ，以及解释学生推理过程的有关框架 一方面，研究已经反复显示，很大一部分学生对微积分缺乏牢固的理解 ( b b a k e re ta 1 。2 0 0 0 ；z a c h a r ) r ，2 0 0 4 ) a n d r e wm g l e a s o n 在1 a l y o r 的微积分 教材前言中写道：尽管有越来越多的学生学习微积分课程，但能从经验中形成有 用知识的却越来越少学生学到的，经常只是脱离意义的符号运算，甚至有部分 学生不能完成这一课程对很多学生，他们对符号的处理和对其所代表概念的理 解之间存在差距( z a c h 龇y ，2 0 0 4 ) 能够进行计算并不代表其对过程与结果的数 学含义的理解对固定解题步骤的遵循不依赖于对具体含义的理解( g o l d i n & s h t e i n g o l d ，2 0 0 1 ) 这说明在教学中，应当更注重于发展学生对于概念的认识 ( c h a r i 够a 1 1 1 1h y e r ，2 0 0 7 ) 在导数的应用这一部分内容的教学中，需要涉及如 导数、单调性、极值、最值和凹凸性等多个概念，本次研究将获得这些概念所形 成的概念意向的有关信息，和如何在教学中引导正确的概念意向的形成 另一方面，在教学的任一阶段，有关的知识都必须通过一定的符号系统来表 示，这就意味着在教学研究中，对于符号系统的使用将直接影响最终结果同时， 各个概念以及他们之间的联系是形成概念意向的条件，而无论是概念本身还是它 们之间的联系都不能脱离具体的表征而存在( 吼o n dd u v a l ，2 0 0 6 ) ，对于表征 的应用将影响概念意向的形成另一方面，在访谈中，能够观察到在学生被激发 的概念意向( e v o k e dc o n c e p ti m a g e ) 中，各概念及它们之间的联系是如何用不同 6 表征来联系的，这对于在教学中多种表征的使用有着指导意义 最后，在教学中，教师所教一般不等同于学生所学，同时，学生所学也并不 被简单的包含于教师所教的内容( h o f h n a t l l l ) 教学是一个以教材为基本工具， 教师和学生进行互动的社会性过程，对这一过程的解析和干预不能脱离相关理论 的研究结果因而在本次研究中，将参考教学研究的思想、结果和相关理论，如 有关教学过程中师生行为的人类学理论( a n t h r o p o l o g i c a jt h e o r yo f d i ( 1 2 l c t i c s ，简 写为a t d ) ，以及s 骶e d n a i l d 的教学思想对教学结果的评价则往往以学生完成 各类问题来进行，因此也必须考虑到学生的解题策略，如模仿和创造式的推理方 法 以下将简述有关研究和研究框架 2 2 关于表示方法的研究 毫馏 h o 胁锄认为，由于无法直接理解和经历数学中的对象和客观性质，因此， 我们需要符号和表征表征是达成数学认知的中介：数学活动通过可见的符号进 协z 行，而对符号的解释与变换则使我们的数学知识获得发展另一方面，符号既是 思考数学对象与关系的途径，也是这一思考的结果h o 胁锄断言，在数学教 学中的交流必须通过符号进行因此，在教学中需要考虑的问题为：( 1 ) 如果数 学对象与关系离开符号无法被理解，另一方面，它们也无法通过某一种表示方法 被简单地确定，那么如何理解这些对象与关系? ( 2 ) 数学对象的实例与它们被 用来代表的对象间存在怎样的关系? 学生如何理解这种特殊与一般间的关系? 在本次研究的教学中，中值定理通过几何直观进行推导，学生必须通过所给出的 具体函数图象，了解满足定理条件的一般情况( 3 ) 符号在被使用过程中获得其 含义，而非之前，而教师所使用的符号经常被学生赋予另外的含义如在中值定 理教学中，符号“f ”被学生认为具有某种特殊的含义( 4 ) h o 胁a n n 认为， 从符号学的角度，学习数学可被看作获得通过各种数学传统所提供的表征适当地 表达自身的能力( h o 胁a 1 1 1 l ，2 0 0 6 ) 因此，需要考虑在教学中如何恰当地表示 数学知识，以及如何使学生学会恰当地表示数学知识 7 2 2 1 外部表示和内部表示 从字面上看，表象指代表某物的一个形象，或是指用以代表另物的某物但 在数学教学研究中，表象需要更精确的含义，根据s e e g e r ，v o i g h t 和w - e r s c h e s c i o 于1 9 9 8 年的归类，表象可以被看作： 任何带有具体内容的心理状态( m e n t a ls t a t e ) ： 前一心理状态的重现； 图画、符号或标志； ， 须在语言中体现含义的符号工具； 用以代表另一物的某物 根据上面的归类结果可以看出，一般来说表象可划分为两类：内在的表象和 外在的表象内在的表象并不能被直接观察到( k a p u t ，1 9 9 1 ) ，但可以从人类行 为中推知，用以描述数学思考和解决问题过程中某些方面的个体认知结构 ( g o l d i n & j 趾v i e r ，1 9 9 8 ) 它可以是外界通过个体的语言和有章法的行为所观 察到个体的看法、( 错误) 概念( p i a g e t ，1 9 2 3 ，1 9 2 6 引用于d u v 叱2 0 0 6 ) 外 在的表象则是可以被看作代表数学观点的结构化的物理情境( g 0 1 d i n & j a n v i e r ， 1 9 9 8 ) ，是根据一定规则所产生的用于表示一个系统、过程或现象的符号与它们 的复杂组合( d u v a l ，2 0 0 6 ) 对个体来说，内在的表象位于思想内部，是由个体 独立创造的，可以是图象、解决问题的方法或某种图式；而外在的表象存在于个 体周围的现实环境，须符合一定的惯例，以便于不同个体的交流( e d w 矾， 1 9 9 8 ) j 讶i ez h a n g ( 1 9 9 7 ) 对外部表征在解题过程中影响的研究中，将外部表 征定义为以符号、物体与图象，以及包含于物理设定中 的规则、限制和关系等形式在环境中出现的知识与结 构而内部表征为以命题、结论、图式等形式保存在记 忆中的知识与结构( j 蝎i ez h a n g ，1 9 9 7 ) 1 9 9 4 年，k a p u t 回应了构建主义( c o n s 仃u c t i v i s t ) 的观点，认为表象行为 被包含于被表示的对象与表示的对象之间的联系，认为 应当通过建立在符号和其所指代的对象间建立联系来达 到有意义且长久保持的学习，这一观点可通过图2 1 表 内在表象 丁 相互作用 i 外在表象 图2 一l 内外表征的联系 示因此外部表象的作用并非仅为向内在表象输入信息，根据z h a l l g 和n o m a l l ( 1 9 9 4 ) 的观点，即表征在发挥作用时既不是完全外部的，也不是完全内部的， 而是两个相互影响，不可分割的部分他们认为，外部表象可以引导或限制、甚 至决定整个认知过程，这体现于三个方面：其一，外部表象提供了可以不需要通 过明确解释或确切表达而能被直接理解的信息；其二，外部表象的物理结构限制 了可能的认知活动的范围；其三，它们能够使问题的特征发生转变 2 2 2 表示方法对数学学习和思维的影响 r d u v a l 认为，为了理解很多学生在领悟数学过程中的困难，必须确定在不 同的数学过程背后的认知机制而这些认知机制都不能脱离在数学过程中出现的 各类表征d u v a l 将表征的变换( t 眦s f o r n l a t i o no f s e m i o t i cr e p r e s e i l _ t a t i o n s ) 分为 两类：在一个表征内进行的加工( 仃e a 舡n e n t ) 和在两类不同表征问进行的转化 ( c o n v e r s i o n ) 并认为，虽然从数学观点看，加工更加重要，但在数学学习中， 经常需要2 或3 种表征相互配合地使用，因此转化是基础的决定性因素此外， 转化的难度也高于加工，后者的执行主要决定于在此类表征中允许的符号变换规 则，而转化则需要在改变表象的同时保持对象的含义，而d u v a l 指出，这种变换 并非一一对应的d u v a l 同时认为，从认知角度来看，一个表征不足以揭示完成 数学教学过程对数学的理解起源于不同类型表征的配合与协调过程，而在数学 活动中也包括多种表征同时发挥作用的情况因此，只有通过转化而非加工过程， 才可以使我们认识到学习数学中认知的复杂性，而数学教学的首要任务也是培养 学生在不同表征间进行转化的能力( 吼o n dd u v a l ，2 0 0 6 ) 张在研究中( 1 9 9 7 ) 提出外部表征与内部表征是相互依存的，外部表征不仅 是输入和刺激，它可以引导或限制、甚至决定整个认知过程这体现于三个方面： 其一，外部表象提供了可以不需要通过明确解释或确切表达而能被直接理解的信 息；其二，外部表象的物理结构限制了可能的认知活动的范围；其三，它们能够 使问题的特征发生转变随后张通过对一个游戏及其同构( t i c t a c t o e 觚di t s i s o m o 印h s ) 的研究，验证了其所提出的解释外部表征在认知过程中作用的一个 理论框架这一框架认为，外部表征的作用不仅在于提供可以直接意识到的信息， 而且限制了在这些信息上可以进行的知觉操作( p e r c e p t u a lo p e r a t i o n ) ；内部表征 9 的作用则在于提供所储存的信息和进行认知操作( c o g l l i t i v eo p e r a t i o n s ) 2 2 3 图象在学习数学过程中的地位和作用 a b r a l l 锄心c a v i 在对于图象表征在数学学习中作用的研究中认为，首先，图 象可以从三个方面辅助符号表征：( 1 ) 利用中间状态，支持和说明关键的符号结 论( 在部分情况下自身即可提供证明) ；( 2 ) 是解决( j 下确的) 符号计算结果与 ( 错误的) 直觉冲突的可能途径；( 3 ) 是与在正式解答中忽略的理论基础重新建 立联系的途径其次，在解题过程中，图象能够成为个体摆脱不确定状态的工具， 甚至可以激发完整的解答过程，而不仅仅是在解答程序中的某些步骤以本次研 究中求函数极值的解答过程为例，这一系列解答步骤本身是利用几何直观得到 的，在此过程中所列出的表格也包含有一定因素的图象在内觚a v i 认为，在任 何情况下，个体联系图象直观的能力都可以有效地服务于问题的解答过程，并激 发创造性的解答最后，在证明过程中，虽然依赖于图象的证明往往被视为不严 谨的，但根据b 孙耐s e 和e t c h e m e n d y 的观点，图象形式的表征是数学证明中重 要、合理的元素( b a 删i s e & e t c h e m e n d y ，1 9 9 1 ) 心c a v i 认为，图象表征不仅能 引导分析式解答的发展，其本身也是一个正式的、带有一般性的分析解答过程但 觚a v i 同时认为，个体对于图象表征的解释是不同的，一幅图象可以将个体的思 想与一些( 专家看来) 无关紧要的细节相联系( p r e s m e g ，1 9 8 6 ) ：图象经常根据 明显的表面特征，而非内在涵义被评判且在使用图象表征时，还需要借助于其 所在的表征系统，当图象表征的前提或背景条件不同时，同样的图象也将表达不 同的含义根据以上理由，m c a v i 认为，图象表征并不应当被简单地看作解释和 说明的工具，而应当被看作推导过程的关键组成部分之一在本次研究的教学中， 需要在多处使用图象表征对用文字叙述的定理进行说明，而根据觚a v i 的分析， 当需要在同一情境的图象和分析表征中不断转化，正是出现认知困难的原因之一 ( a r c a v i ，2 0 0 3 ) 在研究中，a s p i n w a l l 认为，图象在数学教学中的作用并非是万能的，相反， 存在着“不可控制的”图象，这一类图象可以成为概念构建中的主要障碍尽管 在学习微积分时，学生掌握的图象能支持高层次的数学工作，但偶尔的，鲜明的 图象会失去控制，且当图象的影响越强烈时，所造成相应困难也越大在文中， 1 0 a s p 曲砌l 引用了p r e s m e g 的观点，认为不可控制的图象所造成的困难来源于个 体将思路固定于个别( 不恰当的) 图象上的倾向，这阻碍了数学结论向一般情况 的推广根据以上的叙述，此时学生的困难与h o 胁锄研究中提出的数学对象 的实例与它们被用来代表的对象间存在的联系有关而在本次研究的教学过程 中，学生有两处受到不可控制图象的制约，其一是对于函数单调区间内的有限个 驻点情况不能理解，其二则是难以根据函数的凹凸性画出相应曲线a s p i n w a l l 根据研究认为，正因为在微积分学习中不可控制的图象所带来的困难，所以更加 突出了在教学中与图象有关的指导的重要性( a s p i n v 嘲l ，e ta 1 ，1 9 9 7 ) h l 溅n 认为，符号表征( 如定理) 是按顺序排列的，而图象表征中，信息 则由在平面上的位置给出索引当两种表征含有同样的信息时，在计算上的有效 性就决定于能够在其上进行的信息处理操作( i n f o m a t i o n - p r o c e s s i n g o p e r a t o r s ) 在一种表征下可以进行的操作在另一种表征下可能会有较大的困难， ，二 特别是信息的搜索和清晰程度在图象表征中，所需参照的信息经常可以在一个 单独的点处发现，更进一步，下一步骤的线索也能通过临近位置得到体现，因此 h l a r l 【i n 认为图象表征能够更好地支持信息在计算中的有效使用如在本研究的 教学中，求函数极值的关键步骤：求驻点，确定定义域被驻点分割出的区间内函 数的单调性，都能在图象上给出明确的解释但h l a r k i n 也指出，尽管图象始 蹰妣： 终给出一些易于被知觉的结论，但这些结论未必能够在解决问题中发挥作用，因 此，只有那些能够知晓如何恰当使用它的人才能