概率统计的matlab求解.ppt

2019/12/5,1,第八讲概率统计的MATLAB求解,刘北战,2019/12/5,2,随机试验、样本空间与随机事件的关系,每一个随机试验相应地有一个样本空间,样本空间的子集就是随机事件.,随机试验,样本空间,随机事件,随机事件,基本事件,必然事件,不可能事件,两个特殊事件,1.1随机变量及其分布,2019/12/5,3,随,量,机,变,简记为r.v.,定义对于定义在样本空间上的每一个样本点有一个实数与之对应，则称实值函数,在样本空间上定义一种实值单值函数.,2019/12/5,4,离散型,定义如果随机变量所取的可能值是有限多个或无限可列个,并以确定的概率取这些不同的值，则为离散型随机变量.,随机变量,连续型,非离散型,其它,2019/12/5,5,分布律也可用表格形式表示：,设xk(k=1,2,)是离散型随机变量所取的一切可能值，称,为离散型随机变量的概率函数或分布律.,分布律的定义,2019/12/5,6,分布函数的定义,2019/12/5,7,连续型随机变量及其概率密度的定义,连续型随机变量的分布函数在上连续,则称为连续型随机变量,称为的概率密度函数，简称为概率密度或密度函数.,2019/12/5,8,超几何分布H(n,M,N),命令1：Fx=hygecdf(x,M,N,K)功能：计算超几何分布的累积概率，总共M件产品，其中次品N件，抽取K件检查，计算发现次品不多于x件的概率Fx=P次品数Xx=F(x)命令2：x=hygeinv(p,M,N,K)功能：在已知参数M、N、K和p的情况下计算随机量x，使得p=P0次品数Xx命令3：X=hygernd(M,N,K,m,n)功能：在已知参数M,N,K的情况下产生m*n维符合超几何分布的随机数矩阵X,2019/12/5,9,命令4：Px=hygepdf(x,M,N,K)功能：总共M件产品，其中次品N件，抽取K件检查，计算发现恰好x件次品的概率Px=PX=x注：以后碰到命令末尾为：rnd-产生随机数X；cdf-产生分布函数F(x)pdf-产生密度函数p(x)或分布律Px=PX=xinv-计算x=F-1(p)p=F(x),2019/12/5,10,二项分布B(n,p),命令1：Fx=binocdf(x,n,p)功能：计算二项分布的累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=binoinv(y,n,p)功能：计算随机量x，使得y=PXx命令3：X=binornd(n,p,M,N)功能：产生M*N维符合二项分布的随机数矩阵X命令4：Px=binopdf(x,n,p)功能：计算试验中事件恰好发生x次的概率Px=PX=x,2019/12/5,11,泊松分布XP(),命令1：Fx=poisscdf(x,lambda)功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=poissinv(p,lambda)功能：计算随机量x，使得p=PXx命令3：X=poissrnd(lambda,M,N)功能：产生M*N维随机数矩阵X命令4：Px=poisspdf(x,lambda)功能：计算概率Px=PX=x,2019/12/5,12,正态分布XN(,2),命令1：Fx=normcdf(x,mu,sigma)功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=norminv(p,mu,sigma)功能：计算随机量x，使得p=PXx命令3：X=normrnd(mu,sigma,M,N)功能：产生M*N维随机数矩阵X命令4：Px=normpdf(x,mu,sigma)功能：计算分布密度p(x)在x的值,2019/12/5,13,指数分布Xexp(),命令1：Fx=expcdf(x,lambda)功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=expinv(p,lambda)功能：计算随机量x，使得p=PXx命令3：X=exprnd(lambda,M,N)功能：产生M*N维随机数矩阵X命令4：Px=exppdf(x,lambda)功能：计算分布密度p(x)在x的值,2019/12/5,14,均匀分布XU(a,b),命令1：Fx=unifcdf(x,a,b)功能：计算累积概率Fx=PXx=F(x)命令2：x=unifinv(p,a,b)功能：计算随机量x，使得p=PXx命令3：X=unifrnd(a,b,M,N)功能：产生M*N维随机数矩阵X命令4：Px=unifpdf(x,a,b)功能：计算分布密度p(x)在x的值,2019/12/5,15,分布,命令:gamcdf(x,a,lambda),gaminv(p,a,lambda)gampdf(x,a,lambda),gamrnd(a,lambda,m,n),2019/12/5,16,卡方分布,命令:chi2cdf(x,k),chi2inv(p,k),chi2pdf(x,k)chi2rnd(k,m,n),2019/12/5,17,t分布,命令:tcdf(x,k),tinv(p,k),tpdf(x,k)trnd(k,m,n),2019/12/5,18,F分布,命令:fcdf(x,p,q),finv(F,p,q),fpdf(x,p,q)frnd(p,q,m,n),2019/12/5,19,例1.1某人向空中抛硬币100次，落下为正面的概率为0.5。这100次中正面向上的次数记为X：(1)试计算x=45的概率和x45的概率；(2)绘制分布函数图象和分布列图象。,程序：clear;px=binopdf(45,100,0.5)%计算x=45的概率px=0.0485fx=binocdf(45,100,0.5)%计算x45的概率fx=0.1841x=1:100;p1=binocdf(x,100,0.5);plot(x,p1,+);title(分布函数图),2019/12/5,20,p2=binopdf(x,100,0.5);plot(x,p2,*r)；title(概率分布图）,2019/12/5,21,例1.2设XN(2,0.25)(1)求概率P1X2.5；(2)绘制分布函数图象和分布密度图象;(3)画出区间1.5,1.9上的分布密度曲线下方区域。,程序:(1)p=normcdf(2.5,2,0.5)-normcdf(1,2,0.5)p=0.8186(2)x=0:0.1:4;px=normpdf(x,2,0.5);fx=normcdf(x,2,0.5);plot(x,px,+b);holdon;plot(x,fx,*r);legend(正态分布函数,正态分布密度);(3)specs=1.5,1.9;pp=normspec(specs,2,0.5),2019/12/5,22,2019/12/5,23,1.2随机变量的数字特征,随机变量的数学期望,1.统计数据的平均值-Y=mean(X)功能：当X为向量时，输出一个平均数；当X为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的平均值；因此计算矩阵所有数的平均值，应用嵌套：mean(mean(X)或m=mean(X(:)与此类似的有：求和(sum),最大(max),最小(min)等2.离散型随机变量的期望-EX=sum(X.*P)功能：计算随机值向量X与对应概率向量P的乘积之和3.连续型随机变量的期望-EX=int(x*fx,x,a,b)功能：用积分计算期望,2019/12/5,24,例1.4设随机变量X的分布列，求期望。,程序：clear;x=-1,0,2,3;p=1/8,1/4,3/8,1/4;EX=sum(x.*p)1.3750,2019/12/5,25,例1.5设随机变量X的分布密度为：且EX=3/5，求常数a,b的值。,程序：clear;symsabx;fx=a+b*x2;EX=int(x*fx,x,0,1)EX=1/4*b+1/2*aF=int(fx,x,0,1)F=a+1/3*bf1=EX-3/5;f2=F-1;a,b=solve(f1,f2)a=3/5,b=6/5,2019/12/5,26,例1.6设随机变量X的分布密度为：求随机变量Y=|X|的期望。,程序：clear;symsx;fx1=0.5*exp(x);fx2=0.5*exp(-x);EY=int(-x*fx1,x,-inf,0)+int(x*fx2,x,0,inf)EY=1,2019/12/5,27,随机变量的方差,1.统计数据的方差-D=var(X,flag)功能：当X为向量时，输出一个标量；当X为矩阵时，输出为行向量，对应于矩阵每列的方差值；因此计算矩阵所有数的方差值，应用嵌套：var(var(X)或var(X(:)flag=0时，计算：X的样本方差flag=1时，计算：X的简单方差2.统计数据的标准差-S=std(X,flag)功能：flag的解释同上3.一般随机变量的方差-DX=E(X2)-(EX)2功能：用积分计算,2019/12/5,28,例1.7设随机变量X的分布密度为：求随机变量X的期望和方差。,程序：clear;symsx;fx=2/pi*(cos(x)2;EX=int(x*fx,x,-pi/2,pi/2)E2X=int(x2*fx,x,-pi/2,pi/2)DX=E2X-EX2,2019/12/5,29,常见分布的期望和方差,1.二项分布-E,D=binostat(n,p)说明:n,p可以是标量,向量,矩阵,则E,D是对应的标量,向量,矩阵2.超几何分布-E,D=hygestat(M,N,K)3.泊松分布-E,D=poissstat(lambda)4.均匀分布-E,D=unifstat(a,b)5.指数分布-E,D=expstat(lambda)6.正态分布-E,D=normstat(mu,sigma)其他：gamstat(),tstat(),fstat(),chi2stat()等等,2019/12/5,30,协方差与相关系数的计算,1.随机变量的协方差-cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)2.随机变量的相关系数-=cov(X,Y)/sqrt(DX*DY)3.统计数据的协方差cov(X)-当X为向量时,cov(X)=var(X);当X为矩阵时,结果为X的协方差矩阵.对角线是X每列的方差,Xij为X的第i列和第j列的协方差值。cov(X,Y)-计算向量X和Y的协方差值4.统计数据的相关系数corrcoef(X),corrcoef(X,Y)-说明与用法与cov()相同,2019/12/5,31,矩的计算,1.随机变量的k阶原点矩-E(Xk)2.随机变量的k阶中心矩-E(X-EX)k3.统计数据的k阶原点矩-Ak=sum(X.k)/length(X)4.统计数据的k阶中心矩-Bk=moment(X,k),2019/12/5,32,1.3参数估计,常用分布的参数估计,1.正态分布的参数估计格式：muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(X,alpha)功能：数组X服从正态分布,给定显著水平alpha,缺省时为0.05,前二项给出点估计，后二项给出区间估计。X为矩阵时,针对列进行计算。2.二项分布的参数估计(n已知,p未知)格式：phat,pci=binofit(X,n,alpha)3.泊松分布的参数估计格式：lbdhat,lbdci=poissfit(X,alpha)4.均匀分布的参数估计格式：ahat,bhat,aci,bci=unifit(X,alpha),2019/12/5,33,5.指数分布的参数估计格式：lbdhat,lbdci=expfit(X,alpha)6.通用命令mle()格式：输出参数项=mle(分布函数名,X,alpha,N)说明：分布函数名有：bino(二项),geo(几何),hyge(超几何)poiss(泊松),uinf(均匀),unid(离散均匀),exp(指数)norm(正态),t(T分布),f(F分布),beta(贝塔),gam(伽吗)N仅当二项分布时需要，其他没有（因为二项分布的参数估计需要n已知）。,2019/12/5,34,例1.8设生成一组均值为15,方差为2.52的正态分布的随机数据，然后对这组数据进行置信度97%的参数估计。,程序：clear;w=normrnd(15,2.5,50,1);或w=15+2.5*randn(50,1);alpha=0.03;mh,sh,mc,sc=normfit(w,alpha)运行一次：mh=15.1076sh=2.4038mc=14.347815.8674sc=1.97093.0703,2019/12/5,35,例1.9设从一大批产品中抽取100个产品，经检验知有60个一级品，求这批产品的一级品率(置信度95%)。,程序：clear;alpha=0.05;N=100;X=60;Ph,Pc=mle(bino,X,alpha,N)运行一次：Ph=0.6000Pc=0.49720.6967,2019/12/5,36,1.参数检验：如果观测的分布函数类型已知，这时构造出的统计量依赖于总体的分布函数，这种检验称为参数检验.参数检验的目的往往是对总体的参数及其有关性质作出明确的判断.,对总体X的分布或分布参数作某种假设，根据抽取的样本观察值，运用数理统计的分析方法，检验这种假设是否正确，从而决定接受假设或拒绝假设.,2.非参数检验：如果观测的分布函数类型未知，所检验的假设不是对某个参数作出明确的判断，此时必须要求构造出的检验统计量的分布函数不依赖于观测值的分布函数类型，这种检验叫非参数检验.如：要求判断总体分布类型的检验就是非参数检验.,1.4假设检验,2019/12/5,37,假设检验的一般步骤是：,2019/12/5,38,（一）单个正态总体均值检验,1.4.1参数检验,2019/12/5,39,2019/12/5,40,（二）单个正态总体方差检验,2019/12/5,41,（三）两个正态总体均值检验,2019/12/5,42,（四）两个正态总体方差检验,2019/12/5,43,单正态总体均值的假设检验,1).方差已知(u检验或z检验)格式：H,P,ci,Zval=ztest(X,Mu,sigma,alpha,tail)功能：对正态分布总体的采样X进行Z检验，判断采样的均值在已知的标准差sigma下是否等于假设值Mu；给定显著水平alpha,缺省时为0.05；tail是假设的备选项(即备择假设)，有三个值：tail=0是默认值，可省略,说明备选项为均值不等于M；tail=1,说明备选项为均值大于M；tail=-1,说明备选项为均值小于M。H=0说明接受原假设，H=1拒绝原假设；P为假设成立的概率，P值非常小时对假设置疑；ci给出均值的置信；Zval给出统计量的值。,2019/12/5,44,例1.10某面粉厂的包装车间包装面粉，每袋面粉的重量服从正态分布，机器正常运转时每袋面粉重量的均值为50kg，标准差1。某日随机的抽取了9袋，重量分别为：49.7，50.6，51.8，52.4，49.8，51.1，52，51.5，51.2机器运转是否正常？,程序：clear;x=49.7,50.6,51.8,52.4,49.8,51.1,52,51.5,51.2;sigma=1;mu=50;h,p,ci,z=ztest(x,mu,sigma)结果：h=1%拒绝原假设即认为机器不正常p=7.6083e-004%p=0.00076083很小，对假设置疑ci=50.468951.7755%均值偏高z=3.3667,2019/12/5,45,单正态总体均值的假设检验,2.方差未知(t检验)格式：H,P,ci,stats=ttest(X,Mu,alpha,tail)功能：对正态分布总体的采样X进行t检验，对H,Mu,alpha,tail,P,ci的解释同上；stats是个结构，包含三个元素：tstat(统计值)、df(自由度)和sd(样本标准差)。,例1.11某灯泡厂出厂的标准是寿命不少于2000小时，现随机的从该厂生产的一批灯泡中抽取了20只，寿命分别为：1558，1627，2101，1786，1921，1843，1655，16751935，1573，2023，1968，1606，1751，1511，12472076，1685，1905，1881假设灯泡的寿命服从正态分布问这批灯泡是否达到了出厂标