垂径定理 (2)ppt课件.ppt

24.1.2垂直于弦的直径,1,问题：你知道赵州桥吗?它是1300多年前我国隋代建造的石拱桥,是我国古代人民勤劳与智慧的结晶它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？,赵州桥主桥拱的半径是多少？,问题情境,2,把一个圆沿着它的任意一条直径对折，重复几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？,圆是轴对称图形，,判断：任意一条直径都是圆的对称轴（）,X,任何一条直径所在的直线都是对称轴。,3,（1）两条直径AB、CD，CD平分AB吗？（2）若把直径AB向下平移，变成非直径的弦，弦AB是否一定被直径CD平分？,思考：当非直径的弦AB与直径CD有什么位置关系时，弦AB有可能被直径CD平分？,4,O,A,B,C,D,E,如图，AB是O的一条弦，作直径CD，使CDAB，垂足为E.,垂径定理的几何语言叙述:,AE=BE，,AC=BC，,AD=BD,（2）你能发现图中有哪些相等的线段和弧？为什么？,（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？,AE=BE,AC=BC,AD=BD,垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧,CDAB,5,引申定理,定理中的径可以是直径、半径、弦心距等过圆心的直线或线段。从而得到垂径定理的变式：一条直线具有：,平分弦,经过圆心,垂直于弦,平分弦所对的劣（优）弧,6,A,B,C,D,E,A,B,D,C,AC=BC,AD=BD,CDAB,AE=BE,平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧,（不是直径）,垂径定理的推论:,CDAB吗？,(E),合作探究,7,“知二推三”(1)垂直于弦(2)过圆心(3)平分弦(4)平分弦所对的优弧(5)平分弦所对的劣弧注意:当具备了(2）(3)时,应对另一条弦增加”不是直径”的限制.,8,你可以写出相应的命题吗?相信自己是最棒的!,垂径定理的推论,如图,在下列五个条件中:,只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.,CD是直径,AM=BM,CDAB,9,垂径定理及推论,垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.,平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.,平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧.,弦的垂直平分线经过圆心,并且平分这条弦所对的两条弧.,垂直于弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,并且平分弦和所对的另一条弧.,平分弦并且平分弦所对的一条弧的直线经过圆心,垂直于弦,并且平分弦所对的另一条弧.,平分弦所对的两条弧的直线经过圆心,并且垂直平分弦.,10,判断下列图形，能否使用垂径定理？,11,判断：,()(1)垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.,()(2)经过弦的中点的直径一定垂直于弦.,()(3)弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.,12,解：如图，设半径为R，,在tAOD中，由勾股定理，得,解得R27.9（m）.,答：赵州桥的主桥拱半径约为27.9m.,问题情境,例：赵州桥主桥拱的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m,拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？（精确到0.1m）,AB=37.4,CD=7.2,R,18.7,R-7.2,13,1如图，在O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求O的半径,应用新知识,解：,答：O的半径为5cm.,在RtAOE中,在O中,14,图中两圆为同心圆,变式3：隐去（变式1）中的大圆，得右图连接OA，OB，设OA=OB，AC、BD有什么关系？为什么？,变式4：隐去（变式1）中的大圆，得右图，连接OC，OD，设OC=OD，AC、BD有什么关系？为什么？,变式1：AC与BD有什么关系？,变式2：ACBD依然成立吗,15,2如图，在O中，AB、AC为互相垂直且相等的两条弦，ODAB于D，OEAC于E，求证四边形ADOE是正方形,证明：,四边形ADOE为矩形，,又AC=AB,AE=AD,四边形ADOE为正方形.,16,选择：如图：在O中，AB为直径，CD为非直径的弦，对于（1）ABCD（2）AB平分CD（3）AB平分CD所对的弧。若以其中的一个为条件，另两个为结论构成三个命题，其中真命题的个数为（）A、3B、2C、1D、0,A,17,在直径是20cm的O中，AB的度数是60，那么弦AB的弦心距是_,18,弓形的弦长为6cm，弓形的高为2cm，则这弓形所在的圆的半径为.,19,已知P为O内一点,且OP=2cm,如果O的半径是3cm,那么过P点的最短的弦等于_,20,小结,、圆的轴对称性,、垂径定理及其推论的图式,21,常用辅助线:垂直于弦的直径,22,挖掘潜力,某地有一座圆弧形拱桥圆心为，桥下水面宽度为、2m，过O作OCAB于D，交圆弧于C，CD=2、4m，现有一艘宽3m，船舱顶部为方形并高出水面（AB）2m的货船要经过拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？,C,N,M,A,E,H,F,B,D,O,23,垂径定理的推论,如果圆的两条弦互相平行,那么这两条弦所夹的弧相等吗?,老师提示:这两条弦在圆中位置有两种情况:,垂径定理的推论圆的两条平行弦所夹的弧相等.,24,讲解,如果圆的两条弦互相平行，那么这两条弦所夹的弧相等吗？,圆的两条平行弦所夹的弧相等,25,挑战自我填一填,1、判断：垂直于弦的直线平分这条弦,并且平分弦所对的两条弧.（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧.（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦.（）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行.弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧.（）,26,2.已知：如图,O中,弦ABCD,ABCD,直径MNAB,垂足为E,交弦CD于点F.图中相等的线段有:.图中相等的劣弧有:.,27,3、已知：如图，O中，AB为弦，C为弧AB的中点，OC交AB于D，AB=6cm，CD=1cm.求O的半径OA.,28,4.如图,圆O与矩形ABCD交于E