一阶微分方程

第七章常微分方程,本章学习要求：,了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念.了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程和全微分方程.熟练掌握分离变量法和一阶线性方程的解法.会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程.知道下列高阶方程的降阶法：,了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐线性微分方程的解法.熟练掌握二阶常系数齐线性微分方程的解法.掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐线性微分方程的解法.,第二节一阶微分方程,一阶方程的一般形式为,本节主要研究能把导数解出来的一阶方程,的解法,这个方程虽然简单，也常常很难求出解的有限表达式,几种特殊类型的一阶微分方程的解法。,所以本节只讨论,特殊类型的一阶方程的求解,一阶方程有时也可以写成如下的对称形式,它既可视为以x为自变量以y为未知函数的方程,也可以视为以y为自变量,以x为未知函数的方程,很重要的观点,考虑方程,或写成,两边积分得,但并不是所有的一阶方程都能象上面那样采取两边积分的方法来求它的通解,如,困难就在于方程的右端含有未知函数,积分,求不出来,为了解决这个问题,方程的两边同乘以,使方程变为,这样变量x,y已经分离在等式的两端,两边积分得,或,可以验证,是方程的通解,注,y=0也是方程的解，但不包含在通解中,称为奇解,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,一、变量可分离方程,如果一阶微分方程可以化为下列形式：,则称原方程为变量可分离的方程。,运用积分方法即可求得变量可分离方程的通解：,其中C为积分后出现的任意常数。,解,原方程即,对上式两边积分，得原方程的通解,解,对上式两边积分，得原方程的通解,隐函数形式,经初等运算可得到原方程的通解为,你认为做完了没有？,原方程的解为,解,两边同时积分，得,故所求通解为,你认为还需要讨论吗？为什么？,解,原方程即,两边积分，得,故通解为,曲线族的包络。,解,由题设条件,衰变规律,解,设鼓风机开动后时刻的含量为,在内,的通入量,的排出量,6分钟后,车间内的百分比降低到,三、小结,分离变量法步骤:,1.分离变量;,2.两端积分-隐式通解.,注,分离变量时，注意检查是否有漏解，特别是写成对称形式的方程（因为要同除须保证分母不等于0）,思考题,求解微分方程,思考题解答,为所求解.,二、齐次方程,变量代换,代入原方程，得,解,于是，原方程化为,两边积分，得,即,例2求解微分方程,解,微分方程的解为,例3抛物线的光学性质,实例:车灯的反射镜面-旋转抛物面,解,如图,由夹角正切公式得,得微分方程,分离变量,积分得,平方化简得,抛物线,解,令,则,代入化简,并分离变量,两边积分,换回原变量,或,例4,三、可化为齐次方程的方程,变量代换,变量代换,三、可化为齐次方程的方程,变量代换,变量代换,1.定义,为齐次型方程.,否则为非齐次型方程,2.解法,（其中h和k是待定的常数）,有唯一一组解.,得通解代回,未必有解,上述方法不能用.,可分离变量的微分方程.,可分离变量的微分方程.,可分离变量.,解,代入原方程得,方程变为,分离变量法得,得原方程的通解,解,于是，原方程变为,联立方程组,解之，得,两边积分，得,即,三、小结,齐次方程,齐次方程的解法,可化为齐次方程的方程,思考题,方程,是否为齐次方程?,思考题解答,方程两边同时对求导:,原方程是齐次方程.,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,四、一阶线性微分方程,形如,的方程称为一阶线性微分方程。,方程称为一阶齐线性方程。,方程称为一阶非齐线性方程。,习惯上，称,为方程,所对应的齐方程。,一阶齐线性方程的解,运用分离变量法，得,两边积分，得,故,的解存在，且唯一，其通解为,解,故该一阶齐线性方程的通解为,套公式！,解,先求此一阶齐线性方程的通解：,故该初值问题的解为,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,一阶非齐线性方程的解,比较两个方程：,请问，你有什么想法？,请问，你有什么想法？,行吗?!,故,即,上式两边积分，求出待定函数,解,所以，方程的通解为,解,原方程可以改写为,这是一个以y为自变量的一阶非齐线性方程，其中,故原方程的通解为,例4如图所示，平行与轴的动直线被曲线与截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积,求曲线.,解,两边求导得,解此微分方程,所求曲线为,一阶线性微分方程的通解也可写成,方程,令,即化为一阶线性微分方程,注,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,五、伯努利方程,形如,的方程称为伯努利方程。,代入伯努利方程后，可将其化为一阶线性微分方程,于是，原方程的通解为,解,故,从而，原方程的通解为,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,变量代换,变量代换,变量分离,常数变易,变量代换,解,原方程即,于是，原方程化为,运用分离变量法，解得,故原方程的通解为,例用适当的变量代换解下列微分方程:,解,所求通解为,解,分离变量法得,所求通解为,解,代入原式,分离变量法得,所求通解为,另解,注,利用变量代换将一个微分方程化为变量可分离的方程或化为已知其求解步骤的方程是求解微分方程的一种最常用的思想方法,如,齐次型、可化