n阶行列式、性质与展开定理.ppt

行列式,第二章,n阶行列式,行列式性质与展开定理,克拉默（Cramer）法则应用举例,第一节n阶行列式,2019/12/5,3,行列式（Determinant）是线性代数中的一个最基本、最常用的工具，最早出现于求解线性方程组.它被广泛地应用于数学、物理、力学以及工程技术等领域.,了解：关于行列式,2019/12/5,4,设二元线性方程组,用消元法知：,当时，,（1）,方程组(1)有解,且,把由四个数排成两行两列,并定义为数的式子,叫做二阶行列式.,数称为行列式的元素，元素第一个下标称为行标，表明该元素位于第i行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第j列.,+,-,主对角线,一、二阶与三阶行列式,1、基本概念,行列式是一个数,2019/12/5,5,由二阶行列式的定义，得：,称为方程组（1）的系数行列式,Example2,便于表示、记忆和推广,求解二元线性方程组,由于,Solution:,（1）,用行列式形式表示方程组的解,2019/12/5,6,类似地，定义三阶行列式,+,-,计算（定义）规则称为对角线规则（或沙流氏规则）.,Example3,计算三阶行列式,=-5,+12,-2,-5,+8,+3,=11,Solution:,1、基本概念,2019/12/5,7,二、n阶行列式,用递归的方法来定义n阶行列式.,由n2个元素aij(i,j=1,2,n)排成n行n列，,称为n阶行列式.,数,行数与列数相等,特点？,1、基本概念,在(2)式中，a11,a22,ann所在的对角线称为行列式的主对角线.,2019/12/5,8,M11,M12,M13,Definition1,在n阶行列式D中，将aij所在的第i行第j列划去后，余下的元素按原相对位置构成的一个n-1阶行列式，称为aij的余子式，记作Mij.,称Aij=(-1)i+jMij，称为元素aij的代数余子式.,二、n阶行列式,2019/12/5,9,Definition2,当n=1时，定义一阶行列式,若定义了n-1(n2)阶行列式，则定义n阶行列式为,Dn=a11A11+a12A12+a1nA1n,也称(3)为n阶行列式关于第一行的展开式.,数aij称为行列式Dn的第i行第j列元素.,Note:,当n4时，对角线法则不再适用Dn的计算.,如4阶行列式：,按对角线法共有8项代数和；,4!=24项.,但按定义，共有,n阶行列式？,二、n阶行列式,2019/12/5,10,Example4,证明n阶下三角行列式(当ij时，aij=0）,利用Pro.1和Ex.4得,=a11a22ann.,Property2,互换行列式的两行(列)，行列式值变号.,三、行列式的性质,2019/12/5,20,Property2的证明,Proof:,对行列式的阶数用数学归纳法.,阶数为2，结论显然成立.,假设阶数为n1时，结论成立.,当阶数为n时，设,交换第i行与第j行为,其中bi1=aj1，bj1=ai1，bk1=ak1(k=1,2,n;ki，j),三、行列式的性质,2019/12/5,21,=(-1)i+1,(-1)(j-1)-iMj1,对D*按第一列展开，得：,其中Bk1为D*的元素bk1的代数余子式.,对k=1,2,n;ki，j，,由归纳假设，Bk1=-Ak1;,Bi1=(-1)i+1,M*i1,由归纳假设,=-(-1)j+1Mj1=-Aj1,同理可得：Bj1=-Ai1,D*=b11B11+bi1Bi1+bj1Bj1+bn1Bn1=a11(-A11)+aj1(-Aj1)+ai1(-Ai1)+an1(-An1)=-(a11A11+ai1Ai1+aj1Aj1+an1An1)=-D,三、行列式的性质,2019/12/5,22,Corollary1,如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,只需把这相同的两行（列）互换，得,Corollary2,行列式某行（列）的元素乘另一行（列）对应元素的代数余子式之和等于零.即,0ki,0kj,三、行列式的性质,2019/12/5,23,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,推论,证明：,由前面的定理，行列式等于某一行的元素分别与它们代数余子式的乘积之和。,在,中，如果令第i行的元素等于另外一行，譬如第k行的元素,2019/12/5,24,则，,第i行,右端的行列式含有两个相同的行，值为0。,证毕,行列式任一行（列）的元素与另一行（列）的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即,推论,2019/12/5,25,综上，得公式,注：直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n1）阶行列式的计算并不减少计算量；只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。,2019/12/5,26,Property3,用数k乘以行列式，相当于用数k乘以行列式的某一行（列）的所有元素.,即,第i行（列）乘以k，记作,Corollary1,行列式中某一行（列）的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面.,三、行列式的性质,2019/12/5,27,Corollary2,如果行列式中一行（列）为零，则该行列式为零.,(取k=0),Corollary3,行列式中如果有两行（列）元素成比例,则此行列式为零.,(由Pro.3Co.1及Pro.2Co.1),Property4,由Th.1，按该行（列）展开可得.,该行每个元素为两个元素之和,三、行列式的性质,2019/12/5,28,Theorem1,行列式等于它的某一行（或列）的元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即,或,行列式的性质小结,2019/12/5,29,Property1,行列式与它的转置行列式相等.,由Pro.1可知，在行列式中，行与列具有相等的地位.因而，行列式对其行具有的性质，对列也成立.,行列式的性质小结,2019/12/5,30,Corollary1,如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零.,Corollary2,行列式某行（列）的元素乘另一行（列）对应元素的代数余子式之和等于零.即,Property2,互换行列式的两行(列)，行列式值变号.,行列式的性质小结,2019/12/5,31,综上，得公式,注：直接应用行列式展开公式并不一定简化计算，因为把一个n阶行列式换成n个（n1）阶行列式的计算并不减少计算量；只是在行列式中某一行或某一列含有较多的零时，应用展开定理才有意义。但展开定理在理论上是重要的。,2019/12/5,32,Property3,用数k乘以行列式，相当于用数k乘以行列式的某一行（列）的所有元素.,即,第i行（列）乘以k，记作,Corollary1,行列式中某一行（列）的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面.,行列式的性质小结,2019/12/5,33,Corollary2,如果行列式中一行（列）为零，则该行列式为零.,(取k=0),Corollary3,行列式中如果有两行（列）元素成比例,则此行列式为零.,(由Pro.3Co.1及Pro.2Co.1),Property4,由Th.1，按该行（列）展开可得.,行列式的性质小结,2019/12/5,34,Property5,把行列式的某一行（列）的各元素乘以数k，然后加到另一行（列）对应的元素上去，行列式不变.,即,以数k乘第j行加到第i行，记作,（由Pro.4、Pro.3Co.3即得）,注意表示！,三、行列式的性质,2019/12/5,35,Example8,计算,Solution:,化行列式为上（下）三角行列式是一重要方法,=-45,改为6，如何？,4阶及以上行列式不能用对角线法,三、行列式的性质,2019/12/5,36,Example8,计算,Solution:,化行列式为上（下）三角行列式是一重要方法,=-45,改为6，如何？,4阶及以上行列式不能用对角线法,三、行列式的性质,2019/12/5,37,Example9,计算,Solution:,方法一,D4,=(a+3b)(a-b)3,方法二,D4,=(a+3b)(a-b)3,方法一、方法二对n阶也很适用,三、行列式的性质,2019/12/5,38,方法三,将a=b+(a-b)则,利用Pro.5进行拆项，几项?,应有16项.,但包含两个或两个以上第一个子列，则为零.,三、行列式的性质,2019/12/5,39,Example10,试证,Proof：,分析特点:列之和相等,(实质是计算),确定方法,左边,=右边,三、行列式的性质,2019/12/5,40,Example11,n阶行列式，满足aij=-ajii，j=1n,证明：当n为奇数时，D=0.,Proof：,由条件可知：aii=-aiii=1n得aii=0,D=(-1)nD,因为n为奇数，D=-D,所以D=0.,三、行列式的性质,2019/12/5,41,Example12,计算,Solution:,方法一,将各列加到第一列，得,方法二,三、行列式的性质,2019/12/5,42,Example13,计算,Solution:,方法一,每行减去第一行，得,方法二,三、行列式的性质,2019/12/5,43,Example14,计算,Solution:,方法一从第二行起，前行乘以x加到后一行，得,三、行列式的性质,2019/12/5,44,按最后一行展开，得：,Dn=xDn-1+an-1,Dn-1=xDn-2+an-2,方法二(递推法),.,D2=xa0+a1,Dn=xDn-1+an-1,=x2Dn-2+an-2x+an-1,所以,=x3Dn-3+an-3x2+an-2x+an-1=,=xn-2D2+a2xn-1+an-3x2+an-2x+an-1,Dn-2=xDn-3+an-3,=a0 xn-1+a1xn-2+an-2x+an-1,三、行列式的性质,2019/12/5,45,Example15,设,证明：D=D1D2.,对m用数学归纳法即可证明,=？,三、行列式的性质,2019/12/5,46,Example16,证明范德蒙德（Vandermonde）行列式,三、行列式的性质,2019/12/5,47,Example16,证明范德蒙德（Vandermonde）行列式,Proof:,用数学归纳法,当n=2,结论成立；,假设对于n-1阶V-行列式，结论成立；,对于n阶V-行列式，从第n行开始，后行减去前行的x1倍.,三、行列式的性质,2019/12/5,48,Dn,上式右端行列式是n-1阶V-行列式，由归纳假设，得,三、行列式的性质,2019/12/5,49,Example17,计算,Solution:,D4为4阶V-行列式,其中,故,三、行列式的性质,2019/12/5,50,第三节克莱姆（Cramer）法则,2019/12/5,51,首次讨论线性方程组的求解问题，利用行列式得出一类特殊方程的求解公式.,克莱姆法则：,如果线性方程组,(1),其系数行列式,则方程组(1)有唯一解,简记为,其中Dj是用常数项(自由项)b1，b2，bn替换D中第j列所成的行列式.,一、克莱姆法则,2019/12/5,52,Proof:,是解；,唯一性.,所以，（2）是（1）的解.,设是方程组（1）的一个解.,代入方程得,用D中第j列元素的代数余子式依次乘方程组（3）的n个方程，再相加，得,左边=右边=Dj,由Th.1.2可知Dcj=Dj,一、克莱姆法则,2019/12/5,53,Example18,解方程组,Solution:,该位置展开一定带正号,D1=-2，D2=4，D3=0，D4=-1,所以，x1=1，x2=-2，x3=0，x4=1/2.,二、克莱姆法则应用实例,2019/12/5,54,克莱姆法则的意义在于它给出了解与系数的关系,在方程理论上很有价值.但用它来求解是很不方便的.因为，它求解一个n个未知量、n个方程的线性方程组，需计算n+1个n阶行列式，计算量很大.,Definition1.8,在方程组（1）中，如果自由项b1，b2，bn不全为零，则称（1）为非齐次线性方程组;否则，称为齐次线性方程组.,Corollary1,零一定是它的解，更关心的是非零解,如果齐次线性方程组,的系数行列式,则方程组只有零解.,Corollary2,如果齐次线性方程组,有非零解的必要条件是D=0.,第三章将证明这也是充分的,三、克莱姆法则应用,(1),2019/12/5,55,Example19,设方程组,问a、b、c满足什么条件，方程组有非零解.,Solution:,由D=0,a、b、c至少有两个相等.,不难验证，当a、b、c中至少有两个相等，方程组有非零解.,2019/12/5,56,小,结,行列式计算、证明的常用方法,定义,性质,降（升）阶,递推,V-行列式,数学归纳法,2019/12/5,57,第二章行列式,完,2019/12/5,58,第二章练习,P36，习题2(A)第3(5)；4(3)；5；7(B),2019/12/5,59,答疑：联合收入问题,X,Y,Z三公司股份关系如图：X公司拥有Z公司60%股份，Z公司掌握X公司20%股份，而X公司有80%的股份不受其他两家公司控制，等等。设各自营业净收入分别是10、8和6万元。每家的联合收入=净收入+在其他公司的股份按比例的提成收入。求：各公司联合收入及实际收入。,2019/12/5,60,联合收入=本公司营业净收入+在其他公司股份比例的提成收入设：X，Y，Z联合收入分别为x，y，z，则：三公司实际收入分别为0.8x,0.