（凝聚态物理专业论文）光纤中孤子相互作用的变分研究.pdf

摘要 光孤子通信技术是一种非线性全光长距离通信系统，它有许多其它通信系统所不具 有的优点，所以对光孤子进行研究将很有价值。本文首先简要介绍了光孤子研究的发展 过程、光孤子的形成机制和光孤子的基本性质；然后，分析了光孤子问相互作用的起因， 阐述了如何运用变分法研究此类问题，并从光孤子满足的相互作用的修正非线性薛定谔 ( m n l s ) 方程出发，采用微扰理论和变分法作为数学分析方法，推导出了类明孤子、 暗孤子及在三阶色散、五阶非线性微扰情况下，孤子脉冲的振幅、中心位置、传播速度 和初相位等参数( a ，f ，n 占) 随传输距离z 演化的方程，并且进一步得到了孤子相互作 用时存在的相互作用势( 赝势) ，给出了相互作用势随距离变化的函数形式，分析了初 相位、中心位置等各个因素对孤子白j 相互作用的影响，讨论了三阶色散、五阶非线性对 赝势的作用。 关键词：光孤子，m n l s 方程，交分法，三阶色散，五阶非线性， t h et e d m o l o g yo f o p t i c a l - m l i t o t mc o m m u n i c a t i o ni st h el o n gd i s t a n c ec o m m u n i c a t i o ns y s t e m i th a v eal o to fa d v a n t a g et h a to t h e rc o m m u n i c a t i o ns y s t e m sd on o th a v e s oi ti sv e r ym u c h v a l u a b l et or e s e a r c h o p t i c a l s o l i t o n s i nt h i sp 鹎w e 矗r s t l yr e v i e wt h ep r o c e s so f d e v e l o p m e n to ft h er t 畿a r o ho ns o l i t o n s ，a n di n t r o d u c et h er n h a n i s mo fh o wt h eo p t i c a l s o l t o ne x i s t sa n di t sb a s i cq u a l i t y t h e nt h et h e s i sa n a l y s e st h ec a u s a t i o no fi n t e r a c t i o n b 眈 w e e ns o f i t o ma n dh o wt ou s ev a r i a t i o na n a l y t i c a lm e t h o d w cu s em i n ip e r t u r b a t i o na n d v a r i a t i o nm a t y t i c a im e t h o do f m a t h e m a t i c s , f r o mt h em o d i f i e do p i t i c a l - s o l i t o n sp u l s e ss o l m i o n t om n l se q u a t i o nf o ri n t e r a c t i o n , t oa n a l y s e st h ef a c t o r s ，w cg e tt h ee v o l u f i o ne q u a t i o mf o r t h ep a r a m e t e r s - a m p l i t u d e ，c e n t e r p o s i t i o n , s p e e da n dp h a s 一，f ，v ，j ) ，o f s o l i t o n - l i k ep u l s e s ， d a r ks o l i t o np u l s e sw i t h o u tp e r t u r b a t i o na n dw i t ht h ee f f e c to ft h et h i r d - o r d e rd i s p e r s i o n , t h e f i f t h - o r d e rn o n l i n e a r i t ye f f e c t o nt h eb a s i c so ft h e s e ，w ew o r ko u tt h ee x p r e s s i o n so ft h e p o t e n t i a lb c t 、 ，嘲t w oo p t i c a l - s o l i t o n s ( p s e u d o - p o t c n t i a l ) a c c o r d i n gt ot h e s ef u n c t i o n s w e s t u d yp h a s e , c e n t e rp o s i t i o na n do t h e rf a c t o r s ，w h i c he f f e c to ni n t a a c t i o n ，a n dd i s c u s s i n f l u e n c eo f t h et h i r d - o r d e rd i s p , 蜩i o n , t h ef i f t h - o r d e rn o n l i n e a r i t ye f f e c t ，w h i c hh a v ee f f e c to n t h ep s e u d o - p o t e n f i m k e yw o r d s ：o p t i c a l - s o l i t o n sp u l s 鹤；m n i se q u a t i o n ；v a r i a t i o na n a l y t i c a lm e t h o d ；t h e t h i r d - o 将具有比后沿誓 0 ( 反常色散区域) ，结果脉冲 d fd f d 国 前沿运动得比后沿更引起脉冲压缩。这种效应与璺单独存在时的脉冲展宽效应正好相 反。随着脉冲峰值强度的增加，由a 月引起的脉冲压缩将增加，同时，压缩效应还是脉 冲形状的函数( a f o o t 昙陋( f ) 1 2 ) 。因此，如果脉冲具有适当的振幅和形状，则压缩与展 宽正好平衡，脉冲将稳定无变化地传输，这正是基本孤子的情形。如果脉冲具有更高的 振幅，则首先脉冲的压缩将超过展宽，脉冲压缩到一定程度后，其展宽可能会超过压缩。 这样，沿光纤传输的脉冲，其形状将连续改变进行着反复的变窄和展宽过程。这正是 高阶孤子的情形。这样，我们就很好地解释了光学孤子的形成过程。 下面我们以高斯脉冲的为例，来解释光孤子的形成。自相位调制效应导致高斯脉冲 5 湖北大学硕士学位论文 前沿谱红移，后沿谱蓝移，其他形状的脉冲有类似的结果在群速度的反常色散区中。 脉冲的高频( 蓝移) 分量运动速度高于低频( 红移) 分量的运动速度，自相位调制效应导致 的脉冲前沿谱红移使前沿运动速度减慢，而脉冲后沿由于谱蓝移而加快了运动速度。因 此，非线性效应在反常色散区中对于脉冲的作用趋势刚好与群速度色散效应对于脉冲的 扩散作用相反。当这两种作用在数量上达到平衡时，脉冲就保持不变传输而成为光孤立 子一光学孤子。因此，光学孤子的成形机制是光纤中的群速度色散效应与自相位调制效 应的精确平衡。 2 3 光孤子的传输方程 如果不考虑光纤的损耗，就可以得到标准非线性薛定谔方程( n l s e ) ： f掣+三尼学+14f)：02玉 西2 。 需要注意的是，尽管方程( 2 3 1 ) 成功的解释了基本的孤子现象，但在推导的过程中， 为了计算的方便而忽略了一些量。因而，当高阶色散、高阶非线性、受激拉曼散射( s r s ) 或受激布里渊散射( s b s ) 等效应不能被忽略时，标准非线性薛定谔方程就需要被修正。 以拉曼效应为例，当初始入射脉冲宽度小于i p s ( 1 p s = l o 。2s ) 的超短脉冲在光纤中的传输 时，由于超短脉冲的谱宽a d o 与其载频相当，那么在方程的推导过程中几个近似项就 会出现问题。超短脉冲能够通过同一脉冲的高频分量转移能量，其拉曼增益能放大低频 分量，这种现象被称为脉冲内拉曼散射。结果，随着脉冲在光纤中的传输，脉冲的谱线 向低频成分发生转移，这种现象被称为脉冲的自频移( s e l f - f r e q u e n c ys h i f t ，简称s f s ) ， 其物理本质与拉曼响应的延迟特性有关，在方程( 2 3 1 ) 的推导过程必须用非线性极化强 度的一般形式。这样，可得单模光纤脉冲演化方程一j a a 出( z , t ) - j a o a 西( z , t ) 三i 岛学一吉压学2 枷+ 去争雄，t ) e r ( t g l a ( z , t - t 叫2 a t 式中损耗和非线性系数，= 兰堡，有效纤芯面积白一般是口的函数由于方程( 2 3 2 ) q 盯 。 6 第二章光孤子的形成和传输 包含了拉曼散射引起的非线性能量损耗，所以即使不满足慢变包络近似条件，方程也是 成立的而且，如果将足够多的高阶色散项包括进去，它还能适用于周期很短的秒冲。 通过变换，方程( 2 3 - 2 ) 可近似为 警+ 兰一十圭压券一丢屈雾= 训彳f 彳+ 去丢c a i a l 2 ，一瓦4 笔舢伫玉s ， 即高阶修正的非线性薛定谔方程( h o n l s ) 1 4 5 l 。式中左边第四项代表高阶群速度色散 ( h i 曲一。喇盯d i s p e r s i o n ，简称h o d ) ，属是三阶色散系数，这一项对于以零色散波长传 输的脉冲起主导作用；而对于超短脉冲来说，由于超短脉冲带宽较宽，即使光脉冲的波长 远离了零色散波长，三阶色散响应也很重要而不可忽略。右边第二项是自陡峭项 ( s e l f - s t e e p i n g ，简称s s ) ，它是从非线性极化强度f k 的慢变化部分推导出来的。右边第 三项是与延迟拉曼响应有关的自频移项，瓦是自频移系数此方程有被称为广义非线性 薛定谔方程，它是非线性科学研究的一个基本方程，并被广泛的用于研究孤子。 7 湖北大学硕士学位论文 第三章光孤子间的相互作用 光纤孤子通讯由于其高速、大容量等优点，引起了人们的广泛关注。同时，人们也 发现，有诸多因素限制了光孤子通信系统带宽的充分利用。其中，孤子之间的相互作用 对于光通信的容量以及质量有很大的影响，将导致波形畸变，传输特性恶化，传输速率下 降，传输距离缩短。为避免孤子相互作用，需要相当大的孤子间隔，而这样做是不经济的。 处理这一重要的技术问题上，许多有效的方案己经被成功的实施，如异相或不等幅孤子 脉冲的注入、频域滤波、非线性增益和同步调制控制技术等等【“j 。但是，孤子自j 相互 作用中的许多问题目前还没能完全研究清楚，本章作者简单阐述了微扰n l s 方程及其 解法的相关知识，孤子相互作用的起因，并由非线性薛定谔方程出发，利用最小作用量 原理，导出了孤子间相互作用的解析表达式，分析了高阶色散、五阶非线性效应对光孤 子传输特性的影响。 3 1 微扰n l s 方程及其解法 在光孤子通讯系统中，往往存在着影响光孤子传播的各种高阶效应及损耗。在研究 此类问题时，我们常常会运用到微扰n l s 方程。 f 要+ 昙鲁w ：i t ( “) 0 - 一0 2 i + j 萨+ h 归螂 i e ( u ) 即为微扰项，在理想状况下，占似) = 0 ，方程变成标准的非线性薛定谔方程( 2 3 1 ) ， 它的基态解的一般形式为 “( z ，f ) ：4 瞄h i 口( 卜f + z ) 】唧【塑二；盘一o a + 吲 ( 3 1 _ 2 ) 孤子的四个参量a 、j 、f 和占分别表示孤子振幅、频率、位置和相位。 当e ( u 1 0 时，我们说先假定孤子的函数形式在出现微扰时不变，而孤子的参量在 传播过程中，随z 发生变化，这样我们可以设方程的尝试解为 u ( z ，f ) = a ( z ) s h p ( ：) 【f f ( z ) 】) 唧【矽( ：) 一话( z ) f 】 ( 3 1 - 3 ) 式中的f 、妒通过下面的常微分方程来定义 8 第三章光孤子问的相互作用 堕：一艿 d ，z 。 ( 3 1 哪 堂：! ( 口：一) 、” d z 2 、 7 目前，对于类似方程，我们一般可以用变分法、扰动逆散射法和绝热微扰法等方法， 通过计算得到一个由四个常微分方程组成的关于四个孤子参量的方程组。 本文中主要用到的是变分法，在1 9 7 9 年九b o n d e s o n , m l i s a k ，d a n d c t - s o n 发表 了论文s o l i t 蛳p e r t u r b a t i o n s ：a v a r i t i o n a l p r i n c i p l e f o r t h es o l i t o n p a r a m e t e r s ，其中详细 论述了利用研究经典力学的拉格朗日方法，解决光孤子相关问题的思路。 在变分法中，将把孤子场和其复共扼“看成共扼变量。微扰n l s 方程可用建造 欧拉拉格朗日方程形式重新表达为 尝( 劳) + 优a ( 姒a l ) 一嚣= 。 ) 上式中的址、u 分别表示变量【，对：、f 的微分。l 为拉格朗日密度函数，它的具体表 达式为 工= u 甜：一“么：j + 扣1 2 一扣4 州绷。“) ( 3 1 呦 用拉格朗日密度对f 进行积分，则可得平均总拉格朗e t 函数 ( 口，j ，f ，妒) = 工( “，甜，f ) 出 利用变分方程 ( 3 1 - 7 ) 磐：o ( 3 1 - 8 ) 占p 7 并计算整理可得四个微分方程，分别为 塑= r e 亡f ( “弦( t ) d t (319)dz k 、7 7 警= - hc 砸) t a n h 卯咱m 出 ( 3 1 - i o ) 警= 筇+ 7 i r ec 占( 坝f 一伽七) 出( 3 1 - 1 1 ) 譬：he s ( “) 0 一( f f ) t a n h i 。( f o 】) 。( t ) d t + 三( 口：一万：) + f 笙( 3 1 1 2 ) 比 “ a2d z 式中r e 表示实部，i m 表示虚部 在此四个微分方程的基础上，得到孤子的四个参数的演化规律，分析孤子传播的特 湖北大学硕士学位论文 点了。 3 2 光孤子相互作用的起因 从物理上讲，很明显，只有当两个孤子足够靠近以致尾部重叠时，才开始相 互影响。从数学上看，总的光场“= + u z ，其中 u j ( z ，f ) = a s e c h i ( t 一白) 】唧( 叻一i 6 j t ) ，= l ，2( 3 2 1 ) 在这里，是总光场满足非线性薛定谔方程，将“- - - - u 。+ ”：带入标准非线性薛定谔方程 方程( 2 3 - 2 ) ，可以得到孤子m ，i , 1 2 满足的微扰n i s 方程 r 鲁畦争+ h z u , = - 2 1 “1 2 吖屹 ( 3 2 2 ) r 警畦争+ l “：2 u 2 = - 2 1 “：1 2 ”幽 ( 3 ：3 ) 可以很清楚的看出，这两个方程在形式上就是将“，“：互换位置，而方程的右边可以 看成微扰项，它就与两相邻孤子的相互作用有关，其中的_ 2 i ：1 2 为孤子间的非相干作 用， - - i 1 2 2 “可看成孤子间的相干作用。利用方程( 3 1 - 9 卜- ( 3 i 1 2 ) ，并引入新交量 q = a l 吗文= 乞白 ( 3 2 - 4 ) 可以得到下面一组方程 瓯= 4 嘎丸= 办九 ( 3 2 - 5 ) 譬= o ，冬：z 唧( t ) s i n d - 孥：o ，譬：e x p ( ) c o s 正 鱼d 左z = 一正，丝d z = 1 2 以以 一，f一 由于口，以的动态特性不影响孤子的相互作用，所以这里不再列出。 ( 3 2 - 6 ) ( 3 2 - 7 ) ( 3 2 - 8 ) 根据( 3 2 - 6 ) ( 3 2 7 ) 两式，口+ 疋在孤子相互作用时保持为常数。将口+ = 2 用于两相互 作用的基态孤子，联立方程( 3 1 - 9 卜_ ( 3 1 1 2 ) 方程，可得 1 0 第三章光孤子问的相互作用 尝：- - 4 e = 2 c 0 5 2 p d z 。 两个变量为 广 g - = f 可视为孤子相对间距，y 为孤子相位。 害= 和喵s i i l 2 矿( 3 2 - 9 ) = 生2 ( 3 2 - 1 0 ) 这些方程表明，两基孤子间的相对间距f 与它们的相对相位有关，两基孤子是吸弓 ( 靠近) 还是拌斥( 远离) 取决于初始相位吵。在一般条件下，方程( 3 2 9 ) n - - j 用解析方法求解 m ，若两基孤子开始有相同振幅和频率，则解为 f ( z ) = 磊+ 寺1 n c o s h 2 ( 2 z e 一矗s i n p , o ) + c o s 2 ( 2 z e - oc o s o ) 一1 】( 3 2 - 1 1 ) 式中，磊和分别是f 和妒的初始值。若低于某定值，则f 周期性地变为零，这种 所谓的“碰撞”源于两基孤子间的吸引力a 若 詈，则f 白，且随z 单调增加，这 一特性可以通过两基孤子间的非线性引起的排斥力来解释。= o 和= 要这两种情况 分别对应同相和反相的两个基孤子。对于两同相基孤子( = o ) 相对间隔q 随传输距离 周期性的变化为 f o ) = 夤e + i n c o s ( 2 z e 一矗) i ( 3 2 - 1 2 ) 由于对所有z 值，均有f ( z ) s 磊，两个同相孤子相互吸引，实际上，两孤子在传输距离 z _ ，i - e ec o s - t ( e - 岛) * 三e x p ( 磊) ( 3 2 1 3 ) 7 v 7 以后，f 变为0 。上式得近似形式对彘 5 是正确的。量孤子在这一距离上发生第一次 碰撞，由于方程( 3 2 1 2 ) 具有周期性，所以两个孤子问的碰撞和分离也是周期性的，其振 荡周期被称为碰撞长度，用 = 要如唧) = z oe x p ( o ) ( 3 2 1 4 ) 厶为放大器间距，z o 为孤子周期，这个结果在磊 3 时是很准确的，而一个更精确，对 任何厶值都成立的钳可写为划 湖北大学硕士学位论文 纽：! ! 些! 坠! 竺坐血 ( 3 2 - 1 5 ) 上口+ s i n h ( 2 二o ) 、 对于两反相基孤子( = - “4 - ) ，相对间隔随传输距离变化为 f ( z ) = 厶+ l n c o s h ( 2 z e - & ) ( 3 2 - 1 6 ) 显然，o o s h ( 2 z e - 厶卜1 ，f 厶且随z 单调递增 可见，对于等振幅孤子，正如微扰理论所预期的那样，两个基孤子如果同相，则沿 光纤周期性的吸引和碰撞：当初始相位差为- “7 时，在经历初始吸引阶段后，两个基孤子 彼此分开，当初始相位差为鲁时，两个基孤子强烈地互相排斥，其间距也随传输距离单 调增加。而对于振幅的微小差别的两基孤子，由于振幅的差异，此时，两个基孤子周期 性地振荡，但彼此决不会发生碰撞和分离 一般来说，两个孤子的相互作用是一种短程相互作用，它依赖于初始相对相位、相 对振幅和初始间隔等等诸多因素，尤其是对初始相位差非常敏感，具体来说，在初始相 位差大于鲁时，孤子间的作用力是排斥力，孤子问的间隔单调地增加；初始相位差小于 兰时，孤子间的作用力是吸引力，孤子问的间隔呈周期性变化；但当它们间的初始间隔 大于l o 个脉宽时，相互作用就非常弱了。 需要注意的是，我们这里讨论的孤子是明孤子，至于暗孤子，它在许多方面都有着 独特的性质，暗孤子间的相互作用于我们上面讨论的结论不尽相同，当初始相位差小于 ；时，暗孤子间相互排斥；在初始相位差等于等时，暗孤子间几乎无相互作用；在初 始相位差大于等时，暗孤子间相互吸引。 3 3 类明孤子间的相互作用 光孤子在光纤中的传输特性可以用标准的非线性薛定谔方程来描述 f丝!三尘+-1纯za(丁z,一t)0 + 讹f ) ：o (231)z 20 t zli 、77 、7 习惯上，我们常常把它改写成 吨+ 丢+ 卜2 1 = o ( 3 3 - 1 ) 1 2 第三章光孤子间的相互作用 式中，z 和t 分别表示无量纲传播距离与时间，u 为u ( x ，t ) ，即光孤子的波函数，这里， 吒表示对：求偏导数，表示对f 求二次偏导，h 表示“的模，方程具有如下解， ”= 一s o c h d ( t f + 记) 】e x p i v ( f f ) + ( a - - v 2 ) z + 话】( 3 3 - 2 ) 式中的常参数a ，f ，v 占分别表示孤子的振幅( 即宽度的倒数) ，中心位置，传播速度和初 相位，如果令v ：o ，就得到静止孤子， 舻小s e e h a ( t 吖”e x 畦彳z z + m ) ( 3 3 3 ) 现在我们在质心系中来研究两个大小和传播速度完全相同的孤子，如果不存在相互作 用，它们相对质心系将恒保持静止，因而均可用( 3 3 3 ) 式表示。事实上，相互作用时不 可避免的，我们假定方程( 3 3 - 1 ) 的双孤子解可近似为两孤子的线性叠加， u = “i + 也( 3 3 4 ) 其中，材、屹分别为 码= 彳。s e c h f f , ( f + f ) 】e x p 一叫( f + f ) + l 2 b 2 z + 臃+ 峨】 ( 3 3 5 ) 心2 爿s e c h b ( f f ) 】e x p 一i g ( t f ) + 2 l _ b 2 z + 以+ 哆】 ( 3 3 。6 ) 这里除初位相点，暖外，还假定表征孤子宽度的b 也为常量，式中的其它参量一，f ，a 均为x 的待求函数，这样既体现非线性效应的影响，又一定程度上简化了计算。其次， 由于t 轴反演下方程( 3 3 一1 ) l 筝j 不变性，式中我们己经令两孤子的某些参量( a ，) 相同 了，而且，两个孤子无限远离时，坞均以( 3 3 3 ) 式为渐近表达式，即当j f i 斗m 时， z ，a _ o ，且- 一6 ，因此还可假定五，芦以及它们对z 的导数都是小量 满足方程( 3 3 1 ) 所描述的系统的拉氏密度函数可表示为 工= i i 鲁一“为一掰+ 射 乃 其正确性可通过变分原理 1 3 湖北大学硕士学位论文 8 9 l 。雷s u 鲁等等胎：。 ( 3 3 - 8 ) 得到方程( 3 3 一1 ) 而验证。 最小作用量原理导致如下l a g r a n g - e u l e r 方程 导一鲁c 嚣卜昙c 可a l ， 柳 詈一昙( 堕o u ) - 旦( 尝) = o 。 锄出 、饥, a t ( 3 3 9 ) 式分别给出方程( 3 3 1 ) 及其复共轨形式。将( 3 3 - 4 ) 式代入( 3 3 - 7 ) 式，就可将表示 为自由孤子的拉氏密度函数厶与孤子相互作用拉氏密度函数和的形式 l = 厶+ z 2 ( 3 3 - i o ) 式中 厶= 磊f 瓦( a l t 一心譬，一捌2 + 抽4 ， s 圳， 拓妒鲁+ 争一互1 百0 u , 百a u 2 + i 1 衍酊+ ( 3 ，- 1 2 ) ( 2 + “2 2 ) u ：+ l u 。1 2 l u ：1 2 + c t 式中c c 表示前面各项的复共轭。将( 3 3 5 ) 、( 3 3 6 ) 式代入( 3 3 1 1 ) 式，并对t 轴积分， 可得自由孤子的平均拉氏量为 缇，= 厶出= 4 华警一4 等警一2 竿+ 4 万m 4 一鲁4 2 6 。，各。， 同理，将( 3 3 5 ) 、( 3 3 6 ) 式代入( 3 3 1 2 ) 式并积分，同时，去掉的高阶小量，略去 所有小量的高阶项，可得相互作用的平均拉格朗日密度函数的近似值为 c 州等老盖谢一4 等警盎谢+ n ， ( s a 等b - 4 a 2 b ) 咭c o 而s h a 一五缶炳川等t 皂舞一击) ( 2 + 湖z 回 其中，= 2 b r ，正比于两孤子的间距2 f 。 可得系统总的平均拉格朗日量为【q 1 4 第三章光孤子间的相互作用 伍，= 4 字警一4 了a 2 西0 2 2 竿+ 4 万a 4 一；舶+ 2 等警= 伽艿一 4 等警盎瞄州sa - - - b - 4 a 2 b ，曙拦一南刚+ ( 3 3 - 1 5 ， 4 等c 令盖警一南c z 2 回 利用变分原理 等舢瓦o l 一丢( 表= 。( 乃表礼4 ，6 m 趴糊3 3 1 5 ) 代 办 入肯由可孽m 千孤子客参新相善的常榭锌古韶细 拈否b 2 1 + 二一c o s j 蛐 a = g ( a ) - 窒- - “ 字c 2 一g c 酬笔+ 等警盎鲫占一z 警= 矿a 丽oh ， ( 3 3 - 1 6 ) ( 3 3 - 1 7 ) ( 3 3 18 ) 妄c 警b 业o zo ac 盖删捌2 警扣志训， ， = 2 = - 只) a 、7 鼬h o + 志刚，丢案至苎 伍s - z 以案一1 a 4 一2 小舶2 ) ( 豢一盘一b ，圳， 以等等一盘肥2 a ) 、。 湖北大学硕士学位论文 这里，我们发现，由g ( a ) ，只) 我们可以得到一个类似于能量守恒的式子， i | a 2 郫2 睁2 + 删= f ( 3 3 2 2 ) 占为一常量，是计算中的积分常数，n - - j 以把它理解为每个孤子的总能量。这样( 3 3 - 2 2 ) 式 可解释为：在质心系中，每个孤子的运动如同质量为a 2 9 2 ( ) 的粒子在势场p ( a ) 中运动 一样，它的总能量为。但是，a 2 9 2 ( ) 并不是一个常量，它会随( 也就是两孤子间 间的间隔) 而变化，为- j - ，y 便分析，我们可以把( 3 3 2 2 ) 式整理为： 挎2 + 端= 。 令 脚) = 糍( 3 3 - 2 3 ) 可得 i 1 石0 z ，2 + ，( ，p ) = o ( 3 3 - 2 4 ) 可以将，( ，占) 理解为某种赝势。( 3 3 2 4 ) 式可理解为单位质量的粒子在势场f ( a ，占) 中的 运动。 图3 1 我们可以模拟出，( ，f ) 的图像，取 占= 0 。4 = l , b = l ，得到图3 - i ，它表示对 应不同的初相位差艿的赝势曲线。图中a 、 b 、c 、d 分别对应于艿= o 三，考，万。 它反映了在初始相位差大于要时， 孤子阃的作用力是排斥力；初始相位差小 于要时，孤子问的作用力是吸引力；初 始相位差等于三时，孤子间的作用力几乎为零。而且，这种力的作用是短程力在i l 5 时就几乎没有力的作用了。 1 6 第三章光孤子间的相互作用 3 4 暗孤子问的相互作用 在反常色散区，可以观测到光孤子现象，我们通常讲这种孤子成为明孤子而在正 常色散区，同样存在光孤子，这就是暗孤子 所谓暗孤子是指在宽的脉冲信号背景上叠加一个很短暂的下陷( 相当于时间型暗孤 子) 1 3 7 1 上世纪8 0 年代，h a s e g a w a 、t a p p e r t 和e m p l i t 等人，分别从理论上及实验中 证实了暗孤子的存在d 5 一暗孤子有着不同于明孤子光脉冲的传输特性，暗孤子光脉冲 的功率采用i t a i l h 叫2 波形，其平均功率较高，而且，描述暗孤子传播的n l s 方程也与明 孤子有所不同，标准暗孤子在单模光纤中满足的无损耗无量纲的n l s 方程为： i u , - 丢+ i “1 2 ：o04-1)i i + “l 2 u 方程( 3 4 1 ) 有基本的暗孤子解： u ( z ，f ) = t a n h ( f ) c x p ( i z )( 3 4 - 2 ) 暗孤子在传播过程中之间同样存在相互作用。我们可以应用( 3 4 - 1 ) 式来讨论这个 问题，这里我们使用尝试解m 。 舻t a n l l 卜f + 训c x p 【聊+ f ) “( + 导) 计历】( 3 4 - 3 ) 式中的常参数a ，f ，v ，6 分别表示孤子的振幅( 即宽度的倒数) ，中心位置，传播速度 和初相位。 在质心系中来研究两个大小和传播速度完全相同的孤子，我们可以假定方程( 3 4 - 1 ) 的双孤子解可近似为两孤子的线性叠加， u=“i+屹04-4) 其中，l i 、坞分别为 嵋2 一t 蛆h 【6 0 + f ) 】e x p 一咖( f + f ) + 1 2 b 2 9 + 现+ 峨】( 3 4 - 5 ) 屹2 彳t a h l b ( f f ) 】。e x p 卜咖( f f ) + b 2 z + 髓+ j 嘎】 ( 3 4 缶) 将( 3 3 - 5 ) 、( 3 3 - 6 ) 式代入系统的拉氏密度函数 湖北大学硕士学位论文 嘎i 。罢一“为一；阱+ 押i ( 3 4 7 ) 就可将工表示为自由孤子的拉氏密度函数厶与孤子相互作用拉氏密度函数和的形式 式中 l = 厶+ 厶2 厶= 磊f 警一警，一割剖2 + 射， ( 3 4 - 8 ) 式中c c 表示前面各项的复共轭。将( 3 4 - 5 ) 、( 3 4 - 6 ) 式代入( 3 4 - 9 ) 式，并对t 轴积分， 可得自由孤子的平均拉氏量为 c 厶，= 厶出= 4 宰砉+ 4 等警一2 华一等+ 1 ，6 爿2 6 ( 3 4 - 1 1 ， 同理，将( 3 4 - 5 ) 、( 3 4 6 ) 式代入( 3 4 - 1 0 ) 式并积分，略去所有小量及小量的高阶项， 可得相互作用的平均拉格朗日密度函数的近似值为 c ”= 4 等c 专詈等一面击胁础洲等c 专盖尝一曼尝谢一 4 舶( 会詈等一五扫谢一4 等( 2 + 嘲笏一2 s 回+ ( 3 4 1 2 ) 2 ( a 2 b + a 。20 出j - 一丁a 2 r 石o a 一2 等) + 3 一击m 【c o s h ( a + 1 5 ) 】一 t n ( c o s h i 5 ) ) c o s 艿 其中，= 2 b r ，正比于两孤子的间距2 f 。 利用变分原理 等- o 一嚣一丢( 盏。0 ( 乃赫咖6 ，”川斗黼( 3 1 ) 、盘 o 4 1 2 ) 入式中，可导出于孤子各参数相关的常微分方程组 ，3 4 - 1 3 ) p + 2 2灿 争 + 卜8 哇 等w+m + 丝鼻屹嵋弘o = + k 吖 一好 一 | 骞 一亏| 一 一m一句 一“ 意 一m 壬 一卜 巧 矛 第三章光孤子间的相互作用 声；g ( ) 宴 应 ( 3 4 - 1 4 ) 一爹咖絮川：南? 邮“别惭s h l 司n + n 钏， 字t 2 + g t 创笔+ ：警= 吾刍h ， 式中，g ( ) 、p ( a ) 分别为 g ( ) = 一l + 吾 + 3 一去 l n 【c o 砸+ 1 别一i n ( c o s h i 5 ) l + 谢云每1 a a 东+ 3 - 土羔 l n i c o s h ( 丽a + 1 5 ) 忑 - l n ( c o 面s h l 5 ) 面 c o s 8 ， p ( ) = ；一2 6 2 + 【彳6 6 2 s 占( c o s 2 6 + 2 ) 】( ! ：；等一：五五1 丁- ) 一 2(垒兰譬垒一!坐)cos占+墨b4+a4(s23sinha s i n ha32 c o s 艿+ 马3 + jz 、 7 圭( 2 一彳2 + 3 一志伽【c o s h ( “5 ) 卜l n ( c o s h l 5 ) ) ) o o s j 与上一节一样，由g ( ) 、p ( a ) 我们可以得判一个荚1 以十能量守恒的式子， 三1 2 拌2 ) ( 争2 + p ( a ) = 占 我们可以把( 3 3 - 2 2 ) 式进一步整理为： 三毫n 端= 。 令 驰力= 器 可得 三( 参2 + ，( 功= 。 1 9 ( 3 4 - 1 7 ) ( 3 4 - i8 ) ( 3 4 1 9 ) ( 3 4 - 2 0 ) ( 3 牝1 ) + 0 一条= 锄 汹 例p 咐去呐 ! 一 4 也卜 a 一弘 舡一勿l 一6 ” 爷等 誊砰 湖北大学硕士学位论文 始相位差大于至2 时，暗孤子间表现为吸引力； 乎为零。 可以将f ( a , e ) 理解为某种赝势。同样可以 画出f ( 0 的图像，取占= o a = l , b = i ， 得到图3 2 ，它表示对应不同的初相位差占 的赝势曲线。图中a 、b 、c 、d 分别对应于 艿= o ，三，i , r t - ，万。从中可以看到，在初始相位 差小于要时，暗孤子问表现为捧斥力；初 初始相位差等于罢时，孤子间的作用力几 3 5 高阶色散对孤子间相互作用的影响 影响光孤子相互作用的因素有很多，例如：孤子的相干性、非线性、初始啁啾、孤 子间距、光纤损耗、高阶效应等都会对孤子相互作用产生影响，情况很复杂。目前，已 有不少学者在孤子相互作用的动力学方面进行了数值研究，并且给出基于逆散射方法的 扰动分析。这些研究均假设脉冲间是完全相干的，包括脉冲的相位及它们的偏振特性。 如果脉冲间相互作用是非相干的，即认为相互作用仅通过强度迭加( i n t e n s i t yo v e r l a p ) 来 决定，那么就应该相对而言，更容易用解析法来讨论此问题p i 。本节我们将利用变分法， 讨论在非相干的情况下，三阶色散对孤子间相互作用的影响。 当光纤中的非线性光脉冲的载波波长接近零色散波长时，必须要考虑光纤中三阶色 散的影响。此时，孤子的传输必须用含三阶色散修正项的n l s 方程来描述 i u z + 妻+ i “2 u - - i f l u 。= o ( 3 5 - 1 ) 其中口表示三阶色散系数。孤子的光波场u 可近似为两孤子的线性叠加， “= + 心 ( 3 5 - 2 ) 假设 项仅通过强度迭加进行耦合，得到 t 鲁弓争+ 帆1 2w h - i 声争= 。 s 侧 ，鲁专争+ “f + k 1 2 比一妒争= 。 ( 3 s 3 b ) 假设孤子解具有以下形式 2 a , s e t h 2 a , ( t r t ) e x p 2 i p i ( t - r , ) + i s j 】 ( 3 5 4 ) 屹= 2 a 2s e c h 2 a 2 ( t - r 2 ) e x p 2 i h ( t - r 2 ) + i 8 2 】 ( 3 5 5 ) 参数口，r j ，一，( _ ，= l ，2 ) 分别表示各孤子的振幅，中心位置，传播速度和柏位，下 标1 、2 分别对应两个孤子。 满足方程( 3 5 1 ) 所描述的系统的拉氏密度函数可表示为 上= 圭t “罢一“筝一圭俐2 + 争f 一警c 等等一害睾， o s 呦 其正确性可通过变分原理 讹鲁，- 锄夏- ) a , 喾等础：。 ( 3 晶 得到方程( 3 5 - 1 ) 而验证。 。 最小作用量原理导致如下l a g r a n g - e u l e r 方程 善一兰c 静一言c = o ，矿一云别一瓦别砘 詈一昙c 蓦一妄c 亭：。 。5 印 ( 3 5 8 ) 式分别给出方程( 3 5 - 1 ) 及其复共轨形式。将( 3 5 2 ) 式代入( 3 5 - 6 ) 式，就可将表示 为自由孤子的拉氏密度函数厶与孤子相互作用拉氏密度函数和的形式 = 厶+ 厶2( 3 5 - 9 ) 式中 厶= 磊睦c 心+ 誓一心筝一到剖2 + 扣4 一警t 等争一鲁等h n s 由于我们讨论的是非相干孤子问的作用，所以 厶：= l u , 1 2 埘 ( 3 5 1 1 ) 将( 3 5 - 4 ) 、( 3 5 5 ) 式代入( 3 5 1 0 ) 式，并对t 轴积分，可得自由孤子的平均拉氏量为 2 1 湖北大学硕士学位论文 ( 厶) = 上。出= 甄h 誓+ 8 4 2 鸬誓一8 4 i 彳一8 4 2 声，2 + j + _ j g a 2 j + 3 2 p a i h ( h 2 + 彳) + 3 2 肋如( 鸬2 + ) 一( 3 5 - 1 2 ) 乞巫钿，盟 。d zd z 同理，将( 3 5 - 4 ) 、( 3 5 5 ) 式代入( 3 5 - 1 1 ) 式并积分 ：) = 1 6 彳口：2f s e c h 2 2 a l ( t - r 1 ) s e c h 2 2 a e ( t f 2 ) 】出( 3 5 - 1 3 ) 此时，我们可得系统总的平均拉格朗日量为【5 l l 驴s q h 鲁啦鸬鲁- 8 a j ，, 也+ 扣+ 争+ 3 2 , b a , ( 4 2 + 彳) + 3 2 p a 2 h ( z 2 2 + ) 咄兽_ 4 口2 兽+ ( 3 5 - 1 4 ) 1 6 彳4 ；s e c h 2 2 a l ( t t , ) s e c h 2 2 a 2 ( t f 2 ) 】出 利用变分原理 等- o 一嚣一昙c 老( 惭 趴艄 5 - 1 4 舭舯， 可导出于孤子各参数相关的常微分方程组 嘉( k ) 一8 丢( 们) = 。( 3 5 - 1 5 ) 鲁一2 所聊( 巧+ 3 彳) = o ( 3 5 - 1 6 ) 萼一2 2 砌，2 出矾一弓) 一 丢( ：) = 。 ( 3 s 旦生：o ( 3 5 1 8 ) 上= 0( 3 5 1 8 1 d z ( 以上各式畸= 1 ，2 ) ( 3 5 - 1 8 ) 式表明a j 与：无关，这与前面的假设是一致的。这样，可以进一步将两孤子看成 等幅的，即q = 呸= 4 = 常数，并引入一个新的参量， a = 口亿一f )( 3 5 - 1 9 ) 第三章光孤子问的相互作用 假设两孤子的位置是对称的即有= q = f ，则 = 2 盯 这样，就正比于两孤子间的距离了 把( 3 5 2 0 ) 式代入( 3 5 - 1 5 ) 可得 丢( 一+ 如) = o ( 3 5 - 2 0 ) f 3 5 - 2 0 也就是，一+ 鸬= c ，与z 无关。 由( 3 5 1 6 ) 可得- 皇生告三型一2 ( 6 一心) + 2 4 p ( 6 一心) ( + 鸬) = o ( 3 5 - 2 2 ) 将( 3 5 2 0 ) 、( 3 5 - 2 0 式代入( 3 5 2 2 ) 并令= 6 一鲍 _ d a ：2 a 一2 4 f l 口印 日i z ( 3 5 2 3 ) 式对z 再次求导， 磐：2 口塑一2 4 肋c 业 d z 2d zd z 由( 3 5 - 1 5 ) 式可得到，警= 旦法立，将它代入( 3 5 - 2 4 )d z弛 等+ 丢【2 口( 1 2 p c 1 ) ( 厶：) 】_ o ( 3 5 - 2 3 ) ( 3 5 - 2 4 ) ( 3 5 - 2 5 ) 上式的右边项2 口( 1 2 c 1 ) ( 厶：) 可视为孤子运动的势场，这就是孤子运动的动力学方程。 ( 3 5 2 5 ) 式乘以_ d a ，然后对z 积分，可得 韶 三( 警) 2 + 2 柙也c ) ( 厶：( 。) ) 一厶：( ) ) _ o ( 3 s - 2 6 ) 由( 3 5 - 1 3 ) 、( 3 5 2 0 ) 式计算( k ) 可得 ( 厶：( ) ) = 竺3 扎讹3 ( 会盖等一五而i ) ( 厶：( o ) ) ：_ 6 4 矿 j ( 3 5 - 2 7 ) ( 3 5 - 2 8 ) 湖北大学硕士学位论文 三( 警) 2 m 州z 胪- j c 面a c o 万s h a 一击) = 。 ( 3 s - 2 9 ) 进一步整理为： 三2 州) - 。 o ) 式中 跗) - 1 2 鼬4 ( 1 1 2 t i c ) ( 等等一面而1 ) ( 3 5 - 3 1 ) 我们得到了一个类似于能量守恒的式子，和前面的章节一样，可以将，( ) 理解为 某种赝势。( 3 5 3 1 ) 式可理解为单位质量的粒子在势场f ( a ) 中的运动。 由式( 3 5 3 1 ) 可以得到孤子问的相互作用力s 为： 舭) - - 艺导观盯( z 肛) ( 丝瓮耸坐一盖等) ( 3 5 - 3 2 ) 图3 - 3 表示相互作用能，( ) 随孤子问距的变化曲线 ( a = l ；p = 0 0 1 ，0 0 2 ，0 0 5 ；c = i ，a 、b 、c 分别对应于= 0 0 1 ，0 0 2 ，0 0 5 ) 。由图可知随 着孤子间距的增大，它们问