（管理科学与工程专业论文）响应曲面二阶设计方法比较研究.pdf

响应曲面二阶设计方法 比较研究 a c o m p a r a t i v es t u d y o nt h es e c o n d o r d e r d e s i g n s i nr e s p o n s es u r f a c em e t h o d o l o g y 专业：管理科学与工程 研究生：胡雅琴 指导教师：何桢教授 管理学院 二零零五年六月 一+ 文摘要 中文摘要 响应曲面法是一种广泛应用于产品和工艺参数稳健性设计和工艺过程优化 的统计方法。通过科学地应用响应曲面法，可以找出影响产品或工艺质量特征 的主要因子，优化产品或工艺质量特征并找出最优水平的控制范围。在实际操 作过程中，具体选用哪种二阶设计方法常常会很大程度上影响到试验的效果和 成本。如何合理选择二阶试验设计方法是试验者在着手进行试验之前必须明确 的一个问题。如果只用一、二项标准来衡量一种设计的合理性往往会有所偏颇。 因此，有必要对常用的二阶设计方法进行综合性的评价和比较，从而保障试验 的准确有效。 本文首先介绍了响应曲面的相关理论体系和理论基础，然后从预测能力和 试验的复杂性两个方面，对几种常用的响应曲面设计方法中心复合设计( 包 括外切中心复合设计( c c c ) 、内切中心复合设计( c c i ) 以及面心立方设计 ( c c f ) ) 和b o x b e h n k e n 设计( b b d ) 进行比较，总结出这几种设计在预 测能力、要求的中心点数以及因子水平数等几个方面的特点。从模型的预测能 力来看，c c c 、c c i 、b b d 满足可旋转性要求，因此，预测方差的一致精度性较 好。当设计模型为三因子时，c c c 、c c i 的预测能力最强，而c c f 亦优于b b d ； 当因子数为4 时，b b d 可看作是c c d s 的旋转，因此，这四种设计的性质相近； 当因子数为5 时，在大部分设计域上，b b d 的预测能力要优于c c d s 。从模型 的复杂性来看，c c f 与b b d 是较为简单的设计，而c c c 、c c i 对试验条件的要 求较高。 本研究的创新之处在于：系统地论证了四种二阶设计方法各自的特点；提 出了二阶设计方法的评价体系，试验者应从预测能力和试验的复杂性两个方面 评价一种设计方法的适用性。最后总结了四种设计在这两方面的差异。 关键词：响应曲面法二阶设计模型设计标准 a b s t r a c t r e s p o n s es u r f a c em e t h o d o l o g y ( r s m ) i sap o p u l a rs t a t i s t i c a lm e t h o d ，w h i c hi su s e d i nr o b u s tp a r a m e t e rd e s i g na n dp r o c e s so p t i m i z a t i o n t h r o l l g hs c i e n t i f i c a l l yd e s i g n e d e x p e r i m e n t s ，m a i nf a c t o r st h a ts i g n i f i c a n ti n f l u e n c et h eq u a l i t yo fp r o d u c t sw i l lb e f o u n d ，a n dq u a l i t yc h a r a c t e r i s t i c so rp e r f o r m a n c em e a s u r e sw i l lb eo p t i m i z e d i n p r a c t i c e ，w h i c hs e c o n d - o r d e rd e s i g ni sc h o s e nw i l lg r e a t l ya f f e c tt h ea d e q u a c ya n d c o s to ft h ee x p e r i m e n t ，a n di sc r u c i a lt oe x p e r i m e n t e r sb e f o r ei t si m p l e m e n t a t i o n i ti s n o tr e a s o n a b l et oe v a l u a t et h ed e s i g n sw i t h s i n g l e v a l u e dc r i t e r i a a sar e s u l t ， s y n t h e t i ce v a l u a t i o na n dc o m p a r i s i o no np o p u l a rs e c o n d o r d e rd e s i g n si sc a l l e df o rt o e n s u r et h ee f f i c i e n c yo f t h ee x p e r i m e n t t h ep a p e ri n t r o d u c e st h er e l a t e dt h e o r ya n dd e s c r i b e st h et h r e ep h a s e so fr s ma s t h eb e g i n n i n gp a r t o nt h eb a s i so fc h a r a c t e r i s t i c so ft h ef o u rd e s i g n s ，t h ed i f f e r e n c e s o fs o m ef r e q u e n t l yu s e dr e s p o n s es u r f a c ed e s i g n s - - - c e n t r a lc o m p o s i t ed e s i g n s ( i n c l u d i n gc e n t r a lc o m p o s i t ec i r c u m s c r i b e dd e s i g n ，c e n t r a lc o m p o s i t ei n s c r i b e d d e s i g n ，a n dc e n t r a lc o m p o s i t ef a c e c e n t e r e dd e s i g n ) a n db o x - b e h n k e nd e s i g n a r e c o m p a r e df r o mt h ep o i n t so f p r e d i c t i o nc a p a b i l i t y ，c e n t e rp o i n t sr e q u i r e d ，f a c t o rl e v e l e t c w h e ni tc o m e st op r e d i c t i o nc a p a b i l i t y ，c c c ，c c i ，a n db b da r er o t a t a b l e ，w h i c h g u a r a n t e e st h et m i f o r m i t yo fp r e d i c t i o ne r r o r i nt h r e ef a c t o r s ，c c ca n dc c ia r eb e s t a tp r e d i c t i o n ，a n dc c fi sa l s os u p e r i o rt ob b d f o rt h ef o u rf a c t o rc a s e ，b b di sa r o t a t i o no fc c d s ，a sar e s u l to fw h i c h ，t h e ya r ei d e n t i c a li np e r f o r m a n c e f o rt h e f i v e v a r i a b l ec a s e b b dp e r f o r m sw e l lc o m p a r e dt oc c d sf o ra l lb u tat i n yf r a c t i o no f t h ed e s i g ns p a c e s oa st ot h ec o m p l a x i t yo fd e s i g n ，c c ca n dc c ip u tf o r w a r dm o r e r e q u i r e m e n t st oe x p e r i m e n tc o n d i t i o n s ，w h i l ec c fa n db b d a r em u c hs i m p l e r i n n o v a t i o n so ft h i sp a p e rr e s ti nt h ef o l l o w i n g f i r s t , t h i sp a p e rd i s c u s s e dt h e c h a r a c t e r i s t i c so ft h ef o u rd e s i g n ss y s t e m a t i c a l l y s e c o n d ，a ne v a l u a t i o ns y s t e mi sp u t f o r w a r d ，w h i c ha s s e s s e st h ea d e q u a c ya n de f f i c i e n c yo fad e s i g nf r o mt h ep o i n t so f p r e d i c t i o nc a p a b i l i t ya n dc o m p l e x i t y t h ed i f f e r e n c e so ft h ef o u rd e s i g n si nt h e s e a s p e c t sw e r ep r e s e n t e da sc o n c l u s i o n k e yw o r d s ：r e s p o n s es u r f a c em e t h o d o l o g y , s e c o n d o r d e rd e s i g n s ，d e s i g nc r i t e r i a i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨生盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：0 1 h 谢气饬 签字日期：枷r 年月妯日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解墨鲞盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权鑫注盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：气防诸i 物导师签名： i 签字日期：沙s 年月“日 签字日期：r 年，月彳日 第一章绪论 1 1 研究的背景和意义 第一章绪论 响应曲面法( r e s p o n s es u r f a c em e t h o d o l o g y , r s m ) 是数学方法和统计方法相 结合的产物，是用来对所感兴趣的问题进行建模和分析的一种方法，其目的是寻 找优化区域，建立优化区域的模型，从而找到响应的优化值。在产品全生命周期 的各个阶段，响应曲面方法都提供了有效的试验方法，通过此方法可以寻找出最 优试验条件以大幅度降低开发的时间和成本，使产品具有更高的可靠性，从而提 高产出率，减少不照品。响应曲面能够提供一个可遵循的程序，以突破制造过程 的瓶颈，达到设计目标。 响应曲面法是试验设计的分支之一。一个试验设计有四个基本目标：筛选、 优化、比较以及稳健设计。与其它设计( 部分因子试验、全因子试验) 比较而言， r s m 在在优化和稳健方面的能力较强，在比较方面的能力中等，在筛选方面的 能力最弱。 在试验设计的实际操作过程中，具体选用哪种设计方法常常会很大程度上影 响到试验的效果和成本。如何合理选择二阶试验设计方法是试验者在着手进行试 验之前必须明确的一个问题。如果简单地只用一、二项标准来衡量一种设计的合 理性往往会有所偏颇。因此，必须通过多方面、综合性的评价和比较才能保障试 验的准确、有效。 1 1 1 研究的背景 近十年来，响应曲面方法的应用领域一直在扩大，其他领域中统计学的进 步也推动了它的发展。随着对其认识的逐渐深入，使用响应曲面方法的范围已经 不仅限于化学、食品和其他制造过程，生物学、生物医药和快速发展的生物分子 学领域的研究者们都对响应曲面产生了浓厚的兴趣。 从在工业生产中所起的作用来说，无论是在产品设计还是制造过程中，响应 曲面方法都提供了一个有效的试验方法。在产品全生命周期的前期，寻找出最优 试验条件以大幅度降低开发的时间和成本，使产品具有更高可靠性：在制造过程 中，也可以找出制造过程中的最优条件以提高产出率，减少不良品，以实现最佳 生产管理或经济效益。 通常认为响应曲面方法包括试验设计、模型拟合和过程优化等几个环节。近 蒴一审绪论 来，稳健性方法、非参数方法和贝州斯设计已经成为响应曲面研究的一部分。然 而对于多数实践者来说，响应曲面方法的f 1 标主要还是优化响应，即试验者基丁 一些定量的过程因子( 或者是定性因子和定量因子的混合) 来设计一个试验，然 后根据能够提供过程改进，达到过程优化的设计变量的目标来分析数据。 一般来说，响应曲面方法包括两阶段设计。第一阶段设计包括进行因子试验 设计( 部分因子试验或全因子试验) ，拟合一阶数学模型，确定模型及最速上升 ( 或下降) 方向并求取该阶段最优值。根据最速上升或下降方向，可以确定下次 试验各控制变量的变化范围。其中，在因子试验中要增加试验中心点，它用于估 计模型拟合误差，并有助于估计二次项系数。第二阶段设计的主要工作是当发现 模型拟合误差显著时，拟合二次回归方程，绘制出响应曲面与等值线图。响应曲 面方法的具体设计方法很多，其中最常用的方法是中心复合设计( c e n t r a l c o m p o s i t ed e s i g n ) 和b o x b e h n k e n 设计( b o x b e h n k e nd e s i g n ) 。 r s m 的特点是： 它是循序渐进的连续过程，各阶段的结果会引导下一步所取方向； 它将试验问题用现成易懂的几何学术语表达出。等值线与轮廓线的表示 清晰易懂； 用一阶模型去靠近响应面，当发现模型拟合误差显著时，增加轴向点的 试验，用二阶模型进行拟合。 1 1 2 研究的目的和意义 本研究的主要实用意义体现在，中国的市场竞争日趋激烈，为了提升企业的 竞争力，需要从质量水平、生产工艺、资源投入等多个方面来进行改进。 从产品的质量方面来看，企业的产品和服务质量不仅仅要达到市场越来越高 的要求，而且要能够不断地进行改进，并且维持这样的质量水平，同时实现低成 本的目的。加强响应曲面方法的研究，能够在最经济的条件下实现满足企业要求 的生产结果，寻找出最优试验条件，以大幅度降低开发的时间和成本，使产品具 有更高可靠度；找出制造过程的最优条件以提高产出率和减少不良品，以达到最 佳生产管理或经济效益，满足顾客需求的目的。 从生产工艺水平的提高上来看，响应曲面方法是有效分析最优生产条件的方 法，同时能够在更多实践经验和新的试验设计的基础之上找出更好的生产条件和 质量水平，结合企业的实际能力和资源，得到适合企业自身的生产工艺。对于企 业的资源投入来说，使用响应曲面方法找到的生产条件和结果是在企业现有条件 下的最佳结果。 对响应曲面二阶设计方法的各项特征进行比较，可为企业在应用响应曲面方 法时提供相关依据。具体来说： 】 为试验者选择具体的试验设计方法提供选择依据，帮助试验者综合考虑方 法选择过程中的各项标准。 2阐述应用试验设计方法过程中可能遇到的问题，减少不必要的浪费，同时 有利于r s m 设计方法的推广。 3避免选择设计方法时的盲目性与主观性，是保证试验结果科学性的前提。 1 2 文献综述 1 2 1 响应曲面二阶试验设计的研究现状 在有关r s m 研究的许多重要工作中，有三个里程碑式的事件。首先是b o x a n dw i l s o n ( 1 9 5 1 ) 在其文章中引入了复合设计的概念，从而能够有效地估计二 阶模型的平方项，利用预测方差在其设计域上的分布来评价一个设计，即旋转性 这一特性【2 】：另一个重要事件是引入了预测方差稳定性的概念；第三项有影响的 工作是b o xa n dd r a p e r ( 1 9 5 9 ，1 9 6 3 ) 在其文章中引入了r s m 设计对模型不适合的 稳健性的概念口】【4 】，他们认为不仅应该考虑由于模型的不适合所造成的偏移，即 使是中等程度的不适合，使用者也必须在设计选择中认真考虑。 近年来，对r s m 设计的比较研究主要集中在设计的预测精度、设计的稳健 性以及优化能力等几个方面。主要研究者及其研究成果包括： r a y m o n dhm y e r s ( 1 9 9 9 ) 总结了近二十年来r s m 研究领域的主要课题及 成果，介绍了将r s m 应用于稳健参数设计以及一般线性模型( g l m s ) 的情形， 并提出将其与多响应以及非参数问题结合起来p l 。 r i c h a r dv e r s e p u t ( 2 0 0 0 ) 针对中心复合设计总结了选择设计方法时应该考虑 的几个问题，包括设计域的形状、复杂性阻及设计精度等，对中心复合设计的三 种常见形式外切中心复合设计、内切中心复合设计、面心立方设计进行了初 步的比较一j 。 j o h nj b r o k o w s k ia n de l s i es v a l e r o s o ( 2 0 0 3 ) 比较了中心复合设计等设计 方法在d 一效率、g _ 效率、a 一效率以及i v 一标准上的差异【7 】。 j o l l n j b r o k o w s k i ( 2 0 0 3 ) 研究了各种平均预测方差( a p v ) 与标准之间 的关系。他认为计算机生成的a p v 标准是用某些固定点计算得出的平均值，这 样得出的a p v 值要高于- 标准，会导致试验选择中的不准确 8 】。 a l y a a z a h r a ne ta 1 ( 2 0 0 3 ) 将设计空间比率的理论应用到对响应曲面设计的 评价之中。文中认为方差分布图不能提供足够多的有关设计预测能力的信息，而 法时提供相关依据。具体来说： 为试验者选择具体的试验设计方法提供选择依据帮助试验者综合考虑方 法选择过程中的各项标准。 2 阐述应用试验设训方法过程中可能遇到的问题，减少不必要的浪费，同叫 有利于r s m 设训方法的推广。 3 避免选择设计方法时的旨日性与主舰肚，是保证试验结果科学性的前提。 1 2 文蘸综述 1 2 1 响应曲面二阶试验设计的研究现状 在有关r s m 研究的许多重要工作中，有三个里程碑式的事件。首先是b o x a n dw i l s o n ( 1 9 5 1 ) 在其文章中引入了复合设计的概念，从而能够有效地估计二 阶模型的平方项，利用预测方差在其设计域上的分布来评价一个设计，即旋转性 这一特性1 2 j ：另一个重要事件是引入了预测方差稳定性的概念；第三项有影响的 工作是b o xa n dd r a p e r ( 1 9 5 9 ，1 9 6 3 ) 在其文章中引入了r s m 设计对模型不适合的 稳健性的概念u j l 4 1 ，他们认为不仅应该考虑由于模型的不适合所造成的偏移，即 使是中等程度的不适合，使用者也必须在设计选择中认真考虑。 近年来，对r s m 设计的比较研究主要集中在设计的预测精度、设计的稳健 性以及优化能力等几个方面。主要研究者及其研究成果包括： r a y m o n dhm y e r s ( 1 9 9 9 ) 总结了近二十年来r s m 研究领域的主要课题及 成果，介绍了将r s m 应用于稳健参数设计以及一般线性模型( g l m s ) 的情形， 并提出将其与多响应以及非参数问题结合起来hj 。 r i c h a r dv e r s e p u t ( 2 0 0 0 ) 针对中心复合设计总结了选择设计方法时应该考虑 的几个问题，包括设计域的形状、复杂性以及设计精度等，对中心复合设计的三 种常见形式外切中心复台设计、内叫中心复合设计、面心立方设计进行了初 步的比较 6 1 。 j o h nj b r o k o w s k ia n de l s i esv a l e m s o ( 2 0 0 3 ) 比较了中心复合设计等设计 方法在d 一效率、g 一效率、a 一效率以及i v _ 标准上的差异吼 j o l l n j b r o k o w s k i ( 2 0 0 3 ) 研究了各种平均预测方差( a p v ) 与_ 标准之间 的关系。他认为计算机生成的a p v 标准是用某些固定点计算得出的平均值，这 样得出的a p v 值要高于- 标准，会导致试验选择中的不准确口1 。 a l y a a z a h r a ne t a l ( 2 0 0 3 ) 将设计空间比率的理论应用到对响应曲面设计的 评价之中。文中认为方差分布图不能提供足够多的有关设计预测能力的信息，而 评价之中。文中认为方差分布图不能提供足够多的有关设计预测能力的信息，而 法时提供相关依据。具体来说： 】 为试验者选择具体的试验设计方法提供选择依据，帮助试验者综合考虑方 法选择过程中的各项标准。 2阐述应用试验设计方法过程中可能遇到的问题，减少不必要的浪费，同时 有利于r s m 设计方法的推广。 3避免选择设计方法时的盲目性与主观性，是保证试验结果科学性的前提。 1 2 文献综述 1 2 1 响应曲面二阶试验设计的研究现状 在有关r s m 研究的许多重要工作中，有三个里程碑式的事件。首先是b o x a n dw i l s o n ( 1 9 5 1 ) 在其文章中引入了复合设计的概念，从而能够有效地估计二 阶模型的平方项，利用预测方差在其设计域上的分布来评价一个设计，即旋转性 这一特性【2 】：另一个重要事件是引入了预测方差稳定性的概念；第三项有影响的 工作是b o xa n dd r a p e r ( 1 9 5 9 ，1 9 6 3 ) 在其文章中引入了r s m 设计对模型不适合的 稳健性的概念口】【4 】，他们认为不仅应该考虑由于模型的不适合所造成的偏移，即 使是中等程度的不适合，使用者也必须在设计选择中认真考虑。 近年来，对r s m 设计的比较研究主要集中在设计的预测精度、设计的稳健 性以及优化能力等几个方面。主要研究者及其研究成果包括： r a y m o n dhm y e r s ( 1 9 9 9 ) 总结了近二十年来r s m 研究领域的主要课题及 成果，介绍了将r s m 应用于稳健参数设计以及一般线性模型( g l m s ) 的情形， 并提出将其与多响应以及非参数问题结合起来p l 。 r i c h a r dv e r s e p u t ( 2 0 0 0 ) 针对中心复合设计总结了选择设计方法时应该考虑 的几个问题，包括设计域的形状、复杂性阻及设计精度等，对中心复合设计的三 种常见形式外切中心复合设计、内切中心复合设计、面心立方设计进行了初 步的比较一j 。 j o h nj b r o k o w s k ia n de l s i es v a l e r o s o ( 2 0 0 3 ) 比较了中心复合设计等设计 方法在d 一效率、g _ 效率、a 一效率以及i v 一标准上的差异【7 】。 j o l l n j b r o k o w s k i ( 2 0 0 3 ) 研究了各种平均预测方差( a p v ) 与标准之间 的关系。他认为计算机生成的a p v 标准是用某些固定点计算得出的平均值，这 样得出的a p v 值要高于- 标准，会导致试验选择中的不准确 8 】。 a l y a a z a h r a ne ta 1 ( 2 0 0 3 ) 将设计空间比率的理论应用到对响应曲面设计的 评价之中。文中认为方差分布图不能提供足够多的有关设计预测能力的信息，而 第帚绪论 设计空间比率技术通过衡量预测方差是否小| 丁或等于某个设定值来为设计的预 测能力提供更丰富的信息一i 。 r a y m o n dh m y e r se ta 1 ( 2 0 0 4 ) 回顾了自1 9 8 9 年以来与响应曲面方法相关 的2 0 0 多篇文献，总结了1 9 8 9 年以来r s m 的应用与研究成果并指明了未来的研 究方向。r a y m o n d 的这篇文章起到了承前启后的作用，在响应曲面方法研究的 文献中具有十分重要的地位。 国内研究响应曲面方法的学者和机构很多，包括天津大学、西北工业大学、 上海交通大学等。但是针对多种二阶设计方法的比较和选择标准的研究却非常有 限。 天津大学的何桢教授曾经从设计域和设计的稳健性几个方面对三类中心复 合设计进行了比较研究，探讨了评价中心复合设计的准则。 1 2 2 目前研究的不足之处 在试验设计的实际操作过程中，具体选用哪种设计方法常常会很大程度上影 响到试验的效果和成本。如何合理选择二阶试验设计方法是试验者在着手进行试 验之前必须明确的一个问题。如果只用一、二项标准来衡量一种设计的合理性往 往会有所偏颇。因此，必须通过多方面、综合性的评价才能保障试验的准确、有 效。当前对于二阶设计方法评价标准的研究几乎都是基于单个或少数几个评价指 标，还没有形成一套系统的关于设计方法的选择和评价体系。 因此，本论文试图在这个方面做一些初步的探索。 1 3 本研究的方法、内容、思路和创新 1 3 1 本研究的方法 理论研究：对外切中心复合设计、内切中心复合设计、面心立方设计以及 b o x b e h n k e n 设计四种设计模型从预测能力以及模型自身的复杂性二个方面 进行分析研究。 案例研究：结合案例对四种设计模型的特点进行比较。( 案例选择：对l p s 系统的数据模拟结果用m i n i t a b 软件进行模型拟合。) 比较研究：针对每个评价标准对c c d s 和b b d 进行比较，得出其各自的特 点及优劣比较结论。试验者应综合考虑设计方法各方面的特性，选择能满足 实际问题要求的设计模型。 4 第一章焰沦 1 3 2 本研究的内容 本论文的研究内容主要是对几种常用的二阶试验设计方法( 包括外切中心 复合设计、内切中心复合设计、面心立方设计以及b o x b e l m k e n 设计) 进行比较 分析，从影响试验效果和试验成本的预测能力以及模型复杂性二个方面对这四种 设计进行比较，从而为试验者在开展试验设计之前提供选择二阶设计方法的依据 和标准。本文的研究内容如图1 1 所示。 1 3 3 本文的结构及技术路线 本文共分为七章，前面两章为研究背景介绍和文献综述，其中第一章为绪 论，介绍了本文的研究背景、研究内容、研究方法、研究现状和与文章主题直接 相关的文献综述。第二章详细介绍了响应曲面的相关理论体系和理论基础，从多 个阶段阐述了所使用的试验设计方案和拟合结果的求解与分析过程。前两章对响 应曲面及其研究应用现状作了一个概括性的介绍；第三章、第四章和第五章是本 文论述的主体部分，首先对四种设计方法的特点作了进一步的描述，然后从“合 理选择二阶试验设计方法”的角度出发，分别从预测能力以及模型的复杂性两个 方面对外切中心复合设计( c e n t r a lc o m p o s i t ec i r c u m s c r i b e dd e s i g n ，c c c ) 、内切 中心复合设计( c e n t r a lc o m p o s i t ei n s c r i b e dd e s i g n ，c c i ) 、面心立方设计( c e n t r a l c o m p o s i t ef a c e c e n t e r e dd e s i g n ，c c f ) 以及b o x b e h n k e n 设计( b o x b e h n k e n d e s i g n ，b b d ) 这四种常用的设计方法进行比较；第六章是一个案例模拟分析， 用数据对前文的结论进行验证；第七章是结论和今后的研究方向，对第三章到第 六章的分析结果进行了总结，并提出今后的研究方向。 本文的技术路线如图1 2 所示。 第一章绪论 图1 - 1 本研究的主要内容 6 本文的研究内容 选择试验模型 预测能力 1复杂性 模型拟合 一 第一章绪沦 n n n 设 汁 响应曲面方法理论 和应用背景分析 响应曲面方法的一般过程 n q 设 计 n n 歧 计 o 设 计 预测能力复杂性 案例分析 图l - 2 本文的技术路线 1 。3 4 本研究的创新和不足 ( 一) 本论文研究中的创新 本研究的创新之处在于： 系统地论证了四种二阶设计方法各自的特点； 首次提出t - - 阶设计方法的评价体系，即试验者应从预测能力和模型本 身的复杂性几个方面评价种设计方法是否适用于实际问题； 针对每个特性对四种设计进行了比较，总结出其每个特性上的相对优劣； 二阶设计比较中关于模型预测能力的论述相对还较少，首次系统地引入 国外学者关于设计空间比率( f r a c t i o no fd e s i g ns p a c e ) 理论，并应用到 二阶设计方法的选择标准中。 ( 二) 本论文研究中的不足 本研究只涉及了常用的c c d s 和b b d 设计。实际过程中常用的设计方法还 有p l a c k e t t - b u r m a n 设计、超饱和设计( s u p e r s a t u r a t e dd e s i g n s ) 以及计算机 生成设计等是本论文未讨论的问题。 本研究针列的是单响应的情形，对于多响应优化、混合试验以及约束条件 下设计的选择和比较还有待进一步探讨。 国内外学界有关响应曲面二阶设计方法的研究历史还很短，评价标准有待 于到实际应用中检验和完善，相关定量性的研究还有待深入。 第：章州应曲面方法概述 第二章响应曲面方法概述 响应曲面方法的发展历程始于1 9 5 1 年b o x 和w i l l s o n 建立并推导了拟合响应 与变量之间关系的数学模型。到1 9 6 6 年h i l l 和h u n t e r 的相关研究，其理论模型 的建立和研究已经趋于完善。在1 9 6 6 年到1 9 8 8 年期间，相关的研究延伸到探讨 模型的稳健性、可旋转的因子试验等等方面。这时响应曲面方法已经成为实际中 用于求解最佳试验或者作业条件的有利工具，普遍应用于电子、机械、农业、化 学工业和工业流程改进等研究领域中。 2 1 响应曲面方法概述 2 1 1 响应曲面方法基本概念 响应曲面方法是最早由b o x 和w i l l s o n 提出理论基础，经过h i l l 和h u n t e r 整理发展，于1 9 6 6 年建立更广泛的响应曲面定义和最优化模式。响应曲面方法 是一种结合数学应用、统计分析和试验设计的技术探讨影响因子与响应输出之问 的数学模式关系，经由试验设计者在所关心的试验区域内以系统的方式进行试 验，取得所希望的响应值和因子水平【i “。响应曲面方法是一系列有效的统计和数 学方法技术的集合，用于过程的改进和优化。它不但在设计和开发新产品方面有 重要作用，而且对于现有产品设计的改进方面也很有效。 响应曲面方法最广泛的应用还是在工业领域，特别是针对那种产品或过程的 质量特性和性能指标同时存在多个输入变量的情况。这种性能指标或者质量特性 被称为响应。这些指标大部分是连续的，尽管也会偶尔有一些离散的变量。实际 应用中，r s m 中大部分响应都超过一个。 2 1 2 响应曲面方法的过程 通常，试验者关心的是某个产品、过程或者系统的响应y ，与响应y 对应的 是一系列的输入变量，称之为因子。设某一过程有k 个因子，鼻，美，氕。建立 输入与输出响应之间的函数关系 y = f 皈，炙，彘) + s( 2 一1 ) 其中真实响应函数f 的形式未知。e 表示系统误差，表示由其它变异来源造 第一章响应曲向方法概述 成的f 所无法解释的方差。e 包括了各种影响，如响应的测量误差、系统或者过 程自身的其它变异来源、其它变量的作用等等。e 是一种统计意义上的误差，通 常假设均值为0 ，方差为盯2 。那么 e ( y ) = r l = e 叭卣，f 2 ，氕) + e ( s ) 、 ：厂( 卣，知，炙) j 在式( 2 2 ) 中的变量卣，岛，文通常是自然变量，因为它们用测量值的自然单 位表示，如温度、压力或浓度等等。在许多响应曲面方法问题中，通常把这些自 然变量转化为规范变量x 。，x 。4 ，这些规范变量一般都是没有量纲的，均值为 0 ，具有标准方差。在规范化变量的情况下，真实响应函数( 2 2 ) 可以写为 叩= f ( x 1 ，z 2 ，x t ) ( 2 - 3 ) 由于真实响应函数f 是未知的，试验者必须对它求一个近似。 通常认为响应曲面方法中包括试验设计、模型拟合和过程优化三方面的内 容。在大多数响应曲面方法的问题中，响应和自变量之间的关系形式是未知的。 因此，响应曲面方法的第一个步骤就是找出一个合适的关系式，来描述响应和自 变量集合之间的真实函数关系。 如果响应与白变量之间存在线性函数关系，则近似函数是一阶模型 y = p o + p , x l + p = x ，+ - + 屏x i + f ( 2 4 ) 如果模型中存在曲性，则必须用更高阶的多项式进行拟合，例如二阶模型 i t y = 卢。+ 卢。x ，+ 。x x ，+ 卢。x ，2 + s ( 2 5 ) i = 1i = 13 = 1 ，1 = 1 几乎所有的响应曲面方法问题都可以用这些多项式近似。当然，在自变量 的整个空间上只用一个多项式模型来进行近似是不大合理的，但在一个相对小的 区域内这种近似的效果很好。 可以用最小二乘法来近似估计多项式的参数，然后在拟合曲面上做响应曲 面分析。如果拟合曲面是真实响应函数的一个合适的近似式，那么对拟合曲面的 分析就近似地等价于对实际系统的分析。如果能够适当地利用试验设计来收集数 据，就能够最有效地估计模型参数。 响应曲面方法是一个序贯方法。首先确定哪些变量或者因子是显著的。这一 步中要删除那些不显著的因子。一旦确定了显著的变量，试验者的目的就是判断 自变量在现有水平下，响应值离最优点的距离。如果在现有的自变量水平下，响 应值没有达到最优，那么试验者就将通过一系列的调整来把这些过程变量向最优 值的方向移动。通常，当我们处在响应曲面相应自变量区域内的某个点时，此点 处模型只有微小的弯曲，此时用一阶模型是恰当的。为了快速而有效地到达最优 点所在的邻近区域，一般使用最速上升法。一旦找到了最优点区域，就可以利用 较高阶的模型，例如二阶模型。当取得了一个合适的近似模型之后，试验者会对 筇二章响心i 而方法概述 它进行分析以便确定最优点的位置，即过程的最优条件，并进行进一步分析。 2 1 3 响应曲面方法的应用和质量改进 响应曲面方法在解决工业问题上很有效，一般而言，可以将其应用分成三个 主要方面： 1在感兴趣的区域上确定响应曲面的形状。如果未知的响应函数在当前可行 域上被成功地拟合出来，那么试验者就可以预测当条件改变的时候响应可 能发生的变化； 2响应优化。在工业应用中，一个很重要的问题就是决定优化过程的条件。 试验者能够通过r s m 确定最优条件的水平和最优的响应； 3按照顾客的特殊要求选择操作的条件。大多数响应曲面问题都会要求几个 响应同时达到要求。 在最近的二十年中，美国和欧洲的工业企业加大了对质量改进的关注。各种 统计方法，包括统计过程控制( s t a t i s t i c a lp r o c e s sc o n t r o l ，s p c ) 和试验设计 ( d e s i g no f e x p e r i m e n t ，d o e ) 都在其中扮演了很重要的角色。响应曲面方法作 为试验设计的一个分支是很受重视的。它是发展新过程的关键技术，能够优化过 程的性能，改进新产品的规划和设计。响应曲面方法也常常是一个并行工程工具。 在产品设计和过程改进中，质量工程师、制造工程师和运作团队通常会组成团队 来实旌响应曲面方法。目标就是改进质量，包括减少变异、提高产品和过程性能 等等。 2 2 拟合响应曲面的试验设计 只有通过良好的试验设计获得有效、可靠的数据，并进行适当地拟合，才 有可能得到响应曲面的近似函数y = ，( x ) + s 。从解析几何的角度考虑， y = f ( x ) + 是坐标空间( z 。x ：，k ) 上的一个曲面。对y = f ( x ) + 占进行分析， 寻找使响应输出变量y 达到最优的各因子水平的组合，并了解各因子是如何影响 响应变量的过程，这就是r s m 所研究的主要内容。 ( 一) 拟合一阶模型的设计 设要拟合k 个变量的一阶模型，响应为y ，模型同( 2 4 ) ，如下 土 y = p 0 + 2 ：屈x 。+ 占 函 有类独特的设计，它使得回归系数 屈) 的方差极小化。这就是正交的一阶 设计。如果( z x ) 矩阵的非对角线元素全为零，那么这个一阶设计是正交的。 第一章响应曲面疗法搬述 也就是说x 矩阵的列的交叉乘积之和为零。在使用这些设计时，我们假定k 个 因子都规范化为水平l 。我们用2 3 设计束拟合一阶模型，举例如下 y = p o 七8 l x i + 6 l x ! + p 3 x 3 + 拟台此模型的x 矩阵是 x = 可以证明，此设计的( x ) 矩阵的非对角线元素全为零。 ( 二) 拟合二阶模型的设计 二阶模型设计的主要目的就是要令试验者能够拟合二阶模型( 2 5 ) ： y = 风+ z p , x , + 岛v ，+ 风t 2 + 占 i = 1 i = l ，；1 t t 个观察值，令嘞表示变量x ，的第i 个观察值的第j 个水平。如表 2 - 1 所示： x 一 一 一 一，l ， 也一一，o o 。，o o o o ， i1 l 第二章响应曲雨1 方法栅述 表2 - 1 多元线性回归的数据 y x 】 x y tx x k l y 。x l hx 蛔 可以将模型写为 y i = p o + p 、x i | + 0 2 x 1 l + 。+ p , x q + s i k = p o + p 。x 口十s i ，= l 用矩阵形式可以表示为： y = x p + s 其中 x = 1 西l x 2 l 1 而2 x 2 2 也1 以2 = 屈 届 ： 8 t q s 2 ： 毛 要求最小二乘估计量的向量b ，只要使 l = s ；= 占s = ( y x p ) ( y 一邶) j = l 取极小值。l 可表示为 l = y t y j b l x l y y x ；b + x t x p = y y 一2 p x y + x 印 令嚣= o 可得： 一2 x 】，+ 2 x + x p = 0 即= ( x x ) 。x y 2 3 2 二阶回归 ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 8 ) 二阶模型在r s m 中得到了广泛的应用，主要是因为二阶模型具备以下的几 个优点： l二阶模型本身已经比较复杂，它能够拟合多种函数形式，所以常常能够逼 近真实的响应曲面： 2它的参数很容易估计。可以用最小二乘法计算其参数值； 3在解决响应曲面问题的实际应用中，有大量成功应用二阶模型解决实际问 第一二章响应曲丽方河、概迂 题的例子。 设某一过程的影响因子为x = ( x ，x ：，扎) ，响应变量为y 。r s m 二阶模型 的一般形式为： 女 y = 风+ 属一+ 岛叩 ，：i i = 1j = l ， 用矩阵形式可表示为 + 尼一2 + s y = p b + x b + xb x + s 其中 x = x l z 2 ： 靠 ，b = 届 p 2 ： ： p k 届，届：2 岛： a y m p 1 3 2 p l k f 2 2 3 2 2 2 p np 3 k 2 8 矗 运用最d - - 乘法，可得到式( 2 9 ) 中各系数的值，计算方法如下。 设拟合的二阶模型为： y = 8 n + x b xb x 令x ”= 【l ，x l ，k ，x 1 2 , x 2 2 ，也2x l x 2 ，_ 毛，_ 一l h 】， b ”= 【6 0 ，b l ，也b ，b 2 2 ，6 肚，b 1 2 ，岛3 ，巩 t 】 则 ；：f j ( ) j ( m ) 1 一z ( m ) y 2 4 最速上升法 ( 2 - 9 ) r 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 对系统最优运行条件的初步估计常常远离实际的最优点。在这种情况下试验 者的目的是要快速地进入到最优点附近的区域。当远离晟优点时，通常假定在x 的一个小区域范围内使用一阶模型能够比较真实地反映曲面的实际情形。 最速上升法