（凝聚态物理专业论文）光子晶体的理论研究.pdf

摘要 p t 1 6 17 6 “光子品体”是2 0 世纪8 0 年代术期提出的一个新材料概念。文章l 刳述了 光子晶体的主要特性以及可能的应用，详细论述了光子晶体的两种计算方法： 转移矩阵方法和平面波展开方法。用一维转移矩阵方法分析了光的两种入射形 式f 入射和斜入射一对光子晶体禁带的影响，据此分析了一维全方位伞反 射镜的可能。f 同时还研究了一维光子晶体量子阱结构光子禁带的变化，以及一 维带缺陷的光子晶体在_ i 同缺陷位置和入射方式不一致的情况下，t e 和t m 模 式对缺陷态的影响。另外，我们运用平面波展开的方法，设计了制造了二维光 子晶体偏振器。) 厂 关键字：光子晶体：周期性结构； 平面霾展丌；t e 模式；t m 模式； 偏振器 光了能带；麦克斯韦方程组；转移矩阵； 维光子。狲量子阱：缺奄；- 二维光子晶体 t h e o r e t i c a l s t u d y o fp h o t o n i c c r y s t a l a b s t r a e t p h o t o n i cc r y s t a li st h e c o n c e p to f a t y p eo f n e wm a t e r i a lp r o p o s e di nt h el a t e19 8 0 s t h e u n i q u ef e a t u r e so f p h o t o n i cc r y s t a l sa n dt h e i rp o t e n t i a la p p l i c a t i o n sa r ed i s c u s s e d t w ot h e o r i e so f p h o t o n i cc r y s t a lc a l c u l a t i o na r es t u d i e di nd e t a i l s - - - - - - t r a n s f e rm a t r i x m e t h o da n dp l a n ew a v e se x p a n d i n gm e t h o d b yp e r f o r m i n gt r a n s f e rm a t r i xm e t h o d ， w e a n a l y z et h ed i f f e r e n te f f e c t so no n e d i m e n s i o np h o t o n i cb a n dg a p sa tn o r m a la n d a n g l e so fi n c i d e n c e t h e nt h ep o s s i b i l i t yo fo m n i d i r e c t i o n a lr e f l e c t o ri s i l l u s t r a t e d c h a n g e so fp h o t o n i cb a n dg a po fo n e d i m e n s i o np h t o n i cc r y s t a lq u a n t u mw e l la r e d i s c u s s e d w h e nd e f e c t sl o c a t ea td i f f e r e n ts i t e si no n e d i m e n s i o np h o t o n i cc r y s t a l a n dl i g h ti n c i d e n t sa tv a r i o u sa n g l e s ，t em o d e sa n dt mm o d e sh a v ed i v e r s er e s u l t s o nb o t hf o r m a t i o na n df r e q u e n c i e so fd e f e c ts t a t e s a f t e rc a l c u l a t i o ni sc a r r i e du s i n g p l a nw a v e se x p e n d i n gm e t h o d s ，o n en e wt y p e o ft w o d i m e n s i o np h o t o n i c c r y s t a l p o l a r i z e r i sd e s i g n e d k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l ；p e r i o d i c s t r u c t u r e ；p h o t o n i cb a n dg a p ；m a x w e l l s e q u a t i o n s ；t r a n s m i s s i o nm a t r i x ；p l a n e - - w a v ee x p a n d i n g ；t em o d e s ；t mm o d e s ；o n e - d i m e n s i o n p h o t o n i cc r y s t a lq u a n t u mw e l l ；d e f e c t ；2 - dp h o t o n i cc r y s t a lp o l a r i z e r 刖舌 光予晶体的研究是我从研究生丌始至今一直在资剑教授的指导下从事的工 作，主要侧重于计算光子晶体各种结构的光子禁带和透射率。在文章的第一章， 对什么是光子晶体及光子晶体的特性作了一个大概、全面的介绍。文章的第二 章是理论计算部分，详细地分析了如何将转移矩阵方法用于一维光子晶体光子 禁带和透射率的计算，如何解决光的f 入射和斜入射问题。接着又从平面波展 丌方法的具体推导过程，解释二维光子晶体的计算方法，并且和前面的转移矩 阵进行了比较。然后讨论了一维光子晶体量子阱结构的光子禁带变化以及光子 晶体中存在缺陷的时候出现的问题。从大量的实例中，我们总结了对光子禁带 的实际位置和频率宽度起决定作用的一些重要参数。在文章的第三章，我们试 图探讨光子晶体的应用前景，并且通过实际运算和实验构思、设计了一些光子 晶体新器件，如：一维光子晶体全方位全反射镜，二维光子晶体偏振器等。最 后是一个概括性的总结。 土 第一章光子晶体简介 光子晶体是二十世纪8 0 年代木提出的一个物理新概念。由于它的特别性 能，在短短的十余年时间罩，光子晶体迅速发展成一个新兴的物理材料领域 成为未来材料、通讯业的依托之一。 1 9 8 7 年，y a b l o n o v i t c h 和j o h n 在分别讨论光在周期性电介质结构中的传播 行为时，各自独立地提出了“光子晶体”这个新概念【1 ，2 】。我们知道，在半 导体材料中由于周期性势场的作用，会形成电子能带结构，带与带之i 日j 会有带 隙，而光子在光子晶体中的色散情况也是类似的。如果将不同介电常数的介质 材料在空间按一定的周期排列( 如图1 ) ，由于存在周期性，在其中传播的光波 面一辞一 ( a ) 一维光子品体( b ) ：维光f 品体( c ) = 维光f 品体 图1光子晶体空i 丑j 结构示意图 的色散曲线将折叠成带状结构，町能的话，带与带之间会出现类似于半导体禁 带的“光子禁带”( 如图2 ) 。频率落在禁带中的波是被严格禁止传播的。光子 频 奎 、 光f 禁带 波久 图2 光子禁带示意图 禁带完全是介质周期性排列的结果。如果某种结构只在一个空间方向具有周期 性，光子禁带则只可能出现在这个方向上，也就是频率与禁带吻合的光只在这 个方向被禁止传播：如果在三维空间都呈现周期性，那么就可能出现全方位的 光子禁带，落在禁带中的光将在任何方向都无法传播。总之，我们将这种具有 光子禁带的周期性电介质结构称为光子晶体。 光子晶体还有一个特性就是可以抑制和增强自发辐射【1 1 。我们知道：自发 辐射的几率与光子所在频率的态的数目成正比。如果一个原予放在一个光子晶 体里面，而原予自发辐射的光频率又f 好落在光子禁带中，那么，由于该频率 光子在这个光子晶体中的念的数目为零，因此，原子自发辐射的几率也就为零， 自发辐射也就被抑制了。反过来，光予晶体同样可以通过增加吻合自发辐射频 率的光子的态的数甘米实现自发辐射的增强，比如在光子晶体中掺入合适的杂 质，使得光子禁带中在自发辐射频率处出现品质因子非常高的杂质态，态密度 非常大，这样便可以增强自发辐射( 如图3 ) 。 卞一一一一一! j i 一一一一 一 u ( b ) 裂 档 均 帖 p 划 警 婚 斗 装 糕 静 婚 巾 安 频率 ( a ) 住白由空间；( b ) 住光子品体中白发辐射被抑制 ( c ) 在有缺陷的光f 晶体中白发辐射被增强 图3光予禁带对原子自发辐射的影响【3 】 第二章光子晶体的理论计算 从上面可以看到：光子晶体中的介电常数已经不是传统意义上的一种材料 结构中的不变量，这样就大大增加了求解麦克斯韦方程组的难度。关于光子晶 体的理论计算方法很多，最早采用的是近似的标量波方法。但是光波是矢量波， 满足的是麦克斯韦方程组，而且实验也证明通过标量波方法得到的光子禁带是 错误的。现在光子晶体研究中最常用的计算方法有两种：转移矩阵【4 】和平面波 展丌【5 。 第一节转移矩阵方法 转移矩阵方法是将实空删分割成许多格点( 一维模型则为层) ，通过转移矩 阵表示一个格点的场强和周围相邻格点场强之问的关系，这样可以利用麦克斯 韦方程组将电磁场从一个初始位置外推到整个光子晶体空问。于是，解麦克斯 韦方程组变成了求解本征值的问题。这种方法对各种各样的一维体系，尤其是 介电常数随频率变化的结构特别有效，精确度非常好并且可以同时计算色散 曲线、透射率和反射率。 一维转移矩阵的空间格点取为与周期性方向垂直的平面( 和介质层面一致， 如图1 ( a ) ) 。假设光从左边入射，经过光子晶体后从右边出射，光在每一层都 有向右方向传播的光和向左方向的光( 如图4 ) 。注意：这些电矢量都是经过多 e 。m i + 一 e 2 m 1 土 一 e 2 m 第m i 层第m 层 图4一维转移矩阵中的场强示意图 次透射、反射后的总振幅。 我们将有n 层介质层分布的实空| 、日j 分为n = n + 2 个格点层。第m 层格点的 电矢量可以被表示为： 脚协镌( e i 。e 吨, k x l 其中k = i c 为波矢，毛是第m 层的介电常数。e ：和e 由边界条件决定。 最左边入射层( 第1 层格点层) 的e f 代表入射光，e ? 是反射光。最右边出射层 ( 第n 层格点层) 的巩为透射光，e ：可以看作0 。第1 n 1 层的电矢量和第m 层的电矢量通过2 x 2 的转移矩阵7 ( x 。+ x 。，) 形成联系 e ( x ，一。b ) = 7 1 0 + 。，x 。) e ( x 。p ) 而t ( x 。+ x ，) 可以又可以表示成 t ( x h ，x 。) = 只h ( 缸) q t - l , m 巴( 缸。) ( 2 ) ( 3 ) 只，( a x 。，) 为光在同一介质层中的传输矩阵 驰) = 必。 奠。 ( 4 ) 其中缸。= j 。- d + ，缸+ 1 = d + ，一x 。1 ，d + ，为第m 一1 层和第m 层界面 坐标位置。 公式( 3 ) 中的q ，。，为不同介质界面处的场强变化矩阵，不难推出： “。，+ - i ， t m1 ( 5 ) 其中是光从第m 一】层入射进入第m 层的振幅透射率的倒数，o 。，是被第 m 层介质反射回来的振幅反射率。 根据总的转移矩阵关系式 e ( x l ) = 7 1 ”( o ，d ) e ( z + d p ) 7 1 “( o ，d ) = 兀丁( + x 。) ( 6 ) ( 7 ) 其中，= 0 ，x 。= d ，n 表示格点( 层) 数。我们可以直接求得光经过厚度 为d 的光子晶体后的光强透射率，和光强反射率_ 分别为 ，= l ( 正? ( o ，d ) ) 2 ， r t = ( 硝( o ，d ) t 爿( o ，d ) ) 2 ( 8 ) ( 9 ) 其中，r , n ( o d ) 是总的转移矩阵7 “( o d ) 的矩阵元。根据布洛赫定理，光的频率 和色散关系可由下列本征方程解得： 一m n 月 ，一 一 o ， 1 1 ” 一q c o s ( k d ) = 【i i ( 0 ，d ) + t 2 2 ( 0 ，d ) 】 ( 1 0 ) 公式( 8 ) 一( 1 0 ) 便构成了根据转移矩阵求得的光子晶体透射率、反射率和能 带结构的最后结果。 一维光子晶体对于正入射和斜入射有完全不一样的结果。对1 f 入射的情况， 电场矢量和磁场矢量具有对称性。不同介质界面处的场强变化矩阵( 5 ) 中的矩 阵元 矗。= ( 1 + 扛k i ) 2 h 。砧。，= ( 1 一厄忑= ) 2 而对于斜入射，光波在一维光子晶体中的传播存在两种截然不同的模式( 如 图5 ) 。t e 模式是表示场矢量e 垂直于波矢和光子晶体入射面的法线方向所构 t e 模式i t m 模式厅 一维光f 晶体 图5 一维斜入射的两种电磁场模式 成的平面。t m 模式则是磁场青垂直于该平面。 根掘菲涅耳反射、折射公式，s 波( 相当于t e 模式) 和p 波( t m 模式) 的振幅反射率、透射率是不一样的。矩阵绒。，晕的矩阵元，晶。，和，：! o 。相 应调整为： t , 2 m = ( 1 + 靠c c o s 。c o s ) 2 。矗，( 1 一扛忑= c o s i 。c o s ) 2 矗。= ( c o s i n ，c o s “+ 扛忑i ) 2 。c - = ( c o s i 。c o s i 一扛万= ) 2 t e 模式 ( 1 2 ) t m 模式 ( 1 3 ) 其中，i 。和i 。分别为光从第m - i 层介质入射到第m 层的入射角和折射角，它 们遵从关系式： 6 x - i - = s i n i 。，= = s i n f 。显然，当i 。= o 即正入射时，( 1 2 ) 和( 1 3 ) 式又与( 1 1 ) 吻合。 9 乏乏 例如，我们设计类似图1 ( a ) 排列的维光子晶体，两种介质的介电常数 分别是8 6 和1 6 ，介质层宽度比为1 ：2 ，共有6 0 层介质( 3 0 个周期) 。我们对 f f 入射平f j6 0 度角斜入射两种方式进行比较，可以看到它们的光透射率频谱图( 如 图6 ) 是非常不一样的。而且，以同角度斜入射的t e 波和t m 波的禁带结构也 0 。 哪”啊 胛啊 00 000 50 00 1 502 0 频率 f b ) 6 0 度斜入射( t e 模式) 02 503 003 504 004 50s o ( o a 2 c ) 0o o00 50 1 00 1 502 002 503 003 50 00 s 05 0 频率( a ，2 c ) ( c ) 6 0 度斜入射( t m 模式) ”一 。1 。1 00 000 50 1 00 1 502 002 503 003 s04 004 5o5 0 频率( ( o a 2 n c ) 阁6 一维光子晶体正入射和斜入射的比较 帅 瓣丢阁 雌 斟朵蝌 呲 碍杂錾f 有很大差别。我们发现，般随着入射角的增大，对于t e 模式，第一条光子 禁带会变得越来越宽，而对t m 模式却逐渐变窄。而且入射角的增大使得禁带 的中心频率都有很明显的向高频方向的移动( “蓝移”现象) ，t e 模式比t m 模 式移动得更多。 第二节平面波展开方法 平面波方法是光子晶体能带计算中用得比较早和运用比较广泛的一种方 法。其基本思想就是：将电磁波和随空问变化的介电常数的倒数在倒格矢空| 、日j 以平面波的形式叠加展丌，于是将麦克斯韦方程组化成了一个本征方程。求解 它的本征值便得到了传播的光子的本征频率。由于对介电常数使用了傅立叶展 丌，因此可以具体讨论二维和三维介质的不同构形，如：圆的和方的，球形的 和正方体的等等各种结构对光子能带产生的影响，这是转移矩阵所难以实现的。 但是，平面波方法也存在着明显的缺点：计算量大。计算量几乎正比于所用平 面波波数的立方，因此会受到一些比较严格的计算能力的约束。当处理一些复 杂体系：如有缺陷的时候，需要大量的平面波，而这可能因为计算能力的限制 难以得到准确解，甚至因为在展丌中出现发散而得不到解。相比前面转移矩阵 方法，后者的计算量只与实空间格点数目的平方成正比，远远小于平面波方法。 因此，我们现在对一维结构普遍采用转移矩阵方法，只是在处理二维、三维体 系的时候用平面波展丌。 1 9 9 0 年，光子晶体的研究才刚刚起步，美国爱荷华大学的何启明领导的 个研究小组首次成功地预言了在一种具有会刚石结构的三维光f 晶体中存在完 整的光子禁带( 如图7 ) 【5 】。他们当时采用的理论计算方法就是平面波展j i ：。 2 哥 骚 光r 品体由折射率为3 6 的球形介质构成金刚i 结构分布住 空气中，介质的填充比( 所1 1 空间体积的比) 为0 3 4 。频率单 位为c a ，a 是品格常数，c 是真空光速。 图7 三维金刚石结构光子晶体光子禁带的计算结果 5 】 我们由麦克斯韦方程组的两个方程 v 。e ：一! 丝 ca v 疗：7 + 一l c 3 d c8 t ( 1 4 ) 和关系式百= , u h 一，d 一= s ( x ) 雷以及假设：= 1 ，7 = 0 ，町以得到如卜的光f 晶体的方程： v 而1v 咖f ) ) + 古学= 。 ( 1 5 a ) 或者 赤v 蚋慨，) ) + 古学= 。 ( 1 6 a ) 将场强矢量分解为疗( 牙；，) = 疗( i l ) p ，e ( 王；，) = 云( i b ) p 的形式，方程( 1 5 a ) 和( 1 6 a ) 简化为： v ( 南v 詹( i 专2 厅( i 妒。 志v ( v 丘( j 一了( 0 2 砸- 妒。 对场强矢量和介电常数的倒数进行平面波展丌 厅( i p ) = j ( i + g ) e 舭“ 云( 骨j ) = 画( | j i + 0 一觚“坩 打 赤2 善詹面炒i j ( 1 5 b ) ( 1 6 b ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) ( 1 9 ) 其一 ，i 为波矢，0 = ，5 ，是倒格矢，5 ，是光子晶体的倒格子基矢，j ( i + g ) ， 和百( f + 6 ) 是在三维空间的矢量。代入( 1 5 b ) 和( 1 6 b ) 式，便得到光子晶体 的本征方程： 詹( o o ) 【( 云+ e ) j ( 云+ g ) ( f + o ) 一( - + g ) ( ；i + g ) j ( i + g 。) j f ， + 等j ( 云十g ) ：0 ( 2 0 ) c 七( g 一6 ) 【( f + g + ) 百( 云+ g ) 】( i + g ) 一( f 十g ) 2 云( 石+ g ) 0 + 篓b 一( k 一+ g 1 ：0 ( 2 1 ) f 一 0 9 就是光子的本征频率。由波矢后和对应的0 9 就可以得到光在光子晶体中 的色散关系，也就是光子晶体的能带结构。 第三节一维光子晶体量子阱结构 半导体中可以将匹配很好的不同半导体材料交替生长成半导体量子阱。我 们可以仿照这种方法设计光子晶体量子阱，将一维的具有不同能带结构的a b 光子晶体和c d 光子晶体按一定空1 日j 周期交替排歹0 ，便得到一维光子晶体量子 阱。这样得到的光子晶体量子阱的光子禁带将比原来两种单独光子晶体材料的 禁带宽度要大得多。图8 为独立的a b 结构和c d 结构的光子禁带。a b 和c d 一 笔 趔 粤 。 碍 器 波久( ，a ) 实线：a b 结轴d f d i = 0 5 a tf = 1 0 ，pf 1 3 0 虚线：c d 结构，4 = 0 6 8 a ，4 严03 2 a ，f ( = 1 0 ，f ，= 1 3 0 图8 一维光子禁体a b 结构和c d 结构的禁带 都是山空气层和介电常数为1 3 6 的介质层组成，只是每个周期中介质层所占的 宽度百分比( 即：电介质的填充比) 不一样，a b 是5 0 ，c d 是3 2 。从图8 中我们可以看到：a b 结构的第二、三条能带证好落在c d 结构的第一个和第二 个光子禁带中，同样c d 的第二条能带也落在a b 的第二个光子禁带中。可以 推测：由这样结构组成的光子晶体量子阱将具有非常宽的光子禁带。凶为虽然 有些频率在a b 结构的光子禁带以外的光可以通过a b 层，但是如果它们的频 率i f 好处在c d 结构的光子禁带中，那么，就无法穿透整个量子阱结构了。 我们用m 层a b 结构和n 层c d 结构，然后又是m 层a b 结构构成种光 子晶体量子阱( a b ) 。( c d ) n ( a b ) 。图8 是该量子阱的透射率情况。图9 ( a ) n = 0 ， 6 料 杂 蚓 频率( 。o a 2 t 【c ) 图9一维光子晶体量f 阱透射率 没有c d 层，显然就是光予晶体a b 的透射率图。圈9 ( b ) n = 1 ，a b 的第一：和 第三条能带落在c d 结构的光子禁带中，因此浚频率范围的光的透射率受到抑 制。但是由于只有一层c d ，c d 结构的周期性还没有体现出来，没有形成c d 光子晶体的禁带，所以，基本上该频率范围的光还是可以透过整个量子阱结构 的。从图9 ( c ) 到( e ) 随着c d 层数的增加，c d 的光子禁带丌始表现出来。 于是，a b 结构中的第二、第三两条能带频率的光逐渐被完全反射回去，到有5 层c d 层的时候( 图9 ( e ) ) ，所有频率范围落在c d 结构禁带中的光已经基本 上无法透过整个光子晶体量子阱。从该例我们可以得到以f 结论：利用光子晶 体量子阱能够构造出具有非常大禁带宽度的光学器件。 第四节一维光子晶体的缺陷态 当我们在光子晶体中引入一些缺陷，如杂质时，就会发现有缺陷念的产生。 图1 0 所示的是由两种介电常数分别为8 6 0 和1 6 0 的介质层交替排列组成的理 一l 4 - - l 2 图1 0 一维光予晶体结构 想的椎光r 品体结构，它们的宽度比为l ：2 ，共有6 0 层( 3 0 个周期) 。光以 i f 入射的形式进入光子晶体。对一j 二这种理想无缺陷的结构，不频率光的透射 率如图1 1 ( a ) 所示。 f a l 理想状态( 无缺陷) 10 08 碍0 6 赣 蜊0 4 o2 0 0 涟 删 憋 “j h 黼 i i 1 000 10203 0 4050607080910 频率( e ) a 2 “c ) ( b ) e = 1 3 6 的杂质住光子品体边缘 10 08 ； l l 0 6 接o4 恻 0 2 0 0 一 憋 _ 霹 心 j r i 1 i i 0 00 10 20 30 4 0 一5 0 6 频率( o a 2 n c ) ( c ) e = 1 0 的杂质( 空气层) 住光子晶体边缘 1o 0 8 瓣o 6 按0 4 蝌 0 2 0 0 一 r - 蹩 受 l 叫 _ lj i i ” 050 607080 910 ( m a 2 n c ) ( d ) e = 1 3 6 的杂质在光子晶体中间 1o 08 埒0 6 积0 4 蜊 0 2 0 0 缺陷态 i f r 懒 酒“ 胛 1 i f e ) e = 1 0 的杂质( 空气层) 在光子品体中间 10 08 斟0 6 杂0 4 蜊 0 2 0 0 缺陷态 l 频率( o ：, a 2 n c ) 图1l一维光子晶体i l i 入射的缺陷态 图1 1 ( b ) ( e ) 是在光子晶体的小川位簧有缺陷存在的时候各种频率光 的透射率。从透射率l 璺j 中叮以清楚地脱察到缺陷念的存在。我们通过掺入一层 其他杂质层( 宽度为原周期的2 0 ，介电常数为1 o 即空气层或者1 3 6 ) ，在局 域位置破坏光子晶体的周期性。结果发现尽管是同样结构和组成的缺陷，如果 。| | 在有限长度的光予晶体罩所处的位置不一样，也会造成不同的结果。如图i 1 ( b ) 和( d ) 、( c ) 和( e ) 两组数掘比较，( b ) 和( c ) 的缺陷比较靠近边界，( d ) 和( e ) 的则基本位于光f 品体的中心位置。尽管( b ) 、( d ) 都是掺入折射率较 高的介质，但是，当缺陷处于光子晶体的边界附近时，缺陷念在图1 1 ( b ) 中 非常不明显，透射率极低，这是由于缺陷的本征模式与光子晶体体材料能带边 缘的耦合非常小；相反，当缺陷出现在几何位置比较中心的地方，如图1 1 ( d ) ， 在多个光子禁带中，都有比较明显的缺陷态，尽管此时它们的本征模式与体材 料耦合得还是不太好，透射率还是不高。图l 】( c ) 和( e ) 的比较也相类似。 但是比较图1 1 ( d ) 和( e ) 可以发现，虽然掺杂是在同一位置一一光子晶体的 中f 、日j ，当掺入低折射率( 空气) 杂质的时候，缺陷念的本征模式可以与体材料 的能级耦合得很好，几乎所有出现的缺陷态的透射率都为l 。 上面是一入射的情况。对于斜入射，我们发现入射角度的不同会严重影响 光子晶体中缺陷态的存在。由于当缺陷位十光子晶体有限周期的边界位置时没 有明显的缺陷态产生，因此接下来我们 l 考虑入射角不同时在维晶格几何中 心附近存在缺陷( 掺杂) 的情况。图1 2 一图1 5 分别是入射角为3 0 度和6 0 度时， t e 、t m 两种模式不i 司频率的光的透射率图。 f a l 理想状态( 无缺陷) 10 08 斟0 6 杂o4 蝴 02 0 0 _ i r - 1 _ i 讽i l“。l 棚 i 挑i 刚1 23 0 度角斜入射时t e 模式在一维光子晶体中的缺陷态 f a l 理想状态( 无缺陷) 10 08 姑0 6 蔷o4 蚓 0 2 o0 l _ r _ r 1 _1 000 102 ( b ) = 1 3 6 的杂质 10 08 _ ：； l 0 6 杂0 4 蝌 0 2 0 0 030 4050 6070809 10 频率( a 2 c ) 缺陷态 0 00 1 0 20 30 4 q 5 0 60 70 80 910 频率( a 2 c ) ( c ) e = i 0 的杂质( 空气层) 1o 08 褂0 6 接0 4 蜊 0 2 0 0 缺陷态 000 10 203040 50 607080 9 10 频率( a 2 7 z c ) 图1 33 0 度角斜入射时t m 模式在维光予品体- l ，的缺陷念 f a l 理想状态( 无缺| 5 f ) 10 08 斟0 6 杂o4 蝌 0 2 0 0 0o0 1o20304050 60708o9 10 频率( a 2 c ) ( b ) = 1 36 的j 质 10 08 斟0 6 杂0 4 蝌 0 2 0 0 ( c ) 10 0 8 讲0 6 杂0 4 蝌 0 2 0 0 缺陷态 000 102o304q50 6070 809 10 频璋! ( m a 2 7 【c ) 0 00 10 203 0 4050 607080 910 频率( a 2 , c ) 图1 46 0 度角斜入射时t e 模式在维光子晶体r ，的缺陷态 2 4 ( a ) 理想状态( 无缺陷) 10 08 甜0 6 安0 4 喇 0 2 o o 。7 r n r r 00 0 102030 4 频率 ( b ) e = 1 3 6 的杂质 1o 08 碍0 6 杂0 4 蝌 0 2 0 0 ( c ) 10 0 8 斟0 6 杂0 4 蝌 0 2 0 0 050 607 08 09 10 ( 0 ) a ，2 n c ) 缺陷态 o o0 1o2o30 4 频率 0 50 6o7o80 9 1o ( ( o a 2 = c ) 1 n m 8 l 0 00 10 2030 40 50 6070 8 0 910 频率( ( , o a 2 n c ) 图1 56 0 度角斜入射时t m 模式在维光：= ：晶体| i 的缺陷态 ，+ 从图1 2 和图1 3 中可以看到：当入射角为3 0 度的时候，对ft e 模式和t m 模式还是具有频率比较一致的缺陷念，和j f 入劓的情况一样，斜入射也同时在 多个光子禁带中( 包括高频率的光予禁带区域) 产生了几个1 , h 频率的缺陷念， 但是各个缺陷态频率比正入射的时候有向较商频位置移动的趋势( 称为“蓝移” 现象) ，而且t e 模式罩的缺陷态频率“蓝移”得更厉害。比较高、低折射率的 介质作为掺杂缺陷的情况，会看到这和f 入射时是一致的，即低折射率介质的 缺陷造成的缺陷念透射率远远高于高折射率介质缺陷，缺陷态频率似乎也略高 于高折射率缺陷。 当入射角增加到6 0 度的时候，对t m 和t m 模式( 如图1 4 和1 5 ) ，还是有 多个频率的缺陷念处在不同的光子禁带中。而且，“蓝移”现象比3 0 度入射时 明显得多。高折射率介质组成的缺陷形成的缺陷念频率还是比由低折射率介质 组成缺陷时低一些。但是，对t m 模式，低折射率掺杂形成的缺陷念少了很多， 似乎是移动到旁边的通带中去了。这既明即使是同样一种带缺陷的光子晶体， 如果入射角不同，也会严重影响缺陷态频率。 掺入低折射率介质后的缺陷态比高折射率造成的缺陷念透射率要高。这说 明低折射率缺陷远比高折射率缺陷容易与光子晶体材料耦合得很好，其缺陷态 的品质因子可以达到上万，计算中甚至发现了几十力的情况。 光予晶体缺陷的出现除了产生一定频率的缺陷态以外，还影响其他某些频 率的光的透射率。高折射率的缺陷就很大程度地降低了许多频率的光的透射率。 但是出于这些极少数的缺陷在结构上并没有改变整个晶体的周期性，因此并没 有改变光子禁带的宽度。通过上面的结果我们还可以想到实际的应用：利用光 f 晶体基的缺陷或者说通过设计光子晶体的缺陷，我们能够实现单频率光的透 射( 因为缺陷态的频率是约化的，j 维光子晶体的品格常数成反比，因此可 以调节) ，即起到一种光过滤作用。 第五节影响光子禁带的儿个重要参数 应该看到：光予晶体的能带计算过程是严格的。光- 6 t l 电f 不一样，光子 是波色子，电子是费米子。在光子禁带的计算中，并没有象半导体中能带计算 那样因为求解薛定谔方程而采用大量的近似，所以得到的结果经过实验证实都 非常萨确可靠。 一般而言，对光子禁带的带宽、频率范围影响最大的两个参数是：介电常 数比和填充比。它们决定了光子禁带的存在与否和宽度大小。至于光子晶体的 晶格常数，则决定了光子禁带实际的中心频率和禁带宽度。对二二维和三维光子 晶体柬i 兑，品格的结构、列称性以及介质的儿何构形部是小叫忽略的因素。例 如，在二维的时候，三角格子和四方格子的光子晶体的禁带就很不相同，三角 格子的光子禁带相对要宽一些。 第三章光子晶体的应用 光子晶体新概念的提出，大大拓宽了人们光学器件设计的思路，简化了设 计过程中的计算。它的特性决定了其应用范围之广泛，性能之优良。正因为如 此，学术界对光子晶体的研究兴趣是越来越浓厚。就光子晶体具有光子禁带这 个基本特性来晚，可以将其用作高性能的光子晶体光过滤器和损耗极低的三维 光子晶体天线：利用光子禁带对原子自发辐射的抑制作用，可以大大降低因为 自发跃迁而导致的复合几率，设汁制作出无阈值激光器【6 】和光予晶体二极管 【7 】；还有如在前面章节中提到的，利用一维光子晶体的缺陷，j 以制造出单频 率光过滤器；如果在一二维光子晶体中引入点缺陷，则可以带r l f l ；成高品质因子的 光子晶体谐振腔【8 一1 0 1 ；其他还有诸如：光丌关、光放大器、光聚焦器等等。f 面我们主要谈谈一维光子晶体全方位全反射镜和二维光子晶体偏振器。 第一节一维光子晶体全方位全反射镜 从前面的图6 i 我们町以看到，当光以从o 度( i f 入射) 剑6 5 度的角度范 l 埘入射进入那种光f 晶体结构时，在约化频率为0 1 7 0 2 2 的范l 翻内光是被 完全反射的。由f 随着入射角度的增人，和i i i 入射情况比较，尤论t e 模式还 是t m 模式，第一条光子禁带的低频率边缘都是缓慢地向商频移动，也就是， 能始终保持一条共同的光子禁带。换句话说，如果我们选择了合适的材料结构， 就有r 叮能制造出在某个频率波段和入射角度完全无关的全反射镜，即维光f 晶体全方位全反射镜。 第二节二维光子晶体偏振器 对于二维的情况，我们运用平面波方法分为t e 模式( 电场乎行r ：维周期 面) 和t m 模式( 磁场平行于二维周期面) 讨论光子禁带： 疗( j ；，) = ( o ，0 ，乩( x i , x 2j 甜) 弦t e 模式 ( 2 2 ) 豆( i ；f ) = ( o ，0 ，e 1 ( x i ，x 2 1 c u ) ) e 1 “ t m 模式 ( 2 3 ) 于是得到两个完全不同的本征方程和本征频率。也就是说：t e 波和t m 波有不 样的色散关系和频率不一致的禁带。我们可以掘此设计- , e e 特定的二维光子 晶体，使得在某种频率范围，即使t e 模式的光是可以透过的，但有可能因为 浚频率f 好落在t m 模式的光子禁带范围内，于是t e 模式的光还是被反射回来 了( 如图1 6 ) 。反之办然。这样对该频率波段的光，透过光子晶体之后只有 频 塞 t e 模式t m 模式 图1 6 二维光子晶体偏振器能带示意图 种模式，这就实现了光的偏振。光子晶体偏振器的构思、概念和处理方法完全 不同于以前传统的偏振器件设计。经过计算和实验验证，发王见一维光子晶体偏 振器的偏振度和透射率都非常好。而且，由于计算得到的光子禁带频率是约化 单位，和光子晶体晶格常数口成反比，因此，我们完全可以按照需求，通过简 单地调节光子晶体的品格常数束选取我们实现偏振所需要的频率范围。 一维光子晶体在斜入射的时候虽然也有t e 模式和t m 模式的区别，但是我 们发现：它们并没有出现象二维光子晶体那样t e 和t m 的光子禁带完全错丌， 而j i 两个禁带同时保持了一定宽度的情况。所以，一维光子品体不象二维的那 样比较容易实现较大频率范围内的光的偏振。 第四章总结 光子晶体研究的是光在周期性介质场中的传播行为，其实也就是通过不同 介电常数介质的周期性排列来控制光子的行为。虽然光子和电子完全不一样 前者是波色子，后者是费米子，但是由于在半导体中也是一种周期性势场对电 子的作用，因此，光子晶体研究在很多地方还是可以和半导体的进行类比，参 考半导体中的些构想。 光子晶体的理论计算尽管已经取得了巨大的成功，还总的来说还是处在刚 起步的阶段，其r ，还有许多问题并没有得到完善的解决。例如：我们在上面章 节中讨论过有几个物理参数对光子禁带有重要影响。但到底是什么物理机制在 光子禁带的形成中起了决定性的作用呢? 或者怎样从物理上定性、半定量甚至 定量地分析和设计所需要的光子禁带呢? 这对于三维光子晶体的研究尤其关 键。对光子晶体的应_ i j 也是如此，不仅要考虑如何设计性能优良的光子晶体器 件取代传统的光学器件，还更应该拓宽思路，构思那些传统方法下根本无法制 造出的可能的器件。光子晶体的理论和应用都还有大量的工作有待继续拓展。 参考文献 1 】y a b l o n o v i t c he p h y s r e v l e f t ，19 8 7 ，5 8 ：2 0 5 9 - - 2 0 6 2 【2 】j o h ns p h y s r e v l e t t ，19 8 7 ，5 8 ：2 4 8 6 - - 2 4 8 9 【3 】j o a n n o p o u l o sjd ，v i l l e n e u v epr ，f a ns s o l i ds t a t ec o m m u n ，1 9 9 7 ，1 0 2 ：1 6 5 一 1 7 3 4 】p e n d r yjb ，m a c k i n n o na p h y s r e v l e t t ，19 9 2 ，6 9 ：2 7 7 2 2 7 7 5 【5 】h ok m ，c h a nct s o u k o u l i scm p h y s r e v l e f t ，1 9 9 0 ，6 5 ：3 1 5 2 3 1 5 5 【6 】h i r a y a m ah ，h a m a n ot a o y a g iy r i k e ns u p e rc o m p u t i n gp r o g r e p ，1 9 9 6 ，1 1 7 】h i r a y a m ah ，h a m a n ot a o y a g iya p p l p h y s l e t t ，1 9 9 6 ，6 9 ：7 9 1 7 9 3 【8 】y a b l o n o v i t e he ，g m i t t e rtj ，m e a d er de ta 1 p h y s r e v l e t t ，19 9 1 ，6 7 ：3 3 8 0 3 3 8 3 【9 】9 s m i t hd r ，d a l i c h a o u c hr ，k r o l lne l a l j o p t s o c a m b ，1 9 9 3 ，1 0 ：3 1 4 3 2 1 【10