（数学专业论文）非单调线搜索及其应用.pdf

t h en o n m o n o t o n el i n es e a r c ht e c h n i q u e a n di t sa p p l i c a t i o n s at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：g u oy u a n b a o s u p e r v i s o r ：p r o f h u a n gb i n g j i a s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n a ls c i e n c e c h i n au n i v e r s i t yo fp e t r o l e u m ( e a s t c h i n a ) 7舢6m 6m 6 7舢8i耵i-舢y 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名：；址 日期悔 f 月 9 日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门 ( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被 查阅、借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用 影印、缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 日期：印1 年乡月8 日 日期：阳f | 年6 月8 日 摘要 非单调线搜索技术由于其有利于求解全局最优解和算法的快速收敛而受到许多国 内外学者的青睐。本文主要研究了一类非单调线搜索技术在无约束优化问题拟牛顿算法 和解非光滑方程组中的应用，共分三章：第一章，主要介绍了一些解无约束优化问题和 非光滑方程组的基础知识以及国内外的研究历史及现状；第二章首先提出了类a r m i j o 型非单调线搜索策略，然后把这类非单调线搜索策略与z e n g x i nw d 给出的新b f g s 算 法相结合，给出了解无约束优化问题的新的非单调b f g s 算法，并证明算法的全局收敛 性和超线性收敛性，用数值例子验证算法的有效性；第三章结合非精确牛顿法和k r y l o v 子空间方法设计了非精确n e w t o n k r y l o v 算法，并把h o n g e h a oz h a n g 非单调技术与我 们的新算法相结合，给出了解非光滑方程组的非精确n e w t o n k r y l o v 算法，同时给出了 算法的收敛性证明和数值例子。 关键词：非单调，线搜索，无约束优化，非光滑方程组，全局收敛，超线性收敛， 数值试验 t h en o n m o n o t o n e l i n es e a r c ht e c h n i q u ea n di t sa p p l i c a t i o n s g u oy u a n b a o ( m a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f h u a n gb i n g ji a a b s t r a c t b e c a u s eo fi t sr a p i dc o n v e r g e n c ea n de f f i c i e n to fg e t t i n gg l o b a lo p t i m i z e ds o l u t i o n ，t h e n o m o n o t o n el i n es e a r c ht e c h n i q u ei ss t r o n g l yf a v o r e db ym a n ys c h o l a r s t h i st h e s i sf o c u s e s o na p p l i c a t i o n so fn o n m o n o t o n el i n es e a r c ht e c h n i q u ei ns o l v i n gu n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n p r o b l e m sa n dn o n s m o o t he q u a t i o n s t h e r ea r ef o u rc h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e r , w em a i n l y g i v e s o m eb a s i c k n o w l e d g e sa n dp r e s e n tr e s e a r c h h i s t o r i e sa n ds i t u a t i o n so fs o l v i n g a n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o np r o b l e m sa n dn o n s m o o t he q u a t i o n s i nt h es e c o n dc h a p t e r , w e p r o p o s e dan e wn o n m o n o t o n es t e ps i z er u l e a n da n a l y z et h eg l o b a lc o n v e r g e n c eo fn e w b f g sq u a s i - n e w t o nm e t h o d t h en e ws t e ps i z er u l ei ss i m i l a rt oz h a n gh c n o n m o n o t o n e s t e ps i z er u l ea n dc o n t a i n si ta sas p e c i a lc a s e n u m e r i c a le x p e r i m e n t sh a v eb e e nc o n d u c t e d w h i c hs h o wt h a tt h ep r o p o s e da l g o r i t h mi se n c o u r a g i n g i nt h et h i r dc h a p t e r , w ep r e s e n t sa n i n e x a c tn e w t o n k r y l o vm e t h o df o rs o l v i n gs y s t e m s o fn o n s m o o t he q u a t i o n s g l o b a l c o n v e r g e n c eo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m si se s t a b l i s h e d u n d e ran o n m o n o t o n i cb a c k t r a c k i n g s t r a t e g y n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e n t os h o wt h ep r a c t i c a lv i a b i l i t yo ft h e s ea p p r o a c h e s k e y w o r d s ：n o n m o n o t o n i ct e c h n i q u e ，u n c o n s t r a i n e do p t i m i z a t i o n ，n o n s m o o t ha n a l y s i s ， i n e x a c tn e w t o nm e t h o d ，k 巧l o vs u b s p a c em e t h o d s ，s u p e r l i n e a rc o n v e r g e n c e ，g l o b a l c o n v e r g e n c e 目录 第一章绪论1 1 1 线搜索准则1 1 2 非单调线搜索技术2 1 3 求解无约束优化问题的拟牛顿算法4 1 4 非光滑方程组的解法6 1 5 本文的主要工作及方法8 第二章新的非单调线搜索规则b f g s 算法的全局收敛性9 2 1 引言9 2 2 算法及其性质9 2 3 全局收敛性l o 2 4 数值试验15 第三章解非光滑方程组的n e w t o n k r y l o v 方法1 7 3 1 基本概念及基础知识1 7 3 2 非精确n e w t o n k r y l o v 算法19 3 3 收敛性分析。2 3 3 4 数值试验31 结论3 6 参考文献。3 6 攻读硕士学位期间取得的学术成果4 3 致 射4 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章绪论 1 1 线搜索准贝u 令r ”是一个n 维e u c l i d e 空间，f ：r ”专r 1 是一个连续可微函数。解无约束优化 问题 m i n f ( x ) , x r ” ( 1 1 ) 的线搜索方法具有如下的形式 x 女+ l = x i + 口t d t ，k = 1 ，2 ，3 ，人 ( 1 - 2 ) 其中x 。r ”是初始点，d 是当前迭代点，k = l ，2 ，3 ，人，x 是一个稳定点，满足 夥g + ) ：0 。我们用g 。表示耵k ) ，用以表示厂瓴) ，厂表示厂g ) 。 选择搜索方向d 。，确定每次迭代沿搜索方向的步长口。是线搜索的主要任务。搜索 方向d 。通常需要满足 g 。1 d 。 u ( b ) 近似最小化规则。在每一步迭代，选择吼使得 口。= m i n 扛i g k + a d 。) t d k = o ，口 0 1 ( 1 - 7 ) 第一章绪论 ( c ) a r m i j 。线搜索规则。选择标量s k , f l ，三 0 ，仃使得，：一g j 巩仁0 以， ( o ，1 ) ，仃( o ，1 2 ) 。4 a 。是满足下式的 ，厣。，2 屯，人 中最大的口 y ( x 女+ 伍d ) 六+ 嗽t t 以 ( 1 8 ) ( d ) 有限最小化规则。令= 噌。t 以( l l l d 。1 1 2 ) ，由下式定义 i x t + a k d t ) - 嘞m i n ) i ( x t + 谢t ) ( 1 - 9 ) 其中l 0 是一个常数。 ( e ) g o l d s t e i n 线搜索规则。盯( o j 2 ) 是一个固定的常数，选择吼满足下式 仃【厂g k + 口d k ) 一a l a g d k 1 一仃 ( 1 - l o ) 可以证明，如果厂有下界，则存在吼的一个区间使上式成3 一l ；这是通过有限步 数学运算就能找到一个步长的非常简单的算法。 ( 0 强w o l f e 线搜索规则。选择吼同时满足t y u 两式 以一y ( x + 口t d 女) 一仃口t g j d i ( 1 - 1 1 ) l g k + 吒吨小一例t 吐( 1 - 1 2 ) 其中盯( 0 , 1 2 ) ，p ，1 ) 是标量。 ( g ) w o l f e 线搜索规则。选择满足式( 1 1 ) 和 g ( x k + 吼以) t d k 倦 t 吨 ( 1 1 3 ) 1 2 非单调线搜索技术 在上一节我们已经给出了几种常用的寻找步长因子吼的线搜索准则。这些搜索准 则有一个共同的特性，那就是每步迭代都是单调下降的1 1 2 1 ，即f ( x 。+ a g d 。) o ，万，p ( 0 ，1 ) 及非负整数m ，寻找步长因子= m a x a p 。, a p l ，人 使得下式成立 厂g t + p ”a d k ) 哟m 驯a x 。) 厂h ) + 印”a g t 7 以 ( 1 - 1 4 ) 其中，肌 ) 满足肌( 0 ) = 0 ，0 聊 ) m i n m ( k 一1 ) + 1 ，m 当m = 0 时，上述非单调线搜 索就退化成标准的a r m i j i o 型线搜索。非单调线搜索的一个优点就是不要求函数值在每 一步迭代都单调下降，使步长因子的选取更具有弹性。g r i p p o ，l a m p a r i e l l o 和l u c i d i 将 非单调线搜索技术应用到n e w t o n 法，并在假设水平集有界，充分下降条件 g k r d 。一c 。l i g 。1 1 2 及0 以i i - - m a x o c ：，1 一( 口。l l d 。l i ) pk ；d 。( 1 - 1 6 ) 成立，其中s l ( o ，1 ) ，占2 ( o ，1 2 ) ，p ( 埘，1 ) 。在适当的假设条件下，h a n 和l i u 1 0 证明 了在此非单调线搜索下b f g s 算法对于凸目标函数的全局收敛性。 2 0 0 4 年，z h a n gh c 和h a g e r 将( 1 1 4 ) 修改为 3 第一章绪论 f ( x + 口女d k ) c k + 仃口t g t 以， ( 1 1 7 ) 其中，q o - - - - 1 ，c o = 兀，q k = 仇一t q k - i + 1 , c k = 盈铲, 0 _ r h _ 1 0 ， k = 0 ， c o = a = 厂g o ) ，q o = 1 ，0 巧。j n 7 7 。舡 1 ，0 l y 2 若恬9 g ，则停否则，转s t e p 3 解下列方程组，得d 。 b k d + g = 0( 2 2 ) s t e p 4 选取步长吼为口= 。，缈l ，国2 ，人 中满足下式的最大者 9 第二章新的非单调线搜索规则b f g s 算法的全局收敛性 f ( x k + 伍噍) c 七+ 仃。昭。t 以一0 2 i l 晓d 。0 2 ( 2 - 3 ) 令以+ l = 砟+ 口。d t ， + 。= 厂g 七+ 1 ) s t e p 5 通过w e iz x 提出的下列新的b f g s 算法计算b ： 当爵邳。歇o ， 母鬻+ 爨 p 4 ， 否则， b 川= b k ， 其中， 乙= 儿+ 【2 一 + 。) + + g 。) r s 。i s 。| l s 。n s t = x t + l x ，y = g t + 1 一g t ，y l ，2 】，0 t 1 2 s t e p 6 通过某种规则给出仇1 7 m i n ，7 7 一】，令 q k + l - = 1 7 k 州 = 警 浯5 ) 令k ：= k + 1 ，转步s t e p 2 注1 如果盯：= 0 ，则新非单调线搜索规则退化为z h a n gh c 的非单调线搜索规则。 注2 事实上，可通过刁。的选取来控制算法在第k + l 步的非单调程度。显然，当r k = 0 时c k + l = 以+ l ，说明在第七+ l 步是单调下降步。取7 7 0 = 0 3 ，对七1 ，取 ( 2 - 6 ) 容易看出。 o ，使得：l i g ( x ) - g o , ) | l - l i i x - y l l ，v x ，y n 引理2 3 1 【1 9 1e v k 有， c k 。 证明对v 后，定义函数仇o ) 2 气专弓 因为氍t 以 o 有 第二章新的非单调线搜索规则b f g s 算法的全局收敛性 引理2 3 3 如果假设1 成立，步长吼由非单调线搜索( 2 3 ) 产生，则 ；i m 口i g ；d = 0 ， 膏- - + 证明由线搜索规则( 2 3 ) 知 由递推公式( 2 5 和( 2 - 1 0 ) 由叩一 1 知 由( 2 - 1 2 ) ( 2 - 1 3 ) 知 l i m 口i d 女= 0 。 七，w s ( x 。+ 。) - p l l g 。旷 蚓1 2 引 占7 占地 1 2 c 以一兀+ 。) + 。+ 。+ g 。】 = i - 2 9 ( x 。+ a s 。) + g k + l - i - g 。r j ti ，( 口【o ，1 d 于是由z 。的定义和假设2 可得， 于是由( 2 。1 5 ) ，有 + 8 s ) i 肛川= 卜静却叫i + 锚蚍怙e 丛 0 ，由( 2 9 ) ，( 2 - 1 0 ) 得 k e k 女o ( 2 - 1 4 ) ( 2 - 1 5 ) ( 2 - 1 6 ) ( 2 一1 7 ) ( 2 - 1 8 ) k 州 g i 州 一 j七r l b 1 1 卜& 觎洲 斗 卜 g g 川 一 秒 敝胁 v | 仃。鲁g 飘一仃：( 鲁 2 1 2 由微分中值定理，存在吼( o ，1 ) ，使得 等g ( + 吼- 1 r d k o - 。等g ：以一盯：( 鲁 2 i i 刘1 2 gx k + g d k o , g 飘咆忪tu 2 令k k 是收敛到x 的一个子序列，即： 。1 i m = x ， 拓k _ ” 在式( 2 2 0 ) 中，令七k ，kj 可得 因为1 一盯l 0 ，可得 但是由( 2 2 ) ，( 2 8 ) ，( 2 9 ) 和( 2 - 15 ) ，可得 麟l i 灿m 。而d k = d g7 g p q g r g 。p g7 ( x ) d 0 g ；d 女：一d 。t b 。d 。一口20 d 。8 2一圳徘一剀以。 在式( 2 2 4 ) 中，4 - i , k ，k 一，可得 g r ( x ) d 0 这与( 2 2 3 ) 矛盾，于是定理得证。 2 4 超线性收敛性 1 4 ( 2 1 9 ) ( 2 - 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 4 ) ( 2 - 2 5 ) 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 假设3 厂g ) 是r ”上二阶连续可微的一致凸函数。 假设4 由算法( 2 1 1 ) 产生的序列厂k ) 收敛到厂g ) ，b k 和以满足下列条件 ! 鳃学：。 p 2 6 ， 定理2 4 1 如果假设3 ，假设4 和引理( 2 3 2 ) 成立，d 。= - 8 ；1 9 。，由算法( 2 1 1 ) 产 生无穷数列k ) ，则k ) 超线性收敛到x 。 证明仿照文献 1 2 易证。 2 5 数值实验 本文选用下面的例题和文献 2 3 1 1 2 4 1 q b 的部分算例，利用m a t l a b 编制程序在计算机 上对本文算法进行数值实验，并与z h a n gh c 算法( 仃：= 0 ) 和单调算法( 仃：= 0 ，1 7 = 0 ) 进行比较。 例2 1 厂g ) _ l o b - 2 吨) 2 + ( 1 _ ) 2 + 9 ( x 飞2 _ ) 2 + ( 1 一屯) 2 1 0 1t ( x ：一x ，) 2 + g 。一1 ) 2 】+ 1 9 8 ( x ：一x 。一1 ) 例 厂g ) ：s v - 10 ( x 一t 2 ) 2 + o - - x i 2 - 2e l o ( x ) ： 例 厂g ) =一t 厂+ ) 2 例 g)：n22-3y t ( x ：，一x ：。一。：) 2 + ( 1 一x ：，。) z 】 例 g ) =：，一x ：。一。2 厂+ ( 1 一x ：，。) 2 】 例2 4 s f x ) ：( 1 一x ，) ：+ 厶n - l 坼l2 一x ) 2 + ( 1 一x ) z 用表示目标函数的维数，刀，刀g 分别表示对函数值的估计次数和对梯度值的估 计次数。取风为单位矩阵，c o = 兀，q o = 1 ，盯l = 仃2 = 0 1 ，0 9 = 0 6 1 8 ， r = 0 8 5 ，精度要求为l l 耵g 。翊 o 使得对任意的x 。s g ，) ，牛顿算法 x “l = x t f g 七) _ 1 f g lk o(3-2) 当f g ) 非光滑的时候，f g ) 可能不存在。在有限维的情况下一般牛顿法提出利用 f g ) 的广义j a c o b i a n 矩阵来代替牛顿算法( 3 2 ) 中f g ) 。r a s e r m a c h e r 的定理说明f g ) 几乎是处处可导的。 令d f 表示，g ) 可导的x 的集合。 定义 啦阱陪) p 3 ， c l a r k e 意义下f b ) 的广义导数等价于a 日，g ) 的凸包， 0 f ( x ) - - 刀v a 占f b ) ( 3 - 4 ) x “l = x 一缈) - 1 f g ly 2 卯g 2 ) ( 3 - 5 ) 文献 2 8 】中给出了局部超线性收敛定理，文中假设所有的y 卯g ) 都是非奇异的。 x “l = x 七一缈。) - 1 f g 七l 矿。a 占f g 。) ( 3 - 6 ) 1 7 第三章解非光滑方程组的n e w t o n - k r y l o v 方法 的o f ( x ) 降低到所有的a b f g ) 。更多基于这种思想的改进方法见文献 3 0 3 5 ，在这些 方法中，c h e n 等首先给出了光滑牛顿法的全局和超线性收敛性证明。 修正的迭代函数方法是由h a n 等在文献 3 6 1 q b 提出来的，这种方法利用迭代函数 g ( ，) ：r ”r ”一r ”，如果f g ) 有一个方向的方向导数 f 例：。恐塑竽型 ( 3 - 7 ) 令g g ，d ) - - f g ，d ) ，一个迭代算法的变体可以定义为 算法3 1 1 s t e p1 石。为给定初始值，令k = 0 ； s t e p2 寻找d 直到收敛使其满足 f g ) + g g ，d ) - - o s t e p3 计算x m = x + d ( 3 - 8 ) 这种修改实际上是p a n g 的b - 可微牛顿算法 3 7 ，3 8 1 的推广。其他的关于l i p s c h i t z 方程 牛顿算法的推广与应用参见专题论文 3 9 】。 另一方面，当n 很大时计算j a c o b i a n 线性系统所付出的代价是非常大的，并且对任 意的n 当x 距离精确解很远时计算很难调整。这促使我们借助于另外一种经典的求解 光滑( 非光滑) 方程组的方法一非精确牛顿法 3 7 ，4 0 4 3 。实际上，利用非精确牛顿法 解非光滑方程组的思想已经在文献 3 7 d f 提出过，并且在文献 4 2 ，4 4 ，4 5 】中应用。 文献 4 2 】中的迭代过程的一般形式就是下面的算法，称作非精确牛顿算法( 当 a b ，g ) = 护b ) ，即f ( 工) 严格可微时) 。 算法3 1 2 s t e p1x o 为给定初始值，令k = 0 ； s t e p 2 寻找辄( o ，1 ) ，d 。直到收敛使其满足 8 ，g ) + v d 。8 仇8 f g 。】| 1 8 ( 3 9 ) 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 s t e p3计算x 七+ 1 = x + d 。 其中，y a 口，g ) ，概) 是一个强制项序列。 如果f ) 有f r e c h e t 导数，g ) ，通过增加一个由e i s e n s t a t 和w - a i k e r 4 0 】提出的使 其价值函数炉g ) l i 有充分单调下降性的非精确牛顿条件，可以证明非精确牛顿算法的全 局收敛性。在第k 步迭代，试验步长d 的可接受性条件使用单调技术。 算法3 1 3 s t e p2 寻找仇( 0 ，1 ) ，d 。直到收敛使其满足 0 ，g 2 ) + f g p 。8 仇0 ，g 】| ( 3 - 9 ) 和 8 ，g + d k l l _ - l l y - x l l v y n 。 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 假设3 2 3 函数f g ) 是半光滑的，或者是强半光滑、p 阶半光滑，0 p l 。 假设3 2 4 组成f g ) 的每一个函数只在r ”e 。1 都是连续可微的。 u l b r i c h 5 7 指出假设2 4 是成立的，例如对于基于f i s h e r - b u r m e i s t e r 5 8 数的互补 性问题，这些问题在我们的数值例子中将会用到。u l b r i c h ( 见文献 5 7 ，引理4 2 ) 已经 在假设2 4 的条件下建立了价值函数办g ) = 吉i i f ( x n l 2 的连续可微性。 引理3 2 5 在假设2 3 和假设2 4 下，函数f ：r ”_ r ”的价值函数矗g ) 在r “是连 续可微的，并且有梯度v 办g ) = v r f g ) ，这里y 印g ) 是任意的。 通常情况下，求解光滑方程组的非精确牛顿法的全局收敛性可通过很多的全局化技 术而得到，例如非精确牛顿回溯方法、非精确牛顿信赖域方法、e i s e n s t a t 和w a l k e r 在 文献【4 0 】中引入的折线法等。另一种全局化技术也是本文中所要应用的，就是增加带有 线搜索的非精确广义牛顿条件，例如由b r o w n 和s a a d 提出的对价值函数厅g ) 使用 a r m i j o g o l d s t e i n 线搜索规则，式( 3 9 ) 中d 的步长 必须满足 办g 。+ 2 k d ) h k + f 1 2 k v h ( x 。厂d ( 3 1 3 ) 其中( o ，1 ) 。 算法3 2 6 s t e p1 s t e p2 s t e p3 解非光滑方程组的n e w t o n k r y l o v 方法 令x 。r ”，给定常数( 0 ，1 ) 厶( o ，1 】，o _ r 曲7 一1 ，c o = 厅g 。) 0 0 钾抵l l v 舻i i 。 ( 3 - 2 6 ) ( 3 2 7 ) 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 这里k k 由( 3 2 5 ) 式定义，r 。( 0 ，1 ) 在( 3 1 4 ) 式中已给出。 证明 令，是与d 有关的残差使得f g ) + 矿。d = ，i ，这里矿2 a 占f g 2 ) 。由 v h ( x 。) t d 七= 4 x r v d 七= f g 2 ) t 【r i f g 七为( 3 - 2 8 ) 对( 3 2 8 ) 式右端取范数，可得 v h ( x 2 ) - d 2 i | f 0 2 】| 0 厂0 一l l f g 】1 2 一( 1 刁。川f g 】1 2 ( 3 2 9 ) 很明显， ( y ) t f g 。) 0 ， 因此d 。0 。 因为v k d = ，i 一尸g 2 ) ， 所以 d = 缈) _ 1 【，一f g 乃，取范数，可得 l i d 8 = ：8 ( 7 。) - 18 。0 ，t - p g 】i ：；i i ( 多7 ) - 18 0 i ，。8 + l i ，g 】i ) ( 3 3 。) ( 1 + ，7 。) l l ( 矿。) - 1 | i i i f b 刨 ：垒二! ! 逊笪 i i d k l l 一( 1 + 刁。) l l 缈) - 1 l i 1 l f g 】i 因为i l v 向g 2 】| 舻g 】l - 妙。0 ，于是可得 所以，原命题结论成立。 ：蚓 ( 3 - 3 1 ) ( 1 耖) 10 v 一 ( 3 - 3 2 ) 引理3 3 5 对所有矿2 a b f g ) 非奇异，令d 满足式( 3 1 4 ) 。假设存在叩一 o ，1 ) ， r 0 ，使得( 3 1 4 ) 式中的r k 刁懈，( 3 2 5 ) 式中的硫k 。j l l l ：果v h ( x ) 0