（数学专业论文）几类时滞反应扩散方程解的渐近行为.pdf

国防科学技术大学研究生院学位论文 摘要 本文主要讨论了几类时滞反应扩散方程稳态解的存在性、唯一性及解的渐近行为，同 时考虑了一类反应扩散方程h o p f 分支周期解的存在性。 第一章给出了一些基本定义和常用定理，并简要介绍了时滞反应扩散方程的主要研究 方法以及近期的一些基本结果。 在第二章中，我们讨论一类时滞反应扩散方程在d i d e h l e t 边值条件下，零稳态解和非 零证稳态解的存在性及其渐近行为。在反应项具有单调性的条件下，我们用上下解方法证 明了非零j 下稳态解的局部稳定性，并着重讨论稳态解的局部渐近行为。 在第三章中，我们对一类反应扩散方程取不同参数值时分别进行了讨论，得到零稳态 解和非零正稳态解的存在性和唯一性条件。当反应项具有单调性时，利用上下解方法得到 了解的渐近行为；当反应项不具有单调性质时，研究了该模型在取特殊参数值时稳态解的 渐近行为，并对一般参数给出相应结果。第三章最后讨论了这类时滞反应扩散方程波i j 解 的存在性。 在第四章中，我们讨论了一类具有阶段性的捕食食饵系统在n e u m a n n 边值条件下的 h o p f 分支，对参数取特殊数值时进行计算，得到了系统在正平衡点处存在h o p f 分支的条 件。 关键词：时滞反应扩散方程上下解行波解稳态解h o p f 分支 国防科学技术大学研究生院学位论文 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s s e dt h ee x i s t e n c ea n da s y m p t o t i cb e h a v i o r so f s t e a d ys o l u t i o n sf o r s o m ek i n d so f r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sw i t ht i m ed e l a y s i nc h a p t e r1 ，w eg a v es o m ef u n d a m e n t a ld e f i n i t i o n sa n dt h e o r y s ，a n db r i e f l yi n t r o d u c e dt h e m a i nm e t h o d sf o ri n v e s t i g a t i n gr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n sa n ds o m er e c e n tf u n d a m e n t a lr e s u l t s i nc h a p t e r2 ，w ed e v o t e do u r s e l f t ot h er e s e a r c ho f t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f ac l a s so f d i f f u s i v ep o p u l a t i o nm o d l eu n d e rd i r i c l d e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s w eg a v ean e c e s s a r ya n d s u f f i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fz e r os o l u t i o na n dp o s i t i v es t e a d ys o l u t i o n w ea l s o s t u d i e dt h el o n gt i m eb e h a v i o ro f t h es o l u t i o n sa n dg o ts o m es t a b i l i t yr e s u l t s i nc h a p t e r3 ，w ei n v e s t i g a t e dt h ee x i s t e n c eo f w a v ef r o n t ss o l u t i o n sa n ds t e a d ys o l u t i o n s ，a n d t h ea s y m p t o t i cb e h a v i o r so fs t e a d ys o l u t i o n so fat y p eo fr e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n w h e nt h e n o n l i n e a rt e r m 、】v i md e l a ys a t i s f i e dam o n o t o n i c i t yc o n d i t i o n w eg o tt h ea t t r a e t i v i t yo ft h es t e a d y s t a t eb yu p p e ra n di o w e rs o l u t i o nm e t h o d w k nt h en o n l i n e a rt e r mi sn o n m o n o t o n e w e c o n s i d e r e dt h er e l a t e dp r o b l e mw i t ha n o t h e rm e t h o d i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t e dh o p fb i f u r c a t i o np r o p e r t i e so fas t a g e s t r u c t u r e dp r e d a t o r - p r e y m o o d l e u n d e rs o m ea s s u m o t i o n sw eg o tt h ee x i s t e n c eo f t h eh o p f b i f u r c a t i o n k e yw o r d s ：r e a c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hd e l a y s s u p - s u bs o l u t i o n w a v ef r o n t s s o l u t i o n s s t e a d ys o l u t i o nh o p f b i f u r c a t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表和撰写过的研究成果，也不包含为获得国防科学技术大学或其它 教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文题目： 且娄盟澄丛廑芷遨左蕉盟鲍逝塑盈蕴 学位论文作者签名： 羞基盏蕴 日期：2 0 。f 年1 1 月竹日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解国防科学技术大学有关保留，使用学位论文的规定。本人授权 国防科学技术大学可以保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 文档，允许论文被查阅和借阅；可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以采用影印，缩印或扫描等复制手段保存，汇编学位论文。 ( 保密学位论文在解密后适用本授权书。) 学位论文题目：且娄盟遗屋廛芷筮左蕉簋数逝重盈蕴 学位论文作者签名：垫查堑 作者指铡_ 签名：塾遮函 日期：2 0 0 f 年，j 月j 牛日 日期：沙厶年fj 月目 里堕型兰垫查查竺堕窒兰堕竺竺丝奎 第一章绪论 1 1 引言 反应扩散方程被广泛用于描述、解释或者预见各种自然现象，如来自物理、化学、生 物学等众多领域的数学模型均可由反应扩散方程所描述，因而有着强烈的实际背景。以应 用为目的或以其他科学为背景的反应扩散方程的研究，近二十年来日益受到重视，它是数 学理论与实际应用之间的重要纽带和桥梁数学上通常把如下半线性抛物方程组 詈= d ( 础) 幽+ ，( 捌，舯d “) ，( 彬) q i + ( 1 ) 称为反应扩散方程组洲，其中q c i “，n ，m l ，x = ( 一l ，) ，却= ( ，l ，) ， 址( l 山小鲥舻( g 礴d l ，倒，删= 詈，l ，鼍 ( f - 1 ，2 ，h ) ， d ( x ，) = ( 或( x ，“) ) ，( i , j = 1 ，2 ，l ，m ) 。根据不同的问题可以研究初值问题，即q = i ”，满 足初始条件 u ( x , 0 ) = ( z ) ，x q ； ( 1 1 2 ) 也可以研究各种边值问题，即q ci ”有界，a q 表示q 的边界，满足边值条件 “= g ( x ，f ) ，( x , t ) 鼬i + ( d i r i c h l e t 条件) ； ( 1 1 3 ) 詈= g ( 刈) ，( 工，) 抛i + ( n e u m a n n 条件) ； ( 1 l 4 ) 豢地= g ( 硝) ，( 列) 触i + ( r 。b i n 条件) ( 1 1 5 ) 定解问题( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 或者( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 4 ) 或者( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 5 ) 称为反应扩散方程组的仞边值问题。 ( 1 1 1 ) 式中与时间r 无关的解( 平衡解) 满足 - d ( x ，材) 村= y ( x ，“，g c a d “) ，x e q ( 1 1 6 ) 我们把定常问题( 1 1 6 ) ( 1 1 3 ) ( ( 1 1 4 ) 或( 1 1 5 ) ) ( 其中g ( x ，t ) - - - 蚕( x ) = 受g ( x ，t ) ) 的解称为( 1 1 ，6 ) ，( 1 1 2 ) ，( 1 1 3 ) ( ( 1 1 4 ) 或( 1 1 5 ) ) ，问题的平衡解或定态 解( 1 1 1 ) 空间均匀的解满足常微分方程组 i d u = 7 ( ) ， ( 1 1 7 ) 加 。、7 u ( o ) = 甜o ( 1 1 8 ) 第1 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 还可以研究( 1 1 1 ) 的行波解“= “b c t l ( 设甩= 1 ) 。 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 是( 1 1 1 ) 的两种特殊情形，也将它们与反应扩散方程的耦合称为反 应扩散方程组。由于它们的耦合在很大程度上反映了“扩散”和“反应”的相互作用，也 反映了各分量之问的相互作用，因而为许多实际问题的数学模型的建立提供了条件。物理 学、化学、生物学中出现了大量的反应扩散模型，如物理学中出现的半导体方程 署= d i v q x ( y v 玎一n v v ) 一啪脚， 鱼o t = d i v q x ( y v p + p n v v ) 一r ( 栉，p ) ， a v = - q ( p - n + d 、 化学中酶的数学模型 伊a s - r ( 删) + ( ) ， i 害= 肚+ r ( 删) 一d ( 一a ) ， 以及其它模型如渗流方程、超导方程、液晶方程、反应器动力方程：生物现象中的众 多数学模型：医学中提出的各种方程：传导中以及污染问题中提出的对流扩散方程等。近年 来不少著作对不含时滞的反应扩散方程进行了较系统的介绍”_ ”。在反应项中引入滞壁， 一定程度上更能反应客观事实，因为一个过程的发展有时不可避免的受到前面过程的影响 1 7 ，2 4 3 8 ，4 2 1 2 研究进展及方法 反应扩散方程研究中的基本问题是 1 ( 1 1 1 ) 行波解的存在唯一性及稳定性。 2 ( 1 1 1 ) 的初值问题，初边值问题的整体解的存在唯一性及渐近性。 3 ( 1 1 1 ) 平衡解的存在性，尤其是当问题依赖于某些参数时平衡解的分叉结构，以 及平衡解的稳定性问题。 4 当解没有整体解时解在有限时间内的“爆炸”问题，以及解的其它性质，例如“熄 灭区”问题。 5 计算方法问题，解决以上各种问题的数值计算有一些困难，需要发展一些新的行 之有效的计算方法。 本文所主要研究问题2 和问题3 ，同时也得到了问题1 中行波解存在性的结论，在研 究过程中遇到问题5 。 研究反应扩散方程解及平衡解的存在性以及平衡解的稳定性时，上下解方法( 或称单 调方法) 是很有效的，对于含有时滞的反应扩散方程，该方法在证明解的存在性和稳定性 第2 页 里堕型芏茎查奎堂里窒竺堕堂垡丝兰 中同样有效。 在不同的初值，边值条件下，反应扩散方程或反应扩散方程组解的性质会有很大的不 同，在本文中我们主要是研究含有时滞的反应扩散方程和反应扩散方程组在非负初值条件 以及分别在d i r i c h l e t 边值条件下解的渐近性质和n e u m a n n 边值条件下h o p f 分支周期解 的存在性。为下文讨论需要，在此先介绍几个基本概念，和几个基本定理。 系统的稳态解是与时间没有关系而只于空间变量有关的解，该解的存在性和稳定性能 够解释和预言随时间发展和空间变化时生物种群的长期性态。在本文中所说的稳态解有两 种情形，一是系统的零解，二是系统的非零正稳态解。对不同的参数范围我们证明两种稳 态解存在的可能性与唯一性，及其局部稳定性和全局稳定性。 本文中用上下解方法得到一类反应扩散方程波前解的存在性2 “0 1 ；设u ( x ，f 1 是系统 的解，若“( 囊f ) = u ( o d 垮) = u ( x 掣一h ，) ，其中c 为速度向量c = “，l ，厶) ，v = ( v 1 ，l ) 是c 方向的单位向量，当【，是单调有界的且不恒为常数时称为系统的波前解。 在本文中我们始终假设x 是一个b a n a c h 空间，虬是空间c # c ( 卜r ，o 】；x ) 的代表元 素。 定理1 2 1 若 7 ( f ) ) l 。是x 上的紧半群，并设u 是b a n a c h 空间c 上的开集，j = i o ，6 】 若f ：i x u x 是连续的，则对每一妒e u 都存在 = ( ) ，0 ，满足 m ) 2 4 “( 嘶) + f ( f ，q ( m f 0 ( 1 2 2 ) 【= 其中4 是半群 丁( f ) ，。的无穷小生成元。 ( 1 2 1 ) 的解称为微分方程( 1 2 2 ) 的一个温和解。在本文的第二章和第三章中所讨论 第3 页 的解都是温和解。令 三“= 一善n 嘞。呸0 2 皤u ，+ 军n 匆( x ) 詈，j q ， 砌= 嗉+ 6 ( 咖，工觑 这罩q i “是有界光滑的开区域，包c ( 西) ，- l 是q 上的一致椭圆算子。口，b 是( 1 ) a = o ，b = l ：或( 2 ) a = l ，6 ( x ) o ，6 ( x ) c ( 五) 栉是劬的外法向。 定理1 2 5 嘞1 设h ( x ，t ) 在o t = q ( o ，r 】上有界，u ( x ，f ) 满足 詈+ 厶“+ ( 彬) “o ( ( 列) 绋) ，b , u o ( ( 墨f ) s t ) ，( 棚) o ( 工q ) - u ( x ，t 1 与相应的抛物型方程的初边值问题的古典解有相同的光滑性，当b u 中a = 1 时又设 施有内切球性质，则u ( x ，f ) o ( ( x ，f ) 绋) 。又若u ( x ，o ) o o q ) ，则 “( z ，) o ( ( j ，) g ) 。 定理1 2 6 ”( 比较原理) 设“，v c 2 ，( q r ) ic ( 磊) ，并且满足 詈脚一巾，) 暑忡一m v ) ， b , u 尽v ，( x ，f ) s ) ， u ( x ，o ) v ( x ，o ) ，( x q ) ， ( ( 列) q ，) ， 又设( x ，r ) 磊时，v m ，肼】，著c ( g 【脚，m i ) ，则 “( 列) v ( 五t ) ( ( 列) g ) ； 若又有“( 工，0 ) v ( x ，0 ) o q ) ，则“( x ，t ) v ( 而t ) ( x ，r ) 9 ) 。 定理1 2 7 对o i r i c h l e t 问题 f 愚蠢+ | l l ( x ，“) = o ，x e q ， h = o ，x 翘 其中q c i 坳 1 ) 是带有光滑边界的有界区域，舱一孝毒( q j ( 工) 毒 是一致椭圆形式 自伴随微分算子，其中a t ，= q ，是光滑的实值函数假设 ：西x + 斗 是连续的，若存在 一常数m 0 使得 ( i ) 对所有甜m ，x e q 有 ( x ，“) 0 。 ( i i ) 对所有“【o ，m 】和x q ，h ( x ，) 对甜是严格递增的。 型! ! ! ! ! ! ! ! ! 塑里垦垒查垄二尘斐兰璺斐鱼墅兰：董 第4 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 ( i i i ) 对所有工五有 ( x ，o ) 一 ，其中 是影在( 齐次) b i r i c h t e t 边值条件下的主特 征值则d i r i c h l e t 问题有唯一正解。 1 3 本文研究内容 本文第二，三章中主要研究以下反应扩散方程的初边值问题 旦! ；兰! ：j “( ，x ) 一甜( ，石) + 6 ( 材( t - t , x ) ) ，o ，x ) d ， 优 u ( t ，x ) = 0 ，o ，工) f ， u ( t ，x ) = u o ( 8 ，x ) o ，( 只x ) d i ， 稳态解的存在性，稳定性和吸引性，其中q cr n ( 挖1 ) 是带有光滑边界a q 的有界区域， d = ( o ，o o ) x n ，f - ( o ，o o ) 触，日= 卜f ，o 】q 。 在研究过程中我们首先说明提出模型的现实和理论依据，二、三章中分别对两类非 线性函数6 ( 一l x ) ) = f l u ( 卜f ，z 矿“f ) ，6 ( p ( f 一，x ) ) = 丢；暑；等兰戋进行讨论，其中 是大于零的正常数当b ( u ( t f ，工) ) = p u ( t f ，工) p 1 “”时我们证明了零稳态解和非零稳态 解存在的充分条件，并分别证明了当参数满足不同条件下零稳念解的全局吸引性和非零稳 态解的局部吸引性，以及在假设当非零正稳态解唯一时，该解的全局吸引性。当 6 ( p ( f l x ) ) = 考墨；等兰戋时，我们先对6 ( p o r ，工) ) 具有单调性时解的存在性用上下解 方法给出证明，并证明了零解和非零正稳态解的全局吸引性，对b ( p ( t f ，x ) ) 无单调性时， 我们得到解的有界性，同时还证明了解的全局吸引性。 在本文最后一章中，我们对含有扩散项的一类食饵一捕食模型进行研究，讨论其h o p f 分支的存在性，由于问题的复杂性，我们仅将特殊参数代入计算，得到h o p f 分支的存在 性。 第5 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 第二章一类反应扩散方程解的长期性态 本章我们将讨论以下系统 皇掣= d 衄( ) 一“( ) + 似2 ( f _ l 砂仙) ，( 纠d u ( t ，x ) = o ，( i , x ) e1 - ， ( 2 o ，1 ) u ( t ，x ) = ”。( 只x ) o ，( p ，x ) 日 稳态解的存在性，稳定性和吸引性；其中qcr ”0 1 ) 是带有光滑边界施的有界区域， d ；( o ，o o ) q ，r ；( o ，o 。) a q ，d li 一l ，o l 五，r ，d 是正常数。显然( 2 o 1 ) 的稳态解满足 方程 2 1 引言及引理 ( 2 0 2 ) 如下形式具有时滞的单种群生物模型 j 丝笋= d a u 瓴垆比班6 ( 妒训川吨( 2 1 1 ) 【”o ，x ) = u o ( t ，工) o ，o ，x ) d 2 ， 其中b ( u ( t - r ，x ) ) = p u ( t - - t ，x ) p 1 0 1 ，d li _ f ，o 】x q 在n e u m 蛐边值条件下和d i r i c h l e t 边值条件下解的性质已有详细结论，最近人们关注6 ( “o f ，工) ) = p u 2 0 r ，x ) p 1 0 。4 时的生 物模型，该模型的提出基于这样一个事实口9 】：它是描述成熟种群数量( 密度) 在较低或较 高水平下出生率低及成熟种群的数量( 密度) 在中闯水平下出生率高的情形这种情形的出 现足由于在成熟种群的数量( 密度) 较低，种群集体防御和种群成熟率比较低或在成熟种 群的数量( 密度) 较高时的拥挤造成的本文将研究系统( 2 0 1 ) 在d i r i c h l e t 边值条件下解的 性质以下我们记甜( f ，x ) = u ( t r ，x ) 则方程( 2 1 1 ) 在d i r i c h l e t 边值条件下可以记成( 2 0 1 ) 。 令珂 o ，尸g ) 西) ，则缈；0 。 2 2 主要结果及其证明 定理2 2 1 若“( f ，x ) 是方程( 2 0 1 ) 的解，贝l j u ( t ，x ) 0 ；若u o ( t ，x ) 0 ，则对所有x q ， f l ，“( f ，x ) o ；方程( 2 o 1 ) 的所有解满足 鳃s u p “( ，x ) 等。 证先证“( f ，x ) o 由于 塑笋砒岫) ( ) o ( 舢) d ， “( f ，x ) = 0 ，( f ，x ) d 1 ， “( o ，x ) 2 0 ；x q ， 由定理1 2 6 知甜( f ，x ) o 成立因为p ，x ) 0 ，所以【o ，1 】旺 f - 0 ，“( f ，x ) = o ，v x q ，因此 存在f 0 o ，1 】使得对任意的f t o ，可以找到x q 满足“( f ，工) 0 ，由最小值原理和强最小 值原理，z i o 对所有( f ，x ) “，m ) q ，有“( r ，x ) 0 ，象i a q 0 若令啦，石) = “缸，x ) 一4 屈- 2 ， 则孚 f 临一1 ) 时， 妒= 0 是方程( 2 0 2 ) ) 唯一的非负解，并且是全局吸引的。 证假若方程( 2 0 2 ) 存在某非零解，将乘方程并且在q 上积分，得到 - 如“u d x = l u 2 凼+ 胁2 u e d r 对上式利用p o i n c a r e 不等式得到， 明l “2 出r l ( f l u e - - 1 ) u 2 d x 又因为当“o 时，d e ”p 一，所以不等式d “2 出r l ( 印一1 ) 2 出成立，该式显然与 已知条件矛盾，所以此时方程( 2 0 2 ) 仅有零解。 在方程( 2 0 1 ) 两边乘“o ，x ) 后在q 上积分得到 。垦兰警立( f ，x ) 出= d “础一r “2 凼+ r l 甜2 0 l ，工) 甜( 工) 出 对上式利用h 戤l e r 不等式得到 渤“卜以+ r 批，她哪+ , a r e 。1 一1 ，x 批n ) 由引理2 1 2 知零解是全局吸引的。证毕。 定理2 2 3 方程( 2 o 2 ) 存在正解并且当p o 使得 c ，疗= 1 , 2 ，k 由于联( q ) 是一希尔伯特空间，所以存在一子序列仍记为u n ，和一函数 “e 或( q ) 满足在崩( q ) 中弱收敛于甜，在q 上几乎处处收敛于，在1 2 ( q ) 空问和 f ( q ) 空间中收敛于玑 现在我们断言，( “) = c 由i l u 0 的弱下半连续性和f a t o u 引理，我们有 划v ”1 2 + 吾“2 d x 1 l ( i v u 1 2 + 吾2 卜 l e 1 出l ( u 2 e - u * 出， lu + e - u + d x 0 因此u 是( 2 2 1 ) 的一个解。 将系统( 2 0 1 ) 在正稳态解矿( x ) 处线性化，得到 堡掣= 出啦) 一卯( “) + 矽( z ) 。吖2 一( 石) m 【v ( f ，x ) = 0 ，x 觚 f ，z ) ，工q j d + ( r + 五一矽( x ) e 一州 2 一矿( x ) e 一4 ) 缈，x q ，( 2 2 5 ) 渺= 0 ，x 觚 定义算子 ( 五) ：= 一d + ( r + 旯一矽( 工) p 一“对 2 一声( x ) p 一2 ) ，：= 一d a + r 一2 p c # ( x ) e 一“”， 并令s ( ) # a ：( a ) 妒= o ，o ，= o ，x 施 ，因为是自伴随算子，所以三的特征 值足实数。显j ! ；r - 2 7 r # ( x ) e 一“砷 f 一2 f l r 妒( x ) e 一“，再根据引理2 2 3 ，l 的特征值是非负数因此 对所有矿2 ，2 ( q ) i 吲2 ( q ) ，有( 三，) o 令缈是( 2 2 5 ) 的一个解，将( 2 2 5 ) 两边同乘以 矿再在q 上积分，得到 ( 如，) + 五一矽( x ) e 嘶( 2 一( x ) ) e 。+ 2 r # ( 工) e 嘶 w = 0 ( 2 2 6 ) 令兄= a + i b ，分离( 2 2 6 ) 的实部和虚部得到 ( 如，缈) + 口一矽( x ) p 嘶( 2 一妒( x ) ) e l c o s b + 2 r # ( x ) 口嘶m 2 = 0 ，( 2 2 7 ) 和 6 + 卢矽( x ) p 嘶( 2 一妒( x ) e - a $ i n 6 m 2 = o ( 2 2 8 ) 为证明正稳态解妒( x ) 的局部吸引性只需证明对任意的五= a + i b s ( n ) ，都有r e 2 0 。 因为( x ) 是( 2 o 2 ) 的一个解，当p 0 。 由于一( 三l ；f ，) o 这与( 2 2 7 ) 矛盾，所以口0 。 再证口o ，假设口= o 则6 o 方程( 2 2 8 ) 意味着6 不是万的整数倍故而i c o s 6 j 2 rl - l e 。s 6 1 ) i e 一。i 妒1 2 o ， 矛盾所以r e a d 妒0 时，y = e ，与y = 励的第二个交点。 引理2 2 - 3 当 ；，f “o ，】，口o ，若妒磁( q ) 1 日2 ( q ) 且陟峙q 2 l ，并且满足 a + r l ：似) r e ”厶舻) ， 则f ( g t ，a 1 o ，所以 榴= 器) e 2书鬻虬 ( ) 一l e 一“”( x一妒( x ) l y | 2 一l ( 一2 ) e 一“砷矿( x ) l 妒1 2 1 同时又有 ( ( y ) ) 2 一( ，2 ( 】 f ，) ) 2 = ( ( 缈) + 厶( ) ) ( ( ) 一，2 ( 妒) ) ( e “矿2 ( 工) i 1 2 ) ( l ( 妒( x ) 一4 ) e 一“妒( x ) f j 2 ) ， 因此 f ( ) 卢r 肛市+ 三， 将f 的值代入，得到f ( 妒，口) o ，则 存在以下两种可能性， i ) c o s b 0 ，由( 2 2 7 ) 得到 o = ( 三) + l ( 口+ 矽2 ( x ) e 一e 一4 c o s 6 ) + r 一妒( x ) e 一“j ( 2 2 e 一4 c o s 6 ) 川2 出 矛盾。 i i ) c o s b _ o ， 再由( 2 2 7 ) 得 o = ( 印，j f ，) + ( 口+ 2 f i r e ( x ) e 嘶) w d x 一所c o s b e - o 庐( x ) e 嘶( 2 一( x ) ) w d x 矛盾。 因此c o s 6 0 ；由( 2 2 7 ) 得到 耿篙糍nf p 叫( 妒) 醐矩2 刀知c o s 虹筹糍；从而b ，r - 一s 等糍，由于函数 y ( x ) 2 主f _ 在区间( 考，万) 上是递增的，因此有 国防科学技术大学研究生院学位论文 j l s m 工 ( 2 2 9 ) m ( 2 2 8 ) 丰( 2 2 9 ) 得宝u 帆) = 历丽丽磊丽+ 一s 筹糟 这与引理2 2 3 矛盾，所以( 2 2 4 ) 的特征值的实部是负数，即正稳念解是局部吸引的。证毕。 定理2 2 5 若e 了e 2 ，并且( 2 2 2 ) 仅有一个正解，则该解是全局吸引的。 证因为( 2 o 1 ) 黼- l i m s u p 甜o ，x ) 等，所以当p o ， 、， 所以o s 令= 绷，= 厅，x ) 一联f ，x ) ，其中西充分小使得f + 厅( o ，1 】，且硼矗，x ) 一甜( o ，x ) o ； 则有 警= d 魄一觋+ 卢f 嬲o + 厅一1 ) p 却“o 一f 粕( f 一1 ) e - 唯- 0 = d 一觋， 和 6 = 矾矗，工) 一矾o ，x ) 0 由最大值原理得。，即对f 【0 1 ) 时，掣。，又因为s 是闭集，所以【。，l 】c s 注意到非线性项”2 p 1 对z f 【o ，2 】是单调增的，通过递推可以得到对任意整数一o ，我们有 【o ，r c z s ，因此【o ，o 。) = s ，即当r o 。时，联f ，x ) 一声( z ) 。 显然歹= n + + s 是( 2 0 2 ) 的一个上解，其中f 是一正常数，令孑( f ，石) 是( 2 0 1 ) 中 第1 2 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 ( 口，x ) = 万( z ) 时的解，利用与以上相同的方法得到对所有的， 。，) ，塑鼍生。；因 此当t 斗o d 时打( f ，x ) 寸妒( x ) 。证毕。 第1 3 页 里堕型兰垫查盔兰堕茎竺堕兰堡堡茎 第三章一类时滞反应扩散方程解的渐近行为 本章中我们主要研究以下系统 掣划h 一+ 端， p ( o ，x ) = 伊( p ，x ) o ，( o , x ) d - ， p ( f ，x ) = 0 ，( r ，x ) f ， ( t , x ) b 其中n 0 ，d ；( o ，o o ) q ，d - ，； - f ，o 】五，f - - - o ，o o ) e n ，q c r ”是具有光滑边界的 有界丌集。对不同的参数给出稳态解的存在性和稳定性的证明，最后证明系统波前解存在 的充分条件。 3 1 引言 m a c k e y 和g l a s sy 提出下面自治非线性微分方程模型被意为造血或是细胞模型 p o ) = 一y p ( ，) + 丁譬暑；名，r 。， ( 。l ) 其中r , p ( 0 7 0 0 ) ，p ( ，) 表示在血液循环中成熟血细胞的密度，表示在血液循环中细胞的 损失率，f 是生产不成熟细胞到其成熟并释放到血液循环中的时间，端表示血细 胞从细胞源进入血液循环中的量，它依赖于p ( f ) 在时问r f 时的值2 1 。w n g 和l i j 掣刊一咖) + 端，( f 一印，( 3 i 2 ) 【p ( o ，x ) = 缈( 口，x ) o ，( 口，x ) e d o ， 在n e u m a n 边值条件下胛 1 时正平衡点的稳定性、吸引性、振动性及h o p f 分支“，其中 d = ( 0 , o o ) x 1 2 ，d - ，= - - r ，o x h ，f _ - - o ，o 。) m ，q c r “是具有光滑边界的有界开集。本 章讨论系统( 3 1 2 ) 在d i r i c h l e t 边值条件 p ( f ，x ) = 0 ，( f ，x ) f 。 ( 3 1 3 ) h 0 时稳态解的稳定性和吸引性，并利用上、下解技术和单调迭代方法讨论了行波解的存 在性协栅。当( 3 i 2 ) 中非线性项具有单调性时，先定义( 3 1 2 ) 一( 3 1 3 ) 一对上、下解( v ，w ) 满足： 第1 4 页 国防科学技术大学研究生院学何论文 ( i ) v 嵋( r ，x ) d ； ( 2 ) v ( o ，工) 矿( 曰，x ) w ( 口，工) ，( o , x ) o ! ，； ( 3 ) 对于v 妒w ，v ( f ，x ) d 一，0 3 ，有 j 掣“小毗小揣，( ，d 【w ( ) i 。0 。 掣娜小咖) + 嚣高，( f 以 ，圳。虬 设w ( f ) 是方程警= ，w + 鲁( n 一1 ) i n - l 的解，定义 卅鼢一“纠竺叱 可以验证( 3 i 2 ) 一( 3 i 3 ) 存在一对上、t m ( o ，w l ( f ，工) ) ，从而系统( 3 i 2 ) 一( 3 i 3 ) 存在一 个解p ( f ，x ) ，满足o p ( t ，工) ( f ) 5 0 ，并对所有x q 有 i i m l _ 。p ( “) 尝( 州) 譬。 当n 2 1 时，可以验证( o ，w o ( f ) ) 是方程的上下解，其中 f w ( 0 ) = m a x 口o ( 0 ，x ) ，( 口，x ) d - ， o 2 w ( 。) e f ，+ 等( 一r “) ，r 。 所以p ( t ，x ) 譬。 定理3 1 1 方程( 3 i 2 ) 一( 3 i 3 ) 的解p ( f ，工) o ，且当妒( 口，x ) o 时，p ( f ，x ) o ， ( f ，z ) d 。 o p 矿o , x ) 吲“) 坳以垆箬筹 o ，( f ，小【0 ，f 】x q p ( t ，x 1l o l l 0 ， p ( o ，, 0 - - - 9 0 ( 0 ，x ) o ，( 护，工) 口， 由定理1 2 5 知p ( t ，x ) o ，( f ，工) 【o ，f 】q 。类似得到p ( t ，x ) o ，( f ，x ) ( o ，o 。) q 。若 第1 5 页 国防科学技术大学研究生院学何论文 伊( 口，x ) o ，( 口，x ) d _ ，则【o ，r 】旺 f o ：”( f ，x ) = o v x e q 。因此存在【o ，f 】使得对任意 的f t o ，存在x q 使得“( f ，x ) 0 ，由强最小值原理得到p ( t ，x ) 0 ，( f ，膏) d 。 为便于讨论，设元表示方程 i 矿( x ) + 旯妒( 工) = o ，x q ， i ( x ) k = o ， 的第一特征值。 定理3 1 2 若，+ 五 时= ( 争一1 - 时，矗( p ) 。，且当。p m 时，向( p ) 单调递 增若h ( o ) = r - f l 卢时，方程( 3 1 2 ) 一( 3 1 3 ) 的解满足l i m ，一p ( ，x ) = o 。 证将方程( 1 2 ) 的两边乘p ( f ，x ) 再在q 上积分得到 挑一掣凼= 挑棚州螂) 出一，拟) 出+ l 哗篇掣出， 利用不等式等舞掣s pt - r , x ) 咖) ，p o 脚：不等式及舭r 不等式得到 a p ( 例b 一( + 删| p ( f ，吡( n ) + 批1 砒( 。) 。 由定理2 1 1 知当，+ a 时方程( 3 1 2 ) 一( 3 1 3 ) 的零解满足l i m ，一p ( f ，x ) = 0 。 附注3 2 1 ：由定理3 2 1 知当y + 五 时，方程( 3 1 4 ) 仅有零解。 第1 6 页 国防科学技术大学研究生院学位论文 定理3 2 2 当 1 ，+ ，1 0 ，垤q ，由 il 船掣- ( 刚俐+ 蔫地 得到0 s 。 下面证明( o ，r i t s ，对v r ( o ，r 】，令( f ，工) = 2 ( ，+ 鬼工) 一旦( ，j ) ，其中厅很小使得 t + h e ( o , r l r _ p ( h ，x ) 一旦( o ，x ) 0 。我们有 掣= 叫一硼( f ，小端砌力帆班 【w h ( o ，x ) = 旦( 矗，x ) - e ( o ，x ) 0 由定理1 1 l ，( ，z ) o 因此警2 0 ，【o ，f ) c s 显然s 是个闭集，所以( o ，f 】c s 。当 t ( r , 2 r ) 时， 掣乩咖h 咖) + 端一帆n 【( r ，x ) = 旦( r 矗，z ) 一旦( ) o 所以( l 2 f ) c s ，如此类推从而可得s = 【0 ，a o ) ，因此当，_ o d ，星( f ，x ) ( x ) 。 显然歹= ( i 1 - 是( 3 1 4 ) 的一个上解。令万是( 3 1 2 ) 一( 3 1 3 ) 在初值为歹下的解， l 疗一l ，一，。 且略卸+ 掣妣黼嘴o p 姐因懈加m 抄一 附注3 2 2 ：对门= 1 ，+ a o ，若当，_ m 时 r ( f ) 寸0 ，则当f 寸o o 时，j ，( f ) 斗0 。 定义算子爿：( 和) ( x ) = 一印( f ，并) + y p ( ，x ) ，d o ) - - w 2 ，( q ) i 列，( q ) ，一a 产生一个 解析的紧半群