《循环群与置换群》PPT课件.ppt

7.3循环群与置换群,一、循环群定义7.3.1设(G,)是一个群，HG,若G的元素均可由H中的若干元素经过有限次的二元运算而得到，则称子集H生成群(G,)，并将生成群的子集中最小的称为群(G,)的生成元集。注意：生成元集不一定唯一！其最小性是相对于集合的基数而言。,定义7.3.2若群(G,)的生成元集为g，则称G为循环群，g称为G的生成元，并记G=。同半群时的讨论类似，G=gk|kZ(其中可能有相同的元素)循环群是可交换的。,例7.3.1整数加群(Z,+)是一个循环群，其生成元为1或-1，即Z=或Z=。例7.3.2模n的剩余类加群(Zn,+n)是一个循环群。pnZn是Zn的一个生成元当且仅当p与n互素。注意：做为群的生成元集与半群的生成元集之间的差异！,定理7.3.1循环群(G,)的阶=G的生成元g的阶。证.设群G的阶=m,G的生成元g的阶=n。分二种情形：n，在G=gk|kZ中,gs=gtst(modn).若gs=gt，即gs-t=e，则s-t=nq。反之，若s-t=nq，则gs=gnq+t=gt。因此G=g0,g,g2,gn-1，故m=n；n=，在G=gk|kZ中，假若gs=gt，则有gs-t=e因此G没有相同的元素，故G的阶m=。,循环群是交换群。若(G,)为循环群，g为G的生成元，则G的结构在同构的意义下完全由g的阶所确定：（1）若g的阶=n，则(G,)(Zn,+n)；（2）若g的阶=，则(G,)(Z,+)。例如：(AF,)(Z3,+3),证.（1）注意到，在G=gk|kZ中,gs=gtst(modn)。作映射f:GZn,f(gk)=kn，则f是双射。又f(gsgt)=f(gs+t)=s+tn=sn+ntn即f是同构，故(G,)(Zn,+n)。（2）作映射f:GZ,f(gk)=k，则f是同构，故(G,)(Z,+)。,二、置换群,定义7.3.3设S为集合，称映射:SS为S上的一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。定理7.3.2设G为集合S上全体变换的集合，则(G,)是一个含幺元e的半群，其中运算是复合运算，e为S上的恒等变换。,定理7.3.2设T(S)为集合S上所有的双射变换，则(T(S),)是一个群。设S上的若干个双射变换组成的集合G关于构成一个群，则称G为S上的一个变换群。集合S上双射变换的集合G关于构成一个群的充要条件是下面二个条件成立：（1）G关于运算是封闭的，（2）对gG，必有g-1G。,例.(GF,)和(AF,)都是平面上的变换群。例7.3.4在已建立平面直角坐标系的平面上，用p表示平移：p(Q)=Q+P；用表示绕坐标原点的旋转。一般地，pp。比如取P=(0,1)，=，则有：故平面上全体一一变换构成的变换群不是交换群。,定理7.3.3任意一个群都同构于一个变换群。证.设(G,)是群，gG。定义变换Tg:GG,aga。压缩或平移变换下面证明(T(G),)是群，其中T(G)=Tg|gG：若Tg(a)=Tg(b),则ga=gb,由消去律得a=b,Tg是单射;对cG,有d=g-1cG，满足Tg(d)=c，Tg是满射。又TgTh(a)=Tg(Th(a)=Tg(ha)=gha=Tgh(a)T(G),而TgTg-1(a)=gg-1a=a=g-1ga=Tg-1Tg(a),即Tg-1=Tg-1.综合上述结论可知：(T(G),)是一个变换群。,再证明(G,)(T(G),)作映射f:GT(G),gTg显然f是一个满射,若Tg=Th，则Tg(a)=Th(a)，即ga=ha，由消去律得g=h，故f是单射。而Tgh(a)=(gh)a=TgTh(a),故f(gh)=Tgh=TgTh，即f保持运算。综上所述知：(G,)(T(G),),定义7.3.4设S为含n个元素的有限集合，是S上的一个双射，则称是S上的一个n元置换。S上的若干个置换关于运算构成的群，称为n元置换群；S上的全体置换构成的群，称为n次对称群，记为Snn次对称群的阶是n!。,设有限集合S=a1,a2,an上一个置换，:SS,aiaj(i=1,2,)则置换完全由有序整数对(1,j1),(2,j2),(n,jn)所决定，于是可以将置换表示为：,通常用第一种方式表示置换，等价于将置换看作:ij,(i=1,2,),或,例7.3.5设有限集合S=a1,a2,a3，则S上的每一个置换可以用六种不同的方式来表示。比如，:a1a2,a2a3,a3a1,可以表示为：,通常还是用,来表示。,通常还是用,通常还是用,例.3次对称群S3中有6个元素，分别是,规定两个置换的复合运算为(i)=(i)例7.3.6设，则,于是，即S3不是交换群。实际上，S3是最小的有限非交换群，以后可以知道一个有限的非交换群至少要含有6个元素。,定义7.3.6设Sn,:i1i2,i2i3,iki1，并使其余的元素保持不变，则称为一个k循环置换，记为(i1i2i3ik)。由于(i1i2i3ik)=(i2i3iki1)=(iki1i2ik-1),因此一个k循环置换有k种表示方式，且k循环置换的阶为k。1循环置换只有1种表示方式，即恒等置换；2循环置换又称为对换。注意，并非每一个置换都是循环置换！,例7.3.7在S3中，我们有,而,定理7.3.5任意一个置换都等于若干个不含公共元素的循环置换的复合。证.对元素的个数n作归纳法。n=1定理成立。假设对n-1个元素的置换来说定理成立，考虑n元置换,不妨设:1j1,j1j2,jk1,于是置换可改写为,而置换,是个n-1元的置换，根据归纳法假设，她可以分解成若干个不含公共元素的循环置换的乘积。当然，这些循环置换都可以看作n个元素的循环置换。因此，就分解成若干个不含公共元素的循环置换的乘积。,注意，不含公共元素的循环置换的乘法是可交换的。,例7.3.9利用循环置换的方法，我们有3次对称群S3的元素可以表示为:(1),(12),(13),(23),(123),(132)。4次对称群S4的元素可以表示为：(1);(12),(13),(14),(23),(23),(34);(123),(132),(124),(142),(134),(143),(234),(243);(1234),(1243),(1324),(1342),(1423),(1432);(12)(34),(13)(24),(14)(23)。,注意到(i1i2i3ik)=(i1i2)(i2i3)(ik-1ik)=(i1ik)(i1ik-1)(i1i2)即一个循环置换可以分解成若干个对换的乘积，但表示法是不唯一的。,例如，,推论任一置换都可以分解成若干个对换的乘积，且所含对换个数的奇偶性是确定的。,若置换可以分解成奇数个对换的乘积，则称为奇置换，否则，称为偶置换。,二个偶置换的乘积是偶置换；二个奇置换的乘积是偶置换；奇置换与偶置换的乘积是