（无线电物理专业论文）光子晶体缺陷模特性与应用研究.pdf

硕士孝位论文 m a s t e r st t l e s i s 摘要 光子晶体具有和固体电子晶体相似的特性，表现出光禁带特性以及光局域特 性，处于光禁带中的光不能在光子晶体中传播。在光子晶体中引入点缺陷、线缺陷， 可形成光子微腔和一维光波导，进一步利用这些缺陷以及它们的组合可形成多种新 型光子器件。对光子晶体缺陷模的研究对新型光子器件的设计，制造有重要指导意 义。 本文运用时域有限差分法( f d t d ) 和采用完全匹配层( p m l ) 边界条件，首先对二 维圆介质柱光子晶体的带隙以及点缺陷和线缺陷的传输特性进行了分析计算，发现 随着点缺陷半径的增大，缺陷峰的位置向低频方向移动；随着晶格常数增大，线缺 陷波导的通带的中心波长逐渐向长波长方向移动。 迸一步在二维正方格圆柱光子晶体结构的原型基础上，引入线缺陷，同时还首 次引入椭圆点缺陷构成组合缺陷，讨论了椭圆点缺陷围绕其中心位置平移和旋转时 缺陷模的变化。发现当椭圆点缺陷平移时，共振峰对应的中心波长在2 5 0 9 2 6 7 3 t t m 之间呈近似周期性的波动；而当点缺陷介质柱旋转，且角度在3 0 0 6 0 0 间偏移时， 共振峰中心波长保持不变，当角度在其他范围之问时，共振模呈现单双交替变化现 象，中心波长相应发生改变。 最后构建了一种沿波传播方向晶格常数渐变的新型光子晶体结构，同时引入组 合缺陷。恰当地选择微腔，缺陷模可以实现可控变化，并有相近的峰值，而且缺陷 峰线宽约为1 0 n m 左右。并利用这种缺陷态结构设计了六信道波分解复用器。 关键词：光子晶体；缺陷模；时域有限差分法 a b s t r a c t p h o t o n i cc r y s t a l ，l i k ee l e c t r o n i cs o l i dc r y s t a l ，e x h i b i t ss u c hc h a r a c t e r i s t i ca s o p t i c a lb a n d g a pa n dl o c a l i z e do p t i c a lf i e l d s p r o p a g a t i o no fl i g h tw a v ef a l lw i t h i nt h e o p t i c a lb a n d g a pi sf o r b i d d e n m i c r o - o p t i c a lr e s o n a t ec a v i t ya n d1 do p t i c a lw a v e g u i d e c o u l db eb u i l tb yi m r o d u c i n go f p o i n to rl i n ed e f e c t si n t oap h o t o n i cc r y s t a l v a r i o u sn e w p h o t o n i cd e v i c e sc o u l db ef a b r i c a t e du t i l i z i n gt h e s ed e f e c t s t h e r e f o r et h er e s e a r c ho nt h e p r o p e r t i e so fd e f e c t sm o d ei so fg r e a ti m p o r t a n c ef o rt h ed e s i g na n df a b r i c a t i o no f n e w p h o t o n i cc r y s t a ld e v i c e s t h et h e s e sc a r r i e do u ts i m u l a t i o n so nt h eb e h a v i o r so f p o i n ta n dl i n ed e f e c t su s i n g f i n i t e - d i f f e r e n c e - t i m e - d o m a i nm e t h o d ( f d t d ) a d o p t i n gp e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r s ( p m l ) f i r s t l yt h eb a n d g a po f a2 ds q u a r el a t t i c ep h o t o n i cc r y s t a lm a d eo f c y l i n d r i c a lm e d i aa n d t h et r a n s m i s s i o nc h a r a c t e r i s t i c so fp o 缸a n dl i n ed e f e c t sw e r ec a l c u l a t e d a st h er e s u l t s s h o w n , t h ep e a i 【v a l u eo f t h em o d es h i f t e dt ol o w e rf r e q u e n c yw h e nt h er a d i u so f p o 缸 d e f e c t sb e c a m el a r g e r ；t h ec e n t e rw a v el e n g t ho ft h ep a s sb a n do fal i n ed e f e c tb t o m e l a r g e rw h e nt h eo p t i c a lc r y s t a ll a t t i c ec o n s t a n ti n c r e a s e d s e c o n d l y , ac o m b i n a t i o no f a l i n ed e f e c ta n de l f i p t i c a lp o i n td e f e c t sw e r ei n t r o d u c e d i n t oa2 ds q u a r el a t t i c ep h o t o n i cc r y s t a l t h es i m u l a t i o ni n d i c a t e dt h a tc e n t r a lr e s o n a t e w a v e l e n g t ho fa ne l l i p t i c a lp o i n td e f e c tc h a n g e dp e r i o d i c a l l ya r o u n d2 5 0 9 - - 2 6 7 3 u m w h e nt h ep o 硫d e f e c t sm o v e da r o u n dw i t h o u tr o t a t i o 血t h ec e n t r a lr c s o n a t ew a v e l e n g t h r e m a i nu n c h a n g e do n l yi f t h ee l l i p t i c a lp o i n td e f e c tr o t a t e db e t w e e n3 0 - - 6 0d e g r e e s i n g l e a n dd o u b l ep e a km o d e sm i g h ta p p e a ra l t e r n a t e l yw h e nt h ee l l i p t i c a lp o i n td e f e c tr o t a t e d o u t s i d et h er a n g eo f 3 6 - 6 0d e g r e e f i n a l l y , ap h o t o n i cc r y s t a l ，w h o s el a t t i c ec o n s t a n tc h a n g e dg r a d u a l l ya l o n gt h e p r o p a g a t i n gd i r e c t i o no fal i g h tw a v e ，w a sp r o p o s e d w i t ht h ei n t r o d u c t i o no fap r o p e r c o m b i n a t i o no fl i n ed e f e c ta n dp o i n td e f e c t s , t h ed e f e c tm o d ew a sm a d et oc h a n g e c o n t i n u o u s l ya n dt h ep e a k s a sn a l t o wa sl o n mh a v en e a r l ye q u a lv a l u e u t i l i z i n gt h e s e d e f e c t sm o d e sas i x - c h a n n e lw a v e l e n g t hd i v i s i o nd e m u l t i p l e x i n gs y s t e mw a sc o n c e i v e d k e yw o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l ，d e f e c tm o d e s ，f i n i t e - d i f f e r e n c e - t i m e - d o m a i nm e t h o d 硕士擘位论文 m a s t e r st h e s i s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：缘耀移 日期：彦砷年7 t 月，j 一日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权 中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库，并通 过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名： 欤荆色 日期柳午，2 ，月矿日 导师签名：瓜啊 日期：；晰，z 月，日 本人已经认真阅读“c a l i s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l l s 高校学位论文全文数据库”中全文发布，并可按“章程”中的 规定享受相关权益。圆意监塞握銮压澄卮! 旦主生i 旦二生i 旦三生筮查! 储张坎狰 日期加滞 月，日 导师签名：务式帕 日期：砷年，乙月夕日 硕士擘位论之 m a s t e r st h e s i s 1 1 光子晶体简介 第一章绪论 1 1 1 光子晶体的概念和特性 光子晶体( p h o t o n i cc r y s t a l s 简称：p c ) 是折射率在空间周期性变化的介电结构， 其变化周期和光的波长为同一个数量级。光子晶体也称为光子带隙材料( p h o t o n i c b 勰d g a pm a t e r i a l s ) ，也叫电磁晶体( e l c c t r o m a g n c t i cc r y s t a l s ) 。 光子晶体的产生是在假设光子也可以具有类似于电子在晶体中传播的规律的 基础上提出来的。晶体内部运动的电子受到周期势场的布拉格散射，从而形成能带 结构，带与带之间可能存在带隙。电子波的能量如果落在带隙中，就无法继续传播。 光子晶体的结构是在高折射率材料的某些位置周期性的出现低折射率的材料，高低 折射率的材料交替排列形成周期性结构就可以产生光子晶体带隙。 光子晶体的基本特征是具有光子禁带。1 9 8 7 年，e y a b l o n o v i t c h 及s j o h n 几乎 同时指出i t - z ：在介电系数呈周期性排列的三维介电材料中，电磁波经介电函数散 射后，某些波段的电磁波强度会因破坏性干涉而呈指数衰减，无法在系统内传递， 相当于在频谱上形成能隙，此即所谓的光子能带结构。光子带隙材料能够调制具有 相应波长的电磁波，当电磁波在光子带隙材料中传播时，电磁波能量形成能带结构。 能带与能带之间出现带隙。能量处在光子带隙内的光子，不能进入该晶体。所以人 们可以通过设计和制造光子晶体及其器件，达到控制光子运动的目的。 在研究光子晶体的能带时，固体物理中的许多概念也可以用在光子晶体中，例 如点阵、元胞、倒格子空间、简约布里渊区等。如下图1 1 为二维正方晶格光子晶 体的元胞( 左图) 和简约布里渊区( 右图) ： 图1 1 二维正方晶格的光子晶体元胞和简约布里渊区 由麦克斯韦方程组可以导出v x 上审。矗：f 竺1 五( ，) ，在定义了哈密顿算符 e c r ) k c ， 0 ：v 。i l v 。f i ( ，) 1 后，该式与定态薛定谔方程结构相似，具有相同性质的场方程， l e ( r ) 满足相同的周期对称性和互易关系，符合布洛赫定律。因此可以用分析电子晶体的 理论来分析光子晶体带隙。 光子晶体的另一个重要特征是光子局域【3 - 5 1 。如果引入缺陷破坏光子晶体的周期 结构，就在其禁带中会出现频率极窄的缺陷态，和缺陷态频率吻合的光子有可能被 局域在缺陷位置，一旦其偏离缺陷光就将迅速衰减。光子晶体中的缺陷有点缺陷和 线缺陷，见图1 2 。在垂直于线缺陷的平恧上，光被局域在线缺路位置，只能沿线缺 陷方向传播，以形成一条光的通路，处于完整光子晶体的禁带中的光可以沿着线缺 陷传播，相当于光子晶体波导。点缺陷仿佛是光被全反射墙完全包裹起来，利用点缺 陷可以将光俘获在某一个特定的位置，光就无法从任何一个方向向外传播，这相当 于微腔。 圈1 2 点缺陷( 左) 和线缺陷( 右) 光子晶体 1 1 2 光子晶体的分类 按照光子禁带在空间分布的特点， 光子晶体一般可分为一维，二维和三维三 种类型。如图l - 3 。 图t 3 光子晶体的分类 2 硕士学位论炙 m a s t e r s t h e $ 1 s 垂茎000 至茎至簇00 0 00 p矽多痧 。乃移0 d p q q oo 固o0 入乍并专谷仁汗文时 oe 泫g b 冬公公掣澎y 9 o oo 囝o o u 硕士学位论支 m a s t r st h e s i $ 比环绕它的介质的折射率高。传统光纤的缺点是不同波长的光穿过光纤纤芯的速度 也不同。长距传输时，在信号中就将出现时间延迟，传统光纤的损耗也是需要考虑 的问题，而光子晶体制作的新型光纤在这些方面都有显著的优势。光子晶体带隙保证 了能量的基本完全无损失，而且不会出现延迟等影响数据传输率的现象。英国斯温 顿b a t h 大学的研究人员用二维光子晶体成功制成新型光纤。 3 、光子晶体波掣“0 4 1 传统的介电波导可以支持直线传播的光，但在拐角处会损失能量。理论计算表 明，光子晶体波导可以改变这种情况。光子晶体波导不仅对直线路径而且对转角都 有很高的效率，最近的实验证实了理论预言。如果在光子晶体中引入一个线缺陷， 这种缺陷态就可以作为一种电磁波波导。因此我们可以通过光子晶体的组合设计， 制造出多种符合要求的光波导。 4 、光子晶体超棱镜 常规的棱镜的对波长相近的光几乎不能分开，但用光子晶体做成的超棱镜的分 开能力比常规的要强1 0 0 刭1 0 0 0 倍，丽体积只有常规的百分之一大小。如对波长 为1 0 微米和0 9 微米的两束光，常规的棱镜几乎不能将它们分开，但采用光子晶 体超棱镜后可以将它们分开到6 0 度，这对光通讯中的信息处理有重要的意义。 5 、光子晶体偏振器 常规的偏振器只对很小的频率范围或某一入射角度范围有效，体积也比较大， 不容易实现光学集成。光子晶体偏振器有传统的偏振器所没有的优点：可以在很大 的频率范围工作，体积很小，很容易在s i 片上集成或直接在s i 基上制成。 由于光子晶体提供了操控光的能力，经常被比喻成未来光学界的“半导体”，将 会对光电工业产生重大影响。虽然目前实际的应用有限，但随着科技的加速发展与 知识的累积，相信在不久的未来，我们就能目睹“集成光路”的实现。如图1 5 。 图1 5 光子晶体集成光路想象图 4 硕士擘位论交 m a s t e r st h e s i s 1 1 4 光子晶体的制作方法 目前光子晶体大多是用无机材料制作的，其基本出发点主要是人为构造的周期 性结构。制作方法1 1 5 - 1 8 】主要有： i 、机械钻孔方法 这种光子晶体的制作过程如下：在介质平板上镀上掩膜，掩膜上排列三角孔， 在每一三角孔处钻三个小孔，孔轴与平板垂线成3 5 2 6 0 ，三孔之间互成1 2 0 0 ，其结 构具有金刚石对称性，光子带隙从1 0 g h z 到1 3 g h z ，位于微波区域。但这种结构 不存在完全光子禁带。y a b l o n v i t c h 改进了实验方法，将圆柱改为椭圆柱获得了真正 的完全带隙，这说明通过适当地改变晶格或原子的对称性就有可能获得完全带隙。 2 、逐层叠加方法 a m e s 实验室提出了层状二维光子晶体多层叠加即成三维光予晶体。逐层叠加 法有三种结构。第一种是介质条堆积木方法，如图1 6 所示。介电棒平行排列，相 互之间的距离相等，相邻层介质条成9 0 0 放置，第三层层介质条平行但移动0 5 d ( d 为条之间中心距1 ，每四层就组成一个周期，形成面心正方晶系。重复沉积和蚀刻技 术就能得到这种结构。第二种是由空气柱排列成层，即在介质薄层上占有小孔列阵， 每层由光刻技术制作，叠层采用石刻技术。第三种是由介质柱排列成层，即由平行 介质柱层构成面心正方晶系，采用激光化学蒸汽沉积( l c v p ) 技术制作。 图1 6 层层叠加结构图1 7 反蛋白石结构 3 、刻蚀方法 要制作晶格常数很小的光子晶体，能利用的成熟的方法是半导体工艺的方法如 光刻蚀、电子束刻蚀、离子束刻蚀等。k i r i h a r a 等采用立体平板刻蚀技术在感光树 脂上转印得到了金刚石结构的光子晶体。c u i s i n c 采用x 射线平板刻蚀技术得到 1 3 1 t m 周期的类金刚石y a b l o n o v i t e 模板。其做法是在多层异丁乙稀甲脂抗蚀剂上， 对通过三角形晶格孔的三束x 射线连续曝光，在6 ，2 9 i n 厚的抗蚀剂上获得6 个周期 结构。 4 、激光全息光聚合制作法 激光全息光聚合制作就是利用多光束干涉原理，其干涉图样形成一个光子晶体 结构而且可以转印，特别适用于制作亚微米周期的三维结构。此技术是利用激光束 的干涉产生三维全息图案，让感光树脂在全息图案中曝光，从而一次形成三维结构。 通过调节激光柬的干涉和波长，可以改变三维形状的结构和尺寸。运用这项技术， 不仅能够制备出具有微周期的聚合物结构，而且用它们作为模板，还可以制造出具 有高折射指数的完全带隙结构。目前已经用激光全息光刻技术成功地制备出了网格 状三维微结构。 5 、反蛋白石法 天然蛋白石的显微结构为几百纳米的s i 0 2 小球在三维空间周期有序排列，具有 准带隙结构。受此启发，人们寻求人工光子晶体，即将一定尺寸的纳米级小球三维 有序排列，以期产生光子带隙结构。图1 7 是光子晶体反蛋白石结构图，相对于蛋 白石光子晶体而言，将小球转化为空气，而原来的空气变成某种介质，恰好与蛋白 石相反，故称反蛋白石。 1 2 光子晶体的理论分析方法 上世纪8 0 年代末期光子晶体的概念被提出以后，y a b l o n o v i t c h 和g m i t t e r 于1 9 8 9 年首次在实验上证实三维光子能带结构的存在，至此，物理界展开这方面的理论研 究。由于光子晶体有类似电子晶体的结构，人们通常采用分析电子晶体的方法再结 合电磁理论来分析光子晶体的特性，并取得了和试验一致的结果。主要的方法有； 平面波展开法【1 9 1 ( p l a n ew a v ee x p a n s i o nm e t h o d 简称：p w m ) 、传输矩阵法1 2 0 l ( n a n s f e r m a l f i xm e t h o d 简称：t m n ) ，时域有限差分法【2 1 - 2 2 1 ( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i n 简称： m ) 等。 1 2 1 平面波法 这是光子晶体能带计算中用得较早也是用得较多的一种方法，它的基本思想 是：应用布洛赫定理把介电常数和电场或磁场用平面波展开，将m a x w e l l 方程组化 成一个本征方程，求解该方程的本征值便得到传播的光子的本征频率。这种方法的 优点是思路清晰易于编程，不足之处是当光子晶体结构复杂或处理有缺陷的体系时 需要大量的平面波，可能因为计算能力的限制难以准确计算或者不能计算。而且如 6 硕士孝位论文 m a s t e r st h e s i s 果介电常数不是常数而是随频率变化，就没有一个确定的本征方程形式，这种情况 下根本无法求解。 1 2 2 传输矩阵法 传输矩阵法是将电场或磁场在实空间的格点位置展开，将m a x w e l l 方程组化成 传输矩阵形式，变成本征值求解问题。传输矩阵表示一层( 面) 格点的场强与紧邻 的另一层( 面) 格点场强的关系，它假设在构成的空间中在同一个格点层( 面) 上 有相同的态和相同的频率，这样可以利用m a x w e l l 方程组将场从一个位置外推到整 个晶体空间。这种方法对介电常数随频率变化金属系统特别有效，而且由于传输矩 阵小，矩阵元少，运算量小，同时在计算传输光谱时也是十分方便的，还可以计算 反射系数和透射系数。但是用该方法求解电磁场的分布较为麻烦，效率不是很高。 1 2 3 时域有限差分法 时域有限差分法是电磁场数值计算的经典方法之一。这种方法直接把含时间变 量的m a x w e l l 方程在y e e 氏网格空间中转化为差分方程，在差分格式中每个网格点 上的电场或磁场分量与它相邻的磁场或电场分量及上一时问步该点的场值有关。按 时间步计算网格空间各点的电场和磁场分量，随着时间步的推进，能直接模拟电磁 波的传播及其与物体的相互作用过程。由于在差分格式中被模拟空间电磁性质的参 量是按空间网格给出的，因此只需对相应空间点设定适当的参数，对介质的非均匀 性、各向异性色散特性和非线性等结构，均能很容易地进行精确模拟。该方法原则 上能处理任意结构的光子晶体。这种方法的优点是简单直观容易编程，且可大大减 少计算量节省计算机内存。 在实际理论分析中，还有很多其他的方法，如：有限元法、n 阶法等这些方 法各有优缺点，在应用时要根据实际场合合理地选用。通常是先应用这些方法分析 得出光予晶体的一些特性，再由试验来对结论进行验证。 1 3 本论文的意义和工作 光子晶体具有和固体电子晶体相似的特性，表现出光禁带特性以及光局域特 性，处于光禁带中的光不能在光子晶体中传播。在光子晶体中引入点缺陷、线缺陷， 可形成光子微腔和一维光波导，进一步利用这些缺陷以及它们的组合可形成多种新 型光集成器件，如光子晶体微腔、光子晶体波导、光开关、光存储器、光放大器、 光子晶体超棱镜、光限幅器及光子频率变换器等，这些器件具有许多传统器件所没 7 有的性能，而且尺寸小，有利于大规模集成。 光子晶体的缺陷模是组成各种新型光子器件的基础，本论文采用时域有限差分 法，对二维光子晶体中的点缺陷、线缺陷以及它们的组合缺陷特性进行了深入的研 究。主要工作安排如下： 第一章，绪论：主要介绍光子晶体的概念、类别、特性和制作方法，以及计算 光子晶体常用的数值计算方法。 第二章，时域有限差分法理论：主要介绍了时域有限差分法的基本理论，以及 在计算中所采用的p m l 边界条件。 第三章，二维光子晶体缺陷特性：本章首先计算了二维圆介质柱光子晶体的带 隙，然后计算了光子晶体点缺陷模和线缺陷传输特性，最后分析了含椭圆点缺陷的 二维光子晶体组合缺陷特性，重点讨论了椭圆点缺陷在其中心位置平移和旋转时对 缺陷模的影响。 第四章，基于光子晶体组合缺陷的波分解复用：本章在沿波传播方向晶格常数 渐变的光子晶体中引入线缺陷和椭圆点缺陷，使得缺陷模可以连续变化，实现多个 信道的波分解复用。 第五章：结论与展望：对全文研究结果进行总结。 8 第二章时域有限差分法理论 2 1m a x w e l l 方程与y e e 网格 k s y e e 于1 9 6 6 年首先从m a x w e l l 旋度方程出发，建立了计算电磁学的时域有限 差分方程1 2 2 1 。在直角坐标系中，它将计算空间离散化为在空间和时间上都相差半个 步长的一种直角长方体网格( b p y e e 氏网格) 。在y e e 氏网格中，电磁场各分量被交 叉放置，相互之间都相差半个网格，并且使每一个电场( 或磁场) 分量周围有四个 磁场( 或电场) 分量环绕。同时，在时间上也离散化，用前一时刻的磁场( 或电场) 值计算当前时刻的电场( 或磁场) 值这样可以方便地将m a x w e l l 旋度方程在空间 和时间上进行二阶精度的中心差分运算，从而转化成一组有限差分方程，随着时间 的逐步推进，能直接模拟电磁波的传播及与物体相互作用的过程，从而可以得到整 个计算空问随时间变化的电磁场。 设空间是无源区域，其介质的参数不随时间变化且各向同性，则m a x w e l l 旋度 方程可写成： v h ：占塑+ a e 0 t v 一一詈一胪 ( 2 1 ) ( 2 2 ) 虱甲，e 楚电功鼬厦，h 是慨功强度，8 是r 厦r 电鬲裂，o 足r 厦电寻率，扯是 介质磁导率，p 是介质磁阻率。在直角坐标系中，式2 1 2 2 可写成如下的标量形式： 孕一孕：s 冬+ 葩； ( 2 3 a ) 如a za t l 警一等= 占鲁+ 哆 位s n ， 。o h y 一坠：暑堡+ 幔 ( 2 。3 c ) 缸 o y 0 t 2 。 鲁一鲁= 叫警一以 亿t 曲 警一鲁= 叫等一艘，但积a r 。 ( 2 4 b ) 誓一孕叫譬一雄； ( 2 4 c ) o y 8 图2 1 为f d t d 空间网格划分及场分布。可以看出，每一电场分量由四个磁场分 量环绕，每一磁场分量亦由四个电场分量环绕，这种划分方法不仅自然满足m a x w e l l 旋度方程的结构形式，适于旋度方程在空间进行差分运算，而且能适当地描述电磁 波在空间的传播过程。 图2 1y e e 网格 2 2m a x w e l l 方程差分式 用f d t d 方法求解上面的麦克斯韦方程组的具体方法是：将其在直角坐标系中 展开成标量场分量的方程组，然后用二阶精度的数值差商代替微商，将连续的空间 和时间问题离散化，得到标量场分量的差分方程组。 将m a x w e l l 旋度方程在上述空间网格和时间上进行离散： f o ，y ，z ，f ) = f ( i a x ，j a y ，尬，筇f )( 2 5 ) 记为p 仅，夥其中：f ( x , y , z , o 表示电场或磁场，j x , a y , a z 分别是x , y , z 方向上的空问 网格长度，4 ，是时间步长。其中f _ ，和k 均为整数，用靠表示时间步长的个数，对 ，化砂关于时间和空间的偏导数取中心差分近似，具有二阶精度： 掣：一f(i+l2,j,k)-f(i-12,j,k)4-d【(埘2】 ( 2 6 a ) 劣衄 一 。 1 0 硕士荦位论吏 m a s t r s1 t h e s i $ 竺掣：f(i,j+i2,ki)-f一(i,j-l2,k)+oay)：1 (26b)03,v 。 竺萼边：塑丝些喾塑坠业j - d ：】 ( 2 6 c ) 以 北 。 竺掣塑：_f+uz(i,j,k)-fn-uz(i,j,k)+d耐】 ( 2 6 d ) a出 ”。 在y 醅网格中，电场分量平行于网格的边，并位于边的中央；磁场分量沿每个 面的法线方向，并位于面的中央；在错开的相邻的网格中，磁场分量平行于网格的 边，并位于边的中央，电场分量沿每个面的法线方向，并位于面的中央。且错开的 网格的项角在第一个网格的体心处。设第一个网格的前面左下角的坐标为固。考 虑与( i j 皿) 点相邻沿坐标轴正向的三个电场分量e x ( i + l 2 j , k ) 、e y ( i , j + l 2 , k ) 、 e z ( i , j , k + 1 2 ) 在t = n * a t 时刻的迭代公式： 西4 弓( “1 2 ，_ j ) ：“沏) 及8 o + 1 ，2 ，七) + c b ( 。) i 堡坠坠型堡等丝型堡幽( 2 7 ) i y 缈4 0 + 1 2 ，工k + l 2 ) 一缈“( f + 1 2 ，j ，k - 1 2 ) l zl 毋2 g j + l 2 , d = c 吣凰。2 ( f ，j + l 2 ，d + 洲堡监堡生塑堕监些幽 ( 2 8 ) i篮 h z 4 ( i + i 2 ，+ i 2 , k ) - h z 。( i - 1 2 , j + 1 2 , i 一i 一j 尼2 ( i , a k + l 2 ) = c a ( m ) e z2 ( f ，j , k + l 2 ) + c 甄m ) h f ( i + i z , k + i 2 ) - _ ：_ h e o - 1 z , k + l 2 ) ( 2 9 ) i位 月r ( f ，_ ，+ 1 ，互i + l ，2 ) 一衄r “，一1 2 ，_ j + l 2 ) j 缈j 翻( 所) = 砸2 e ( m ) l + 二三 z 【州j _ 垒l 2 鑫1 + 二= ( 2 1 0 ) 这里的标号m 就是上面迭代式中左边括号中的坐标。 现在考虑推导电场分量所用到的磁场分量的迭代公式，由于电场和磁场在迭代 中相差半个时问步，所以对磁场进行差分的时间在t - - ( n + l 2 ) a t 时刻。 豇# ”1 ( f ，j + l 2 ，k + 1 2 ) = c p ( m ) - h x 。o ，j + l 2 ，k + l 2 ) 肿；( f ，+ 1 ，七+ 1 2 ) 一尼。咭( f ， 七+ 1 2 ) ( 2 1 1 ) - 遗e y j 1 2 出1 2 2 ( i ，+，k + 1 ) 一e y2 ( i ，j +，l 【) l zl 玛，+ j ( + 1 2 ，j , k + l 2 ) = c p ( m ) h y ( i + l 2 , j , k + l 2 ) c 1 盟型! 生坠二垂坠! 型：盟( 2 1 2 ) - c | 型盟盟笔予必( 2 1 2 ) l e ? 气( i + l ，j ，k + l 2 ) e 芦( i ，j ，k + l 2 ) l 一一一i l 秽“( i + l 2 , j + 1 1 2 , k ) = i 讲m ) 月矿( f + l ，2 ，+ l ，2 ，d 叫盘螋她c z 逝ex 2(i+l皆2j+l e x2 0 + 1 2 。+ _ ，k ) 8 + - ，j ，k ) i 1 2 硕士擘位论炙 l a s t r st i - 1 e s i s cp(哟=_丽2u(m)1二上! 二二 2 埘m ) l c q 2 磊l 巫( m )l + 二型兰 ( 2 1 4 ) 这里的标号m 就是上面迭代式中左边括号中的坐标。 在电磁场问题中某些三维问题可以简化为二维问题，在二维情况下电磁波可以 分成两种模式t e 波e x 、e y 、l k 和1 m 波h x 、h y 、e z ，二维y 曲原胞的分割方 法及差分式是将三维中的z 轴去掉。在二维原胞中，t e z 、t m z 的两个平面错开了 半个网格。 对于t e z 波： 在网格中，电场分量e x 、e y 平行于网格的边，并位于边的中央，磁场h z 并 位于网格中央，并垂直与x y 平面；在错开的相邻的网格中，磁场i k 位于网格的四 个角上，并垂直与】【y 平面，电场分量e x 、e y 垂直于每个每条边，并位于边的中央。 错开的网格的左上角在第一个网格的中心处。设第一个网格的右下角的坐标为( i j ) ， 可以得到二维的差分公式： oj e ) c2 ( + 1 2 , n = c 由e x2 ( + 1 1 2 , n + 叫型型警一 q j 5 oj 毋2 ( f ，+ l 2 ) = o 毋2 q , j + i 2 ) 坐坐气掣 位i ( 2 1 6 ) h z ”1 ( j + l 2 , j + 2 ) = c p ( m ) h z ”( f + 1 1 2 ，i ，+ 1 2 ) c q ( m ) 1 垒：g 蔓：生坚堡垒3 笪生堕 (217)+- 1月h + 一 l a x l e x “气( i + 1 2 ，j + 1 ) e x ”i ( i + l 2 ，j ) l 一一 矿一 i 对于n 血波。 在网格中，磁场分量h x 、h y 垂直于网格的边，并位于边的中央，电场e z 位 于网格的四个角上，并垂直与x y 平面；在错开的相邻网格中，磁场分量i 玫、 i y 位 于网格边的中央，并与边平行。电场e z 位于面中央，并垂直于x y 片面。锗开的网 格的左上角在第一个网格的中心处。设第一个网格的右下角的坐标为( i j ) ，可以得 到二维的差分公式： e z2 q ，d = c 0 确e z2 ( j ，d + 刊型盟塑学幽 ( 2 1 8 ) i戤 删( f ，j + l 2 ) 一赶，( f ，一1 ，2 ) l 缈 j ( i , y + i 2 ) = c f ( m ) h v ( i , j + l 2 ) 一惮 亿1 9 ) 砀( i + i z j ) = c f ( m ) , , h y q + l 2 ) + c 降酬 亿2 0 ) 上面公式中c a 、c b ( m ) 、c p ( m ) 、c q ( m ) 的表达式与三维情况相同。 1 4 硕士荦位论炙 m a s t e r st h e $ 1 s 已知t i = 0 时刻空间各处的电磁场初始值 计算t 2 = t 1 + x t 2 时刻空间各处的磁场 循环n 次 计算t l = t 2 + 化时刻空间各处的磁场 图2 2f d t d 基本程序流程 2 3f d t d 数值稳定性问题 在f d t d 中，时间步长和空间步长不是相互独立的，它们的取值必须满足一定 的关系，否则会造成数值结果不稳定。这种不稳定性表现为在解差分方程对，随着 时间步数的增加，各电磁场分量的数值也将无限制地增大，其原因不同于误差的积 累，而是由于电磁波传播的因果关系被破坏而造成的。 为了确定数值解稳定的条件，必须考虑在f d t d 算法中出现的数字波模，基本 方法是把有限差分式分解为时间和空问的本征值问题。由于任何波都能展开为平面 波谱的叠加，因此，如果一种算法对一平面波是不稳定的，那么它对任何波都是不 稳定的。所以，只需考虑平面波本征模在数字空间中的传播，这些模的本征值谱由 数字空间微分方程来确定，并与由数字时间微分方程确定的稳定本征值谱比较。按 要求，空间本征值谱域必须全包含在稳定区间，以确保这种算法中所有可能的数字 波模是稳定的。基于这些原理，a ，t a f l o v e 和m e b r o d w i n l 2 3 1 在1 9 7 5 年就对y e e 氏 差分格式的稳定性进行了讨论，并导出了对时间步长的限制条件，i t p ： f s ( 2 2 1 ) 式中，= ( 1 石l 为介质中的最大光速。i i 2 2 1 给出了f d t d 中时间步 长和空间步长之间应当满足的关系，这就是f d t d 的数值稳定条件，又称为 c o u r a n t 稳定性条f f 。在实际计算中，一般取址= n l i n a n 出) ( 2 c 。) 。 2 4f d t d 吸收边界条件 研究光子晶体时的计算区域是有限的，它就是光子晶体的体积所占有的空间。 但是时域有限差分算法的一个特点是在需要计算电磁场的全部区域建立y 醅氏网格 计算空间，对于像辐射、散射等这类开放问题所需要的网格空间成为无限大的，而 计算机的存储空间和计算速度却不是无限的。所以，我们要处理的问题空问是有边 界的。在实际计算中总是在某处把网格空间截断使之成为有限的，这样一来在网格 空间的截断处就会出现非物理的电磁波的反射，这将严重地影响计算的精度，必须 设法消除这种反射现象。为了让这种有限的空间和无限的空间等效，需要对有限空 间的周围边界做特殊处理，使得向边界行进的波在边界处保持“外向行进”的特征， 无明显的反射，就象被一个巨大的“黑洞”吸收一样。这种边界条件称之为吸收边界 条件。 在利用数值方法求解电磁问题时，需要吸收边界，以便用有限的计算空间去模拟 无限空间，因而吸收边界条件( a b s o r b i n gb o u n d a r yo o n d i t i o n ：a b c ) 的研究一直是一个 关注的热点。j p b e r e n g e r 在1 9 9 4 年提出的完全匹配层 2 4 - 2 6 ) ( p e r f e c t l ym a t c h e d l a y e r ：p m l ) 把这项研究推向了新阶段。p m l 是一种基于各向异性介质的数学边界。 这种吸收边界，其性能比以往提出的边界优越，而且为进一步研究能与不同介质相匹 配的完全匹配层提供了新的思路。 以二维p m l 吸收边界为例：p m l 介质的重要基本条件是阻抗匹配条件为： o e o = - a p o ，其中。为p m l 介质的电导率，o 。为p m l 介质的磁导率。即损耗介质的 波阻抗等于真空的波阻抗，则当一平面波入射到真空和损耗介质的界面上时，不会 发生反射。 j eb c r e n g e r 指出：p m l 层的反射系数与电导率。和p m l 层的厚度l 的乘积 有关。理论上p m l 层的厚度可以达到一个网格单元。实际计算中，总是让p m l 层 有几个网格，以便电导率从真空计算区域( v a c u u m - l a y e ri n t e r f a c e ) 处的0 增加到 p m l 最外层的最大值o m a x 。而这个增大规律是： 厂r 、o 仃( 石) = 仃一l i ( n = 2o r4 ) r ( o ) = 唧( 青彘 x 代表从真空计算区域向p m l 中增加的距离，n 代表一种变化规律，典型值为 2 或4 ，如果n = 2 时，o 的值呈抛物线形增加。r ( o ) 表示电磁波垂直入射到p m l 上 1 6 的反射系数。 在具体计算中，电导率往往写成下面的表达式： 吒( o ) 2 石赫5 吒乜 o ) ：( o ) 娅工+ 岛c l n r ( o ) 2 “( 血) “ ( 2 2 3 ) 咿“一( 2 l 一1 ) 叫 其中，s 是网格单元的大小，具体到x 、y 、z 轴方向表示x 、a y 、a z p m l 层的厚度用网格数表示为n ，l 表示所计算的那一行或一列到真空计算区域的距离， 在真空计算区域处l 是0 ，l 可以取0 、1 2 、l 、3 2 、n 。 由2 2 3 式可以得到o m 的表达式： ：( n + l i ) 五o c l _ n r ( o ) ( 2 2 4 ) 。“ 2 ( & ) 、 2 5f d t d 激励源设置 应用用时域有限差分法研究光在光子晶体中的传输行为时需要有信号源。恰当 地将激励源引入到f d t d i 网格之中，对于正确地模拟电磁场问题是至关重要的弘” f d t d 激励源的设置包括源在空间的分布形式和源随时阃的变化规律。采用脉冲激 励源能发挥时域有限差分法一次计算就能得到整个频段内的器件特性的计算特点， 而脉冲激励源中，又以高斯脉冲为主。高斯脉冲在时域内波形平滑，其频谱函数亦 为平滑的钟形脉冲，具有从直流到无穷宽频谱分布的特点。 高斯脉冲函数的时域形式为： 驯= d 一竽) 其中t 为常数，决定了高斯脉冲的宽度。脉冲峰值出现在产c 0 时刻， 图) 所示。上式的傅立叶变换为： e , f j ，= 三e 文川纷矧 如图2 3 ( 左 ( 2 2 6 ) 其频谱如图2 3 ( 右) 所示，其中负频率部分被去掉。通常可取簧犰为高斯脉冲 的频宽，这时频谱为最大值的4 _ 3 ；在仁1 时为最大值的4 5 6 ；大约在仁1 讹时 为最大值的1 0 。 1 7 图2 3 高斯脉冲的时域波形( 左图) 及其频谱( 右图) 另外调制g 娜s 脉冲( g m c w ) 函数经常被选作激励源，其时域表达式： 删= 斗竺睾习s 酢删 旺z ， 上式右边第一项为高斯函数，第二项为基波表达式，而为中心频率，通常取 t o - - g r d ( 2 c o ) 。调制g a u s s 脉冲的频谱为： e = 三d 一堑竖 唧胁咐珊。】 + 三d 一塑q 唧析舭】