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4.3协方差和相关系数,问题对于二维随机变量(X,Y):,已知联合分布,边缘分布,对二维随机变量,除每个随机变量各自的概率特性外,相互之间可能还有某种联系.问题:用一个怎样的数去反映这种联系.,一.协方差定义与性质,若X,Y独立,则根据数学期望的性质，有E(XY)=EXEY,为X,Y的协方差.记为,E(X-EX)(Y-EY)=E(XY)-EXEY=0,数,反映了随机变量X,Y之间的某种关系,Cov(X,Y)=E(XY)-EXEY.,证明,若(X,Y)为离散型，,若(X,Y)为连续型，,(1)Cov(X,Y)=Cov(Y,X);,(2)Cov(X,X)=D(X);Cov(X,c)=0;,(3)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y),其中a,b为常数；,(4)Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z);,协方差性质,(5),性质1,解,例:设随机变量XB(12,0.5),YN(0,1),Cov(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1与W=-2X+4Y的方差与协方差,定义:当Cov(X,Y)=0时，称X与Y不相关。,？,“X与Y独立”和“X与Y不相关”有何关系？,例设(X,Y)在D=(x,y)：x2+y21上服从均匀分布，求证：X与Y不相关，但不是相互独立的。,性质3X与Y为随机变量,则下列结果等价,(1)X,Y不相关;,(2)Cov(X,Y)=0;,(3)E(XY)=EXEY;,(4)D(X+Y)=DX+DY.,二.相关系数(*),1.定义若随机变量X，Y的方差和协方差均存在,且DX0,DY0，则,注1：若记,称为X的标准化，易知EX*=0，DX*=1.且,称为X与Y的相关系数.,注2,X,Y不相关,X,Y相互独立,X,Y不相关,若(X,Y)N(1,12,2,22,),则X,Y相互独立,X,Y不相关,注3,2.相关系数的性质定理在以上假设条件下，有(1)|XY|1；(2)|XY|=1存在常数a,b使PY=aX+b=1；(3)X与Y不相关XY=0;,1.设(X,Y)服从区域D:0x1,0yx上的均匀分布,求X与Y的相关系数,解,例4,以上的结果说明了什么？,解1),2),例6,:有96.8%的线性相似度，即在0,1之间，y=x2与某条直线y=ax+b的图像差别不大。,:根本就没有线性相关性，但有其他相关性。,X的k阶原点矩,X的k阶绝对原点矩,X的k阶中心矩,X的方差,三.矩,X,Y的k+l阶混合原点矩,X,Y的k+l阶混合中心矩,X,Y的二阶原点矩,X,Y的二阶混合中心矩X,Y的协方差,X,Y的相关系数,例5设(X,Y)N(1,4;1,4;0.5),Z=X+Y,求XZ,解,四.协方差矩阵,定义设X1，,Xn为n个随机变量,记c
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