（数学专业论文）光在柱状和球状周期结构中的传播及散射.pdf

摘要 摘要 在过去的二十年来，光了晶体因为它具有令人惊异的操纵和控制光的能力 而引起了广泛的兴趣，典型的光子晶体是一些在单元中含圆柱状启勺，球状白喊 者其它简单几何形状的周期结构。为了解一个光了晶体的基本物理性质以及为 了设计各种各样用途的光q 5 晶体器具，我们需要有效的数值方法。在数学上， 我们需要去求解特征值问题和边值问题。 最近，一些有些的数值方法已经被用来分析许多含有柱状体的二维光 了晶体结构。这些方法是基于柱面波展开，以及光晶体单元上的d i r i c h l e t t o n e u m a n n ( d t n ) 映照。但目前为止，这种d t n 映照方法已经被用到含有各向同 性介质的光了晶体中。在本文中，我们将d t n 映照方法推广到对含有各向异性 介质的光了晶体中。这种d t n 映照方法是基于各向异性介质的圆柱体的柱面波 展开。对于含有球状体的互维光晶体结构，存在一些基于球面波展开的精确的 数值方法。在本文中，我们介绍了一种改进的球面波的最小二乘方法。这种方 法被用来计算用球摆成的周期阵列的折射和反射谱。在这些周期阵列的外头， 我们用平面波来逼近电磁场。而在这些周期阵列的里头，我们用向量形式的球 面波来逼近电磁场。然后在阵列的分界面上，我们将平面波和球面波在最小- 乘意义上匹配起柬。最后，我们将这种球面波的最小二乘方法用到无穷个电介 质球排成的周期链型结构中。这种方法被用来计算链型结构中的传播模的传播 常数。 关键词：光予晶体各向异性介质d i r i c h l e t t o n e u m a n n 算了最小乘方法 球状的散射体 a b s t r a c t i nt h el a s tt w od e c a d e s ，p h o t o n i cc r y s t a l s ( p h c s ) h a v ea t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o n b e c a u s eo ft h e i ra m a z i n ga b i l i t yt om a n i p u l a t ea n d c o n t r o ll i g h t t y p i c a lp h c sa r ep e r i o d i es t r u c t u r e sw i t hu n i tc e l l sc o n t a i n i n gc i r c u l a rc y l i n d e r s ，s p h e r e so ro t h e r s i m o t e g e o m e t r l e s t oa n d e r s t a n dt h eb a s i cp h y s i c a ll a r o p e r t i so fap h ca n d t od e s i g np h c d e v i c e sf o rv a r i o u sa p p l i c a t i o n s ，e f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d sa r en e e d e d m a t h e m a t i 瑚助w ee n c o u n t e re i g e n _ v a h a ep r o b l e m s _ a n d , b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s r e c e n t l y , v a r i o u st w o d i m e n s i o n a lp h cs t r u c t u r e sw i t hc y l i n d r i c a li n c l u s i o n sh a v e b e e na n a l y z e du s i n ge f f i c i e n tn u m e r i c a lm e t h o d st h a tr e l yo nc y l i n d r i c a lw a v ee x p a n s i o n sa n dt h ed i r i c h l e t - t o n e u m a n n ( d t n ) m a p so ft h eu n i t c e l l s s of a r , c h ed t n m a pm e t h o dh a so n l yb e e nd e v e l o p e df o rp h c sc o m p o s e do fi s o t r o p i cm a t e r i a i s i n t h i st h e s i s ，w ee x t e n dt h ed t n m a pm e t h o dt oa n i s o t r o p i cp h c s ，b a s e do nc v l i n d r i 。 c a lw a v ee x p a n s m n sf o rc i r c u l a rc y l i n d e r so f a n i s o t r o p i cm e d i a f o rt h r e e d i m e n s i o n a l p h cs t r u c t u r e sw i t hs p h e r i c a li n c l u s i o n s ，t h e r ee x i s t sa f e wa c c u r a t en u m e r i c a lm e t h o d s b a s e do ns p h e r i c a lw a v ee x p a n s i o n s i nt h i st h e s i s ，w ep r e s e n ta l li m p r o v e d s p h e r i c a l w a v el e a s ts q u a r e sm e t h o df o rc a l c u l a t i n gt r a n s m i s s i o na n d r e f l e c t i o ns p e c t r ao fp e - n o d i ca r r a y so fs p h e r e s t h ee l e c t r o m a g n e t i cf i e l d si n s i d ea n do u t s i d et h ep e r i o d i c a r r a y sa r ea p p r o x i m a t e db yv e c t o rs p h e r i c a lw a v e sa n dp la n e w a v e s 。r e s p e c t i v e l y , a n d t h e ya r em a t c h e da tt h ei n t e r f a c e si nt h el e a s ts q u a r e ss e n s e f i n a l l y ，w ee x t e n dt h e s p h e r i c a lw a v el e a s ts q u a r e sm e t h o dt oi n f i n i t ea n dp e r i o d i cl i n e a rc h a i n so fd i e l e c t r i c s p h e r e sa n dc a l c u l a t et h ep r o p a g a t i o nc o n s t a n to f p r o p a g a t i n gm o d ea l o n gt h ec h a i n k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l s ，a n i s o t r o p i cm e d i a ，d i r i c h l e t t o n e u m a n nm a p ，l e a s t s q u a r e sm e t h o d ，sp h e r i c a ls c a t t e r e r i 插图 1 1 i ，z 1 3 1 4 1 5 2 1 2 2 2 3 插图 一个周期的多层结构1 种典型的衍射光栅2 圆柱体周期阵列组成的二维光子晶体。3 木料堆结构：一堆在相邻两层沿两个正交方向上剧期摆布的电介 质柱体棒。4 一个九层结构的反射谱和透射谱。 1o 正方形单元的正方形格子，六边形单元的- 一角形格子。 1 6 各向异性的介质 2 2 上：正方形格子的不可减少的b r i l l o u i nz o n e ；下：三角形格子的不 可减少的b r i l l o u i nz o n e 。 ， 2 4 液晶体柱体棒组成的二维光子晶体的能带结构。柱棒排成西= 7 r 6 的止方形格子 2 5 硅中的圆柱液晶体棒的能带结构。柱棒排成三角彤格子。液晶 体的光轴和z 轴的夹角是= 0 ( t o p ) ，妒= n 6 ( m i d d l e ) 和砂= 4 ( b o t t o m ) 3 1正方形格子和三角形格子的两个单位元q l 和q 2 的横切而分 别是s 1 和品。其中球的中心是有依据( 3 5 0 ) 的位移。单元子区 域s l 利岛在z = g l 上需要满足连续性条件。图中给出了在s 1 上可 能分布的离散点。 3 2 法向入射到四层电介质球结构的平面波所产牛的透射谱。在每一 层上，球按格子常数是a 的正方形格子安放。( a ) 球的中心没有发 牛位移。( b ) 球的中心依据( 3 5 0 ) 发生了位移。 3 3法向入射到一个含有窄气球的电解质溥板的平面波所产生的透射 谱。空气球按照格子常数是a 的正方形格子摧放。溥板的厚度也 是a 。 v t t 3 3 3 4 3 5 8 3 4 4 5 5 插图 3 4 3 5 3 6 3 7 3 8 法向入射到四层电介质球结构的平面波所产牛的透射谱。在每 层上，球按格子常数是a 的正方形格子安放。( a ) 球的巾心没有发 牛位移，并且层的厚度是a 。( b ) 球的中心发牛依据( 3 5 0 ) 的位移， 并且层的厚度是 2 3a 。 i dl i n e a rc h a i no fs p h e r i c a lp a r t i c l e s 1 维崩期链的单位元 矩阵y 的最小奇异值盯1 。这是以球直径是0 8 l 的球链的正规化传 播常数7 l ( 2 7 r ) 为变量的函数。红线，绿线，蓝线分别对应于参 数n = 8 ，n = 1 0 和n = 1 2 。 矩阵y 的最小奇异值盯。这是以球与球相接触的球链的正规化传 播常数3 , l ( 2 r r ) 为变量的函数。红线，绿线，蓝线分别对应于参 数n = 8 ，n = 1 0 和n = 1 2 。 v i 5 5 5 8 5 垒 6 5 中国科学技术大学学位论文原创性声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所取得的成 果。除己特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含任何他人已经发表或撰写 过的研究成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了明确 的说明。 作者签名：_ ! 氅悼 中国科学技术大学学位论文授权使用声明 作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者授权中国科学技术大学拥 有学位论文的部分使用权，即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交 论文的复印件和电子版，允许论文被查i 、蒯和借l 蒯，可以将学位论文编入有关数据 库进行检索，可以采用影日j 、缩目j 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。本人 提交的电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵i 】，此规定。 耐么开口保密( 年) 作者签名： ! 鱼未勤： 签字日期：丝! ! ：丘：生 导师签名： 签字日期：丝垒! ! ! 第1 罩￥i 言 第1 章引言 1 1 周期结构 在本论文札对于由圆柱状和球状的物体所组成的周期结构，我们研究光 在这些周期结构中的传播及散射问题。甩期结构成为彻底的科学研究课题已经 有很多年了。在1 8 8 7 年，英国物理学家瑞利勋爵i 1 分析研究了周期的多层薄膜 ( 如图ll 所示) ，这是最简单的一维周期结构。介电函数f 在一个方向上是周期 黼黼 黧黧 凰1 1 一十周期的多屡结构 的在另外两个方向是不变的。并且e 是一个分片常数。对于频率在某特区问段 的光，这种周期的多层结构能擞大的i ；l l 挡光的传播，如同镜子一般将 射的 光给反射回去。 衍射光栅4 l 是一种由金属或者电解质( 如玻璃) 组成的周期结构。实 际应州的衍射光栅通常是在表面上有沟槽或刻痕的平板。公认的最早的人 造光栅是在1 8 2 1 年由德国物理学家夫琅禾费( j o s e p hv o nf r a u n h o f e r ) 制造的 金属垃栅网。从那以后，衍射光栅在理论上和实验上进行了广泛而深刻的研 丽甜舅脚嗣韶蠲瑚器溜嗣鞴科m州啊州薯盟弼辫瓣矬瓣黼龇黼l|醚确翮豳黼 第1 章；吉 究。图l2 是种典型的衍射光栅。介电函数是个在z 方向上周期且阁 j。 卅 厂八厂仑仑， tr * t 辩t c ：建：_ 1 。! t _ q：i i m ” d ” 一_ 。， 团1 2 一种典型的衍射光橱 期为l 的函致。衍射光栅可以将入射波分解成几个朝者不同方向传播的波。衍 射光栅是非常重要的光学器件它可以被用在单色器( m o n o c h r o m a t o r s ) ，分 光计( s p e c t r o m e t e r s ) ，激光，波分复用设备( w a v e l e n g t hd i v i s i o n m u l t i p l e x i n g d e v i c e s ) 等等。衍射光栅的现象在自然界也可以看到，例如孔雀羽毛的绚丽色 彩，蝴蝶的美阳翅膀，各种色彩的珍珠母贝等等。 光子品体是周期的电介质或者金属电解质材料的微结构它的周期与 光波波长在一个尺度r 。光子品体可咀被用来操作和控制光的传播。它们 是在1 9 8 7 年由ey a b l o n o v i t c h l 2 1 和sj o h n i 分别独立提h 。由于材料的介屯函 数在空间上的周期性，引起空间折射率的周期变化，当的变化足够太且变化 周期与光波长相当时，某些区徊煅频率的光或电磁渡技严格禁止传播的。二维 的光子品体是材料的介电函数c 在在两个方向卜周期在剩下一个方向保持不变 的结构。典型的二维光子品体是将空气中的无穷长的杆( 如刳13 所以) ，或 者均匀背景材料中的无穷长的空气洞进行周期摆放的所形成的结构。这些杆或 者空气洞排成正方形格_ 了或者三角形格子。和多层周期结构相比，二维光子晶 体可以在周期平面r 对任何方向传播的光阻挡。凶而二维光子品体可以披用 来设计许多光学器件，例如光波导的拐弯分叉，腔( c a v i t y ) 等等。 三维的光子晶体在空间的三个方向上都具有周期结构。由于制作上的难 度三维光子晶体的研究远远落后于二维光子晶体，叩使在半导体工业中也没 2 第1 章引言 图1 3 倒柱体周期阵列组成的二维光子晶体。 有可以借鉴的方法来制造三维光于晶体。一种有名的三维光子晶体是一种术料 雄( w o o d p i l c ) 结构( 如图1 4 所示) 。它们是一蜷在相邻两层沿两个正交方向卜 周期摆布的电介质柱体棒。三维的光子品体在空间的三个方向卜都可以阻挡光 的传播。三维晶体之所以难以制造是斟为耍在三个方向卜达到光的波长尺度周 期返在工艺f 比较难达到。 1 2 基本方程 对于线性的电磁波( 包括光波) 在非磁性的，非导电的，并且没有电流没 有电荷的介质巾传播，电场矿和磁场彬满足下面的麦克斯韦方程组： v f = 一j 等 v = f 箬， 可( f 占) = o ， v ( 皿舻) = o ， ( 11 ) ( 12 ) ( i3 ) ( 1 4 ) 第1 章引官 熟翩l 蝴k ，i揪 匪1 4 木辩堆结构：一堆在相邻两层括两十正交方向h 坷期摆布的电介质拄体捧 其中口和舻是依赖空间变量。，玑瘌时间变量t 的三维向量。系数脚盼q 代表 介质的磁导率和电容率。它们都依藏于空问变星。我们让扛= m 和f = 印。 其中，m 是真空中的磁导率，如是真空中的电容牢( 或者称为介电常数) ，e 和“分别代表介质的相对电容率和相对硪导率。注意到，脚和6 0 分别是 m = 4 丌1 0 7 n s 2 c 2 ， e o = 8 8 5 4 1 9 1 0 1 2 ( f 2 n m 2 为了考虑时间谐波，我们假设时间依赖是c 一讪。我们让 君= r e ( e e 一“) ，j 护；r e h e 州) ( j 5 ) ( 1 6 ) 其中b 和h 分别是电场和磁场的复振幅，u = 2 丌，是角频率- ，是频率。我们 让豆= 乍砷，那么发克斯韦方程组被退化成： 审e = l 岛p h ， v h = - i b e ， 可- ( = 0 v ( 朋) = 0 ， ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) ll m 其中岛= u “琢甜表真空中的渡数。上面方程组系统是额域的麦克斯韦方程 第1 章引言 e 旧直旧 e = 7 , 2 ( x ) ， 其中仡( x ) 代表介质的折射率函数。从频域的麦克斯韦方程组出发， 下式来消掉马a n d 吼： b 2 j 矗( 晓也一如见) ， 巩2 赤( 包b 一包e ) ， 然后得到只含有r ，r ，矾和吼变量。我们有 a 却 最 h z e z h z 鲫 2 【够勿j 邑 一 i i 。 e - h ： 我们可以用 ( i ii ) ( 1 。1 2 ) ( 1 i 3 ) 如蕊1l ) - a z ( e 。- 乜i ( 1 1 4 ) - 。瓦i 侥( p 一1 见) o 引i ， ( 卜1 4 ) 彰= 蕊1 j 一瑶一统o ( p 一，。) k l t l + 宅1 如l ， ( 1 15 ) 够= 瓦1 | 磅e + 晓o ( p 一，优) - k l 工, - 台p 。1 晓。j ， ( 1 1 6 ) 9 = 面1 l 以( 肛! 。良) 以口：以i ( 1 17 ) 特别的，我们考虑电磁场 e ，h ) ，它们依赖z 的变量是c x p ( 竹z ) ，其中7 是 实的常数，并且我们假设介质的相对电容率和相对磁导率只是( z ，! ，) 两个变量的 函数。从频域下的麦克斯韦方程组中，我们可以推出卜商关于电磁场z 分量的 耦合7 ) - 程组： v ( 号v e ) + v ( 南j v 玩) + s 巴= 。， - 8 ， v ( 丢v 疗：) 一v ( 南。) + 以扎 第1 章引言 其中v = ( 以，岛) 是二维的梯度算子，v 是二维的散度算子，并且 叼瑶州，= 跚 电磁场其它四个分量由下式给出： 阿e v i 石 7 鼠 击。肛岛 ，y 岛一粕舻包 一s b ，y 以 k o e a z1 岛 ( 1 2 0 ) 如果介子是均匀分布的，上述方程( 1 1 8 ) 和( 1 1 9 ) 司以退化成二维的亥姆霍兹 ( h e l m h o l t z ) 方程： 璺+ 塑+ p 2 u ：o ， (121)a a z 2 y 2 。广“ v 、。 7 其中乱是巴或者见，p = 锕是介质的波数。 对于纯粹的二维问题，我们假设介电函数以及电磁波都不依赖于变量z ， 那么麦克斯韦方程组将会退化成两个独立的亥姆霍兹方程： 罂+ 堕+ 瑶e ：o (1_22)oa z 2 y 2 一”旷1 。、 7 是t e 偏振下的方程，和 o a x 躐e 三) + 南( 三等) 描也= 。 2 3 ， t m 偏振下的方程。 我t f 耻a 对于一维介质进一步简化。假设介电函数e 和电磁场都仅仅依赖于 变量z ，那么t e 和t m 偏振下的方程没有本质上的差别。我们分别有 器+ 瑞以_ 0 ( 1 2 4 ) 御 怖 狮 个是率容电 m 对 = 柑 己 的 一 一哪俐鞫 、_l n n ； 尝姗 堑液 = 旦如胁中质介陛异 备在 ： 阵 和 矩 6 第1 章弓l 言 其中= e 豇。我们定义矩阵e 的三个特征值为：e 1 ，2 ，e 3 。如果三个特征值全部 相等e 1 = e 2 = 3 ，那么我们称介质是各向同性( i s o t r o p y ) 的；如果3 个特征值 有两个是相等的，如- = e 2 3 ，我们称介质是单轴的；如果3 个特征值各自 互不相等，那么我们称介质是双轴的。 对于各向异性介质中的二维问题，我们假设介电函数不依赖与变量z ，并且 电磁波只是在z 评y a _ l 传搔，也就是电磁场的对z _ t y 向上的偏导数为吐进一步 的；如果礴由是各向异性介质的一根丰轴，也就是 = e 1 1 e 1 2 1 3 1 ， c ，2 7 ， 其中e 1 2 = 2 1 ，那么我们可以推导出电磁场z 分量的如下标量方程： v 2 也+ 瑶3 ( x ) 也= 0 ， v ( = - 1 ( x ) v 矾) + 瑶也= 0 ； ( 1 2 8 ) ( 1 2 9 ) 共中v = 鼠，岛 是二维的梯度算子，v 2 = 露+ 露是二维的拉普拉斯算子 ( l a p l a c i a n ) ，v 是二维的散度算子，还有 一b e 2 2 - - 钮9 2 1 ( 1 3 0 ) 从上面的方程中，我们看到t e 偏振和t m 偏振的方程是彼此无关的。尽管如此， 在一般情况下，t e 偏振和t m 偏振的方程是耦合的。例如，如果z 轴是介质的一 根主轴，我们有 一1 0 0 = l 0t 2 2 吻l ， ( 1 3 1 ) l 09 3 2 3 3 i 其中2 3 = e 3 2 ，我们可以推出下面耦合电场的z 分量和磁场的z 分量的方程组 箧忍+ 骘e + k j ( 3 3 一孚) e i u 肋兰以见= 0 ， ( 1 3 2 ) 以( 去如也) + 岛( 去岛也) + 瑶矾- i w e o 以( 蓑兄) = 。3 3 ， 1 3 数学问题 在数学上，为了分析光波在周期结构中传播或者被周期结构散射的问题， 我们需要求解特征值问题和边值问题。在下面，我们用最简单的一维模犁米解 释这些问题。 7 第1 章引言 我们考虑如下的维亥姆霍兹方程 塑o z 2 + 碲产( z ) u = 0 ， ( 1 3 4 ) 其中折射率n ( z ) 是一个在z 方向上的周期函数，周期是l ，也就是n ( z + l ) = 佗( ) 。由布洛赫定理( b l o c h st h e o r e m ) 可知，上述方程的解可以写成一个平面 波韵包络函数和一个厨期同样是瑚周期函数韵乘积。也就是，我们有下面盼 布洛赫波( b t o c hw a v e ) 的解： 乱( z ) = 咖( z ) e p 2 ， ( 1 3 5 ) 其中包络函数矽( z ) 和死( z ) 有相同的周期，p 是个常数。对于p 是实数时，这样的 解仅仅在下面一串离散的按顺序排列的频率序列中： u = ( ) ，歹= 1 ，2 ， ( 1 3 6 ) 上面关于口和角频率u 的关系1 1 l 作色散关系( d i s p e r s i o nr e l a t i o n s ) 。所有这些 散关系描述了周期的多层结构的能带结构( b a n ds t r u c t u r e ) 。如果在一个下 标歹上，对于所有的p ，的最大值l l ：, w j + 1 的最小值都要小，我们有一个能带 ( b a n d g a p ) 、 ( ，屿( p ) ，嚷n w j + l ( ) ) ( 1 3 7 ) 在一个能带中，我们依然有布洛赫波解( 1 3 5 ) ，但是p 是个复数。在这种情况下， 布洛赫波是逐渐消失的。 在标准的公式中，能带结构问题是求解控制方程( 1 3 4 ) 的特征值问题。它在 区间0 z l 满足上如下的拟周期条件 u ( l ) = 仃i 卢l ( o ) ，8 z u ( l ) = e i 口二o z u ( o )( 1 3 8 ) 其中u 2 ( 或者瑶) 是特征值。 一个简单的边值问题是计算一维多层结构的光波的反射和透射系数。对于 一维多层结构，我们有控制力程( 1 3 4 ) ，其中在z 6 时，n ( z ) = n o 。对 于0 z b ，我们有下面的多层结构，表示为 8 0 = z o z 1 = b ， 第l 章引言 使得 n ( z ) = 7 0 ，z j 一1 z z j 对于z 0 ，我们假设单位振幅韵入射波 u ( ( z ) = e 七。懈 入射波导致了下面酌反射波牡( r ) 和透射波让( 力 “( r ) = r e 一讯。舭，z b ， ( 1 3 9 ) ( 1 4 0 ) ( 1 4 i ) 其中r ，丁分别是未知的反射和透射系数。我们有u 和以u 在两层的界面z = 勿上 连续。 在边界z = 0 和z = 6 上，边界条件可以写成 挲：一i k 衲u + 2 i k o z ：0 ， ( ，z 挲：i k o n o u ，z ：6 i 一2， z = d ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) 对于一个给定的尼。或者u ，我们求解光波的反射和透射系数( 兄，7 。通常的， 我们关心频率的区间。反射谱和透射谱与关于u 的函数i r l 2 及1 7 1 1 2 有关。因 为l 丁1 2 及i 兄1 2 分别代表了反射波和透射波的能量，这些能量与入射波的能量有 关。 举一个例子。我们假设一个九层的结构，如图1 1 所示。黄色的层有相对 较高的折射率几i l l = 3 5 ，其宽度是w h = o ( 4 佗1 1 ) ，o 是个常数。绿色的层有相 对较低的折射率m = 2 5 ，其宽度是w l = a l ( 4 n 1 ) 。这样该九层结构的总厚度 是b = 5 w h + 4 w l 。它的反射谱和透射谱如图1 5 所示。这里频率和长度a 有关。 存图中，水平轴是尼o a ( 2 丌) = a ；o ，其中入o = 2 r k o 是真空中的波数。我们可 以观察到，当频率在k o a ( 2 7 r ) = 1 附近选取时，有一个几乎完全反射的区间。这 就是众所周知的四波长栈( q u a t e r - w a v e l e n g t hs t a c k s ) 的加强反射率。 光波导是一种用来引导光传播的结构。举一个例子，我们考虑一个直的二 维平板( s l a b ) 波导，它的折射率是函数n = 几( z ) 。对于t e 偏振，控制方程是 下面的亥姆雀兹方程 塑+ 黧+ 瑞佗2 u ：0 (144)ox 2 巩2 一v q 第l 章引言 图1 5 。个九层结构的反射谱和透射谱 我们寻找这样的传播模( p r o p a g a t i n gm o d e ) 钆( ，y ) = 咖( z ) e 励， ( 1 4 5 ) 其中是实数，并且随着一。o ，有( z ) 一o 。这就导致一个标准的特征值问 题： 象+ 彬矽划咖，0 0 x o ， 其中西nr ) 是一个2 2 矩阵函数，i 是2 2 的单位矩阵。 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) 2 2 单位元的d t n 映射 我们考虑柱状的周期结构，在其中网柱体被摆放成正方形或者三角形格 子。它们被嵌入到均匀的背景介质中，并且圆柱体的轴与z 轴平行。为了分析 这样的周期结构，构造周期结构的单位元上的d t n 映射是一件非常有用的事情。 典型的正方形和三角形格子的单位元如图2 1 所示 对于一个单位元q ，d t n 映射是算子a ，它将单位元边界上的值，u 映射到u 在 边界上法向偏导数的值，其中u 满足q 上麦克斯韦方程组。也就是说， a u = o uo n 铀，( 2 1 6 ) 其中a q 是单元q 的边界，是a q 的单位外法向。单位元上的d t n 映射乙绎被用 到有效的数值方法中去，用米计算能带结构 2 9 , 3 0 1 ，波导的模【3 ，微腔的模【3 2 】， 有限区域的光子晶体的透射谱和反射谱 3 3 , 3 4 1 ，以及用米封系一般的光子晶体装 置 3 5 1 。 存本节的下面部分，我们假设电磁波在z 平面上传播，也就是电磁场的z 方 向上的偏导数为0 。对于各向同性介质，上述假设可以导致厅偏振和偏振的分 15 第2 罩拄状周期结构 ，! 图2 1 正方形竹元的正方形格子a 边形平元的三角形格子 解。时间调和的麦克斯韦方程组可以退化成两个独立的关于e 和也的亥姆霉 兹方程。对于一般情况f 的各向异性介质，使得西个偏振分解的退化一般是 小可能的。因而，我们需要对于理想的二二维问题1 5 9 删需要进行f u l l v c c t o r l a l 的研 究。另一方面如果扣轴是并向异性介质的其中一条主轴使得两个偏振分解 的退化又是可以实现的【”，8 l 。 22 1 各向同性介质 对于一个在z 轴方向上不变的二维并向同性介质的结构，我们有如r 的控制 方程： 笔+ 象十啪蝴圳 ( 2 1 7 ) 礤+ 丽+ w ( 。，咖2 o ( 2 17 ) 以上是在e 偏振情况f ，其中u 是电场的z 分量和 叠( 去宝) + ( 嘉嚣) 伸= 。 江旧 乩n 2 a o 1 曲n 2 如” 。 吼r 是在，偏振情况下其中u 是磁场的z 分量。 对于区域是0 o l 和0 ：c 仇西仇( x ) ，( 2 2 9 ) 竹l = l 其中圣m ，对于1 m k ，是( 2 2 5 ) 的特解。在边界o f t 上选取k 个采样点，记 作是x z 且有1 f k 。我们求出两个k k 的矩阵人1 和人2 ，它们的( f ，m ) 元素 分别是圣m ( x z ) 和乱垂m ( x f ) ，其中= v ( x 1 ) 是在x l 处的边界o f t 单位法向量。那 么d t n 映射可以被矩阵人= a 2 a i - 1 来逼近。对于二维的各向同性介质的光子晶 体，如果单位元包含一个圆柱体，特解写成柱面波是可解析的达到f 3 3 1 。如果柱 体的很切面是任意形状的，特解可以求解一个边界积分方程来得到 3 9 1 。 + 对于各向异性介质的单位元，我们需要寻找方程( 2 2 5 ) 的特解。让我们考 虑含有个半径是口的圆柱体的单位元q 。珠子的外头和里头在。般意义下都是 各向异性的。我们首先考虑只有柱子罩头的介质是各向异性的情况。 我们对相对电容率矩阵的子矩阵，2 2 的b l o c k 做对角化，选装和再伸缩坐 标系使得方程( 2 2 5 ) 能够退化到标准的h e l m h o l t z 方程。更准确的，我们假设 e 。l ，l e 2 1 2 2 = q 1 2 q 丁， r 2 3 0 ) 其中e l 和：是矩阵的两个特征值。q 是一个2 2 的正交矩阵，它的列分别对应 于两个特征值的特征向量，q 于是q 的转置。假设第一个特征向量与x 轴的夹角 是，那么q 可以写为 q 2 fs i n ；c o s 矽1 ( 2 3 1 ) l j 假设x y 坐标系的原心正好是各向异性柱体的中心，( r ：口) 是其相对应的极坐标， 我们可以对坐标轴旋转角度莎，从而得到如下新的直角坐标系( z 7 ，y 7 ) 9l 1 j o l 丁 q = 1j 、，、l， 谚够 一 一 p pm c s r r -。l = 1 ，0 z v p。l 第2 章柱状周期结构 同时，方程( 2 2 5 ) 变成 ， v 7 ( 矿_ v 7 也) + 瑶尻= 0 ，( 23 2 ) 其十v ，= 院，税】。从( 2 3 0 ) ，我们可以推出 靠惦k 。j 因此，方程( 2 3 2 ) 被简化成 南( 麦券) + 嘉( 去券) + 瑶见一o 亿3 3 ， 我们可以定义拉伸的坐标系：畲= 屈z 和雪= 厄7 ，那么方程( 2 3 3 ) 被退化 成标准的h e l m h o l t z 方程 罢+ 婴+ k 0 2 h ：_ 0 - ( 2 3 4 ) a 岔2 a 舀2 一 、 更进一步，我们定义拉伸的极坐标系( 严，务) 使得金= c o s 0 和雪= s i n ，然后 有f ：r 宄，其中元和舀是臼，= 0 一移的函数。它们满足如下式子 铲= 1 s i n 2 + e 2c o s 2 ，t a n 2 、三t a n ( 2 3 5 ) 因而，从方程( 2 3 4 ) 1 拘标准柱面波解，我们在各向异性介质的主题中得到一 个特解： 雪m ( x ) = 。7 名( h r ) e m 百，r 。，( 2 3 7 ) 其中巧是一个第二类的b e s s e l 函数， 妒， 】5 ；m ) 是需要确定的系数。对于满足方 程( 2 2 5 ) 的h 偏振，h ：和电场的切向分量必须在材料的界面上连续。后面的条 件引起e ：1 v h z 的连续性，其中是界面的法向量。在圆柱体的边界上，使用 前阀所属的选装坐标轴，我们有= ( c o s 0 ，s i n1 5 1 ) 以及 印吣警2 尝1 3 5 + 警1 等 巴 巴 u 第2 章柱状周期结构 去丝l + = ( 警尝+ s i no o h 。) p y , o r o z e 1 o y 一 亿3 8 ， 瑶l 御+2 r 御一 卜。叫 对于式子( 2 3 6 ) 给出的特解圣m ，上述方程的右边变成 w i n ( x - ) = 警等+ 警鲁 一柑 鲁( 衍) + 塑号赢警厶( 七。衍) j m ( k 。h a ) e 溉毒= 露e 枷， j = - o o | r