（无线电物理专业论文）fdtd方法及其在电磁兼容问题中的应用.pdf

摘要 摘要 本文首先阐述了电磁兼容的背景和时域有限差分法( f d t d ) 的基本原理，f d t d 的发展与应用前景。讨论了如何利用f d t d 计算场值分布的一些关键问题，例如解 的稳定性及数值色散，吸收边界设置，激励源设置，散射参数提取。用计算机程 序计算了二维介质和金属目标电磁散射的电场和磁场幅值分布，对不同目标雷达 散射截面的进行计算和比较，得出了一些有益结论。基于上述时域有限差分法的 基本理论和电磁散射知识，通过单边加源的方法对带孔缝机箱的电磁屏蔽效果进 行计算分析，例如机箱厚度、缝隙宽度、电磁波不同入射方向、双层屏蔽层和不 同数目孔缝时的屏蔽效果情况，得出数值结果并对其进行了分析。 关键字：时域有限差分法( f d l d )雷达散射截面机箱缝隙电磁兼容 a b s t r a c t a b s t r a c t t h eb a c k g r o u n do fe l e c t r o m a g n e t i cc o m p a t i b i l i t yi si n t r o d u c e d t h eb a s i cp r i n c i p l e o ff i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nr f d t d ) a n dt h ef o r e g r o u n do ft h i st e c h n i q u e s a p p l i c a t i o na l es e tf o r t hi nt h i st h e s i s t h ek e yp r o b l e m st oc a l c u l a t ef i e l d sd i s t r i b u t i o n u s i n gf d t dm e t h o d a r ed i s c u s s e d 1 1 1 e s ep r o b l e m si n c l u d en u m e r i c a ls t a b i l i t y n u m e r i c a ld i s p e r s i o n ，c o n n e c t i o nb o u n d r y ，a b s o r b i n gb o u n d a r yc o n d i t i o n e t c t h e a m p l i t u d eo f s c a t t e r i n ge l e c t r i cf i e l da n dm a g n e t i cf i e l dd i s t r i b u t i o no f t w o d i m e n s i o n a l m e d i u ma n dm e t a la r ec o m p u t e d t h ee l e c t r o m a g n e t i cs h i e l d i n go ft h et w o - d i m e n s i o n a l a p e r t u r ej sa n a l y z e db yu s i n gas p e c i a lf i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o da n dt h e b a s i ct h e o r yo fe l e c t r o m a g n e t i cs c a t t e r i n gk n o w l e d g e t h es h i e l d i n ge f 诧c to ft l l e a p e r t u r ew i t hd i f f e r e n c et h i c k n e s sa n dg a pw i d t hi sd i s c u s s e d f i n a l l y ，s h i e l d i n ge f f e c t o f d o u b l e s h i e l d i n gl a y e r sw i t ha p e r t u r e si sc o m p u t e db yf d t dm e t h o d k e y w o r d s ：f d t d r c s a p e r t u r ee l e c t r o m a g n e t i cc o m p a t i b i l i t y 声明 创新性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果；也不包含为获得西安电子科技大学或 其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做 的任何贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名：日期： 关于论文使用授权的说咀 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究生 在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属于西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。( 保密的论 文在解密后遵守此规定) 本学位论文属于保密，在年解密后适用本授权书。 本人签名：日期 导师签名f 虹 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景 电气设备的增多使人们逐渐认识到电磁干扰控制的必要性，并于2 0 世纪4 0 年 代初提出了电磁兼容性的概念。电磁兼容性( e l e c t r o m a g n e t i cc o m p a t i b i l i t y ，简称 e m c ) 是指电子、电气设备或系统在预期的电磁环境中，按照设计要求工作的能 力”1 。 电磁兼容这一新兴学科的建立使电磁干扰问题由单纯的排除干扰逐步发展成 为从理论上、技术上全面控制电子设备在其电磁环境中正常工作能力保证的系统 工程。电磁兼容分析是一个十分复杂的问题，已经成为国内外的研究热点之一。 e m c 设计可以改进系统特性，随着电子技术的迅猛发展及电子设备的普遍应用， e m c 严重困扰着电子设计者，随着电气设备的增多电磁兼容性问题将越来越严重。 如果一个系统跳过这个设计步骤，不考虑e m c 直接生产，那么设备将很可能在现 场遇到电磁干扰问题而不能正常工作。要科学地评价电子设备的电磁兼容性可以 通过对各种干扰源的干扰强度、干扰传递特性及电子设备的干扰敏感度进行定量 的测定，电磁兼容性测试技术是电磁兼容学科的一大分支。这种测试能全面反映 设备可能存在的电磁兼容问题，但这往往需要花费财力和人力才能得到满意的测 试结果。在实际应用中，如果对每一个设备都要先进行这种电磁兼容性测试然后 组装在系统中，显然是不经济的。为此出现了电磁兼容性预；：u ( e l e c t r o m a g n e t i c c o m p a t i b i l i t yp r e d i c t i o n ) 技术，该技术可以有效地帮助人们完成对系统的电磁兼容 性设计，达到事半功倍的效果。 分析电磁兼容的方法很多，如物理光学法( p o ) 、物理绕射理论( p t d ) 、 矩量法( m o m ) 【2 1 、有限元法( f e m ) 例、时域有限差分法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m e d o m a i n ，f d t d ) 等。本文应用时域有限差分法( f d t d ) 分析电子设备的电磁兼 问题。 本文首先介绍了时域有限差分法的基本原理【4 】【5 1 1 6 】，编程计算了二维目标的电 磁散射。然后，在此基础上结合基本电磁理论，利用f d t d 方法分析了机箱缝隙耦 合等电磁兼容问题，得到了一些有益结果。 1 2 时域有限差分法简介 1 2 1 时域有限差分法的发展及应用 自1 8 7 3 年麦克斯韦( m a x w e l l ) 建立电磁场方程以来，电磁波理论和应用的发 展已经有一百多年的历史。目前，电磁波的研究已经深入到各个领域，应用十分 广泛，例如无线电波传播、光纤通信和移动通信、雷达技术、微波、天线、电磁 成像、地下电磁探测、电磁兼容【4 】等等。电磁波在实际环境中的传播过程十分复杂， f d t d 方法及其在电磁兼容问题中的应用 例如各种复杂目标的散射1 4 i ，复杂结构天线的辐射【1 5 】【1 6 1 波导和微带结构中的传播， 实际通信中城市环境，复杂地形及海面对电磁波传播的影响。具体实际的研究电 磁波的特性有着十分重要的意义。试验和理论分析计算是相辅相成的重要手段。 分析计算途径需要结合实际环境的电磁参数求解麦克斯韦方程边值问题，通常只 有一些经典问题有解析解。由于实际环境的复杂性，往往需要通过数值解得到具 体环境下得电磁波特性。 6 0 年代以来随着电子计算机技术的发展，一些电磁场的数值计算发展了起来， 并得到广泛得应用，其中主要有：属于频域技术的有限元法，矩量法和单矩法等； 属于时域技术的时域有限差分法1 6 ，传播线矩阵法和时域积分方程法”烽。此外， 还有属于高频技术的几何衍射理论和衍射物理理论等。各种方法都具有自己得特 点和局限性，在实践中又经常把他们相互配合而形成各种混合方法。 1 9 6 6 年k s y e e 首次提出口】了一种电磁场数值计算的新方法时域有限差 分法( f i n i t ed i f f e r e n c et i m ed o m a i nm e t h o d f d t d ) 。他在论文 n u m e f i c f l s o l u t i o no f l m t i f lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m si n v o l v i n gm a x w e l le q u a t i o ni ni s o t r o p i c m e d i a 中提出了后来被称作y e e 氏网格的空间离散方式，对电磁场电场( e ) ，磁 场( h ) 分量在时间上和空间上采取交替抽样的离散方式，每一个e ，h 分量周围 都有四个h ( 或者e ) 场分量环绕，利用这种离散方式将包含时间变量的麦克斯韦旋 度方程转化成一组差分方程，并在时间轴上逐步推进地求解空间电磁场1 6 l 。 经过三十多年的发展，时域有限差分法已经成为了一种成熟的数值计算方法， 并且成为了当前解决电磁场问题最受欢迎的数值方法之一。近几十年来，每年发 表的有关f d t d 的论文数量几乎呈指数增长。在f d t d 最初2 0 年的发展中，主要解 决了以下问题： 1 吸收边界的应用和不断改善。m u gb 】提出了一阶和二阶吸收边界条件； 2 总场和散射场区的划分。u m a s h a n k a 和t a f l o v e l 9 1 ( 1 9 8 2 年) 提出了连接边界条 件； 3 实现稳态场的计算。 8 0 年代后期以来，时域有限差分法逐渐完善，被广泛应用，并不断有了新的 发展，又解决了以下问题：回路积分法和变形网格；亚网格技术；广义正交曲线 坐标系中的差分格式和非正交变形网格；适于色散介质的差分格式；超吸收边界 条件和色散吸收边界条件。b e r e n g e r l l 0 1 【l l 舭j 1 9 9 4 年提出了完全匹配层( p m l ) 等等， 这些改进使得f d t d 方法逐步完善。 f d t d 法在电磁场工程中的各个方面己得到了广泛的应用，f d t d 开始只是用 在分析电磁散射，后来逐渐应用到了生物电磁剂量学问题的计算和电磁热疗系统 的计算机模拟：天线辐射【”j 特性计算的分析等。到目前止，己经应用到了电磁研 究的多个领域。其中有：微波器件和导行波结构【1 8 】的研究，散射和雷达截面计算， 第一章绪论 周期结构分析，电子封装，电磁兼容分析等等。且其应用的范围还在迅速地扩大 和提高。下面列出了其应用的主要方面。 ( 1 ) 目标电磁散射特性研究中的应用p j 目标的电磁散射特性是一个经典而又经久不衰的研究课题，时域有限差分法 的提出和发展大多是围绕着电磁散射问题进行的，因此很自然的它在电磁散射问 题的计算中较早的得到了实际应用。在应用中已显示，对于结构复杂或线度为数 个波长的目标散射特性的计算，时域有限差分法具有突出的优越性。复杂目标主 要指具有复杂的几何形状，包含不同种类的导电和介质材料，含有负载和结构复 杂的内腔等，对这样类型的复杂目标散射特性的计算，传统方法( 如矩量法、几 何衍射理论等) 已经不能完全适用。时域有限差分法由于对复杂结构模拟的超凡 能力，在计算复杂目标的电磁散射问题方面具有巨大潜力。 时域有限差分法用于目标散射特性研究中所具有的另一个突出特点是，通过 目标对设定的入射脉冲平面波瞬态响应的计算，可以获得目标在宽频带范围的散 射特性，而且这种丰富信息的获得只需要一次计算便能完成，而采用频域法时必 须逐个频率进行计算。 ( 2 ) 在电磁兼容问题中的应用【”】 电磁兼容性越来越受到人们的重视，其中有许多复杂的电磁场计算问题，透 入和串扰就是两个最具有特点的问题。所谓透入问题主要是指干扰源通过孔、缝 等电磁通道向目标内部的能量耦合；所谓串扰问题主要是指干扰源对导线或电缆 的耦合和导线之间的串扰。为了计算这些复杂的电磁场问题，首先是对这些复杂 的结构进行正确的模拟，而f d t d 法正是在这方面有其突出的优越性。 ( 3 ) 在天线辐射特性计算中的应用1 1 9 1 f d t d 法现己涉及到线形振子天线、微带天线、喇叭天线及反射面天线等多种 类型的问题。f d t d 法用于天线辐射特性计算所具有的优越性除了对复杂结构的强 模拟能力外，在计算天线的瞬态辐射特性方面具有突出的优点。此外，f d t d 法只 需采用适当脉冲作为激励源，由天线的瞬态辐射特性中即可获得其宽频带的辐射 特性。 ( 4 ) 在微波电路和光路时域分析中的应用i i 副 随着通信和雷达等技术的发展，高速和宽带器件显得越来越重要，而且需要 了解它们的宽频带和包括时间在内的四维信息。f d t d 法不仅能通过一次运行获得 宽频带的信息，而且可以了解脉冲信号在电路中的详细传输过程，从而大大加深 对电路工作的深刻理解。现在，用f d t d 法不仅分析了均匀传输系统，而且分析了 各类非均匀性，甚至诸如定向耦合器、滤波器等一些功能器件的传输特性；不仅 包括波导及其器件，还涉及到微带线、共面波导和槽线等。 ( 5 ) 在生物电磁剂量学研究中的应用u j 弘” 4 f d t d 方法及其在电磁兼容问题中的应用 生物电磁剂量学是- - p 1 新兴的边缘学科，它的主要内容是研究在电磁波照射 下生物体、特别是人体吸收电磁能量及其内部电磁场分布的规律。现在己用f d t d 法研究了从工频到微波的广泛频率内平面电磁波对人体的作用，而且分析了入射 波传播和极化方向和人体姿态对人体吸收电磁能量的影响。现在研究的一个热门 领域是辐射近场对人体的作用，这一研究与移动通信可能造成的对人体的伤害和 热疗的计算机模拟有关。这个问题的主要特点是，要把辐射器的辐射近场和辐射 场与人体的作用在同一个网格空间中同时进行计算。热疗系统计算机模拟的目的 是使热疗技术进一步克服盲目性，使之建立在科学的精确计算基础之上，以便科 学地制订治疗方案，提高治疗效果。 当前，f d t d 法正处于继续蓬勃发展的阶段，不断有新的研究成果涌现。主要 的发展方向是提高计算精度，增加模拟复杂结构的能力，以及把它与其他方法相 结合，并不断扩大其实际应用范围。它非常适合并行计算，这使得它的发展与计 算机技术的发展趋势相符合，更显示出它的无限发展前景。计算机技术越发展， 它的优越性就越能得到发挥。 1 2 2 时域有限差分法的特点 f d ) 具备简洁和直观的特性，它主要有以下几个方面的特点【4 】【5 】【6 】【2 2 】 ( 1 ) 直接时域计算。 时域有限差分法直接把含时间变量的麦克斯韦旋度方程在y e e 氏网格空间中 转化为差分方程。在这种差分格式中每个网格点上的电场( 或磁场) 分量仅与它相邻 的磁场( 或电场) 分量及上一时间步该点的场值有关。在每一时间步计算网格空间各 点的电场和磁场分量，随着时间步的推进，就能直接模拟电磁波的传播及其与物 体的相互作用过程。时域有限差分法把各类问题都作为初值问题来处理，使电磁 波的时域特性被直接反映出来。这一特点使它能直接给出非常丰富的电磁问题时 域信息，给复杂的物理过程描绘出清晰的物理图像。如果需要频域信息，则只需 对时域信息进行傅立叶变换。为获的宽频带的信息，只需在宽频谱的脉冲激励下 进行一次计算。 ( 2 ) 广泛的适用性 在时域有限差分法的差分格式中被模拟空间电磁性质的参量是按空间网格给 出的，因此，只需设定相应空间点以适当的参数，就可模拟各种复杂的电磁结构。 媒质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性等均能很容易地进行精确模拟。 由于在网格空间中的电场和磁场是被交叉放置的，而且计算中用差分格式代替了 微商，使得介质交界面上的边界条件能自然得到满足，这就为模拟复杂的结构提 供了极大的方便。 ( 3 ) 节约存储空间和计算时间 第一章绪论 在时域有限差分法中每个网格电场和磁场的六个分量及其上一时间步的值是 必须存储的，此外还有描述各网格电磁性质的参数以及吸收边界条件和连接条件 的有关参量，它们一般与空间网格总数成正比。由于每个网格的电磁场都按同 样的差分格式计算，所以，就所需的主要计算时间而言，也是与成正比的。相 比之下，用矩量法进行计算时所需的存储空间与( 3 n ) 2 成正比，所需的c p u 时间与 ( 3 n ) 2 ( 3 n ) 3 成正比。而对f d t d 法而言，两者均只与成正比，所以，两者的差 别是很明显的。 ( 4 ) 适合并行计算 很多复杂的电磁场问题不能计算往往不是没有可选用的方法，而是由于计算 条件的限制。当代电子计算机的发展方向是运用并行处理技术，以进一步提高计 算速度。并行计算机的发展推动了数值计算中并行处理的研究，适合并行计算的 方法将更多的发挥作用。如前面所指出的，时域有限差分法的计算特点是，每一 个网格点上的电场( 或者磁场) 只与其周围相邻网格点的磁场( 或者电场) 及其 上一时间步的场值有关，这使得它特别适合并行计算。实行并行计算可使得时域 有限差分法所需的存储空间和计算时间减小为只与“3 成正比。以直角坐标系中的 立方体网格空间为例，若每个坐标方向的网格数为斤，则计算网格空间的网格总数 = 矿。若用 玎6 个处理器，则每一处理器只需记忆和处理一行中一个场分量 的有关信息，栉1 行同时处理，这样，对于一个确定的时间步，全部运行时间就 正比于完成一行处理所需的时间，这时间又正比于一行中一个场分量的个数即，即 “3 。由此例可看出，实行并行计算可使得时域有限差分法所需的存储空间和计算 时间减少为只与“3 成正比。这就更加提高了f d t d 法解决实际复杂问题的能力。 ( 5 ) 计算程序的通用性 由于麦克斯韦方程是时域有限差分法计算任何问题的数学模型，因而它的基 本差分方程对广泛的问题是不变的。此外，吸收边界条件和连接边界条件对很多 问题是可以通用的，而计算对象的模拟是通过给网格赋予参数来实现，对以上各 部分没有直接联系，可以独立运算。因此一个基础的时域有限差分法计算程序， 对广泛的电磁场问题具有通用性，对不同的问题或不同的计算对象只需修改有关 部分，而大部分是共同的。 ( 6 ) 简单、直观、容易掌握 由于时域有限差分法直接从麦克斯韦方程出发，不需要任何导出方程j 这样 就避免了使用更多的数学工具，使得它成为所有电磁场的计算方法中数学相对简 单的一种。其次，由于它能直接在时域中模拟电磁波的传播及其与物体作用的物 理过程，所以它又是非常直观的一种方法。由于它既简单又直观，掌握它就不是 件很困难的事情。这样，这一方法很容易得到推广，并在很广泛的领域发挥作用。 6 f d t d 方法及其在电磁兼容问题中的应用 1 3 本文主要工作和内容简介 1 3 1 本文的主要工作 本文是对目前广泛使用的时域有限差分法进行了简单介绍。然后结合基本电 磁理论，对二维目标电磁散射进行计算分析。然后，利用f d t d 方法对机箱的电磁 屏蔽的常见问题进行了分析，得到一些有效的结果。主要作了以下几个方面的工 作： 1 介绍了时域有限差分法( f d t d ) 的原理、数学建模和计算机实现。 2 详细介绍了时域有限差分法的各种关键技术。包括吸收边界、输出边界、 总场边界、激励源的设置、近远场外推等技术。 3 用f d t d 方法计算了二维目标的双站雷达散射截面。分析了f d t d 数值计算 在隐身和反隐身技术方面的应用。 4 分析计算了不同情形下缝隙的电磁兼容问题。给出了电磁兼容问题分析计 算当中的单边加源f d t d 方法。研究了不同缝隙情况下的屏蔽效能。讨论了如何减 少干扰源通过孔，缝电磁通道向目标内部的能量耦合的途径。 1 3 2 内容简介 绪论详细的介绍了本文研究工作的背景，说明了研究的意义，给出了本文研 究的具体内容。第二章详细介绍了时域有限差分法的基本原理，包括公式推导， 数值稳定性，吸收边界，输出边界，总场边界，激励源的设置，入射波的加入， 散射参数的提取，近_ i 适场外推等。第三章分析了f d l d 在二维散射目标中的应 用，雷达散射截面的计算及其实际意义。第四章，应用时域有限差分法对常见的 一些电磁兼容问题作了详细的分析得到了一些有用结论。 第二章f d t d 算法的基本原理 7 第二章f d t d 算法的基本原理 2 1f d t d 基本方程 f d t d 数值方法通过对电磁场电场( e ) ，磁场( h ) 分量在空间和时间上采取 交替抽样的离散方式，每一个e ( 或h ) 场分量周围有四个h ( 或e ) 场分量环绕，应用 这种离散方式将含时间变量的麦克斯韦方程转化为一组差分方程，并在时间轴上 逐步推进地求解空间电磁场。 线性、各向同性的非磁性均匀媒质中，且假设介质的性质与时间无关。则无 源区域内的麦克斯韦旋度方程为： v x h ：望+ j1 a v x e ：一罢一厶( 2 - 2 ) 占是电场强度，单位为伏特，米( r m ) ； 日是磁场强度，单位为安培，米( a m ) ； d 是电位移矢量，单位为库仑米2 ( c m 2 ) ； 曰是磁感应强度，单位为特斯拉( t ) ； ，是电流密度，单位为安培米2 ( 彳m 2 ) ； 厶是磁流密度，单位为伏特米2 ( v m 2 ) 。 其中各电磁场以及电磁流有如下的关系： d = c eb = u h j = r y e厶2 日 ( 2 3 ) 其中s 表示介质介电系数，单位为法拉米( f m ) ； 表示磁导系数，单位为亨利米( h m ) ； 盯表示电导率，介质的电损耗，单位为西门子米( s m ) ； 盯。表示导磁率，介质的磁损耗，单位为欧姆米( q 脚) ； 在直角坐标系下，可以将上面两个麦克斯韦方程转化成六个标量方程 丝一塑：s 堡+ 盯e 劲 砚融 掣一掌= s 孚+ 噶( 2 - 4 ) 0 2 o xc l ， 8 h 。o xo e 一, 一一= f 一+ e r e 勿 研 f d t d 方法及其在电磁兼容问胚中的应用 等一警= 叫警+ 且 鲁一警叫警+ 吒q p s ， 鲁一警= 警+ 皿 为了将上述公式在空间和时间上离散化，y e e 首先将空间按立方体分割，这 是实现时域有限差分的关键。电磁场的六个分量在空间的取样点分别放在立方体 的边沿和表面中心点上，电磁场通过电场和磁场的耦合传播。 各个电磁分量配置在y e e 网格的特殊位置上，电场分量位于网格棱边中心并且 平行棱边，每个电场分量环绕有四个磁场分量；磁场分量位于网格面中心并且垂 直于这个面，每个磁场分量环绕有四个电场分量。在空间取样上，电场和磁场分 量在任何方向上始终相差半个网格步长；在时间取样上，磁场分量与电场分量相 互错开半个时间步。这种场量配置不仅允许旋度方程作中心差分近似，也满足在 网格上执行法拉第电磁感应定律和安培环路定律的自然几何结构，因而能模拟电 磁波传播，而且可以自然满足媒质边界面上连续性条件。 f d t d 通过对场量在时间和空间的一阶偏导数取中心差分近似，在时域离散 上述方程。例如对于三维f d t d 的电场x 分量和磁场x 分量离散后的显式差分方程如 下： 掣1 ( i + 1 2 ，j ，七) = c a ( m ) f ( + 1 2 ，k ) 删m ) 【贮型坐幽垫坚型业( 2 - 6 ) 日y n “胆( i + 1 2 ，k + l 2 ) 一移“2 ( i + 1 2 ，| i 一1 2 ) a y 研“坨( f ，j + l 2 ，k + l 2 ) = 凹( 肌) 月，“2 ( f ，j + l 2 ，k + l 2 ) 一c o ( 研) 丛业生坐车塑趔( 2 - 7 ) a v 髟( f ，j + l 2 ，k + 1 ) 一彤( f ，j + l 2 ，k ) z 1 o 、( m ) a t 翻( 肌) = 砸2 e ( m )1 + 二兰 2 ( 珊) ( 2 - 8 ) 第二章f d t d 算法的基本原理 9 ( m )盯( 肼) c p ( 脚) 2 巫a t 五亟2 叼( 脚) = ， 2 而丽1 ( 2 - 9 ) 兰盟。巫堕 。 ，2 根据上述f d t d 差分方程( 只列出了部分方程) 可得出计算电磁场的时域推进计 算公式，在编程中，以整数来实现迭代中时间上的半个时间长和空间上的半个网 格。因此串行实现的f d t d 计算框架可以用图2 1 来表示。 i 若己知。：”f 时刻空间各处e 的值 计算- + a t l 2 时刻空问各处h 的值 计算一+ a t l 2 时刻空间各处e 的值 图2 1f d t d 计算电磁场的逐步推进步骤 2 2 数值稳定性 f d t d 方法是以一组有限差分法来代替麦克斯韦方程，即以差分方程组的解来 代替原来电磁场偏微分方程组的解。只有离散后差分方程组的解是稳定和收敛的， 这种代替才有意义。 其中，收敛性指当离散时间间隔趋于零时，差分方程的解在空间任意一点和 任意时刻都一致性趋于原方程的解。稳定性是指当离散时间间隔满足某一条件时， 差分方程的数值解与原微分方程的严格解之间的误差是有限的。根据c o u r a n t 稳定 性条件，最大时间步长的选取应满足公式( 2 1 0 ) 。 c a t f 2 1 0 ) 式中c 为介质中的光速，时域有限差分法的稳定性条件是施于空间步长和时间步长 上的约束关系，对于给定的空间步长，存在最大的时间步长。如果空间步长， 缸= 缈= 业= 万，稳定性条件就简化为础去。对于二维情况， c a t s ( 2 - 1 1 ) 以上的稳定性条件即是c o u r a n t 稳定性条件，只适合于直角坐标系中基本y e e 元算法。当需要考虑有耗色散非线性及增益材料时问题时上述稳定性准则不一定 1 0 f d t d 方法及其在电磁兼容问题中的应用 却舶脚入0 如2 f af ( x + a x ) - 2 。缸f ( 户x ) + f ( x - t ic ) = 一喾胛酬，得 警一知 ， ( 等) 2 r s i n ：( 警 圹。舌 陆1 4 岖老 ( 2 1 5 ) 2 3f d t d 的吸收边界条件 由上面所讨论的时域有限差分法的基本原理可知，用此法求解电磁场问题时 假定问题空间是无限大的，即所谓的“开放”系统。于是，对于像辐射、散射等这类 开放问题，所需要的网格空间将成为无限大的。但是，任何计算机的存储空间总 是有限的，不可能在无限大的网格空间中进行计算，因此必然要把计算网格在某 处截断，使之成为有限的。网格截断后，如果不进行合理的处理，必然会在截断 第二章f d t d 算法的基本原理 处引起非物理的电磁波的反射，这将与实际问题不符，造成计算误差。另一方面， e h f d t d 差分格式可知，中心差商形式的f d t d 由于需要截断边界外场的信息用于 边界网格点上场的计算，故也需要适用于截断边界网格点处的计算的算法。 为了让有限的计算空间与实际的无限的物理空间等效，须对有限空间的周围 边界做特殊处理，使得向边界面行进的波在边界处保持“外向行进”的特征，无 明显的反射现象，即好像被吸收了一样，并且不会使内部空间的场产生畸变。具 有这种功能的边界条件称之为吸收边界条件( 或辐射边界条件，网格截断条件等) 。 吸收边界条件有很多类型，例如，英奎斯特一马吉达( e n g q u i s t m a j d a ) 吸收边界条 件，m _ u r 吸收边界条件，林德曼( l i n d m a n ) 吸收边界条件，以及最近几年n i j 冈l j 兴起 的p m l ( p e r f e c t l ym a t c h e dl a y e r ) 吸收边界条件。 2 3 1m u r 吸收边界条件 m 一8 1 吸收边界条件是基于单向行波方程的各阶近似导出的。对于二维电磁场 问题，二阶近似吸收边界条件可降低为只含电场( e ) ，磁场( h ) 分量的一阶导 数，从而使数值计算式得到简化。下面我们将从e n g q u i s t - m a j d a 吸收边界条件出发， f l a - - 阶近似吸收边界，逐步推导出m u r 二阶吸收边界条件。 在各向同性均匀介质空间中二维情况电磁波在吸收界面上有入射波和散射 波，所以波动方程解为： 箸瑞三：麓掣黢高掣 回 + 4 唧u ( 耐一七2 一蟛x + y ) 】= 工+ 工 将上式带入齐次波动方程得到： 警m 2 一砖) ，- o ( 2 - 1 7 ) 缸2 、 。 、7 上式可写成 l f = 0 ( 2 1 8 ) 可以将工分解，所以l = l t 。在左边截断边界处设置边界条件为： 厂i = 0 ( 2 1 9 ) = 昙+ ，孵 ( 2 2 0 ) 将上式利用泰勒级数展开，近似保留到第二项得到： t = 丢+ 业【l 一三( 等) 2 】 ( 2 - 2 1 ) 将式( 2 1 7 ) 带入到式( 2 2 1 ) ，对于二维电磁场问题，t m 波，将厂换成丘，最后结果 f d t d 方法及其在电磁兼容问题中的应用 为： c 鲁+ 丢鲁+ 等等儿矿。 p z z ， 对上式进行f d t d 离散得到最终的吸收边界条件。 对于二维矩形计算区域的角点，吸收边界条件的离散式需要特殊考虑。在二 维矩形区域的角点，若用上面所给公式，将涉及到截断边界以外的电场( e ) ，磁场 ( h ) 节点，因此无法应用这种方法，吸收边界条件的离散式需要特殊考虑，进行 二维角点的处理。 m u r 吸收边界条件需要假设波速为常数，当波速不是常数时，m u r 吸收边界条 件并不理想。当计算精度要求不高时，m u r 吸收边界条件非常适用。 2 3 2 完全匹配层 完全匹配层( p e 疵c t l y m a t c h e d l a y e r ，p m l ) 首先i ：h b e r e n g e r l 2 3 】( 1 9 9 4 年) 提出。通 过在f d t d 区域截断边界处设置一种特殊的介质层，该层介质的波阻抗与相邻介质 波阻抗完全匹配，因而入射波将无反射地穿过分界面从而进入p m l 层。b e r e n g e r 采用的是p m l 场分量分裂理论，和麦克斯韦方程组的形式不一致。s a c k s ( 1 9 9 5 年) 和g e d n e y ( 1 9 9 6 年) 提出了各向异性介质p m l 理论，选择适当的单轴各向异性介质 的本构参数，形成完全匹配层。在这种各向异性介质中，波方程仍然为麦克斯韦 方程，有利于采用统一的形式编写程序。 以t e 波为例，在p m l 介质中，假设将磁场分量分裂为两个子分量，且总分 量等于两个子分量之和，麦克斯韦方程就改写成以下形式： 岛鲁+ q e = 掣岛鲁+ q q = 一盟a 型x 鳓警+ 以= 一堡a x硒警+ = 鲁 ( z 彩) 如果电导率和磁阻率满足。q = 盯，= 盯和d k = a 斋= o m ，则上述方程就是各 向同性媒质中电磁波所满足的麦克斯韦旋度方程。分析表明假设模拟区域和有耗 媒质的介电常数和磁导率相同，如果有耗媒质的电导率和磁导率满足阻抗匹配条 件f 2 3 】。 三：旦 ( 2 - 2 4 ) 岛鳓 同时相对于计算区域截断边界面，不同有耗媒质层的横向电导、磁阻率相同， 并且模拟区域和有耗媒质层的横向电导率和磁阻率也相同，则模拟空间中的外行 波可以无反射的进入有耗媒质，同时电磁波在有耗媒质内行进中以指数方式衰减。 第二章f d t d 算法的基本原理 在任何入射角和频率上，不同有耗媒质层间的分界面不会造成电磁波反射， 称这种有耗媒质为理想匹配层。基于以上要求，在基本y e e 网格上，有限差分十二 个标量方程，可以采用时间指数有限差分近似，也可以采用传统的中心差分近似， 它们获得的有限差分方程形式相同，仅在系数上有差别。 由于理想匹配层是一种有耗媒质，电磁波在其内是以指数衰减方式进行传播， 因此采用时间指数有限差分方程效果比较好，尤其是电导率和磁阻率比较大时， 实际数值模拟也表明了这一点。 2 4 激励源的设置 用时域有限差分数值法分析具体问题时，无论是研究介质的散射问题还是吸 收问题，或者是耦合问题时，除了在足够的网格空间中模拟被研究的媒质外，还 需要模拟场的激励源。就是说，应将被研究的媒质在真实源激励下，这一完整条 件在数值计算中尽可能近似地“复现”出来。 由f d t d 方程来求解电场( e ) ，磁场( h ) 场值时，一般假定各场分量的初 始条件为零。当t 0 时，预定源存在的网格点处，将被赋予源的场值，这种源值将 随时间步增加沿着网格空间传播，并作用于被研究的媒质上，造成散射、吸收等 物理现象。这种场的建立、传播、散射或吸收等物理过程需要相当长的时间才能 达到稳定。当源不存在时，将只能得到网格各点上场的零解。因此，源的正确设 置是f d t d 运算的必要条件之一。 2 4 1 激励源的类型 在用f d t d 方法求解的问题中，激励源1 2 4 1 1 2 ；, 1 的类型多种多样，可以按不同的形 式和性质来分类。从空间分布来看，有面源、线源、点源等。典型的面源有常见 的平面波源。从频谱特性来分，有工作于一个频率上的周期变化的连续波源，亦 可以是占有较宽频谱的波源。从源的时变特点看主要有两大类，一类是随时间周 期变化的时谐源，另一类是对时间呈冲击函数型式的波源，后者时变源包括高斯 脉冲、矩形脉冲、上升余弦形脉冲和核电脉冲等形式。从源处场的性质看，又可 分为e 型和h 型源。即在源点直接赋值予电场量或磁场量，一般常用的是e 型源。 源的时变特性和其频谱特性是相关的，二者由傅立叶变换联系。时谐波源工作于 一个频率上，而时变脉冲则占有一定的频谱宽度。但是，源的时域、频域特性是 与其空间分布状态不相关的。任一种空间分布均可采用不同时变特性的源，例如 点源，其时间变化规律既可以是时谐型的，也可以是任一种冲击函数型的。下面 列出了几种常用的时变源。 1 时谐场源型 e ( ，) = e os i n 2 n - f 厂是频率( 2 2 5 ) f d t d 方法及其在电磁兼容问题中的应用 2 高斯脉冲型 妒= 时避筠 f 为常数，决定了高斯脉冲的宽度，脉冲峰值出现在t = f 0 时刻。 3 升余弦脉冲型 巨( f ) = 0 5 1 1 - c o s ( 2 月 f l r ) 】f 为脉冲底座宽度。 ( 2 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) 2 4 2 入射波的加入 为了处理问题方便，把整个计算空间分为总场区和散射场区。在总场区所有 的网格点都是用麦克斯韦方程的差分格式计算总场，因而计算机中只存储总场区 中每一个网格点在上一个时间步计算的总场的值。在散射场区所有的网格点都是 用麦克斯韦方程的差分格式计算散射场，因而计算机中只存储总场区中每一个网 格点在上一个时间步计算的散射场的值和临近网格点的值。但是在两个场的交接 面上，在计算总场边界上的总场值时，还需要散射场区的总场值。这就发生了矛 盾，因为散射场不存在总场值。为了解决这一问题，引入连接条件。 一 、 日 一，总场区0 + l ，刁一 f 厅，、互f 厅 j a - 1 2 )( )0 + 1 1 2 ) 厅 i o j ) 散射场e ，切o 、r 、 界 e “( f ， ) = c ，4 ( 聊) 霹( f ，矗) + c b ( 圳壁业掣堑堕立陋：。， 彤+ 1 彪( f ， + 1 2 ) 一- ；“彪( f ，j o + l 2 ) 、 一 一五v 一 一1 在计算中，日：“( f ，j o 一1 2 ) 在散射场区，其他的三个都在总场区可以计算出来。 这时就引入入射场，总场= 入射场+ 散射场，在上式基础上加上入射场就可以了。 上式就变成： 第二章f d t d 算法的基本原理 篆藿鲨警 p ：。， 一垡：塑：盘! ! 垄二垡：塑：五! ! 型+ 丝：3 1 ：五二! ! 刍 vy 日，坨( f ，矗- 1 2 ) 就是在总场边界引入的入射波。同理，其他三个边界一样。 另外，在四个角点处的e ( f ，) 属于总场区，围绕该角点的四个以和风节点 有两个位于总场属于散射场区。只需在二式再加一项就可以了。 e “( f ，矗) = c a ( m ) f ( f ，五) + ( m ) 【望n + l 2 - + 二二，_ - - n + l 2 - _ 二二盟 碟“”( f ，矗+ 1 2 ) 一彤“”( f ，矗+ 1 2 ) ( 2 - 3 0 ) 缈 + h ：* u 2 ( i , j o - - i 2 ) + h ；+ u 2 ( i - 1 2j o ) 1 按照等效原理，在总场边界设置等效电磁流可以在总场区引进入射波，而在 散射场区没有入射波。但是在f d t d 的差分离散实现时，由于程序计算等原因会 产生入射波泄漏到散射场区的现象。所以当入射波为平面波时采用一维f d t d 随 时间逐步推进地在总场区引进入射波【5 3 】1 5 4 1 ，这样，可以减小散射场区入射波地泄 漏。 2 5 散射参数提取 散射参数是描述微波毫米波电路特性时比较常用地一个参数。采用时域有限 差法计算出地场量是瞬时值，对于时谐场，空间一点的电场或者磁场可以写成【6 】： f ( r ，f ) = f o ( r ) s i n c o t + 矿( ，) 】( 2 3 1 ) 上式中( ，) 是观察点处的初相位。通常以坐标原点处入射波相位为参考相位。由 f d t d 计算值提取幅值五和初相位妒( r ) 的方法。 1 峰值检测法 时谐场在峰值处场量对时间的导数为零，也就是说，在峰值两侧的导数变号， 设记录正峰值石出现的时刻为，由( 2 3 1 ) 式有o r e a t + = 2 k ，r + 。由此可得 到观察点处的初相位= 2 z r ( k 一乃。a t + 1 4 ) 。 2 相位滞后法 对于时谐场，空间某一点的场采用复数表示法。其实部和虚部分别为 1 6f d t d 方法及其在电磁兼容问题中的应用 厶( ，) = f o c o s ( m t + )f a t ) = f os i n ( c a t + ) = 厶( ，一t 4 ) ( 2 - 3 2 ) 上式表面实部和虚部彼此相差l 4 周期。根据这一特性，在f d t d 计算达到时谐场 后，对于计算区域中某一观察点输出一个值为；( ，) ；然后上程序继续向前推进1 4 周期，再输出另外一个值为厶( ，) 。由于两次输出值构成复数，于是可以求出时谐 场的振幅和相位参考点。 2 6 近远场外推 f d t d 技术是一个求解电磁问题的通用方法，但是内存以及计算时间要求计算 区域尽可能的小，只能计算有限区域的电磁场。为计算远场，如果要获得计算区 域以外的散射或者辐射场应该把f d t d 技术与近远场变换技术结合起来。根据惠更 斯原理，在计算区域内做一个封闭面，利用f d t d 求出封闭惠更斯表面的面电流和 面磁流，利用等效电流源就可以计算出远场。由于电磁场在f d t d 的y e e 差分方法 中差半个网格因此惠更斯表面的场利用其周围的场的平均值来表示。然后由这个 面上的等效电磁流经过外推来得到。 在f d t d 用于散射计算时，将f d t d 区域划分为总场区和散射场区，为了计算 f d t d 区域以外的的散射场，在总场边界和吸收边界之间的散射场区设置散射数据 存储边界，或者称为数据输出边界或外推边界，对于时谐场情况，在计算达到稳 态后提取数据输出边界上场的幅值和相位，然后用时谐场外推公式进行外推。对 于瞬态情况，需要记录数据输出边界上各个时刻的场值，然后由惠更斯原理的时 域表述形式进行外推。 1 二维时谐场外推 外推面 3 4 j 上的等效电流j 和等效磁流j 厨，可以通过该面上的切向电磁分量得 到。其中电场e ，磁场h 是通过幅度和相位提取后构成的复数形式。得到等效电磁 流后，通过在外推面上进行面积分得到直角坐标下的球面波因子，由球面波因子 得出电流矩和磁流矩。 f = i ，j e x p ( j k ，。矽。厶= i ，厶e x p ( p ，。矽。 ( 2 - 3 3 ) 利用电流矩和磁流矩但3 3 ) 式可以得到 丘= 蜀舞( 肼现4 - 丘) 见2 蜀舞( 堋+ 厶z ) ( 2 - 3 4 ) 式中z = j 万为波阻抗。由于二维情况可以区分为t m 波和t e 波，横向场分量可 以用纵向