（数学专业论文）两类偏微分议程的混合元法.pdf

原创性声明 蚴m 肋 y 1 8 8 考岿：j | 翠。 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得内苤直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 同期： 指导教师签名：丝 f t期：2 盟f ：苎。l ! 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后使 用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用于 发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：；弛指导教师签名： e t期： 独! ：上! f 乡 日 期： m i x e de l e m e n tm e t h o d sf o rt w oc l a s s e so f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j i z h a o y i s u p e r v i s e db yp r o f e s s o rl ih o n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ， i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y , h o h h o t ，010 0 21 m a y , 2 0 1 1 两类偏微分方程的混合元法 摘要 本文中，首先运用标准混合有限元方法研究了一类伪双曲型积分微分方 程初边值问题，得到了基于r a v i a r t t h o m a s 空间w h 的l 2 模和l 。o 模误差估 计与通常的有限元方法相比，该方法可以同时高精度的逼近未知纯量函数及 它的梯度，通过引入广义混合椭圆投影，给出了未知函数t t 毗。，伴随速度仃和 散度d i v a 逼近解的最优阶。模误差估计，并且还得到了u 及盯逼近解的l o o 模误差估计；其次针对s o b o l e v 方程选择了一种新h 1 g a l e r k i n 混合元格式，得到 一维情况下半离散、全离散格式的最优收敛阶误差估计，并且推广到二维三 维情形论证表明该方法不受l b b 相容性条件的限制 关键词：伪双曲型积分微分方程；s o b o l e v 方程；混合元法；h 1 一g a l e r k i n 混合 元法；误差估计 m i x e de l e m e n tm e t h o d sf o rt w oc l a s s e so f p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t i n t h i sp a p e r ，f i r s t ，as t a n d a r dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o di s p r o p o s e dt oi n v e s t i g a t et h ec o n v e r g e n c eo ft h ei n i t i a l b o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo fp s e u d o - h y p e r b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o nb a s e do nt h er a v i a r t t h o m a ss p a c ey h w h c o m p a r e dw i t ht h eu s u a l f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，t h eu n k n o w ns c a l a ra n dt h ea d j o i n tv e c t o rf u n c t i o na r ea p p r o x i m a t e d o p t i m a l l ya n ds i m u l t a n e o u s l y b yi n t r o d u c i n gt h ep r o j e c t i o no fg e n e r a l i z e dm i x e de l e m e n t ， o p t i m a lo r d e rl 2e s t i m a t e sa r eo b t a i n e df o rt h ea p p r o x i m a t i o no ft h eu n k n o w nf u n c t i o n s u ，u ，u t ，t h ea s s o c i a t e dv e l o c i t y 矿a n dd i v a l e s t i m a t e sa r ea l s oo b t a i n e df o rt h ea p - p r o x i m a t i o u so fua n d 盯：a n ds e c o n d ，an e wh 1g a l e r k i nm i x e df i n i t ee l e m e n ts c h e m ei s s e l e c t e df o rs o b o l e ve q u a t i o n o p t i m a le r r o re s t i m a t e sa r ed e r i v e di nb o t hs e m i d i s c r e t ea n d f u l l yd i s c r e t ec a s ei no n es p a c ed i m e n s i o n ，a ne x t e n s i o nt op r o b l e m sa r ea l s od i s c u s s e di n t w 伊a n dt h r e es p a c ev a r i a b l e s t h ea r g u m e n t a t i o ns h o w st h a tt h em e t h o dd o s en o tr e q u i r e t h el b b c o n s i s t e n c yc o n d i t i o n k e y w o r d sp s e u d o - b y p e r b o l i ci n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；s o b o l e ve q u a t i o n ； m i x e de l e m e n tm e t h o d ；n e wh 1 - g a l e r k i nm i x e de l e m e n tm e t h o d ；e r r o re s t i m a t e s i i 中文摘要 英文摘要 引言 目录 i i i 1 第一章伪双曲积分微分方程的半离散混合元法误差估计 3 1 1 混合弱形式和半离散格式3 1 2 广义混合椭圆投影及一些重要引理 4 1 3 半离散格式误差估计8 第二章半线性s o b o l e v 方程的h 1 g a l e r k i n 混合元法 1 4 2 1 一维情形下半离散混合元格式及误差估计1 4 2 2 一维情形下全离散混合元格式及误差估计1 7 2 3 二维和三维情形下半离散混合元格式及误差估计1 9 参考文献 2 3 致谢2 7 i i i 内蒙古大学硕士学位论文 己l 吉 丁i 目 众所周知，偏微分方程可以表示工程上众多的数学物理问题，所以对偏微分方程的 研究具有广泛的应用空间和现实意义但同时我们也知道，求解偏微分方程是相当困难 的事情，绝大部分偏微分方程即便知道存在精确解，其精确解也难以显式表出退而求其 次，前辈专家学者把日光转移到寻求一定精度要求下的逼近解上，相继出现了很多数值 求解方法，并且各种数值方法具有彳同的适应问题和各自的优势如有限差分方法、有 限元方法、有限体积法等；其中有限元法由于能够适应复杂区域型问题应用范嗣广阔， 获得了极大地丰富和发展，出现了标准有限元、混合有限元、间断有限元、连续有限元 和时空有限元等方法，研究前景广阔 近年来，随着科学研究的发展前进，很多计算数学工作者致力于混合有限元方法方 面的研究，混合有限元方法研究体系也在逐渐丰富和完善，除了传统混合元方法的研究 【l ，2 3 ，2 4 ，2 5 ，3 1 ，3 2 1 ，出现了h 1 一g a l e r k i n 混合元法、特征线混合有限元法1 1 8 】、最小二乘混 合元法【2 3 5 、扩展混合元【4 0 】，混合间断时空元方法 2 9 ，5 ，6 ，7 ，8 1 和非协调混合元 2 6 ，9 】 等方法1 9 9 8 年，p a n i 在文【1 1 1 中针对抛物问题提出了h i g a l e r k i n 混合有限元方法相 对于传统的混合元方法，h i g a l e r k i n 混合元方法不需要满足l b b 相容性条件，从而使逼 近空间的选取比较自由，可以使有限元逼近空间和w h 是具有不同次数的多项式空 间，尽管对解的正则性要求高一些，但是对流量的l 2 一模估计可以得到较好的阶此后该 方法有效地求解了s o b o l e v 方程问，正则长波方程【蚴，s i n e - g o r d o n 方程f 3 4 】，伪双曲方程 【3 6 1 ，发展型积分微分方程 2 2 ，1 3 ，1 4 1 ，s c h r s d i n g e r 方程 1 5 ，1 6 ，2 s ，四阶强阻尼波方程【1 7 】 等在文f 17 】中作者采用时空混合偏导数q = 。t 作为中间变量构造了新的h 1 g a l e r k i n 混合有限元格式，并给出了相应的误差分析本文将讨论两种混合有限元方法分别应用 于不同的发展方程得到的逼近解收敛情况：伪双曲积分微分方程的半离散混合元法误差 估计；s o b o l e v 方程的新h i g a l e r k i n 混合元法 双曲型方程( 【3 6 ，1 5 ，2 3 ，3 0 ，3 5 ，3 9 ，3 8 ，3 7 】) 是一类含有时间和空间混合偏导数的高 阶偏微分方程，描述传热、传质及反应扩散等多种物理现象而其中的伪双曲型积分微 分方程【2 1 ，1 4 】更是一类重要的积分微分方程【3 3 1 ，在粘弹性力学、核反应动力学和生物 力学等许多实际问题中有着广泛的应用，方程中的积分项的出现( 来源于物理过程的记 忆或反馈性质) 使其与传统的双曲方程有着本质的区别，数值求解也更加困难，因此研 究伪双曲型积分微分方程的数值解法具有十分重要的意义文f 2 l 】中作者给出了伪双曲 型积分微分方程的一个重要的s o b o l e v - v o l t e r r a 投影文f 2 2 1 中作者针对该问题提出了 h i - g a l e r k i n 混合元方法，给出了弱解问题和半离散解问题的存在唯一性证明，同时给出 了最优收敛阶误差估计，最后通过数值算例验证了算法的可行性本文利用传统的混合 1 引言 元方法研究伪双曲型积分微分方程 s o b o l e v 方程在流体穿过裂缝岩石的渗透理论，土壤中湿气的迁移问题和不同介质的 热传导问题等诸多实际问题中具有重要的应用和体现文1 中引入了r a v i a r t t h o m a s 投影，研究了此类方程的标准混合元方法，给出了存在唯一性的证明和相应的误差估计 结果文 2 】中作者针对该问题提出了最d * - - 乘混合元方法，分析了逼近格式的收敛性并 给出误差什计文【4 ，3 】中分别给出了彳i 同的h 1 一g a l e r k i n 混合格式，并通过数值模拟结果 验证了所提出算法的可行性文献 1 0 】研究了具有非线性边界条件的s o b o l e v 方程的有 限元方法文【9 】中研究了s o b o l e v 方程的非协调混合元方法本文研究含有对流项的半 线性s o b o l e v 方程问题，由于对流项和非线性项的出现，使得问题的处理比较困难在文 f l7 】中作者旨次提出时空混合偏导数作为辅助中间变量，形成了新的h 1 g a l e r k i n 混合格 式，并成功求解了半线性强阻尼波动方程问题，本文利用文f 17 1 思恕研究了s o b o l e v 方程 问题 本文组织结构安排如下，第一章应用标准混合有限元方法研究伪双曲积分微分方程， 采用盯= 一a v u t b l v u 一詹b 2 v u d t 作为中间变量，通过引入广义混合椭圆投影，得到未 知函数缸，毗，札m 伴随速度盯和散度d i v a 逼近解的最优阶l 2 误差估汁，并且还得到了t 及盯逼近解的l o o 误差估计；第二章通过引入q = 乱武作为中间变量，形成了s o b o l e v 方 程的一种新的h 1 g a l e r k i n 混合元格式得到一维情况下半离散、全离散格式的最优收敛 阶误差估计，并且推广到二维三维情形，且该方法不需验证l b b 相容性条件，该格式有 一个明显优点就是将原问题在时空方向上同时降阶，从而使问题处理起来更加容易 2 内蒙古人学硕士学化论文 第一章伪双曲积分微分方程的半离散混合元法误差估计 本章考虑如下伪双曲积分微分方程【2 1 ，14 】的初边值问题 ，i , t iu t t ( x ，t ) = d i v a ( = ，t ) v u t + b l ( z ，t ) 、t u + 6 2 ( z ，t ) v u d r + ， ，t ) q ( 0 ，r l ， t ( z ，t ) ：0 ， ( z ，) 挑2 ( o ，刁( 1 0 1 ) lu ( x ，0 ) = l l o ，u t ( x ，0 ) = l t i ， z q ： 其中q 是r 2 中具有连续l i p s h i t z 边界d q 的有界区域，( 0 ：刀为时间区间，且0 t 0 0 函数a ( x ，) ：b l ( z ，) ，b 2 ( z ，t ) 及其导数光滑有界且满足0 c o n ( z ，t ) c 1 ，毗( z ：t ) 0 ，并假 设对于任意的，c 1 ( o ，丁江2 ( q ) ) ，u o ，t i l h 5 ( q ) ( 5 为固定整数) 1 1 1混合弱形式和半离散格式 令盯= 一a v u t b l 弋r u 一名b 2 v u d r ，则问题( 1 0 1 ) 可以写成如下的一阶混合系统 f 毗t + d i v c r = ， n 盯+ v u t + v ( 阮) + p u + f o t v ( c u ) d r + z ，y 仳d 丁= 。，( 。，t ) q ( 。，卅，( 1 1 2 ) i “( z ，t ) = 0 ， ( z ，t ) o f t ( 0 ，刁， 【u ( z ，0 ) = 如，u t ( z ，0 ) = t l l ， z 化 其中a ( z ，t ) = a - 1 ( z ，t ) ，6 ( z ，t ) = q ( z ，t ) b l ( x ，t ) ，c ( x ，t ，丁) = q ( z ，) 6 2 ( z ，t ，7 ) ，卢( z ，t ) = - v b ( z ，) ，7 p ，t ，7 - ) = - v c ( z ，t ，7 - ) 定义空间w = l 2 ( q ) ，v = h ( d i v ，q ) = 口( 2 ( q ) ) 2 ；d i v v l 2 ( q ) ) ，且v 的模定义为 i i v l l 移= i i v l l 2 + i i d i v l l 2 ，则( 1 1 2 ) 的弱形式为：求 仃，乱，：【o ，卅- v w 使得 l ( u t t ，u ) + ( d i v 吒u ) = ( u ) ，v o w ( 们川小t + 阮+ z 铡d r , d h r 卅( p u + f j 7 u d r , v ) = 0 ，v v “( 1 1 3 ) it ( o ) = 咖，札f ( o ) ，= u 1 为了进行误差估计的需要，引入驴投影p ：w - 和t l a v i a r t t h o m a s 投影【3 2 1 砚： ( h 1 ( q ) ) 2 - ，它们具有如下性质： d i v o 砚= p ，io d i v ：h 1 ( q ) 2 - ，( 1 1 4 ) i p p h c o l l 一。g h l + s i i “ l l t ，0 z ，s 七+ 1 ，( 1 1 5 ) | p p h u l l o ，q g h 。i i u l l t m 0 z 后+ l ，1 gs 。o ，( 1 1 6 ) i i 钌一, r h v l l o ，口sc h 。i i u i i l ，q ，三z 匙+ 1 ， l q o o ，( 1 1 7 ) i i d l v ( v 一丌 t ，) i i c h i l d i v v l l t ，0sf 知+ 1 ( 1 1 8 ) 3 伪双曲积分微分方程的半离散混合元法误筹估计 则( 1 1 2 ) 的半离散混合有限元逼近问题为：求 仃，l ，u h ：【0 ，卅- w h 使得 ( d i v a h ，u ) = ( 正u ) ， ( u h t 阮 + z c 仳 打，d i v 口) + ( p u ( 0 ) ，u h t ( o ) = 豇胁( 0 ) ，口 ( 0 ) = 厅l ( 0 ) v 0 w h + t 一 u h d r , v ) = 。，讹，( 1 1 9 ) 1 2广义混合椭圆投影及一些重要引理 引入广义混合椭圆投影【2 4 ，2 5 】 巩，砒) ：【o ，t 】。w h 使得 ( d i v ( a 一吮) ，) = 0 ， ( 口( 盯一亏1 1 1 ) ，v ) - - ( ( u t 一面肌) + b ( u + ( p ( u 一砒) + o 。 嘞) + 小u - - u h ) d d i v v ) ( 1 2 1 0 ) 7 ( u u h ) d r ，口) = 0 令( 7 1 = 口一6 h ，u l = p h u 一锄，u 2 = u p h u 故( l 2 1 0 ) 可写为 d i v y ) ( 1 2 1 i ) 0 引理1 若盯1 ，u l ，u 2 满足( 1 2 1 1 ) ，并且假定q 是办正则，则对所有的0 t t ，存在与 h ，t 无关的正常数a 使得 i l u l l i f o ( h l h l l + h 2 - 6 k 。i i d i v a l l i + h l l u 2 1 i + i l u 2 i l 一1 ) d 7 - 其中6 k o 是d i r a c 函数，当k = 0 时，以o = 1 ；当k 1 时，靠o ：0 证明对妒l 2 ( q ) ，令是辅助问题 id i v ( a v ) = 妒， z q ， 1 咖：o ， z a q ( 1 2 1 2 ) 的解则有 1 1 咖1 1 5sc 1 1 妒1 1 ，v 0 t t 由( 1 1 4 ) ，( 1 2 1 1 ) ，( 1 2 1 2 ) 知 ( u l t ，妒) = ( u l t ，d i v ( a v b ) ) = ( 札1 t ，d i v ( 1 r h ( a v b ) ) ) i t = ( a 仃1 + 酏+ 抛) + 上7 ( t 正1 + u 2 ) 札丌 ( 口v 咖) ( 1 2 1 3 ) 一( 6 ( t l + u 2 ) + c ( u 1 + u 2 ) d r ，d i v o r h ( a v 西) ) ) 4 r = 归 u l + 矽 虮 屹 “ 十 厂厶h 卜 7 功厂厶 i托 + 1 2 地 ， + 仉 h = 研 以 = m 卜 + h 口 盯 “ v 盯 m ，il-l_-，、-_il 内蒙古人学硕士学位论文 注意到n = ： ( g t o r l ，l r h ( a v ) ) = ( c t o r i ，7 r h ( a v ( b ) 一n v ) + ( 盯l ，v ) = ( c t o 1 ，l r h ( a v 咖) 一a v e ) + ( d i v a l ，p h 一) c l l o l i i i p r h ( a v ) 一a v 咖l i + i i d i w l l l f l p h 一l i c ( h l l 盯1 | j + 2 k o d i v a l i i ) l l 咖1 1 2 c ( h l l l i | + 2 一t o l l d i w l i i ) l l 妒1 1 ( 卢“l ，丌_ i l ( n v ) ) c 1 1 让1l i i l 丌h ( a v ) l l c l l 乱l i i r h ( a v 4 ) 一a v l i + i l a x t 1 1 ) c 1 1 乱1i l ( 圳v 圳1 + i i v 1 1 ) c i l 铆l l l l 妒1 1 ( p 钍2 ，7 r ( n v ) ) = ( 卢u 2 ，7 r ( o v ) 一a v e ) + ( p 让2 ，a v e ) c ( h l l u 2 1 i + i l u 2 1 1 1 ) i | v 圳l c ( h l l u 2 1 i + 1 1 - 2 1 1 1 ) 1 1 妒 1 1 ( 1 2 1 4 ) ( 1 2 1 5 ) ( 1 2 1 6 ) ( z 0 t t u l d r , 7 r h ( 。v 纠 注意到乱1 ( 0 ) = 0 ，故 r ti t 1 | | = | | u u d t 1 | l u u l l d r 将( 1 2 2 3 ) 代入上式，并由g r o n w a l l 引理得 i l u l l isc f o ( h l l 口l l l + h 2 - 6 k o i l d i v a l l i + h l l t , 2 1 i + i l u 2 1 1 1 ) 打，0 t t 引理2 e 4 1 假设 盯，u 】， 而，畹) 分别是( 1 1 3 ) 和( 1 2 1 0 ) 的解，则对0 t t 存在不依 赖h 和t 的正常数c 使得 d i v l ) ；t ( a 唬) i | c h 7 i i d ；盯i i ，+ 1 ， j = 0 ，1 ，2 ，0 r k + l ， ( 1 2 2 4 ) 且当后1 ，2 7 k + 1 时有 j = 1 ，2 ， 厂厶一o p f嘛， = + 一 一 v0丌vdduc z 5 6 7 2 2 2 2 2 2 l l l ，fl，i，il 丁 d d 一 一 盯 仃 + + ，矿扩 以 叫 州 m m 卜厂厶厂厶 叫 + + 6 i ) ) 厂厶圳 圳 + d d 1 l 1 l 卜 。 咖 咖 厂加川 +。歹譬，渤 i r r u 川 c c 矿 一 一 c u 川川 一 钆 饥 纠 一 一 缸 u 盯 一 ”孔 孔 d d 当k ：0 时 内蒙古大学硕士学位论文 j = 1 ，2 ， 引理3 令h 札) 和 矗，峨 分别是( 1 1 3 ) 和( 1 2 1 0 ) 的解，假设h 札 充分光滑且q 是 2 正则，则对0 t t 存在与h 和t 无关的正常数e 使得 l i ( 批一面h ) - d i + l i ( o - 一矛 ) t “| | c h l l 吼u l l ， 其中l i 盯，仳i | = 妻( i | 珥盯l | r + i l 喀a l l ，) + ：( i i 乱l i ，+ l i 仃l i ，) d r j = o 证明首先估计i i ( u 一砒) | i 令妒，妒是( 1 2 1 2 ) 中定义的函数，则有 ( ( 乱一矗h ) t t t ，妒) = ( ( 弧u f i h ) t t t ，d i v ( a v ) ) + ( ( u 一7 f h u ) t t t ，妒) = ( ( 丌，l t 一f i h ) t t t ，d i v ( 7 r h ( a v 砂) ) ) + ( u 一7 r h u ) t t t ，妒) 对( 1 2 1 0 ) 中第二式关于时间求导两次并取口= ，r h ( a v 妒) 有 ( ( 7 r u 一面t h ) t t t ，d i v ( t r h ( a v ) ) ) = ( q 托( 口一i 亍 ) + 2 a t ( a 一5 h ) t + 口( 仃一矛 ) 扰 + 卢t t ( u 一矗_ 1 1 ) + 2 f i t ( t 一豇 ) + 卢( t 一 + 2 m ( u - f i h ) + z t m t ( + 7 ( u 一面t h ) t 一( b t t ( t t 一 面t h ) t t a v e ) ) ( 1 2 3 1 ) 讥) + 2 玩( u 一砌 ( 1 2 3 2 ) + 6 ( 缸一面h ) t t + 2 e l ( u f t h ) + c ( 让一包t h ) t +t c t t ( u - - f i h ) 打+ ( u n t ) 蚍，d i v ( r h ( 。v ) ) ) 从而由1 1 1 1 2 c i i ，( 1 2 3 1 ) ，( 1 2 3 2 ) 和引理2 得 紫鲫r | | 叩i i ( 1 2 3 3 ) 下面估计l i ( 盯一巩) 托t i i ，对( 1 2 1 0 ) 中第一式关于时间求导三次得 ( d i v ( a 一6 r h ) t t t ，u ) = 0 ，w h ，0 t t 取u = d i v ( 丌h a 一巩) 并注意到d i v o7 r h = p hod i v ，故 i d i v ( 7 r h a a h ) t t t l i = ( d i v ( ，r h a a h ) t t t ，d i v ( 丌h a 一6 r h ) t t t ) = ( d i v ( a 一6 r h ) t t t ，d i v ( r h a 一# h ) t t t ) = 0 7 8 9 o 2 2 3 2 2 2 l l 1 ，； 打 打 沁 孔 p p 卜 沁 0 ，u z z 一二 + + 打 d 叫 训 圳 + + + 叫 引 圳 i 1。 厂加川 川 +。，甲，!l 饥 m 一 一 c 川 川 一 如 晚 引 一 一 面 盯 一” _ 垠妒溉 l 砂 一 托 l 肛 h u u 伪双曲积分微分方程的半离散混合元法误差估计 从而d i v ( n h a 一巩) 班= 0 因此对( 1 2 1 0 ) 式关于时间求导三次并取，= ( r r l 。o r 一方f 。) 得 ( a ( 7 r 仃一e h ) m ，( 7 r h o 一矛 ) t t t ) = 一( q ( 盯一7 r h a ) u t + o e t t t ( 0 一厅_ 1 1 ) + 3 0 t t t ( o r c r h ) t + 3 0 t t ( o r 一矛h ) t t + 卢t t t ( i t 一豇 ) + 3 p t t ( u 一豇 ) t + 3 f l t ( u z t h ) t t + p ( t 正一面h ) t t t + 3 7 t t ( u 一霞，1 ) ( 1 2 3 4 ) + 3 7 t ( u 一亩t h ) t + 7 ( 札一云t h ) t t ， + 7 t t t ( u f i b ) d r ，( 7 t h o r 一子 ) f ) ，o 由( 1 1 7 ) ，( 1 2 3 3 ) ，( 1 2 3 4 ) 与引理2 有 i i ( 1 r h o 一右r h ) t t t l l c h 7 ? 川， 进而 l | ( 盯一矛h ) t t t l i i i ( 口一砚口) i i + i | ( 丌_ 7 l 盯一矛h ) t t t i i c h 7 l | 口，u 1 1 结合( 1 2 3 3 ) ，引理得证 1 3 半离散格式误差估计 在本节，我们首先利用 吼，砒，得到 o h ，u h ) 的最优三2 误差估计，然后利用 九，砒 和正则g r e e n 函数f 3 3 】导出 口_ i l ，“ ) 的拟最优l o 。误差估汁 定理1 假设 仃，让) 和 ，u h 分别是( 1 1 3 ) 和( 1 1 9 ) 的解，1sr k + 1 ，q 是2 正 则的，则对0 t t 存在不依赖h 和t 的正常数c 使得 l l u u h l i c h 7 l l u l l r + ( 1 l u i i ，一1 + i m i ，一1 ) d r + i i l 盯，u l l l ， i i 盯一盯 l i c h l l u l l r + i i 盯i l r + ( i l u i l ，一1 + i i , , 1 1 ，一1 ) d r + 盯，u l l l ， i i d i v ( a 一) | | c h 1 1 盯1 1 ，+ 1 + ：( 1 l d ；c , l l ，+ i i o u l l ，) + ( i i , , i i ，+ i l u l l ，) 打+ i l l o , ，u l l l ， = 二，0 i l ( u u h ) 1 i c h ：( i i d i o l l r + l i d ：, , i i r ) + ( i l 盯i i ，+ i i “l i ，) d r + | l i 盯，u l l l ：= 二j 0 其中 川刚i i i 全( z ( 副酬r + | 嘲+ 到。| i r + i | 。) ) d s 疹 证明 令u u h = ( t 一f i h ) + ( 缸 一u h ) = p + 口，口一o h = ( 仃一甄) + ( b h o h ) = 7 7 + 专 由( i i 3 ) 和( 1 1 9 ) 得到误差方程 f ( 9 f ，0 3 ) + ( d i v ，u ) = 一( p t t ，u ) ， t ( 口， ) 一( 口t + 6 p + z 2c o d r , d i v v ) + ( 5 0 + t 7 8 矗 ，u ) = 。 1 3 3 5 内蒙古人学硕十学位论文 上式第j 二式关于时间求导后取t ，= ，u = 0 t ，两式相加得 产 ( 口纨o t ) + ( q + q 邑，f ) - - ( o t t + ( b 一1 ) o t + b t o + c o + c t o d r ：d i v ) _ ，o 一 一( 展口+ 卢巩+ 7 p + 7 t o d r ，) 一( p t t ，o r ) 从而 ；磊d 旧t i i + j l 磊di i q i 川= 一；( q ) + ( 既+ ( 6 1 ) o t + b t o + 胡+ f o o t c t o d t , d i v ) ， 一( 成口+ 卢巩+ ，y p + t o d t ，f ) 一( p t t ，o t ) c i i 1 1 2 + i i 巩1 1 2 + i l o 1 1 2 + i i o l l 2 + i i 凤1 1 2 + i i d i v s i l 2 + i i o l l 2 打 上式两端同时关于时间在0 到t 上积分，并注意到o ( o ) = 0 ，o t ( o ) = 0 ，由g r o n w a l l 引理和 l i o 1 1 2 + l l f 1 2 c ( i i o 托1 1 2 + i l o l l 2 + i l m t i l 2 + i l d i v f l l 2 ) d r ， j o ( 1 3 3 6 ) r t 、 7 c ( 1 1 0 比1 1 2 + i l o l l 2 + t l l 2 ) d r ，o 又因口( o ) = 0 ，故0 = 后o t d t ，从而由g r o n w a l l 引理有 i i p i l 2 + l i f l l 2 c ( i i o - 1 1 2 + i l j 9 t 1 1 2 ) 打 ( 1 3 3 7 ) ：(ou。三t,to)：+(：div二o二t,；to嚣)=-：(pu：t,w二),兰：z2 q 口打，d i v u ) 壶丢( 1 i 1 1 2 + l l q 州2 ) + i i a 引1 2 = 一磊d 、o 纨b t p + b 巩+ 甜+ z t c t o d ， ) 一爰( 油口+ 卢巩+ 佃+ z t m 胁) 8 9 3 3 3 3 t t ，-l，fl 伪双曲积分微分方程的半离散混合元法误差估计 i i o 1 1 2 + 1 1 f 1 1 2 + 厂i i a 1 1 2 打_ _ c l l o 。1 1 2 + i i o l i 2 + i i o 。( o ) 1 1 2 荽i 0z乏毛兰；和ag2+，=v)ot2=5h,zx：e己：ft,xl 00 ： 【 = ， z a q ， z a q 令 g ，a ， g ，入) w h 分别是 g 1 ，a 1 ) ， g 2 ，a 2 ) 的混合元逼近，由【3 3 ，2 4 1 有 定理2 假设 盯，t ) 和 吼，札 】分别是( 1 1 3 ) 和( 1 1 9 ) 的解，1 r k + 1 ，q 是乒正则 的，贝, j c r0 t t 和0 h 存在不依赖h 和t 的正常数a 使得 ，t i l u u i i o o 。 c h 7 il n h l l ( i i u | i r + l i 盯l i ，+ ( 1 l 乱i i ，+ i l u i i ，一1 + l i 盯i i r 一1 ) d r + 矿，u ) ，0 + i i u i i ，+ l i u | i ，o o 打) ， 1 0 内蒙古人学硕士学化论文 盯一吼i i o c 1 1 n i l ( ( 1 i d ；a l l ，+ i i d i 札i l ，) + 盯，仳 i = 0 + ( i 盯i l r + i i 口i i ，一l + i i i l ，+ l i t , l l ，一1 ) d r ) ，0 + ( 1 + i i n h l ；) ( 1 l d i v a l l ，+ l i 盯i l ，+ 1 ) + ( 1 + i l n h l ) l l a l l ，o 。 ，t - t - ii nh l ( 1 l u l lr ，o o + i i 钍i l n 。d 7 - ) 证明由( 1 3 3 5 ) 知 ( o t + b o + p h ( c o ) d v ，6 ) = ( 巩+ b o + p h ( c o ) d r ：d i v g l ) j 0 j 0 = ( 巩- i - b o + p h ( c o ) d r d i v g l h ) = ( 巩- t - b 8 + c o d t ，d i v g l h ) s c i | 钏+ i i o l i - i - l i o i i d r l l g 2 1 1 再由( 1 3 4 1 ) 式得 f tr t i l 吼- t - b o + p h ( c o ) d t i i o ，c l l f l i + | i o l i + i i o i i d r i i i g ) 1 1 ，0 ，o 故 t tr t l i o l l o ，o o c l l 荨l l + i i o l l + l i o i i d r i i i g ) l i + c 1 1 纠1 0 ，。+ l i i o l l o ，。d 丁 ，0，0 注意到目( o ) = 0 ，故0 = 后o t d r ，从而r hg r o n w a l l 引理有 i i o , i i o , o o c l l l l + i | 0 + 0 2 咿i l d r l l g 5 | l + c 厅钏o , o e d t 再由( 1 3 4 4 ) 式得 f tr t i i o l l o ，c l l f l l + i l o l l - t - 1 1 0 1 1 d 丁i i i g ) l l + c l l o i i o ，。+ i i o l l o ，。d r j o j o 将( 1 3 4 5 ) 代入上式并由g r o n w a l l 引理和( 1 3 4 2 ) 得 l i o l l o ，。c l l l i + i i o l i + i l o l l d r l l c ) l i c h r il n 到i 1f 川盯，牡+ 厂。( 1 l “i k + l i 仃i | r 一1 ) 打 注意到d i v g 2 h = 0 ，由( 1 3 3 5 ) 得 ( f ，磅) = ( f ，a g 2 + v a 2 ) = ，q ( g 2 一g 2 ) ) + ( q ，g ) + ，v x 2 ) = 一( d i v f ，a 2 ) 一( p p + t y o 打，g 2 ) ：( ( t i u ) 入) 一( 卢p + 厂27 p d lg ) j o 。 c | i m t j f i ) 托i i i i x h l l + c i i o i i o , + 厂。1 1 0 1 1 。，d , l l o h l l0 1 j o 1 1 ( 1 3 4 4 ) ( 1 3 4 5 ) ( 1 3 4 6 ) 伪双曲积分微分方程的半离散混合元法误差估计 由( 1 3 4 1 ) ，( 1 3 4 6 ) 及定理1 并注意到当0 h 1 3 ，有j l n h g 1 + i i n j5 ，进砌 1 1 1 1 0 ， i i ( t l u h ) 1 l l l ： h l l + ( i i f i i + i l o i t ) d ，- i l a h l l l l a h l l o 1 ) c ll nh l2(iidi盯ii，+iimiull2 ，) + ( i i 盯i i ，+ l l 札i ，) d 7 + 吼u ) 1 34 7 。 以 ( ) 另一方面( 1 2 1 0 ) 可以写成 f i v ( t r h c r - - o h l 钏 i t ( a ( 盯一钆) ，u ) 一“m u - 蟊h ) + 6 ( p h u - f t h ) - 4 - z c p d r , d i v v ) ( 1 3 4 8 ) 【+ ( 3 p + o p d t , v ) =