（数学专业论文）两类发展方程的三次配点法.pdf

原创性声明 删i | i 1 l l f i l l f l i l l i l l l 圳i i i l 洲 y 18 8 8 8 0 3 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得凼墓直太堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 同期： 荔夺玉指导教师签名：乏至堑 寸， 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后使 用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用于 发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：至堡 日 期：划：s 绍 w a n g x i a o f e i s u p e r v i s e db yp r o f b s s o rl ih o n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n e e s i n n e rm o n g o l i au n i v e r s i t y ，h o h h o t ，0 1 0 0 2 1 m a 弘2 0 1 1 n s 两类发展方程的三次配点法 摘要 三次配点法是一种改进的配点法，结构类似p e t r o v g a l e r k i n 方法该方法以 三次样条函数和分段线性函数作为测试空间，用两点高斯求积公式近似内积 从而使得该方法较配点法和p e t r o v g a l e r k i n 方法，收敛效率有所提高 本文将三次配点法应用于r l w - b u r g e r s 方程和抛物型积分一微分方程对 于r l w - b e r g e r s 方程，得到半离散格式的l o 。( l 2 ) 、三o 。( 灯1 ) 和三o o ( 日2 ) 最优收敛阶 误差估计同时给出基于向后e u l e r 法的全离散格式并证明了该格式的h ，模 和h z 模误差估计对于抛物型积分微分方程，得到了半离散格式及误差 的l o o ( 日1 ) 和l o o ( 日z ) 模估计，同时研究了基于向后e u l e r 法的全离散格式和误差估 计 关键词：三次配点法；r i j w - b u r g e r s 方程；抛物型积分微分方程：最优误差 估计；高斯求积公式 q u a d r a t u r er u l e c o m p a r e dt ot l l ec 0 1 l o c a t i o nm e t l l o da n dt h ep e t r o v g a l e r k i nm e t h o d ，t h e q u a l o c a t i o nm e t l l o di m p r o v e st h ea c c u r a c y i nt h i sp a p e r ，t h eq u a l o c a t i o ni sp r o p o s e df b rr l w b u r g e r s e q u a t i o na i l dp a r a b o l i c p a i t i a li n t e g r o - d i 雎r e n t i a le q u a t i o n s l o o ( ) 、l o o ( 日1 ) a n dl o 。( h 2 ) o p t i m a le r r o re s t i m a t e s f o rs e i n i d i s c r e t es c h e m ef o rr l l w b u r g e r s e q u a t i o na r e 西v e n a n dt h e nt h ef u l ld i s c r e t e s c h e m eb a s e do nb a c ke u l e rm e t h o da l o n gw i t h 日1a n d 日2e s t i m a t e si s 西v e n t h e n ， l o o ( 日1 ) a n d 三o 。( 日2 ) e r r o re s t i m a t e sf o rs e m i d i s c r e t es c h e m ef o rp a r a b 0 1 i cp a r t i a li n t e g r 争 d i h e r e n t i a le q u a t i o na r ep r c i v e d ，a n dt h ef h hd i s c r e t es c h e m eb a s e do nb a j c ke u l e rm e t h o d a n dt h ee r r o re s t i m a t i e sa r eo b t a j n e d k e y w o r d sq u 甜o c a t i o nm e t h o d ；r l 、u b u r g e r se q u a t i o 璐； p a r a b o l i cp a r t i a l i n t e g r o - d i h _ e r e n t i a le q u a t i o n ；o p t i m a le r r o re s t i m a t e s ；g a u s sq u a d r a t u r er u l e 目录 中文摘要i 英文摘要i i 引言2 第一章预备知识3 1 1 基本定义 3 1 2 一些不等式和引理4 第二章r l v n b u r g e r s 方程的三次配点法6 2 1 半离散格式及其误差估计6 2 2 全离散格式及其误差估计：9 第三章抛物型积分微分方程的三次配点法1 2 3 1 半离散格式的最优误差估计1 2 3 2 全离散格式及其误差估计1 5 参考文献1 9 致谢2 2 i i i 引言 偏微分方程的数值求解遍布于科学和工程领域，而寻求一种高效便捷的 数值方法成为了我们不断探索的目标本文将讨论一种相对高效的数值方法 一三次配点法三次配点方法于1 9 8 8 年被s l o a n l 6 】基于配点方法而提出，该方法 在结构上类似于g a l e r k i n 方法，故也可以被认为是用三次样条函数和分段线性 函数作为测试空间，以复合两点高斯求积公式近似内积的p e t r o v g a l e r k i n 方法 该方法相对于止交三次样条配点法有一定的优点：能够提高收敛阶数；所需 的未知数仅为止交的三次样条配点方法所需未知数的一半，从而降低了计算 成本该方法随后成功地数值求解了很多问题，s l o a n 等人于1 9 9 3 年在文献f 7 1 中 将此法应用到二阶线性两点边值问题，并得到了们，p ，j f = o ，1 ，2 ，1 p o 。范数下 的最佳误差估计；随后在文献 8 】中j o n e s 和p a n i 利用三次配点法讨论了二阶半线 性两点的边值问题；在文献( 9 】中p a n i 将该方法应用到一维空间抛物方程的初边 值问题；在文献【1 0 】中j o n e s 和p a n i 将该方法应用到s t e f a n 问题，并给出了先验误 差估计最近，p a n i 【1 1 1 将该方法应用到b u r g e r s 方程，并得到了半离散先验误差估 计利用此方法关于r l w - b u r g e r s 方程和抛物型积分微分方程的研究还未见到， 而这两类方程都具有重要的研究意义，因此本文将利用三次配点法讨论这两 类方程 r 1 w 方程是一个重要的非线性波动方程，可用于描述物理中的许多现象， 备受计算数学界的关注，此前出现过很多数值方法研究此类方程，如有限差 分方法f 1 】 混合有限元方法【2 ，3 ，4 ，5 】等而本文即将研究加入b u r g e r s 项的r i j w 方 程，即如下的r l w - b u r g e r s 方程 毗一，y 一j 疵+ + 牡= o ， ( z ，) j ( o ，卅 该方程可用来描述河道里水波表面的传播，其中牡( z ，) 表示距水的表面平衡 位置的纵位移，z 表示沿河道流动水的横坐标，表示所需的时间，y u 黝为耗 散项，7 为耗散系数，6 u 泐为色散项，6 为色散系数，y o ，6 o 抛物型积分微分方程可以由一些物理过程引申出来在这些过程中，由 于一般扩散方程的亏量，须考虑到其记忆的作用抛物型积分微分方程在多 孔介质非局域反应流问题，液体流中的核辐射问题【1 4 】，具有记忆的热传导问 题1 1 5 ，1 6 ，1 7 】，以及生物技术f 18 1 等实际问题中有着广泛的应用对于线性或非 线性积分微分方程，人们通过g a l e r k i n 方法、标准有限元方法、非协调有限元 方法和混合元方法进行了大量的研究工作f 2 m 2 6 】 本文的组织结构安排如下，第一章给出本文所需的基本定义，常用不 2 内蒙古大学硕十学位论文 第一章预备知识弟一早耿亩大u 珙 1 1 基本定义 一些不等式和引理 当p = o 。时 ( j ) 2o 燃桫( 酬l 一( n 当p = 2 时，我们简记w m ，2 ( j ) 为日m ( ，) ，对应的范数汜为l m ，此外 础( ，) = 妒日1 ( j ) ：妒( o ) = t f ，( 1 ) = o ) 厶2 ( ，) 内积用( ，) 表示，范数表示为”i | ( 砂，妒) = 砂妒如， ，妒l 2 ( ，) 常用不等式 1 2 一些不等式和引理 带e 的c a u c h y 不等式【2 7 】对于任意的正数和任意的非负实数口和f ，都有 口6 + 譬) p o i n c a u r 色不等式【2 7 】 对于任意的乱日1 ( q ) 都有 i l ，n p ( 1 u l l ，o + i 缸如i ) ，n g r o l l w a l l 引理1 2 7 】设f ( t ) ，g ( t ) 是【o ，t 】上非负可积函数，对正常数p ，7 满足 ， ，( t ) 坩( ) + p ，( 7 - ) 打， t 【0 ，刁， - ，u 则成立 ， ) 7 【9 ( t ) + p e 即( 胭9 ( r ) 打) 】，t 【0 ，刀 ，u 离散的g r o i l w a l l 引理设 ) 是非负数列且满足 n 一1 伽阮；阮+ 仍， 1 ) j = 0 其中哟o ， 风) 为非负单调不减数列，则有 住一l 阮e 印( 哟) ， m 1 ) j = 0 4 内蒙古大学硕士学位论文 常用引理 引理1 f 1 3 】求积公式满足如下的误差界 肛l 一 肿耄l 口 船 国 d 0 ，使得对充分小的 ，有 f | e | | l o o ( 何1 ) c 3 i i “i i l * ( w e ，一) + i i u l l l * ( 6 o o ) 这罩e = u 一札_ 1 证明：在( 3 1 7 ) 中，令= 口，则有 一 + = 一 一 一 如 ，i 巾 ( 3 1 8 ) 一 d s + = 死+ 而+ 死+ z l + b 其中( 3 1 8 ) 式左边第一项 一 = ( 如) + 赤赢张p t 一以砧) ：洳蝴) + 志爱硪) 2 ， 七= 0 上式两边对时间从0 到t 进行积分，则 一z 。 ( r ) 打壶慨( ) 1 1 2 ( 3 1 9 ) ( 3 1 8 ) 左边第二项 2n o i | 1 1 2 ( 3 1 1 0 ) 由c 畸s d l w a r z 不等式和y o u n g 不等式 i 乃i g ( ) ij 珑( t ) l l 羔。+ 去e 1 f ( ) 1 1 2 ( 3 1 。1 1 ) i 死i e ( ) l ( t ) 1 1 2 + 去s i | ( ) l | 2 ( 3 1 1 2 ) ，1 i 码i c ( ) i 如( s ) 1 1 2 幽+ 翱i ( ) | 1 2 ( 3 1 1 3 ) ，0 二 ，1 i 乃fsc ( ) i i ( s ) i f 2 如+ 丢g l l 如霉( z ) | 1 2 ( 3 1 1 4 ) ，0 抛物型积分微分方程的三次配点法 对毛中的，实施一致l i p s c h i t z 条件，则存在与t 和“，l 无关的j 下常数厶使得 i 马is 厶【心一札_ i l 】 如z ( ) 】 厶【h ( t ) 一目( t ) 】i l 口砧( 亡) i i ， 由y o u n g 不等式和p o i n c a r 6 不等式，有 l b i c ( ) i i 叼( t ) i i 主o 。+ l i p 。( ) 1 1 2 ) + 去1 1 8 。z ( ) 1 1 2 将( 3 1 9 ) 一( 3 1 1 5 ) 式代入( 3 1 8 ) 式中，并从。到关于时l 日j 进行积分，可得 i i 如( ) 1 1 2 + ( 2 n 0 一匏) i i ( r ) 1 1 2 打 ，c，广5 c ) 1 1 7 7 ( 丁) i i 至。o + l l 讯( 丁) l i 至。) d 7 - + c ) ( 1 1 9 。z i l 2 d 下+ i 咿。( s ) 1 1 2 ) d s j q j o j o 取e = 警，同时应用引理3 ，有 l l 如( 驯1 2 + 上i 如z ( r ) 1 1 2 打c ( ) 舻z ( ( 丁) i i 衫e ，一+ j h ( 丁) i i 衫e ，。) d 丁 + ( 慨( s ) 1 1 2 + _ l 恢。1 1 2 打) d 8 。 对上式应用g r o n w a l l 引理可得如的l 2 模估计进一步应用p o i n c a r 6 不等式，定理得证 定理2 在定理1 的假设下，存在与 无关的常数c o ，使得对于足够小的h 有 i i e i l l * ( 俨) c 2 l l u | i l * ( 6 一) + i l 地i | l 一( w 6 * ) + | i 托i l l ：( 。，一) ) 这里e = 珏一钍_ 1 1 证明：在( 3 1 7 ) 中令= 巩，则有 一 + = 一 一 一 d s 一 如+ = 丑+ 疋+ 玛+ 丑+ 砧 其中( 3 1 1 8 ) 式左边第一项 一 = ( ，) + 去( 吼嘲七) 2 一l 缸= o 慨。1 1 2 ( 3 1 1 8 ) 式左边第二项 丢咖象1 1 2 乃可以写成如下形式 丑= 一丢 + j ( 3 1 1 5 ) ( 3 1 1 6 ) ( 3 1 1 7 ) ( 3 1 1 8 ) ( 3 1 1 9 ) ( 3 1 2 0 ) 内蒙古大学硕士学位论文 上式关于时间从。到t 进行积分，并应用y o u n g 不等式，可得 z 。五( r ) 打l c ( e ) 吼( 圳i 羔。+ z ( i j 叩“丁) 2 + l i ( 丁) 2 ) d r 卜+ _ 主州( 驯| 2 ( 3 1 2 1 ) 乃= 一爰 + ， i 石。死( r ) d r i c ( ) 如( 驯1 2 + z l i 如z ( 丁) 2 打 + i 。z 忙z 。旧一r ) i | 2 d 丁+ 壶川如z ( 圳| 2 ( 3 1 2 2 ) i 死( r ) d 7 i c ( ) 如( ) 1 1 2 + l i 如z ( 7 - ) 1 1 2 打 + i o z 忙i 慨。( r ) i 2 d 7 - + 专i | 如z ( ) 垆( 3 1 2 2 ) ，o ，0，o - 乃= 一罢 + ， z 。乃( 丁) 打i c ( ) z 。( 咿z ( 刊1 2 + l i ( 丁) 1 1 2 ) d 丁+ 丢川口一( 驯| 2 ( 3 1 2 3 1 、 噩= 一丢 + ， z 。五( 丁) 打lsc ( ) z 。i i ( r ) | | 2 d 丁+ 三e 1 l 如川2 ( 3 1 2 4 ) 如= 丢 一 一 ， lz 死( 1 - ) 打l s c 忙h “卵竺“至+ ”如。川1 2 + z “h 7 - 川瞪：。+ ”吼1 川注d 7 - ( 3 1 2 5 ) ，o ，u ，219 k 、 ，t 、。一。一7 + c ( ) ( 1 | ( 下) 1 1 2 + i | 以( t ) 1 1 2 ) 打+ e i l 仇z ( 7 ) 1 1 2 打 - ，0 ，o 将( 3 1 1 9 ) 一( 3 1 2 5 ) 式代入( 3 1 1 8 ) 式中，并对时间从。到t 积分，有 ( 2 2 一2 l 口。忙) l i 巩z ( 丁) 1 1 2 d 7 + ( n o 一6 9 ) i i ( ) 1 1 2 ，o ，t e ) _ 1 1 7 7 ( ) i i 羔o 。( l 。) + i i 班( ) i l 羔* ( l * ) + i l p i i 乏一( 日t ) + 正( i i 叼( r ) i i 至* + i i m ( 7 ) l l 兰一 ( 3 l 2 6 ) ， + i i 吼t ( 7 ) j l 羔。) 打 + c ) i i ( 7 - ) 1 1 2 打 对上式选择适当的e 使得口。一醣 o ，2 2 一2 口乒 o 应用g r o n w a l l 引理及引理3 ，定理得证 3 2 全离散格式及其误差估计 这部分我们基于向后e u l e r 法对时间进行离散，取时间步长忌= 叫m ( m 为正整数) ，且 令护：n 七对于给定的连续函数，令妒= ( 俨) ，也妒n + 1 = ( n + 1 一妒) 七方程中的积分项 1 5 抛物型积分微分方程的三次配点法 用如下的左矩形公式来近似 q 。( 矽) ：= k 薹z p + 1 妒( s ) d s 骗( 矽) ：= k f 州幽 j = o 。” n = o ，l ，m 一1 当妒c 1 【0 ，引时有 i q 。( 妒) 一z “+ 1 妒( s ) d s i c 七z “+ 1 l 妒。( s ) i d 3 ， ( 3 2 2 7 ) 下面定义“的全离散逼近值z ：( t o ，1 ，t m ) _ 瓯满足 n 一 + + + + = 一 j = 0 j = o ( 3 2 2 8 ) 令误差扩= 仳( 俨) 一扩= u ( 俨) 一魂+ 玩一沙，这里矿= t ( 铲) 一玩，俨= z n 一诹则 由( 2 1 6 ) ，( 3 o 1 ) ，( 3 。2 2 8 ) 可得误差方程 一 + 其中 = 一 一 一 n j = o ( 3 2 2 9 ) 一 一 + j = o + + 盯 + 1 = ( n + 1 ) 一画面z “， 仃墨+ l = z 俨+ 16 霉矗胁d s 一七6 譬薹面乏， = 厂s 埔薹站 定理3 令钍 ( z ，o ) = 说( z ，o ) ，使得护兰o ，则存在正常数c ( “) 使得对足够小的七有 这里扩= ( t n ) 一z 竹 1 i e ，+ 1 1 1 日1 c ) ( 七+ 危3 ) ，j = o ，l ，m 1 1 6 内蒙古人学硕士学位论文 证明：在误差方程中令= 口佗+ 1 则有 一 + = 一 一 一 j = 0 一 一 + ( ( 3 2 3 0 ) j = 0 + ) + = 矸+ 1 + 露+ 1 + 弓+ 1 + 霹+ 1 + 写+ 1 + 露+ 1 其中( 3 2 3 0 ) 式左边的第一项 一 = ( 吨口r 1 矿1 ) + 志龇嘣缸) ( 嘣詹) 11 一l = 扣孵1 1 1 2 + 去 2 ( 噬南) 2 ) 两边对n 从。到j 求和则有 一2 南三 划咿1 1 1 2 + 志 2 ( p 芸知) 2 ( 3 2 3 1 )n = o。七= 0o 二o 上， i i 醴“孵 用c a u d l y - s c h w a r z 不等式和y o u n g 不等式对矸+ 1 到霹+ 1 进行估计 因为 所以 i 矸“i c ( e ) i i 矿1 l i 羔* + 专| i 嗡1 1 1 2 n = o n = o。，l = 0 i 砑“j c ( ) 愀“1 1 2 + 吉i | 嗡1 1 1 2 竹= 0n = 0一n = o ，jnj i 霹+ 1 l c ( e ) 后2 1 2 + 喜i l 咐1 1 1 2 n = 0n = of = o。n = o j，n ， i 霹“l c ( ) 南2 i i 吃1 1 2 + 吉e i l 瞄1 i | 2 n = o f l = 0 j = o 。n = o 忙i | 2 眺南，l l 象( s ) 怩幽 孵+ 1 i c ( e 川仳t t 怯( l * ) + 吉e | l 瞄 竹= 0 。n = 0 1 7 1 1 1 2 ( 3 2 3 2 ) ( 3 2 3 3 ) ( 3 2 3 4 ) ( 3 2 3 5 ) ( 3 2 3 6 ) 抛物型积分微分方程的三次配点法 利用( 3 2 2 7 ) 式的估计，可得瑶+ 1 的估计 i 露+ 1 i c ( e ) 七2 ( 怯t l l 至* + l i “t i i 羔。) + i 咿彗1 | 1 2 - ( 3 2 3 7 ) 对雩+ 1 中的峡施l i p s c h i t z 条件，则存在与钆和u 无关的正常数l ，使得 砰+ 1 【陋仃+ 1 一u 竹+ t 竹一z “j j 【咿譬1j j 己 i i ( s ) i i l d s | | 俄譬1 | | + “矿一p n 】i p 茹1 | i ， 应用y o u n g 不等式，有 塞i 碍“is 眯) 塞( | | f 州毗( 州川乏一+ j | 刑1 2 一+ f | 叫1 2 。) + 兰e 毫竺l | 1 2 ( 3 2 3 8 ) 将( 3 2 3 1 ) ( 3 2 3 8 ) 式乘以2 七代入( 3 2 3 0 ) 式，则有 ( 1 一d ( ) 钏咿1 1 1 2 + ( 2 知一1 0 ) 后嗡1 f 1 2 c ( ) 忌 i l 醒+ 1 l i 羔o 。+ i i 矿l i 羔。+ 忌i i u 托i i 至：( l 。) ( 3 2 3 9 ) + 七2 i l 札蜕l i 羔一+ 七2 i i 札。t i l 乏o 。+ i | 毗( s ) d s i l 2 0 。】+ c 0 ) 南i l p 2 1 1 2 ，tn： n = u 选择适当的和尼，使得知一骀 o ，( 1 一砖) o ，然后应用离散的g r o n w a l l 引理，及引理3 ， 定理得证 1 8 内蒙占大学硕士学位论文 参考文献 【1 】z h a n gl a 丘n i t ed i 髓r e n c e s c h e m ef o rg e n e r a l i z e dr e g u l a r i z e dl o n 争啪l v ee q u a t i o n j 】j a p p l m a t h c o i n p u t ，2 0 0 5 ，1 6 8 ：9 6 2 9 7 2 f 2 】l u ozd ，l i urx m i x e df i n i t ee l e m e n ta n a l y s i sa n dn 啪e r i c a ls o u t a r ys o l u t i o nf o rt h e 删 e q u a t i o n 【j 】s i a mj n u m e r a n a l ，1 9 9 8 ，3 6 ( 1 ) ：8 9 一1 0 4 【3 】g u ol ，c h e nh 日1 一g a l e r k i nm i x e d6 n i t ee l e m e n tm e t h o d f o rt h er e g u l a r i z e dl o n gw a v ee q u a t i o n 【j 】c o m p u t i n g ，2 0 0 6 ，7 7 ：2 0 5 2 2 1 【4 】g uhm ，c h e nn l e a u s t s q u a r e sm i x e d 丘n i t ee l e m e n tm e t h o d s f o rt h er l we q u a t i o 璐【j 】n u m e r m e t h o d sp a r t i a ld i 髋r e n t i a le q ，2 0 0 8 ，2 4 ：7 4 9 - 7 5 8 f 5 】l i uy ，m us ，l ih ，w a n gjf n u m e r i c a ls i m u l a t i o no f 日1 一g a l e r k i nm b ( e dm e t h o df b rr l w 二 b g e r 8e q u a t b n 【a 】i n ：2 0 1 13 r di n t e r n a t i o n a lc o n f e r e n c eo nc o m p u t e ra n dn e t w o r kt e e h n 0 1 0 9 y ( i c c n t2 0 1 1 ) i c 】s i n g a p o r e ：i e e e ，2 0 1 1 ，1 0 ：1 5 垂1 5 7 【6 】s l o a i lih aq u a d r a t l l r eb a s e da p p r o a c ht oi m p r 删n gt h ec o l l o c a t i o nm e t h o d 【j 】n u m e r m a t h ，1 9 8 8 ，5 4 ：4 l 一5 6 【7 】s l o a nih ，n a nd ，f a i r w e a t h e rg af o u r t h - o r d e rc u b i cs p l i n em e t h o df o rl i n e a u rs e c o n d 。o r d e r t w m p o i n cb o u n d 舢妒、，龇u ep r o b l e m s 【j 】i m aj n u m e r a n a l ，1 9 9 3 ，1 3 ：5 9 1 6 0 7 【8 】d o 鼹lj ，p a n ia k aq u 如c a t i o ni n e t h o df o ras e m i l i n e 甜t w op o i n tb o u n d 8 r y 砌u ep r o b l e m ， i n ：m b r o k a t e ，a h s i d d i q i ( e d s ) ，f u n c t i o n a la n a l l y s i sw i t hc u r r e n ta p p h c a t i o i l si ns c i e n c e ， t e c h n o l o g ya i l di n d u s c 吼p i t m a n 融糯射c hn o t e si nm a t h e m a t i c 8 ，1 9 9 7 ，p p 1 2 & 1 4 4 【9 】p a 肛ia k aq u a l o c a t i d ni i l e t h o df o rp a r a b o l i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【j 】i m aj n u m e r a n a l ，1 9 9 9 ，1 9 ：4 7 3 - 4 9 5 【1 0 1 d 0 s slj ，p a n iak aq u a l o c a t i o nm e t h o df o rau i l i d i i n e i l s i o n a ls i n 百ep h a s es e m i l l n e a rs t e 胁 p r o b l e m 【j 】蹦aj n 啪e r a n a l ，2 0 0 5 ，2 5 ：1 3 9 - 1 5 9 【l1 m a n t r ips ，n a t 甜a jn ，p a n ia k aq u a l o c a t i o nm e t h o d d rb u 7 1 9 e r s e q u a t i o n 【j 】j o u r n a lo f c o r 印u t a t i o n a la n da p p l i e dm a t h e r n a t i c 8 ，2 0 0 8 ，2 1 3 ：l 1 3 ( 1 2 】d o u 酉鸽jj r ，d u p o n tt c o l o c a t i o nm e t h o d 8 f o rp 舡a b o l i ce q u a t i o ni nas i n g l es p a c e 、，a r i a b l e ， l e c t u r en o t 髑i nm a t h e m a t i c s ，v 0 1 3 8 5 ，s p r i n g e r ，n e wy o r k ，1 9 7 4 f 1 3 】d a 们spj ，r a b i r l o w i t zp m e t h o d so fn u m e r i c a li i l t e g 聪儿i o n 心田n e wy o r ka c 砒e m i cp r e 豁， 1 9 7 5 【1 4 】s h e l l l l c i nv v an o n l o c a li nt i m em o d e lf o rr 础o n u c u d e sp r o p a g a t i o ni ns t o k e sf l m d sd y n 锄i c s o fn u i d 8w i t h 行e eb o u n d a r i 鹊 j 】s i b e r i a nr u s s i a na c a ds c i ，i 璐th y d r o d y - m m ，1 9 9 3 ，1 0 7 ： 1 8 m 1 9 3 参考文献 【1 5 】c u s h m a njh ，g i n ntr n o n l o c a ld i s p e r s i o ni nm e d i a r i t hc o n t i n u o u s l ye 、r o l v i n gs c a l e so f h e t e r o g e n e i t y 【j 】n a i l 8 p o r tp o r o u sm