（数学专业论文）几类有理型差分方程的解的性质的研究.pdf

t h e s t u d y o ft h ep r o p e r t i e so fs o l u t i o n sa b o u ts o m ek i n d s o fr a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n at h e s i ss u b m i t t e df o rt h ed e g r e eo fm a s t e r c a n d i d a t e ：c h e n y u n s u p e r v i s o r ：p r o f f e ix i a n g l i s c h o o lo fm a t h e m a t i c s & c o m p u t a t i o n a ls c i e n c e c h i n au n i v e r s i t yo fp e t r o l e u m ( e a s t c h i n a ) 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所傲的任何贡献均己在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文作者签名： 歪象三 日期：二o f7 年6 月召日 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门 ( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被 查阅、借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用 影印、缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签名：煞 指导教师签名： 日期：2 o l f 年6 月召e t 日期：z d f f 年月罗日 ，l 摘要 本文主要研究几类有理型差分方程的解的性质。第一章，介绍了差分方程的研究历 史与现状，以及本文的主要工作。第二章，介绍有理型差分方程的定义和一些相关的预 备定理。第三章，研究一类有理差分方程平衡点的渐进性质，并对两种具体的有理差分 方程。= + ，卅：a x n + 笔丁 给出了平衡点是汇点、源点、 一一i + ec x n + 蝣一1 鞍点、非双曲点的充要条件。第四章，对非线性有理差分方程“2 j 畿做了 进一步研究，得到了该方程及其变式的渐进稳定性和全局吸引性的结论，并用数值计算 及图形进行了验证。第五章，用r o u t h - h u r w i t z 和s c h u r - c o h n 判别法研究有理型差分方 程的性质。第六章，研究了几类方程的特殊数列。 关键词：有理差分方程，渐近稳定性，全局吸引性，平衡点，r o u t h - h u r w i t z 和 s c h u r - c o h n 判别法 产 u t h e s t u d yo ft h es o l u t i o np r o p e r t i e sa b o u t s o m ek i n d so fr a t i o n a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n c h e ny u n ( m a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f f e ix i a n g l i a b s t r a c t t h i st h e s i sf o c u s e so nt h ep r o p e r t i e so ft h ep o i n t so fk i n d so fr a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s i nf i r s tc h a p t e r , w ep r e s e n tr e s e a r c hd o m e s t i ca n df o r e i g nh i s t o r i c a ls i t u a t i o na b o u td i f f e r e n c e e q u a t i o n s i ns e c o n dc h a p t e r a n dw ei n t r o d u c es o m eb a s i cd e f i n i t i o na n dp r e p a r a t i o nt h e o r e m o fr a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n s i nt h i r dc h a p t e r ，w ed i s c u s s e dt h ea s y m p t o t i cp r o p e r t i e so f t h ee q u i l i b r i u mp o i n t so fak i n do fr a t i o n a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n sa n dt h en e c e s s a r ya n d s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r ep r o v i d e da b o u ts i n kp o i n t ，s o u r c ep o i n t , s a d d l ep o i n ta n d n o n h y p e r b o l i cp o i n t f o rt o w s p e c i a l r a t i o n a ld i f f e r e n c e e q u a t i o n s + 。= + c x n - - 生d x n _ u + e ，矗+ - = + 旦c x n + d x n q 2 + l2 + 2 一 矗+ l2 + l i nf o u r t hc h a p t e rw ew i l lf u r t h e rs t u d y t h i se q 嘁i o n ：x + 1 = 差瓮删酗恤a s 肿讲o n c s 洲h 哆a n ag l o ma n r a 撕啊够 a b o u tt h ee q u a t i o na n di t sv a r i a n t s i nt h ee n d t h ec o n c l u s i o nv a l i d a t e dg r a p h i c s i nf i f t h c h a p t e r , w es t u d yt h er a t i o n a l d i f f e r e n c e e q u a t i o n su s e i n gt h e d i s c r i m i n a n c em e t h o do f r o u t h - h u r w i t za n ds c h u r - c o h n i nl a s tc h a p t e r , w es t u d yt h es p e c i a ls e r i e so fk i n d so fr a t i o n a l d i f f e r e n c ee q u a t i o n s k e y w o r d s ： r a t i o n a ld i f f e r e n c e e q u a t i o n ,a s y m p t o t i c s t a b i l i t y , g l o b a l a t t r a c t i v i t y , e q u i l i b r i u mp o i n t s ，d i s c r i m i n a n c em e t h o d o fr o u t h h u r w i t za n ds c h u r - c o h n n 目录 第一章前言1 1 1 差分方程的研究历史与现状1 1 2 本文主要工作2 第二章差分方程的基本概念和定理3 2 1 基本概念3 2 2 基本定理。4 第三章一类有理型差分方程及其变式的解的性质8 3 1 差分方程+ 。= 瞩+ c x - 鱼d x ! 乞n _ i 一+ e 解的稳定性8 3 2 差分方程+ t = + c x n 4 - 叠( ：l 嘭一_ l 的稳定性1 5 第四章一类有理型差分方程解的性质的进一步研究2 1 4 1 方程= j 畿的渐进稳定性2 1 42：)!i程)c。i=畿的j面部渐j差稳定性24 第五章用r o u t h h u r w i t z 和s c h u r - c o h n 判别法研究有理型差分方程的性质2 8 5 1 基本定理2 8 5 2 几类差分方程的性质2 8 第六章几类差分方程的特殊解的具体表示3 1 6 1 方程+ t2 2 矗+ i 毫解的表示”3 l 6 2 方程矗+ i = a x n + l 解的表示3 3 工n 一一i 6 3 方程矗+ i = a x n 一一解的表示3 4 工h 十工”一i 6 4 方程+ l = a x n 一二已一解的表示3 4 6 5 方程x n + i = x n 1 i 竽笔解的表示3 5 6 6 方程矗+ l ：+ 竽l 解的表示3 6 x r 七x n i 结论3 8 参考文献3 9 攻读硕士学位期间取得的学术成果。4 2 致j 射4 3 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第一章前言 差分方程是与微分方程相平行的一个数学分支。它的建立与完善可以追溯到很早年 代，历史上许多著名数学家，如e u l e r 、p o i n c a r e 等都对这个理论做出过许多贡献。现 在它不但在数值分析、计数理论和特殊函数论中有着广泛的应用。而且由于计算机的飞 速发展，已成为经济分析、现代控制论、通讯理论等方面的重要数学工具。 1 1 差分方程的研究历史与现状 微分差分方程理论的系统研究工作开始于上个世纪五十年代，上世纪七十年代以 来，数量经济学、生物学、工程学科和控制论等的广泛应用，激起了国内外学者在这一 领域的兴趣，并为此做了大量的研究工作【l 】。 就现状而言，差分方程理论研究还很不成熟，有待于人们进一步的探讨。偏差分方 程的系统研究尤其少，仅有的专著是台湾清华大学的郑穗生的文献【2 1 。w c k e l l y 和 a c p e t e r s o n l 3 1 展望：“差分方程是一个丰富的领域，既有趣又有用。 但是，差分方程真正从理论上的深入、独立的研究开始在上个世纪9 0 年代初期， 近十多年的时间发展得较为迅猛，在文献中出现了一大批研究成果。 有理差分方程是非线性差分方程的重要类型，许多科学和工程问题的模型可以归结 为有理差分方程，例如离散虫c i 模型毛= 2 x , ( 1 - x , ) 就是一个有理差分方程，p i e l o u 把 方程死+ 。= 竿生，疗= 1 ，2 ，( 6 彳) 作为连续时滞l o g i s t i c 方程的类似。有理差分方程的 以十】_ 一t 研究对一般非线性差分方程有着启示作用，这类看似简单的方程表现出十分复杂的性 质。m r s k u l e n o v i c h e 和g l a d , a s 的专著【4 】中主要讨论了二阶差分方程 矗“= 署糕，刀= l ，2 ，解的性质，e c a r n o u z i s g lg l a d a s 的专著p 1 中主要讨论 了三阶差分方程卅= i a t 五+ f i 瓦x 了+ 石y x i _ 了1 + 面s x i _ 2 ，咒= 1 ，2 ，解的性质，这类方程内容的丰富 性、解的性质的复杂性可见其一斑。有理差分方程性质的研究近几年来引起广泛的关注， 可见文献f 4 】f 9 1 及其引用的参考文献。 第一章前青 1 2 本文主要工作 本文主要围绕如下两种类型及其某些变形方程开展研究 = 畿 k = + c x 丝+ d l x _ i ( 1 - 2 ) 主要是研究这两类方程解及相近方程解的局部渐进稳定性、全局渐进稳定性、有界性、 周期性、全局吸引性、振动性、解的持久性等。平衡点是汇点，源点，鞍点，非双曲点 的条件。采用数学软件m a t h e m a t i c 对结果进行数值模拟分析，对特殊差分方程找出其 解的表示。 2 位论文 概念和定理 为函数只的差分，也称为函数只的 一阶差分，记为必，或z x y ( t ) = y , + 。一只，一阶差分的差分a 2 y , 称为二阶差分，即 a 2 y t = ( 觚) = 觚+ l = ( 只+ 2 一咒+ 。) 一( 只+ ，一只) = 乃+ ：- 2 y , + 2 + 所类似地可定义三阶差分，四 阶差分等。 一般地，函数只的刀一1 阶差分的差分称为力阶差分，记为r 以，即 ”只= 川只+ 。一a 川只= ( 一1 ) 。q 只一，。二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分。 定义2 2 1 0 1 含有未知函数) ，的差分的方程称为差分方程，差分方程的一般形式 f ( t ，只，缈，2 y f ，一，只) = 0g ( t ，只，觚，a 2 只，a ”m ) = 0 差分方程中所含未知函数 差分的最高阶数，或者下标的最大值与最小值的差，称为该差分方程的阶。 定义2 3 1 9 1 形如 吒+ l = 厂( ，毛一女) ，n z + ( 2 - 1 ) 含有递推序列的等式，称为k + l 阶自治差分方程，其中右端的函数厂( 矗，吒一。) 是连续 函数。 若方程右侧变为厂( 矗，扪刀) ，则方程叫做七+ l 阶非自治差分方程。 老if ( x ，矗一。) 是线性函数，则差分方程称为线性差分方程。 定义2 4 【9 1 若i 满足平衡方程i = ( i ，x - - ) ，则，i 称为差分方程( 2 1 ) 的平衡解。 定义2 5 吲若 ) 二是方程( 2 1 ) 的一个解，i 是差分方程( 2 - 1 ) 的平衡解，并且存在 n ，当玎 n 时，有矗 i ，则称 ) 二是方程( 2 - 1 ) 关于平衡解i 的最终正解。 若 二是方程( 2 - 1 ) 的一个解，i 是差分方程( 2 一1 ) 的平衡解，并且科n ，当疗 时，有 o ，存在8 0 ， 当k 。一i l ，i x o - 2 1 d 时，有k - 2 i 6 ，疗z + 。则称平衡解i 是稳定的。否则，称平 衡解i 是不稳定的。 若( t 护，x o ) s c r “1 ，并且对应方程( 2 - 1 ) 的所有解有i i m 毛- 一x ，则称平衡解i 是 带有吸引域s 的全局吸引子。 若( t 七，) 酞“1 ，并且对应方程( 2 - 1 ) 的所有解有l i m 吒= i ，则称平衡解i 是全 局吸引子，或者称方程( 2 1 ) 是全局吸引的。 若平衡解i 是渐进稳定的，又是全局吸引子，则平衡解i 是全局渐进稳定的。 若平衡解i 是渐进稳定的，又是带有吸引域s 的全局吸引子，则称平衡解i 具有带 有吸引域s 的全局渐进稳定性。 定义2 7 f 8 l f l l l 设i 是方程( 2 1 ) 的一平衡点且厂c 1 ( r 川，r ) ，记 只：望堡掣，汪o ，1 ，忌这里厂( x o , x w , x k ) 是方程( 2 1 ) 中的函数。称方程 厥f 儿+ l = 儿+ p l y , 一l + + 仇此一，玎= 0 ，l ，( 2 - 2 ) 为方程( 2 - 1 ) 关于平衡点i 的线性化方程。方程( 2 2 ) 的特征方程为 名”= p 0 2 2 + a 五+ 一1 + + 以一l 力+ 仇( 2 3 ) 2 2 基本定理 定理2 1 例 ( 稳定性判定定理) 假设厂c 1 ，i 是方程( 2 - 1 ) 平衡解。若l 厂( i ) i 1 ，则i 是不稳定的。 定理2 2 【1 1 假设a ，p 2 ，仇尺，七 1 ，2 ，) ，p ，g r ，如果k1 只i 1 ，则差分方程 矗“+ n 矗+ + + n 毛= o ，疗= o ，1 ，是渐进稳定的。 注由于方程( 2 - i ) 渐进稳定的充要条件是其特征方程( 2 - 3 ) 的所有的的特征根z 满 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 2 1 1 ，因此，当1 只i 1 满足时，方程( 2 - 3 ) 的特征根五满足h l 。 t = l 定理2 3 1 1 设f ( x ) c ( 【o ，o o ) ，( o ，) ) 为一非增函数，i 是f ( x ) 的唯一不动点，那么， 下列叙述等价： 设： ( a ) i 是f 2 ( x ) 在( o ，o o ) 中的唯一不动点。 ( b ) 当0 0 ，u 0 ， 并且对x i 有 其中 下面定义一个新函数 ( 2 - 5 ) 【f ( x ，材，掰) 一( 不甜，“) 】( x i ) o ， ( 2 6 ) 【f ( x ，甜，甜) 一厂( i ，甜，“) 】 一i ) o ( 2 - 7 ) 5 ( 2 - 8 ) 瓦 一 x l 0 x 办办眠眠 罕罂 = 0 f 第二章差分方程的摹本概念和定理 g ( x ，y ) = y f ( y ，x ，x ) 厂( i ，i ，i ，y ) 【厂( i ，x ，x ) 】扣1 ， ( 2 9 ) 则有 定理2 4 f 7 1 考虑下述差分方程 k l = f ( 矗，x - 1 ) ，聆= 0 ，l ，1 ( 2 - 1 其中七1 为整数。设，= 【口，b 】为某一实数区间，且厂：【口，6 】【口，6 】【口，b 】为满足如下条 件的连续函数：( a ) f ( u v ) 关于甜不单调减，关于 ，不单调增，( b ) 若( 肌，m 】【口，b x a ，b 】 是方程组 踹的解，则研= m 。 则方程( 2 1 0 ) 具有唯一的平衡点i 且方程( 2 1 0 ) 所有解均收敛于i 。 对于差分方程 磊“= ( ，一1 ) ，聆= 0 , 1 ，2 ，( 2 - 1 1 ) 其线性化方程 毛+ i p x n 一够州= 0 ，拧= 0 ，1 ，2 ，( 2 1 2 ) 其中的函数厂( 甜，1 ，) 在平衡点的偏导数为p ：望笺盈，q ：翌譬，则有下面结论： 定理2 5 t 4 1( 线性稳定性) ( a ) 如果一元二次方程 名2 一p 旯一q = o( 2 1 3 ) 的两个根满足：1 2 1 1 ，则方程( 2 一1 1 ) 的平衡解i 是局部渐进稳定的。 ( b ) 如果方程( 2 1 3 ) 至少有一个根的绝对值大于1 ，则方程( 2 一l1 ) 的平衡解i 是不稳 定的。 ( c ) 方程( 2 - 1 3 ) 的两个根都满足h l 的充要条件是，i p i 1 - q l ，这种情况下方程( 2 一1 1 ) 的平衡解i 称作是鞍点。 6 7 第三章一类有理型差分方程及其变式的解的性质 第三章一类有理型差分方程及其变式的解的性质 3 1 差分方程_ + 。= + c x n j - 蟹d x n 一_ ! + e 文献【7 】研究了方程 解的稳定性 t 强+ 蒜杀川一1 名 + l2 + f 一 ，忍2 ，厶 + 癜。一l 的平衡解的稳定性。差分方程( 3 1 ) 的一种变形方程是 毛+ - 2 瞩+ c x n 竺- - d l x n - i , r 一1 ，2 一， 毛+ l2 瞩+ 上 2 ， ( 3 - 1 ) ( 3 2 ) 方程( 3 2 ) 的平衡方程是i ：丽+ _ = 筌二i ：o 时，式( 3 1 ) n ( 3 2 ) 都没有意义，因此， i = 0 不是平衡解。文献f 7 】研究了方程( 3 - 1 ) 的平衡点i = 0 的渐进稳定性，由于忽略了定 义的函数厂( 甜，v ) ：口“+ 兰在点( o ，o ) 的偏导数连续的要求，其方法是不正确的。 c 材+ a v 下面我们把方程( 3 2 ) 修改为： 毛+ t = + c x n 尘- - d x l n _ i + e ，刀= l ，2 ， ( 3 - 3 ) 进而研究方程( 3 3 ) 的平衡点的局部稳定性，其中a , b ，c ，d 都是非负实数，e 0 。由于 b = 0 的情形是平凡的，下设b 0 ，所用方法也可以研究方程 = + 忐 ( 3 q 口。+ 锻。+ p 的平衡点的局部稳定性。 关于有理差分方程的另外一个问题是研究其f o r b i d d e n 集，即确定，使得形如方程 ( 3 - 3 ) 的方程在某个时候无意义( 分母为零) 的初值的集合，这是一个很困难的问题， 本文不予讨论，可见文献【4 】。 方程( 3 3 ) 的平衡方程是 i ：丽+ 三( 3 - 5 ) 8 中国石油大学( 华东) 硕 ：学位论文 贝u ，( c d a c + a d b ) - 9 2 = ( a - 1 ) e i 。 当似一1 ) ( d f ) 一b = 0 时，若a = 1 ，则方程( 3 - 3 ) 有任意的平衡解i ；若a 1 ， 则方程( 3 - 3 ) 有唯一的平衡解i = 0 。 当似一1 ) ( d c ) 一b 0 时，若a = l ，方程( 3 - 3 ) 有唯一的平衡解i = 0 ；若口l ，方程( 3 3 ) f i = 0 有两个平衡解 i ： ! 鱼二! ! 1( 口- 1 ) ( d - c ) 一b 下面只讨论( 口一1 ) ( d c ) 一b 0 的情况，( 口一1 ) ( d c ) 一b = 0 的情形可类似讨论。下 厂( 州) = a u - l - 蜂一( 3 - 6 ) c u d v + p 即得，无( i ，i ) = 口，工( i ，- g ) = 0 方程( 3 3 ) i y j 线性化方程 + l a y , = 0 ( 3 8 ) 特征根五= 口，取y 。0 为任意的实数，则方程( 3 8 ) 的解为咒= ( 口) ”y o ，刀= 1 ，2 ，口因此， 由定理2 5 ( a ) ，当a 1 时，零平衡点是不 稳定的；当a = l 时，p = l ，q = 0 满足l p i = 1 1 - q i ，由定理2 5 ( f ) 知，此时方程( 3 3 ) 的一 个根的绝对值等于1 。平衡解i = 0 是原方程的非双曲点。所以得出下列结论： 定理3 1 当似一1 ) ( d c ) 一b 0 时，若口 l ，则方程( 3 3 ) 的解是不稳定的；若a = l ，则方程( 3 3 ) 的零平衡解是非双 曲点。 9 箩州 甜 m 一吖 6 2一一 + 一w雾 第三章一类有理型差分方程及其变式的解的性质 情形2 非零平衡解：i = 高筹此时，施- 2 - 口一丁( a - 1 ) 2 c ， z ( 无力：d ( 1 了- 一a ) 2 。 d 则方程( 3 3 ) 的线性化方程为： 儿+ l ： 2 - a ( a - ，1 ) 2 c 。 + 要( 1 一口) 2 儿一i dd 定理3 2 关于平衡解i = 石= e 丽( a 7 - 丽1 ) a 1ac ，有如下结论成立 ij i j d l 当c 0 时。 ( 1 ) i 是方程( 3 - 3 ) 的汇点的充要条件是 打口) 2 m a x 。，搿硼击砒 ( 3 ) i 是方程( 3 - 3 ) 鞍点的充要条件是 m i n t 筹以击埘， 或者 o 0 1 3 = z ，毁召c = _ 一 ( 1 一口) ( 1 一d )( 1 一口) 2 i i 当c = 0 时： ( 1 ) i 是方程( 3 3 ) 的汇点的充要条件是 m a x 等，高去 ； ( 3 1 6 ) ( 1 一力2 。( 1 一口) 2 口一l 、。 ( 3 ) i 是方程( 3 3 ) 鞍点的充要条件是 叫2 ，等 d 上a - i 或者土a - 1 0 时： ( 1 ) 由定理2 5 ( c ) 知，平衡解i = 石器是方程( 3 - 3 ) 的汇点的充 要条制p i 小删卿| 2 - 口一学l 1 _ 争也这里必静d 刊2 “则 l 一要( 1 一口) 2 2 是显然的，因此，条件简化为 1 一鲁( 1 口) 2 ( 3 - 1 9 ) 詈( 1 一口) 2 l 且詈( 1 一口) 2 _ l 2 _ a _ ( a - 6 1 ) 2 c - l 一鲁( 1 一口) 2 ( 3 - 2 。) 解不等式i d ( 1 一口) 2 - l 2 - a 一鱼亏竽 l 一吾( 1 一口) 2 得 b + d c 一( 3 - a ) b d 1 一口 ( 1 一口) 2 即 即得结论( 1 ) 。 ( 3 2 1 ) 詈( 1 叫2 l 且击+ d c 正( 3 - 孑a ) b d ( 3 - 2 2 ) 一口一2 叫i 1 且i p l - 日_ 1 2 - ai 时，得不等式1 2 一口一一( a - 1 ) 2 c l 詈c t 一口，2 一t ，它又等价于 l d ( 1 - a ) 2 2 - a - t 6 l 、, , a _ j 2 c i d ( 1 一口) 2 一l ( 3 - 2 4 ) 从不等式 2 - a 一_ ( a - 1 ) 2 c 要( 1 一口) 2 1 和 1 一d ( 1 一口) 2 ( 1 - g ) 2 + 4 q = ( 1 + 9 ) 2 o 所以条件简化为 ( 2 - a - 华2 ( 1 一扣) 2 ( 3 _ 2 6 ) 设2 - a ( a _ - 一1 ) 2 c 0 ，则口 2 ，不等式( 3 2 6 ) 等价于 d 口一2 + ( a - 厂1 ) 2 c l 一詈( 1 - 口) 2 2 _ a _ ( a - 6 1 ) 2 c ( 3 - 2 7 ) 鼽击忆且c 器氓眦得关弑0 c m i n 潜以击删。 设2 - a 一( a _ - - 1 ) 2 一c 1 0 t一) 口一d ( 1 ) 由定理2 5 ( c ) 知，平衡解i 是方程( 3 3 ) 的汇点的充要条彳年是i p l 1 一g 2 ，即 2 - a l 一鲁( 1 一口) 2 2 。这里必须詈( 1 一口) 2 1 ，此时，1 一詈( 1 一口) 2 2 是显然的，因此， 条件简化为詈( 1 一口) 2 1 ，1 2 一口i 1 一詈( 1 一口) 2 不等式等价于 鲁( 1 一口) 2 l 且吾( 1 一口) z - 1 2 - a l - d ( 1 一口) 2 ( 3 - 3 1 ) 解不等式扣口) 2 - 1 2 - a l - d ( 1 刊2 得d 1 且 l 且1 2 一口i l 时，得不等式1 2 一口l a t ( 1 一口) ：一1 ， 它又等价于卜要( 1 一口) 2 2 - a d ( 1 一口) 2 一l ，从不等式2 - a 1 1 一g i p 2 + 4 q ( 1 一g ) 2 + 4 q = ( 1 + g ) 2 0 所以条件简化为 ( 2 - a ) 2 ( 卜詈( 卜) 2 ( 3 - 3 3 ) 设2 一口 0 ，则a 2 ，不等式( 3 3 3 ) 等价于 铲2 l 一詈( 1 - 2 叫( 3 - 3 4 ) 解不等式( 3 - 3 4 ) 得击 d 筹，设2 一口 。，不等式( 3 - 3 4 ) 等价于 2 - a l 一翌( 1 一口) 2 0 町： ( 1 ) 方程( 3 3 6 ) 的平衡解i 是汇点的充要条件是m 即，舞 c 簧等或者 0 c ( 1 - 2 a ) _ b ； 2 ( 1 一们2 ( 3 ) 方程( 3 - 3 6 ) 的平衡解i 是鞍点的充要条件是函b c 滞； ( 4 ) 方程( 3 - 3 6 ) 的平衡解i 是非双曲点的充要条件是c = f b 石，或者c = 箦芒弓笋， 或者c ：掣0 。 2 ( 1 一们2 i i 当c = 0 时2 ( 1 ) i 是方程( 3 - 3 6 ) 汇点的充要条件是1 2 口 a o ； ( 3 ) i 是方程( 3 3 6 ) 不可能是鞍点； ( 4 ) i 是方程( 3 3 6 ) 非双曲点的充要条件是口= 兰。 注只有口 0m l - ( 1 ) 由定理2 5 和( 3 4 0 ) ，此时p ：2 一口一导( 1 一口) 2 ，q ：2 a - 2 + 竿( 1 一口) 2 ，由定理2 5 ( c ) dd 1 6 中陶石油人学( 华东) 硕士学位论文 不等式( 3 - 41 ) 等价于 以及 卜学l 3 2 口一丝( 1 一口) 2 2 b 、 ( 3 - 4 1 ) 3 勘一警( 1 刊2 。( 3 - 4 2 ) 2口一3+丝(1一口)22-a-_(a-广1)2c圭可得4-n：1 a1a 裟2 ( 1 击1 。 ：二一、，一二二一! 一ui 二- - 二一 忙一学陪2 口一争l 不等式( 3 4 4 ) 等价于如下的两个不等式组 或者 卜秘矿” 一学陪2 口一 l2 口+ 等c 一口，2 t 一学i 簧三专笋解不等式组( 3 - 4 6 ) 得c 丽( 1 - 2 a ) b 。 1 7 ( 3 4 3 ) ( 3 - 4 5 ) ( 3 4 6 ) 或者 方程( 3 - 3 6 ) 的鞍点的充要 ( 3 - 4 7 ) ( 3 4 8 ) a + c ( 1 一口) 2 2 1 3 一三口一等c 一口，：l 2 一口一昙c t 一口，z 3 4 9 不等式组( 3 4 8 ) 无解。解不等式组( 3 4 9 ) 得击 c 箦等，即得结论( 3 ) 。 或者 ( 4 ) 由定理2 5 ( f ) 知，平衡解i = 瓦圭面一号是方程( 3 _ 3 6 ) 的非双曲点的充要条件是 方程( 3 5 0 ) 等价于 1 2 一口一b ( 1 - a ，2 i = 1 3 - 2 a - - 等( t 一口，2 i c 3 - 5 。， 2 州+ 警( 1 刊2 1 ， 一2 s 2 一口一c ( 1 - a ) 2 2 b ( 3 - 5 1 ) 3 也一警( 1 - 口) 2 = ( 2 巾抄) ( 3 - 5 2 ) 1 8 中国石油大学( 华东) 硕十学位论文 方程( 3 - 5 2 ) 的解为c = i b 石，c = 夏b ( 5 可- 3 a ) 解不等式组( 3 5 1 ) ，由2 口一2 + 等( 1 一口) 2 = 一1 可 得，c = 夏b ( 1 而- 2 a ) 。解不等式- 2 2 - a - c ( 1 - 6 a ) 2 2 ，由于2 一口一c ( 1 f - a ) 2 2 显然成立， 自- 2 2 _ 口一丁c ( 1 - a ) 2 胁等晰丽b ( 1 - 2 a ) s 等愀碱都_ 5 1 ) 的解为c = i b ( 丽1 - 2 a ) 即得结论( 4 ) 。 i i 当c = 0 时： ( 1 ) 由定理2 5 和( 3 - 4 0 ) ，此时p = 2 一a ，q = 2 a - 2 ，由定理2 5 ( c ) 知，i 是方程( 3 - 3 6 ) 的汇点的充要条件是 1 2 - a l 3 - 2 a 2 ( 3 - 5 3 ) 由于口 1 ，不等式( 3 5 3 ) 等价于3 2 口 2 , 2 一口 3 2 口由( 3 4 2 ) 可得三 口 1 【1 2 - a l 1 3 2 a 由于口 3 - 2 a 由于a 。时，方程+ ，= j 疑等价于方程( 4 1 ) 。 定理4 1 对方程( 4 - 1 ) ，如下的结论成立 ( 1 ) 平衡解i = 0 ，当a l + f l 时，是渐进稳定的，当a b ( 1 一彳) 且l 彳 o ，b 1 时是渐进稳定的，当 i a 0 ，b l ，i o ，令彳 o ， ) o ，( ( i ) o 2 ( + 1 ) + a ( b 1 ) ( + i x b + 1 ) j ( b 一1 ) ( 彳一- 1 ) i ，勘一l o 成立，所以i ( i ) + e ( i ) + ( ( z ) l l 由定理2 2 知，差分方程( 4 1 ) 的平衡解是渐进稳定的。 当 b o - a ) 时，( ( 习 o ，c ( 习 o ，c ( i ) o 令 l 何) + 巧( 习+ e ( 习i _ 砉署 i - a ，由于夕 b ( 1 - a ) ，得1 b 。因此，1 b ( i 一爿)平衡解i ：三 o 岛= l ，h = 1 , x o = 2 得图形( 图2 ) 0 8 7 o 8 6 0 8 s 图4 - 2 方程x 州= 2 x h + x n 一2 0 5 + 2 x n + x n l f i 9 4 - 2 t h ef i g u r es h o w st h es o l u t i o no f x “2 考虑方程 x 肿i2 在如= l ，t l = 1 ，x o = 2 处的解 2 x n + z n 一2 0 5 + 2 x n + x 月_ l 2 x 月+ x 月一2 0 5 + 3 x h + 工 一l ( 4 - 1 0 ) 取初值 ，w h e r e x221 ，t l21 ，x 02 2 ( 4 1 1 ) 图4 - 3 方程x 州= 面2