（概率论与数理统计专业论文）jacobi扩散及其在金融中的应用.pdf

南开大学学位论文使用授权书 根据南开大学关于研究生学位论文收藏和利用管理办法，我校的博士、硕士学位获 得者均须向南开大学提交本人的学位论文纸质本及相应电子版。 本人完全了解南开大学有关研究生学位论文收藏和利用的管理规定。南开大学拥有在 著作权法规定范围内的学位论文使用权，即：( 1 ) 学位获得者必须按规定提交学位论文 ( 包括纸质e ；p , b 0 本及电子版) ，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生学位论 文，并编入南开大学博硕士学位论文全文数据库；( 2 ) 为教学和科研目的，学校可以将 公开的学位论文作为资料在图书馆等场所提供校内师生阅读，在校园网上提供论文目录检 索、文摘以及论文全文浏览、下载等免费信息服务；( 3 ) 根据教育部有关规定，南开大学向 教育部指定单位提交公开的学位论文；( 4 ) 学位论文作者授权学校向中国科技信息研究所和 中国学术期刊( 光盘) 电子出版社提交规定范围的学位论文及其电子版并收入相应学位论文 数据库，通过其相关网站对外进行信息服务。同时本人保留在其他媒体发表论文的权利。 非公开学位论文，保密期限内不向外提交和提供服务，解密后提交和服务同公开论文。 论文电子版提交至校图书馆网站：h t t p ：2 0 2 1 1 3 2 0 1 6 1 ：8 0 0 l i n d e x h t m 。 本人承诺：本人的学位论文是在南开大学学习期间创作完成的作品，并己通过论文答 辩；提交的学位论文电子版与纸质本论文的内容一致，如因不同造成不良后果由本人自负。 本人同意遵守上述规定。本授权书签署一式两份，由研究生院和图书馆留存。 作者暨授权人签字： 旦宣趁 2 0 l o 年5 月2 7 日 论文题目j a c o b i 扩散及其在金融中的应用 姓名周育珍学号2 1 2 0 0 7 0 0 5 0答辩日期 2 0 1 0 0 5 2 7 论文类别博士口学历硕士硕士专业学位口高校教师口同等学力硕士口 院系所数学科学学院 专业 概率论与数理统计 联系电话 1 3 7 5 2 31 4 0 1 le m a i l z h o u y u z h e n n k y a h o o t o m c a 通讯地址( 邮编) ：南开大学西区公寓3 号楼3 门5 0 2 室( 3 0 0 0 7 1 ) 备注： 注：本授权书适用我校授予的所有博士、硕士的学位论文。由作者填写( 一式两份) 签字后交校图书 馆，非公开学位论文须附南开大学研究生申请非公开学位论文审批表。 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作所 取得的研究成果。除文中己经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包 含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所 涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本 学位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：旦宣垒2 0 l o 年5 月2 7 日 非公开学位论文标注说明 根据南开大学有关规定，非公开学位论文须经指导教师同意、作者本人申 请和相关部门批准方能标注。未经批准的均为公开学位论文，公开学位论文本 说明为空白。 论文题目 申请密级 口限制( 2 年)口秘密( 1 0 年)口机密( 2 0 年) 保密期限 2 0 年 月日至2 0 年月 日 审批表编号批准日期 2 0 年月日 南开大学学位办公室盖章( 有效) 限制2 年( 最长2 年，可少于2 年) 秘密1 0 年( 最长5 年，可少于5 年) 机密2 0 年( 最长l o 年，可少于1 0 年) 摘要 本文研究了j a c o b i 扩散的性质及其应用。首先，我们用谱方法得到了该 过程首达时密度的显示表达式和渐近形式。进而，我们考虑j a c o b i 扩散在金 融中的应用。一方面，我们考虑受控市场上的违约问题。我们用j a c o b i 扩散 描述受控市场上资产的价格动态，并且研究了政府管制对违约的影响。另一 方面，我们考虑可违约金融资产违约时回复率的不确定性问题。我们用取 值于( o ，1 ) 的j a c o b i 扩散描述回复率动态，并且刻画了违约强度与回复率的负 相关性。最后我们考虑随机回复率下可违约债券定价问题。 关键词：j a c o b i 扩散；首达时密度；受控市场；违约风险；条件生存概率； 随机回复率 a b s t r a c t t h ej a c o b id i f l u s i o ni ss t u d i e di nt h i st h e s i s w 色f i r s tp r o v i d ee x p l i c i ta n a - l y t i c a lc h a r a c t e r i z a t i o nf o rt h eh i t t i n gt i m ed e n s i t yb yt h em e t h o do fs p e c t r a lr e p - r e s e n t a t i o n f u r t h e r , t w op o t e n t i a l l yi n t e r e s t i n ga p p l i c a t i o n sa r ec o n s i d e r e d n e f i r s ta p p l i c a t i o nc o n c e r n st h ed e f a u l t si nt h er e g u l a t e dm a r k e t w ee m p l o yt h ej a - c o b id i f f u s i o nt om o d e lt h ep r i c ed y n a m i c so ft h er e g u l a t e dg o o d so rs e r v i c e s ，a n d i n v e s t i g a t et h ee f f e c to ft h er e g u l a t i o no nt h ee v e n to fd e f a u l t t h es e c o n da p p l i c a - t i o nc o n c e r n st h ed y n a m i c so ft h er e c o v e r yr a t ei nt h ee v e n to fd e f a u l t w ea d o p t t h ej a c o b id i f f u s i o no n ( 0 ，1 ) t om o d e lt h er e c o v e r yr a t ed y n a m i c s t 1 1 en e g a t i v e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ed e f a u l ti n t e n s i t ya n d t h er e c o v e r yr a t ei sc h a r a c t e r i z e d f i n a l l y , t h ep r i c i n go ft h ed e f a u l t a b l eb o n d sa r ec o n s i d e r e d k e y w o r d s ：j a c o b id i f f u s i o n ；h i t t i n gt i m ed e n s i t y ；r e g u l a t e dm a r k e t ；d e f a u l tr i s k ； c o n d i t i o n a ls u r v i v a lp r o b a b i l i t y ；s t o c h a s t i cr e c o v e r yr a t e c 3 4 摘舳。2 c o 婴坚兰一一旦 4 2 m o d e l i n gt h er e c o v e r yr a t ew i t hj a c o b id i f f u s i o n 2 2 4 3 n u m e r i c a li l l u s t r a t i o n s 2 5 5 c o n c l u d i n gr e m a r k s 2 7 a p p e n d i x 2 8 b i b l i o g r a p h y 3 3 致 谢 3 5 个人简历与研究成果 3 7 c h a p t e r1 b a c k g r o u n d a n di n t r o d u c t i o n t h i st h e s i si n t r o d u c e sac o n t i n u o u st i m ep r o c e s sw i t hl i n e a rd r i f ta n dq u a d r a t i c s q u a r e dd i f f u s i o nc o e f f i c i e n t ，c a l l e dt h ej a c o b id i f f u s i o n i th a sb e e nd e m o n s t r a t e dt h a t t h i sp r o c e s si su s e f u la n ds t a t i s t i c a l l yt r a c t a b l ew h i l ea p p l y i n gt of i n a n c e o no n eh a n d ， t h ej a c o b id i f f u s i o ni sb o u n d e da n di t ss t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o ni sas h i f t e da n dr e s c a l e d b e t a - d i s t r i b u t i o n t h es h a p eo fs u c hd i s t r i b u t i o nc a nb es y m m e t r i co rs k e w e d ，a n d h e a v y - o rl i g h t - t a i l e d h e n c e ，i tc a nf i tt h ef i n a n c i a ld a t ap a r t i c u l a r l yw e l l l a r s e na n d s c r e n s e n 【2 7 】m o d e l e dt h ed y n a m i c so ft h ee x c h a n g er a t ei nat a r g e tz o n eb yt h ej a - c o b id i f f u s i o n ( s e ea l s o ，e g ，d ej o n ge ta 1 7 】) t h ep a p e rb yg o u r i e r o u xa n dj a s i a k 【17 】i n t r o d u c e da ni n d e p e n d e n tj a c o b id i f f u s i o nt oc o n t i n u o u s l ym o d u l a t et h ed r i f ta n d v o l a t i l i t yo ft h eb l a c k s c h o l e sm o d e l 皿e ya l s oc o n s i d e r e dt h ee f f e c to ft h em o d u l a - t i o no nt h ed e r i v a t i v ep r i c e m o r e o v e r , t h e yi n t r o d u c e dm u l t i v a r i a t ej a c o b ip r o c e s sa n d c o n c e r n e di t sa p p l i c a t i o ni nc o r p o r a t ec r e d i tr a t i n g s o nt h eo t h e rh a n d ，t h es t a t i s t i c a l t r a c t a b i l i t yi sa n o t h e ri m p o r t a n tm o t i v a t i o nf o rr e s e a r c h e r sa n dp r a c t i t i o n e r st oa d o p t t h ej a c o b id i f f u s i o ni ne m p i r i c a lf i n a n c e w o n g 【3 3 】p r o v e dt h ee i g e n f u n c t i o n so ft h e j a c o b id i f f u s i o nw e r ej a c o b ip o l y n o m i a l s w i t ht h eo p t i m a lm a r t i n g a l ee s t i m a t i n gf u n c t i o n sb a s e do nt h ee i g e n f u n c t i o n sb yk e s s l e ra n ds o r e n s e n 【2 5 】( s e ea l s o ，e g ，s o r e n s e n 【l3 】) ，t h es t a t i s t i c a li n f e r e n c eo ft h ej a c o b id i f f u s i o ni ss t r a i g h t f o r w a r d t h e r e f o r e ，i t i sm e a n i n g f u lt oi n v e s t i g a t et h ep r o p e r t yo ft h ej a c o b id i f f u s i o na n di t sa p p l i c a t i o n si n f i n a n c e t h es t a t i o n a r yd i s t r i b u t i o na n dt h et r a n s i t i o nd e n s i t yo ft h ej a c o b id i f f u s i o nh a v e b e e ns t u d i e d b ym a n yl i t e r a t u r e s ( s e e ，e g ，w o n g 【3 3 1 ) i nt h i st h e s i s ，w et u r nt oi n v e s t i - c h a p t e r1 b a c k g r o u n da n di n t r o d u c t l 0 n2 g a t et h ed i s t r i b u t i o na n dd e n s i t yo f t h eh i t t i n gt i m eb yt h em e t h o do fs p e c t r a le x p a n s i o n ( s e e ，e g ，l i n e t s k y 【2 8 - 3 0 ) w eo b t a i nt h ee x p l i c i ta n a l y t i c a le x p r e s s i o nf o rt h e m m o r e o v e r , t h el a r g e - na s y m p t o t i cr e p r e s e n t a t i o n so ft h ee i g e n v a l u e sa n dt h ec o e f f i c i e n t o ft h ee x p a n s i o ns e r i e sa r eg i v e n f u r t h e r , w es t u d yt w op o t e n t i a l l yi n t e r e s t i n ga p p l i c a t i o n so ft h ej a c o b id i f f u s i o n t h ef i r s ta p p l i c a t i o nc o n c e l t l st h ed e f a u l t si nt h er e g u l a t e dm a r k e t u n d e rm e r t o n s s t r u c t u r a lf r a m e w o r k ( s e e ，e g ，b i e l e c k ia n dr u t k o w s k i 【3 】，l a n d o 【2 6 1 ) ，t h ea s s e td y n a m i c so ft h ef i mi sm a t h e m a t i c a l l yd e s c r i b e db yag e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o na n d d e f a u l to c c u r sw h e nt h ev a l u eo ft h ef i r md o w n c r o s s e ss o m et h r e s h o l dl e v e l h o w e v e r , t h ea s s e tp r i c e si nt h er e g u l a t e dm a r k e ta r er e s t r i c t e dt os o m eb o u n d e di n t e r v a l w h i c h m a k et h eg e o m e t r i cb r o w n i a nm o t i o nu n s a t i s f i e d b oe ta 1 【4 1p r o p o s e das o c a l l e d t w o b a r r i e rr e f l e c t e do r n s t e i n u h l e n b e c kf a b b r o u ) p r o c e s si n s t e a d t h e yc o n c l u d e d t h a tt h eb o u n d a r yr e g u l a t o rm a d et h ed e f a u l to c c u re a r l i e rc o m p a r e dt ot h en o n r e g u l a t e d c a s e ，w h i c hi sc o n s i s t e n tw i t ht h ei n t u i t i o n i nt h i st h e s i s ，w ew i l le m p l o yt h ej a c o b id i f - f u s i o nt om o d e lt h ep r i c ed y n a m i c so ft h er e g u l a t e dg o o d so rs e r v i c e s i no u rs e t t i n g s ， t h ev o l a t i l i t yo ft h ea s s e tp r i c ew i l lb e c o m es m a l l e ri ft h e r ee x i s t st h er e g u l a t i o no ft h e g o v e r n m e n t i no t h e rw d r d s w ea s s u m et h a tt h eg o v e r n m e n tr e g u l a t i o nm a k e st h ep r i c e s t a b l e t h e r e f o r e ，w ec o m et oa no p p o s i t eb u tr e a s o n a b l ec o n c l u s i o nt h a tt h ed e f a u l t w i l lo c c u re a r l i e ri ft h eg o v e r n m e n th a sn o ti m p o s e de f f i c i e n tr e g u l a t i o n t h es e c o n da p p l i c a t i o nc o n c e r n st h ed y n a m i c so ft h er e c o v e r p yr a t ei nt h ee v e n t o fd e f a u l t w h i l ec o n s i d e r i n gt h ep r i c i n go ft h ed e f a u l t a b l ef i n a n c i a la s s e t s r e s e a r c h e r s a l w a y sf o c u si n t e n t l yo nt h ed e f a u l tp r o b a b i l i t ya n d t h el o s sg i v e nd e f a u l t ，w h i c hi se q u a l t oo n em i n u st h er e c o v e r yr a t e ( a b b r r r ) t r a d i t i o n a lm o d e l so n l yc o n c e r nt h ee v o l u t i o n o ft h ed e f a u l ti n t e n s i t ya n da s s u m et h a tt h er e c o v e r yr a t ei sc o n s t a n t w h i c ht u r n st ob e c o n t r a d i c t e dw i t ht h er e a lm a r k e t ( s e e ，e g ，g u oe ta 1 【19 】a n dk a r o u i 【2 3 1 ) a l t m a n 【l 】h a sf o u n dt h ee m p i r i c a le v i d e n c et os u p p o r ta n dq u a n t i f yt h en e g a t i v er e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h er e c o v e r yr a t ea n dt h ed e f a u l tp r o b a b i l i t y ( s e ea l s o ，e g ，【2 ，6 ，l 和1 6 ，2 l 】) h e n c e ，w es h o u l di n v e s t i g a t et h ed y n a m i c so ft h er e c o v e r yr a t ea n di t sr e l a t i o n s h i pw i t h t h ed e f a u l ti n t e n s i t yi nd e t a i l i n t h i st h e s i s ，w ea d o p tj a c o b id i f f u s i o no n ( 0 ，1 ) t om o d e l t h er e c o v e r yr a t ed y n a m i c s ，a n da s s u m et h a tt h ed e f a u l ti n t e n s i t yp r o c e s si sa d e c r e a s i n g f u n c t i o no ft h er e c o v e r yr a t ep r o c e s s w ei n t r o d u c et w os p e c i f i cw a y st oc h a r a c t e r i z et h e n e g a t i v er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ed e f a u l ti n t e n s i t ya n dt h er e c o v e r yr a t e ，a n dt e s tt h e i r c h a f f e r1 b a c k g r o u n da n di n t r o d u c t i o n 3 e f f e c to nt h ep r i c i n go ft h ed e f a u l t a b l eb o n dn u m e r i c a l l y t h er e s u l ti sc o n s i s t e n tw i t h o u ri n t u i t i o n t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s c h a p t e r2p r o v i d e ss o m er e l a t e dt h e o r e t i c a lr e - s u i t so i lt h ej a c o b id i f f u s i o n ，w h i c hi n c l u d et h eb o u n d a r yp r o p e r t i e s ，t h et r a n s i t i o nd e n - s i t y , t h es t a t i o n a r yd e n s i t ya n d t h ed e n s i t yo ft h eh i t t i n gt i m e i nc h a p t e r3 ，w ea d o p tt h e j a c o b id i f l u s i o nt om o d e lt h ea s s e td y n a m i c si nt h er e g u l a t e dm a r k e t l cc o n d i t i o n a l s u r v i v a lp r o b a b i l i t yo ft h ef i r mi ss t u d i e d 。e i t h e rw i t hc o m p l e t em a r k e ti n f o r m a t i o no r w i t hp a r t i a li n f o r m a t i o n s o m en u m e r i c a lr e s u l t sa r eg i v e na tt h ee n do ft h i sc h a p t e r w 色c o n s i d e rt h ed y n a m i c so ft h er e c o v e r yr a t ei nt h ee v e n to fd e f a u l ti nc h a p t e r4 m o r ep r e c i s e l y , w em o d e lt h er e c o v e r yr a t ew i t ht h ej a c o b id i f f u s i o na n dc h a r a c t e r i z e i t sr e l a t i o n s h i pw i t ht h ed e f a u l ti n t e n s i t y t h e n ，w eg i v et h ev a l u a t i o no ft h ed e f a u l t a b l e z e r o - c o u p o nb o n da n dr e p r e s e n ts o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t s c h a p t e r5 c o n c l u d e s a l l p r o o f sa r ei nt h ea p p e n d i x c h a p t e r 2 t h ej a c o b id i f f u s i o n ：t h e o r e t i c a l r e s u l t s i nt h i sc h a p t e r , w ef i r s ts t u d yt h eb o u n d a r yp r o p e r t i e so ft h ej a c o b id i f f u s i o n t h e n w eg i v eaf o r m u l af o rt h et r a n s i t i o nd e n s i t y f i n a l l y , w ei n v e s t i g a t et h ed e n s i t yo ft h e h i t t i n gt i m e 2 1 b o u n d a r y c l a s s i f i c a t i o n i nt h i ss e c t i o n ，w ei n t r o d u c et h ej a c o b id i f f u s i o na n dc o n s i d e rt h eb o u n d a r yp r o p e r t i e s l e t ( q ，厂，p ) b eac o m p l e t ep r o b a b i l i t ys p a c e c o n s i d e ra j a c o b id i f f u s i o n x = _ 托，t o ) o n t h i ss p a c e ，w h i c hs a t i s f i e s d x t ：k ( 口一x t ) d t + c r v ( u - x t ) ( x , - l ) d w t ， ( 2 1 ) w h e r ew = 吼，t o ) i s 瓞v a l u e db r o w n i a nm o t i o n ，a n d 仡，0 ，盯，u , l ( 0 ，+ o 。) w i ml 0 u b yal i n e a rt r a n s f o r m a t i o ny = 络，t h e a b o v ed i f f u s i o nxc o u l db er e d u c e d