（概率论与数理统计专业论文）dcusum控制方案.pdf

中文摘要 传统的质量控制图，例如c t t m u l a t i v es u m ( c u s u m ) 控制图和e x p o n e n t i a l l y w e i g h t e dm o v i n ga v e r a g e w m a ) 控制图，其参数设计通常都是在假设均值漂移 大小已知的情形下进行的。但是在工业生产中，漂移的大小往往并不固定。所以 我们假设漂移并不等于某一个值，而是以处在一个区间内更符合实际。在这种假 设下，用现有的控制图来检测，效果并不好。这篇论文中，我们提出一种新图， 即d u a lc u s u m ( d c u s u m ) 图，来检测上述区间漂移的情形。d c u s l r m 控制图 采用了两个c u s u m 图联合使用的方案，其中任意一个c u s u m 报警时， d c u s u m 图就报警。同时，为了恰当的比较控制图在区间漂移情形下的性质， 本文给出了i n t e g r a lr a t i oo ft h eo u t - o f - c o n t r o la r l ( m a r l ) 的准则以及计算 i r a r l 的p i e c e w i s e 方法。我们还对d c u s u m 图的设计进行了深入的研究，得 到了简单实用的q 4 设计方案。并且本文通过m a r k o vc h i n 的方法给出了 d c u s u m 图平均运行长度的计算公式。文章的最后分别对d c u s u m 图与 c u s u m 图，以及d c u s u m 图与c o m b i n e ds h e w h a r t c u s u m 图进行了比较， 比较的结果显示d c u s u m 图在针对区间漂移时有更好的检测效果。 关键词：c u s m i 控制图，s h e w h a r t 控制图，c o m b i n e ds h e w h a r t c u s u m 控制 图，平均运行长度，m a r k o vc h a i n 方法，p i e c e w i s e 方法，d c u s u m 控制图。 a b s t r a c t c o n v e n t i o n a l q u a l i t y c o n t r o l p r o c e d u r e s ，s u c h a sc u m u l a t i v e s a m ( c u s u m ) a n d e x p o n e n t i a l l yw e i g h t e dm o v i n ga v e r a g e0 3 w m a ) c h a r t s ，a r eu s u a l l yd e s i g n e d b a s e do nam e a n s h i f tw i t hag i v e ns i z e i np r a c t i c e ，t h ee x a c tv a l u eo f t h es h i i ts i z eo f t e ni s n tf i x e d ，a n dc a no n l y b er e a s o n a b l ya s s u m e dt ov a r yw i t h i nac e r t a i nr a n g e s u c har a n g eo fs h i f t sd e t e r i o r a t e st h e p e r f o r m a n c eo fe x i s t i n g c o n t r o lc h a r t s i nt h i sp a p e r , an o v e lq u a l i t yc o n t r o ls c h e m e ，ad u a l c u s u m ( d c u s u m ) ，i sp r o p o s e db yc o m b i n i n gt w oc u s u m c h a r t st od e t e c tt h er a n g eo f s h i f t s t h eo u t o f - c o n t r o ls i g n a li st r i g g e r e di fe i t h e ro n eo ft h ec u s u m s t a t i s t i c s g o e so u to ft h e d c u s u mc o n t r o ll i m i t s a tt h es a l i l et i m e ，f o rc o m p a r i n gt h ep e r f o r m a n c eo ft h ec h a r tt od e t e c t t h ei n t e r v a ls h i f t w ep r o p o s et ou s ei n t e g r a lr a t i oo f t h eo u t - o f - c o n t r o la r l ( m a r l ) a c r i t e r i a i np a r t i c u l a r , as i m p l ea n da p p l i e dd e s i g np r o c e d u r ef o rt h ed c u s u mc h a r t sn a m e dq 4 i s d e v e l o p e d m o r e o v e r , a n a l y t i c a lf o r m u l af o rt h ea r l c a l c u l a t i o ni so b t a i n e dv i am a r k o vc h a i n m e t h o d f i n a l l y , t h ep r o p o s e dd c u s u m c h a r t sa r ec o m p a r e dw i t ht h ec o n v e n t i o n a lc u s u ma n d c o m b i n e ds h e w h a r t - c u s u mc h a r t s ，a n ds h o wb e t t e rp e r f o r m a n c ef o rd e t e c t i n gar a n g eo fm e a n s h i f l s k e y w o r d s ：c u s u mc o n t r o lc h a r t ，s h e w h a r tc o n t r o lc h a r t ，c o m b i n e ds h e w h a r t c u s u m s c h e m e ，a r l ，m e r k o vc h a i nm e t h o d , d u a lc u s u m s c h e m e 第一节引言 统计过程控制( s t a t i s t i c a lp r o c e s sc o n t r o l ，简称s p c ) 的历史最早可以 追溯到1 9 2 4 年，当时贝尔实验室的s h e w h a r t 博士提出了历史上的第一张控制图， 即后来的s h e w h a r tx - t me 控制图，1 9 3 1 年在总结多年研究的基础上，s h e w h a r t 博士又出版了统计质量控制的第一本书“e c o n o m z ec o n t r o o f 蚴钞d ， m a n u f a c t u r e dp r o d u c t 0 迸为控制图在工业界的应用打下了坚实的基础。二战 时期，美国军方为了保证军需品的质量，大力推广统计质量控制，取得了很好的 效果，致使战后各国工业界纷纷效仿。在这种广泛应用的背景下，线内质量管理 的理论研究特别是质量控制图的研究也得到了充分发展。五十年代以后可谓它的 黄金时期，s p c 领域最为重要的两大控制图( c u s 和e w m a 图) 相继提出。针对 s h e w h a r t 控制图检验小漂移效率低的缺点，p a g e ( 1 9 5 4 ) 基于w a l d 检验的思想， 提出了著名的累积和( c u m u l a t i v es u m ，简称c u s u m ) 控制图。另外的一个重要的 控制图，即指数权重滑动平均( e x p o n e n t i a lw e i g h t e dm o v i n ga v e r a g e ，简称 e w m a ) 控制图，由r o b e r t s ( 1 9 5 9 ) 提出。这两个控制图的共同特点就是不只利用 当前样本的信息，而是综合考虑所有样本的信息来对生产过程是否失控进行统计 推断。已经证明它们在检n d , 漂移时，都有很好的表现。许多学者对c u s u m 和 e w m a 进行较详璺珏的比较研究，总的来说，最优的c u s u m 与最优的e w m a 在检测固 定的漂移时，相差不大。但是由于c u s u m 的参数意义明确，平均运行长度( a v e r a g e r u nl e n g t h ，简称a r l ) 的计算相对简单，所以c u s u m 图更有竞争力。 在给定可控状态下a r l 的大小，及要检测漂移的条件下，如何选择合适的 c u s u m 及e w m a 的参数，一直是人们感兴趣的问题。b a g s h a wa n dj o h n s o n ( 1 9 7 5 ) 证明了在c u s u m 控制图的设计中对于给定的漂移占，信念值k 为6 2 时达最优， 并且k 的选取与可控状态下的a r l 无关。l u c a sa n ds a c c u c c i ( 1 9 9 0 ) 对e w m a 的性质进行了全面的讨论，研究结果显示e w m a 图的权重参数兄的选取，不仅与 漂移占有关，同时也依赖于可控状态下的a r l ，他们用列表的形式给出了不同漂 移及可控a r l 下，控制限l 及权重参数旯的最优搭配。 以上简单的介绍了一下两个传统控制图的设计方案。从中我们不难看出， 它们都有一个基本的假设，即假设漂移j 已知。然而，在实际生产过程中，事先 知道漂移的大小是不现实的，同时我们感兴趣的漂移往往不是一个点，而是一段 区间。以往针对单点漂移的最优设计方法，很难自然的推广到针对区间漂移的设 计上来。事实上，用一个检测小漂移的控制方案来检测大漂移，效果是很不理想 的。那么，有没有一种控制图既对小漂移灵敏，又对大漂移有良好的效果呢? 同 时，如何确定在区间漂移下判断控制图优劣的合理准则呢? 这都是我们感兴趣 的。对于第一个问题，很多学者进行过研究，主要的成果有以下两个方面：1 _ l o r d e n ( 1 9 7 1 ) 给出了一个很漂亮的理论结果，针对漂移j ( 6 , 6 ) 的情形，他用一 系列特定的c u s u m 控制图来检测一个生产过程，并且从理论上证明了，这种方案 具有渐进最优性。但是，这个方案有一个致命的缺陷，就是实现起来特别复杂， 就连l o r d e n 本人也没有给出任何模拟计算的结果。2 另一个重要结果 c o m b i n e ds h e w h a r t c u s u m 图是由w e s t g a r de t a l ( 1 9 7 9 ) 首先提出的，l u c a s ( 1 9 8 2 ) 对它进行了更为深入的研究。他们的结果表明联合使用c u s u m 和s h e w h a r t 控制 图可以综合这两个图的优点，在检测大小漂移时都有很好韵表现，尽管它在大小 漂移下都未达到最优。e w m a 与s h e w h a r t 图的联合使用也与之有类似的性质，l i n a n da d a m s ( 1 9 9 6 ) ，k l e i n ( 1 9 9 6 ) a n df a ne t a l ( 2 0 0 0 ) 都对c o m b i n e d s h e w h a r t e w a m 图进行了讨论，得到了相似的结果。但是，这种思想也有不足。 这毕竟是c u s u m 与s h e w h a r t 图的简单联合，得到的结果很粗糙。另外就设计本 身而言，它并非针对具体区间漂移所设计，这也就决定了它很难保证在区间上达 到良好的效果。 借鉴c o m b i n e ds h e w h a r t c u s u m 中联合使用控制图的思想，我们提出了同 时使用两个c u s u m ( d u a lc u s u m ) 控制图的检测方案，简称为d c u s u m 方案。这样 的控制方案有以下两个优点：1 我们都知道c u s u m 图相对s h e w h a r t 图有更高的 效率，用c u s u m 代替c o m b i n e ds h e w h a r t c u s u m 中的s h e w h a r t 部分，将会取得 更好的效果。另外，c u s u m 图针对不同的漂移都有不同的最优设计，调整它的设 计，可以获得检测区间漂移时的较好效果。2 通过选择适当的设计，可以使我 们的d c u s u m 图在某种程度上最接近l o r d e n ( 1 9 7 1 ) 的设计，从而获得了近似的渐 进最优性。而d c u s u m 的a r l 是可以通过m a r k o vc h a i n 方法直接计算求得的，这 就解决了l o r d e n 方案中计算复杂，不易应用的缺点。 以下是本文的基本结构。第二节引入了d c u s u m 的定义，并且给出了它的两 2 种数学表达。第三节通过与l o r d e n ( 1 9 7 1 ) 方案的比较，我们推导出了d c u s u m 的 设计方案。计算d c u s u m 图a r l 的方法，即m a r k o vc h a i n 方法将在第四节给出。 第五节给出了判断控制图优劣的指标i r a r l ，以及求解这个指标的p i e c e w i s e 方 法，第六节针对区间漂移占( 口，b ) 情形，对d c u s u m 图，c u s u m 图进行了数值结 果的比较。第七节对d c u s u m 图与c o m b i n e ds h e w h a r t c u s u m 控制图进行了数值 比较。第八节总结了我们得到的主要结论，以及将来可以继续讨论的问题。 第二节d c u s u m 控制图的定义 为了简单起见，我们只考虑单边的d c u s u m 图设计，这也就意味着只关心生 产过程中发生向上漂移的情形。事实上，由单边的d c u s u m 很容易推广到双边 d c u s u m 图的定义及设计。 假设x 为生产过程中我们要检测的变量，分布为( ，c r 2 ) ，其中均值与 标准差盯已知( 不失一般性，设其为1 ) 。若为0 ，则表示过程受控，否则就表 示失控。首先给出如下标准的c u s u m 控制图的定义： 燃 k 一( n m ) 砧 若记k = 鼍 ( 1 ) 我们常用的是它的递归表达： r = m a x 0 ，最一。+ 工。一k ) h ( 2 ) 其中k 为信念值( r e f e r e n c ev a l u e ) ，h 为门限值( d e c i s i o ni n t e r v a l ) ，当最大 于h 时，控制图则报警。记上述c u s u m 控制方案为c ( k ，h ) 。 下面给出d c u s u m 的定义，令c 1 ( k l ，h 1 ) 和c 2 ( k 2 ，h 2 ) 为两个单独的标准 c u s u m 控制图，如表达式( 1 ) 或( 2 ) 所定义，其中k ；为信念值，h f 为门限值，i = l ，2 。 为了使我们的控制图在漂移为一个区间时，仍有良好的性质，我们采取两个图联 合使用的方法：当两个控制图中的任意一个报警时，我们的d c u s u m 就报警。具 体的数学描述如下： s ：= m a x o ，s ：一，+ j 。一t 1 ) h 1 o r s ：= m a x o ，s l l + x 。一k 2 ) h 2 ( 3 ) 舯舣耻耻2 o ，吣吃 6 ( 5 ) 其中瓦。的定义同表达式( 1 ) 。并且从理论上证明了由此方案确定的停时具有渐进 最优性。用c u s u m 的观点来看他提出的统计量，也可以理解为：当k ( a 2 ，b 2 ) 时，无穷多个标准c u s u m 方案的联合使用。由其定义可以看出，尽管这个方案在 理论上有很漂亮的结果，但在应用上却很不方便，没有简单的递归表达。事实上 就连l o r d e n 本人也没有给出任何计算结果。 我们的想法是只用两个c u s u m 控制图来逼近l o r d e n ( 1 9 7 1 ) 提出的控制方 案。以此来获得近似渐进最优的效果，同时尽可能的简化计算，方便使用。 为了方便表达，先给出如下记号，记8 在( d ，b ) 上的分布函数为g ( 8 ) ，令 x ：鱼，服从均值为占，方差为上的正态分布b ( x ) ，同时记 s = s u p h k 2 ) d = m a x k ：x 一砰，也工一嘭) ( 6 ) 考虑d c u s u m 的方案与l o r d e n ( 1 9 7 1 ) 的方案在绝对平均的意义下最接近。其数学 表达为： 卺易e i s d i ( 7 ) ，哎为待定参数，其取值范围为一s 哼a ，旦，岛叫a r + b ，尹b ，s 年i i d 如表达式 ( 6 ) 定义。这样就把参数选择问题就转化成了= 元优化问题。为了简单起见，我 们只考虑占的分布为( a ，6 ) 上的均匀分布，记为u ( a ，6 ) 。由s 和d 的定义可知： f 嘭一钐，凯a 拈s u 。pj h 搿) = 磁，na b 。= 程脚* 牡肛k 2 x - 礤碍, 娄三臻 则表达式( 7 ) 可展开为： e a e ，i s 。l = e 。 詈一了0 2 一t x + 砰峨( x ) + r 屿鲁 + ( 屿等一哆+ 霹峨( x ) + f _ 。了b x 一了6 2 一岛x + k ；d f a x ) ( 8 ) 又由于占的分布关于旦笋对称，而x 的分布关于占对称，易见t ，k 对乓乓l s d i 的影响也有对称的性质，事实上，它们的最优值应当是关于旦# 对称的。这样 就可以得到，吒的以下关系：畸= 半一如。将其代入表达式( 8 ) ，从而使本来 的二元优化问题简化为一元优化问题。再对毛求导，并令其为0 ，我们可以得到： e 。 p 2 畸一鹕( x ) + 最2 岛卅( m 地( x ) = 。 于是就有， 墨= 知识( 矿最州n + b ) d f a ( x ) ( 9 ) 因为我们是在墨( 兰，旦) 条件下求极值，所以若 知粥( 垆最州川) 识( 瑚 兰 则，我们取岛= 詈。同时，我们注意到x 的分布b ) 依赖于疗一所，这里”一肌的 取值范围是从1 到+ 。当n 一：1 时，可以利用表达式( 9 ) 求得砖，再根据对称 性即可得到如，分别记作硝”，硝”，将这种设计记为m 1 。当竹一川一十m 时，占的 方差趋向于0 ，磊0 ) 退化为单点分布，则 毛= 志c p 耐占一屯州m 舻= 半 这恰恰是( 号，二) b 的去分位点，同样根据对称性有心为( 号，争的三分位点。我们将 z z |z z斗 6 事实上，在上述的推导过程中，我们并没有真正的得到与l o r d e n ( 1 9 7 1 ) 的 方案最接近的设计，而是得到了一个最优参数设计的范围。在本文的第五部分中， 我们分别对方案m 1 即( 磷”，聪1 ) 和q 4 进行了计算，观察结果，可以发现q 4 方案 比较稳定( 即使不是最优，也与最优差别不大) ，并且其计算简单，意义直观，所 以在实际应用中，我们建议采用q 4 设计。 在选定了合适的毛，t 之后，根据给定的a 见k ，用二分法搜索h ，从而保 证我们的d c u s u m 图的参数达到设计要求。 第四2 宵d c u s u m 平均运行长度的计算 要考察一个控制图的好坏，我们往往要计算控制图的a r l ，有时甚至要考虑 其分布函数。构造一个好的控制图，我们总是希望它在可控状态下有较长的平均 运行长度，而在失控时可以迅速报警，即有较短的平均运行长度。当然有些学者 也从误报率( f a l s ea l a r mr a t e ，f a r ) 的角度对控制图的好坏进行了更为深入 的研究。例如，y a s h c h i n ( 1 9 8 5 ) 。另外，在设计控制图的时候，也总是要先给 定可控平均运行长度，然后最小化失控的a r l 。由此可见，无论从构造控制图的 角度，还是从评判控制图的角度，运行长度的分布及平均运行长度都是非常重要 的参考指标。对它们的求解也是质量控制领域中非常关键的问题。 目前求解平均运行长度的方法大概有四种。1 直接求解，这种方法只限用 于s h e w h a r t 图，可由几何分布的性质直接导出。2 积分方程的方法，在p a g e ( 1 9 5 4 ) 最早提出c u s u m 控制图时就曾提到，v a nd o b b e nd eb r u y n ( 1 9 6 8 ) 对其进行了深 入的讨论。3 马氏链的方法，最早由b r o o k 和e v a n s ( 1 9 7 2 ) 提出，他们的方法是 先将连续空间离散化，再利用马氏性来求a r l 的近似解。4 随机模拟的方法，模 拟所采取的控制方案，用所得样本均值来估计运行长度的均值，随机模拟方法的 研究主要集中在如何减小估计的方差上，例如r o s s ( 1 9 9 0 ) 以及j u n 和c h o i ( 1 9 9 3 ) 都有很好的结果。积分方程和和马氏链方法是较为常用的，尤其在计算c u s u m 及e w m a 图中。从本质上来讲，这两种方法是相同的，都利用了控制方案中的马 氏性原则。但从细节上看又略有不同，各有优缺点。积分方程的方法采用了 g a u s s i a nq u r d r a t u r e 的方法来划分区间，具有计算量小，精度高的优点。而马 氏链方法的优点在于简单直观，并且易于推广到其它复杂情形。本文有关a r l 的计算就采用了马氏链的方法。 用马氏链的方法求解c u s u m 情形下的a r l ，是大家普遍采用的一个方法。几 乎所有重要的c u s u m 控制图及其改进的控制图都可以找到马氏链的解法与之对 应。例如c o m b i n e ds h e w h a r t c u s u m 图由l u c a s ( 1 9 8 2 ) 给出，f i rc u s u m ，r o b u s t c u s u m 由y a s h c h i n ( 1 9 8 5 ) 给出，等等。这里我们特别要提到的是求解双边 c u s u m 的马氏链解法，w o o d a l l ( 1 9 8 4 ) 和c r o s i e r ( 1 9 8 6 ) 分别进行过研究，他们 采用了两个指标代表一个状态的表示方法，这种思想对本文提出的方法有很大的 启发性。以下为我们所采用方法的简要介绍。 根据b r o o k 和e v a n s ( 1 9 7 2 ) 提出的方法，针对控制图c 1 ( 忌1 ，h 1 ) ，考虑砖的 取值空间( 。，+ 。0 ) ，可以将其划分为+ 1 个子区间，首先令国。= 2 啊( 2 t 1 1 ) ， 记( 一o 。，国。2 ) 为0 状态对应的子区间，( 慨一q 2 ，她+ q 2 ) 为第i 个状态对应 的子区间( f = 1 2 ，一1 ) ，( 啊，+ 。) 为第个状态( 即吸收态) 对应的子区间。针对 控制图c 2 ( 七：，h ：) ，也可以做类似的划分，同时记其子区间个数为岛+ 1 ，区间长 度为哆。 以前的方法是用整数i 来代表标准c u s u m 控制图的当前状态，而我们这里 是两个c u s u m 图同时使用，所以用熬数对( f ，) 来代表d c u s u m 控制图的每一个状 态，在时刻n ，状态( f ，j ) 所对应的事件是爱属于子区间i ，而属于子区间j ， 其中i = 0 , 1 ，= 0 , 1 ，。t 。由( f ，力状态转移到( 七，z ) 状态的转移概率可以用 以下表达式求得： 岛一= p ( k 0 4 一号 蛔+ 号，慨一t q 碍 1 0 4 + 等l 踮= i 0 4 ，岛= ，) ( 1 0 ) 记其转移概率阵为p = ( p 扣。) ，可以写成分块矩阵的形式： p = p 卅 其中子矩阵r 是可控状态下的转移概率矩阵，i 为单位矩阵，1 为所有元素为1 的列向量。 由b r o o k 和e v a n s 的结果，由( 0 ，0 ) 状态做为初始状态的d c u s u m 控制图的 平均运行长度为： a r l = 1 0 0 一r 一1 其中l o = ( 1 ，o ，o ) 行向量。 我们在选择状态时并不是选择了所有的( f ，_ ，) 组合，i = 0 ，1 ，= o ，1 ，。t 。 事实上，有某些状态( f ，j ) 是由( 0 ，0 ) 状态出发不可达到的，加入了这些不可达 态，会使马氏状态空间可分，同时无谓的增加了我们的计算量，并且使矩阵r 可约，从而导致了b r o o k 和e v a n s 的一些求解分位数的近似结果不可用。所以就 有必要在生成状态空间的时候剔除这些不可达态。借鉴w o o d a l l ( 1 9 8 7 ) 的生成 m a r k o v 状态的思想，我们采用了逐个添加状态，直至生成状态空间的方法，这 样就可以剔除不可达状态，同时可以保证得到完全的，并且是最小的状态空间。 有关具体生成马氏状态的细节，我们在附录中进行介绍。 第五节区间漂移下比较控制图好坏的准则及其计算 当漂移为一个固定点占时，我们要判断两个控制图的优劣，通常考虑如下 准则：首先调整控制线，使两个控制图在可控状态下的平均运行长度等于预先给 定的a 兄k ，再比较在漂移艿产生时的平均运行长度a r k ，以小者为优。但是， 当我们考虑的漂移占属于某一区间( 口，b ) ，并且有特定的分布时，再利用这样的 准则是不可能的，必须对它做适当推广。历史上还没有人给出过这种条件下的准 则。 借鉴参数估计领域中b a y e s 损失、b a y e s 风险的思想，对给定的4 兄k ，我 们也希望考虑丘r k 在区间( 4 ，6 ) 上，按照占分布的期望来衡量控制图的好坏。但 是，仅仅对a 简单积分求期望并不能准确的刻划控制图的优劣。这是因为 a r k 是关于占指数衰减的，可能在j ( n ，6 ) 上变化很大，在a r 易较大同彳兄k 较 9 小时，如果减少相同的报警时间，它们所代表的控制图效率的提高是不同的，后 者提高的效率较明显。如果是简单积分，这种区别就体现不出来，从而导致了重 视小漂移( 此时丘r k 较大) ，忽视大漂移( 此时a r l 8 较小) ，这是我们不愿意看到 的。 解决上述问题的办法就是采用相对的a r 厶的期望，为此对于要考察的控制 图c 和给定的a r l o 及j ( 口，b ) ，我们定义以下准则： i r a r l ( c 。；a , b , a 瓯，二易l i 彳a 弛皿a 。g ) 旷1 r 。a r l 6 ( 。c 。d ，d f c c - ， 其中c 0 代表可控状态下a r l 等于4 瓯，并且信念值七= 詈的标准c u s u m 控制图， 二 已经证明这种控制图在c u s u m 类的控制图中是最优的。这里需要注意的是，上式 中的e 。并不是一个控制图，而是一系列控制图，它随着占值的不同而不同。 可以看出，i r a r l 的值越小( 越接近于1 ) ，表示与最优控制图的差别越小， 因此效率也就越高。同时，我们也可以注意到，i r a r l 的值依赖于d 的分布，对 于占的概率密度越大的部分我们就越重视，从这一点上也体现了i r a r l 作为衡量 优劣标准的合理性。 接下来要考虑的就是如何求解i r a r l 。事实上，直接求解i r a r l 是相当困 难的。我们注意到4 见0 并没有关于占明确的解析式，不能直接积分，那么就只 能采用数值方法，一般来讲，就必须大量的计算a 跹。而a r k 的求解也并非易 事，尤其是4 尼k ( c 。) ，每一次都需要大量的迭代。在这种情况下，就很难保证 求解的精度和速度。 我们建议采用p i e c e w i s e 线性近似的方法来解决这一问题。p i e c e w i s e 线性 近似的方法最早由v a nd o b b e nd eb r u y n ( 1 9 6 8 ) 提出。他们发现对于标准的c u s u m 控制图，失控状态下的a r l 会随着j 的增加迅速减小，并且衰减的速度是指数的。 也就是说，l o g ( a r l - 1 ) 可以由一个线性函数口占+ b 精确近似，这一点至少在一 个小区间上是成立的。后来，w e s t g a r de ta i ( 1 9 7 7 ) 用模拟的方法，l u c a s ( 1 9 8 2 ) 1 0 用解析的方法得到c o m b i n e ds h e w h a r t c u s u m 控制图也具有相同的性质。事实上， d c u s u m 控制图失控状态下的a r l 以及a 魁d ( c 。) 作为占的函数都具有指数衰减 的性质。从图f i g u r e1 和f i g u r e2 就可以很容易看出这个结果。f i g u r el 给 出了可控平均运行长度为1 0 0 0 ，占( o 5 ，5 ) 时对应的刎心曲线以及 l o g ( a r l d 一1 ) 曲线。f i g u r e2 给出了给出了可控平均运行长度为1 0 0 0 ， j ( o 5 ，5 ) 时对应的a r l j ( c 口) 曲线以及l o g 4 皿，( ) 一1 曲线。 下面我们就给出这种p i e c e w i s e 线性近似的方法的数学表示。若f 表示具 有上述性质的控制图，记a 魁j 为此图在漂移占时对应的a r l ，那么a 魁d 有以 下近似表达： 爿工r 占日尸两+ 1 ，h f 占h f + l 其中h ；为区间 a j 明的一个划分，满足盘至h fs 6 。待定系数口；和b ，的取值由以下 两个表达式确定： 4 衄：口：e 撕+ 1 彳衄= 口：p 吩+ 1 岛+ 1 由此，等式( 1 1 ) 中的积分就可以近似的表示成 删衄* 击b 驴胬万 一口7 口。p 知+ 1 其中( c ，d ，) ，( 段，g f ) 分别代表在区间( ，k 。) 上，对a 魁5 ( c 1 ) 和a 皿5 ( c 。) ， p i e c e w i s e 线性近似系数。这样我们就找到了一种相对简单的计算方法来求解刚 才给出的新准则。 f i g u r e1 当。弛= 1 0 0 0 ，占( o 5 ，5 ) 时，d c u s u m 图一心关于占的图象 a r l ， 1 4 1 2 1 0 8 o 吖a r l - n 2 f i g u r e2 当4 皿o = 1 0 0 0 ，j ( o 5 ，5 ) 时，最优c u s u m 图a r 岛( c 。) 关于占 的图象 a r l l o u ( a r l ! 一 1、 下 第六节d c u s u m 与单个标准c u s u m 控制图的比较 由以上各节对d c u s u m 控制图的定义及设计方法的推导，我们有理由相信针 对区间漂移，在第五小节提出的准则下，d c u s u m 控制图会有良好的表现。但事 实上效果到底如何呢? 我们在这一节给出数值计算的结果，可以看出，对比单个 c u s u m 控制图，它有明显的改进。 为了简单方便的表示控制图，首先给出一些记号。对于d c u s u m 控制图，我 们用q 4 代表k ，和k 分别取区间 a 2 , 班l 上下四分位点是所对应的设计，即表 达式( 9 ) 对应的”一m 一+ 时的情形；用q 2 代表和七，分别取区间 a 2 , b 2 上下二分位点是所对应的设计，实际上此时毛：如：! 芒，就是信念值取为区间 4 a 2 , b 2 中点的标准c u s u m 图；用q 。0 代表局和砭分别取区间 a 2 , b 2 个 端点时对应的d c u s u m 设计；同时记m 1 为在表达式( 9 ) 中，n - i f = i 时对应的d c u s u m 设计。 由以上第四五节提到的计算a r l 和准则1 r a r l 的方法，我们根据漂移区间 的不同，把计算结果罗列于表1 至表5 ，其中表1 针对漂移区间( 0 2 5 ，1 ) ；表二 针对漂移区间( 0 2 5 ，3 ) ；表三针对漂移区间( 0 2 5 ，5 ) ；表四针对漂移区间( 1 ，3 ) ： 表五针对漂移区间( 1 ，5 ) 。我们在设计这些表的时候，考虑了漂移区间较小，适 中，较大，以及4 弘较小( 3 0 0 ) ，适中( 7 4 0 ) ，较大( 1 0 0 0 ) 不同因素的各种搭配。 所以这五张表可以基本上全面的反映d c u s u m 在各种情形下的效果。 观察表1 至表5 ，我们有以下结论： 总体上看，根据i 1 0 4 r l 准则，在检测漂移方面，d c u s u m 控制方案明显优 于单个的标准c u s u m 方案。 与单个c u s u m 方案相比，尽管d c u s u m 在每个漂移点上都未达到最优， 但与最优相差不大，有令人满意的效果，特别是当漂移取值为旦芸时。 z 随着所考察漂移区间长度的增加，d c u s u m 控制图的优越性也就越明显的 体现出来。 随着可控状态下运行长度的增加，d c u s u m 控制图的优越性也有显著提高。 对比表中给出的q o o ，m 1 ，q 4 三种d c u s u m 方案，可以发现q 4 方案的表现 很稳定( 即使不是最优，也与最优的设计很接近) ，另外由于其计算简单， 意义直观，所以在实际应用中我们推荐使用q 4 。 对于漂移区间很小的情形，例如表l 代表的情况，单个c u s l i m 控制图的表 现可能优于d c u s u m 控制图，但总体相差不大。这表明小区间情形使用单 个c u s u m 控制图就足够了，因此我们建议只在漂移区间适中或较大的情形 下使用d c u s u m 图。 t a b l e1 漂移区间为 0 2 5 ，1 时，d c u s u m 图与c u s u m 图的比较 a ，b _ 0 2 5 ，1 t a b l e2 漂移区间为 0 2 5 ，3 时， d c u s u m 图与c u s u m 图的比较 e a ，b = o2 5 ，3 ) t a b l e3 漂移区间为 0 2 5 ，5 时，d c u s u m 图与c u s u m 图的比较 a ，b = c o 2 5 ，5 a r k = 3 0 0 001 225 01 03 305 25 671 6 490 583 8 2 6 1 814 御06 12 o l34 7 10 68 461 5 1623 8272 o1 61 3 q 40 7 21 9 130 2 11 49 211 6 56437262 01 613 凹13 1 16 3 1 2 3 。62 77 894 12 518151 2 1012 9 lo lu 1 01 1 2 101 2 5 a r l 庐7 4 u 口一0 1 225 01 43 1 0 7 28 572 261 227 7493 12 0 1512 1 11013 7 m 10f i l2 0 142 71 3 01 5 9 01 99 76453 12 4 181 513l ll _ 11 1 5 w07 2l - 9 136 9 13 91 7 862 24774 4 3023181 512 1 1l011 6 l3 1 18 8 2 5 064 431 1 750 2 92l161 4 121 110 13 8 肚l = 1 0 0 0 0 0 ，1 225 01 57 207 99 652 4 91 3 48 4 5233211 6 13111ol4 0 棚06 t2 。0 l4 5 4i 3 81 9 5l2 1 ，6 8 o473 32 51 91 51 3 111li1 7 “07 2l9 139 2 14 82 2 202 4582463 224 1915l3 l 11l11 8 “ 13 1 一1 9 9 3 3 3 45 1 51 275 2 31 2 2 171412 11 10 14 4 1 5 1 l 1 o z 2 2 l t a b l e4 漂移区间为 1 ，3 时，d c u s u m 图与c u s u m 图的比较 t a b l e5 漂移区间为 1 ，5 时，d c u s u m 图与c u s u m 图的比较 1 6 第七节d c u s u m 与c o m b i n e ds h e w h a t c u s u m 控制图的比较 c o m b i n e ds b e w h a t c u s u m 控制图的提出，一个主要原因就是想让控制图在 大小漂移下都有优秀的性质。但是它的提出并非针对具体的区间漂移，只是泛泛 的讲给标准的c u s u m 图加一个s h e w h a r t 界，更谈不上针对某一区间有较好的设 计方案。这就给我们的比较带来一定的困难，因为c o m b i n e ds h e w h a t - c u s u m 没 有一个针对具体漂移区间的设计方法。为了避免用较好的d c u s u m 控制图同较差 的c o m b i n e ds h e w h a t c u s u m 控制图进行比较，我们只好计算了多个有代表性的 c o m b i n e ds h e w h a t c u s u m 控制图，选择其中最优的与d c u s u m 图进行比较。为了 节省篇幅我们只给出了表6 ，表6 是针对漂移区间为 0 2 5 ，3 ，不同4 砜情形 下的效果比较。 由计算的结果，可以看出： 总体上看，d c u s u m 控制图在针对区间漂移的情形时，要优于c o m b i n e d s h e w h a t c u s u m 控制图。 c o m b i n e ds h e w h a t - c u s u m 针对区间漂移的设计中，以选取k = ( 3 a + b ) 8 的 设计方案为好，s h e w h a r t 界应选的略大。 最优的c o m b i n e ds h e w h a t c u s u m 图针对区间漂移的效果要优于单独使用 标准的c u s u m 控制图。 随一皿。的增加，d c u s u m 图相对与c o m b i n e ds h e w h a t c u s u m 图的优越性 体现的越来越明显。 事实上，当考虑的漂移区间长度很大时，d c u s u m 控制图与最优的c o m b i n e d s h e w h a t c u s u m 控制图效果差不多。因为在c o m b i n e ds h e w h a t c u s u m 控 制图中，s h e w h a r t 部分可以看作一种特殊的c u s u m 图( 当k = s c l ，h = o 时) 。 也就是说，某种意义上