（概率论与数理统计专业论文）abel群中子集和的一些问题.pdf

摘要 加性群论与加性数论又称堆垒群论和堆垒数论其中许多古典问 题是直接问题，即给出群的两个子集4 与b ，我们来描述和集a + b 的 结构相反的问题是逆问题，即由和集a + b 的结构来决定a 与b 的结 构 在这篇文章中，我们主要研究加性群论中与直接问题和逆问题有 关的若干基本问题，我们分六章来讨论这些问题 在第一章，我们介绍一些基本概念与记号，并总结加性群论有关 问题研究的一些背景与进展 在第二章，我们用集合论的一些方法给出了k n e s e r s 定理的一 个新的等价形式，即设g 为a b e l 群，a ，b 为g 的两个有限非空子集，令 h = ( 爿+ b ) = ( g g i a + b + g = 爿+ 目为a + b 的稳定化子，则 i 一十b 陋i a i + i b i - 。m j ；i 日n 。 i ( 4 一a ) n ( b b ) n h l ， i ( 彳一a ) n ( b 一8 ) n h i ，i ( 一- a ) n h 一( b - b ) n h l n hj ) 此结果作为这篇文章中的一个基本工具，比高维东的结果更精细我 们用这个结果很容易推出加性群论的一些著名的定理( 如 k e m p e r m a n s c h e r k s 定理，c a u c h y d a v e n p o r t s 定理与c h o w l a s 定 理) 等一些关于子集和的一些结论并用该定理改进了 m b n a t h a n s o n 关于群的加法基( 堆垒基) 的阶数的上界 在第三章，我们将k e m p e r m a n s 结构定理( k s t ) 推广到下面两种 情形： ( i ) 满足i a + b i 爿a i + l b i + t ( 后为非负整数) 的子集对( 一，动 i ( i i )满足j a + bj 爿一i + i bj 一以p 2 i 为整数) 且a + b 为非周期或存在 某元素c a + b 使屹( 4 ，b ) = p 的子集对( 彳，b ) 在第四章，我们将d g r y n k i e w i c z 关于拟周期分解的性质一般 化如关于4 的两个拟周期分解，我们有下面更一般的结果：设4 u 4 与爿，u a o 分别为a 的拟周期为h 与z 的拟周期分解，其中h 与上为g 的非平凡子群则下列结论之一成立： ( i ) 4 = 彳。，4 = a j ； ( i i )存在日n 的某个陪集的一子集k ( 可为空集o ) 使a u k 为 ( 日+ 三) 一周期； ( i i i ) l 为h 之真子群( p ” 在第五章，我们给出了k n e s e r s 定理的一个新的等价形式的两个 应用我们首先给出了a b e l 群g 的元构成的序列s 的和集( s ) 的 妯( s ) 一些性质，这些性质比高维东所给出的性质更精细 另外，我们给出了c h u a n gp e n g 的结果的一个新的简易证明 其次，我们给出了f r o b e n i u s 数的上界的几个新的估计公式， 而这些公式改进了v i t e k 与s h e nj i a n 给出的上界 在第六章，我们首先利用k n e s e r s 定理作为工具推广了g z e m o r n 关于初等a b e l2 一群的一个结果，即我们有史一般的结论：设g 为 ( 铂，m ，) 型a b e l 群，a 为g 的一对称闭包，且为g 的有限生成子集， 若i p i ，其中疗l 竽j “g ) = 州，表群g 所有元的阶之最小公倍数 则州= g 其次，我们给出了有关p 一极大生成集的一些新结果： 我们得到了( g ) 的上界的新估计式，即设6 为( ( 啊，坼) 型a b e l 群， 若p 一 4 ，l 竽j ) ，其中e ( g ) = ，则知( g ) 等此上界优于b k 1 。p s c h 和v f l e v 得到的上界吾p i g i 我们并给出了刻划使乞( g ) = o 的( g ，户) 一类非平凡的例子：其中g 为 ( 2 ，历) 型 a b e l 群g = z ：o z 。( 2 1 珊，加2 8 ) 或( 3 ，加) 型 a b e l群 g 喝。z 施i m , m l o 帅= 斟 关键词a b e l 群子集和的基数，k n e s e r s 定理，拟周期分解，加法基 i i i a b s t r a c t m a n yc l a s s i c a lp r o b l e m si na d d i t i v ea d d i t i v eg r o u pt h e o r ya n d a d d i t i v en u m b e rt h e o r ya l ed i r e c tp r o b l e m s ，i nw h i c ho n es t a r t sw i t ht w o s u b s e t saa n dbo fag r o u p ，a n dt r i e st od e s c r i b et h es t r u c t u r eo ft h e s u m s e ta + bc o n s i s t i n go fa l ls u m so fe l e m e n t so faa n d b b y c o n t r a s t , i na ni n v e r s ep r o b l e m ，o n es t a r t sw i t has u m s e ta + b ，a n d a t t e m p t st od e s c r i b et h es t r u c t u r eo f t h eu n d e r l y i n gs e taa n d b t h i st h e s i ss t u d i e ss o m eb a s i cc o m b i n a t o r i a lp r o b l e m so f a na b e l i a ng r o u p ，e s p e c i a l l yt h o s er e l a t e dt od i r e c t p r o b l e m s a n di n v e r s ep r o b l e m s c o n t e n t so ft h er e s e a r c hi sd i v i d e di n t o s i xc h a p t e r s i n c h a p t e r1 ，w e i n t r o d u c es o m eb a s i cn o t a t i o n sa n d c o n c e p t s ，a n ds u m m a r i z et h eb a c k g r o u da n da d v a n c e m e n to f t h er e s e a r c ho nd i r e c tp r o b l e ma n di n v e r s ep r o b l e mo fa d d i t i v eg r o u p t h e o r ya n da d d i t i v en u m b e rt h e o r y i nc h a p t e r2 ，w eo b t a i n an e wa l t e r n a t i v ef o r m u l a t i o no f k n e s e r st h e o r e m ，w h i c hi so b t a i n e db ya p p l y i n gt h em e t h o do f s e tt h e o r y ，i e i 一+ 口j 习a j + l 丑l - 。r 。n 。i 。n 排 l ( _ 一口) n ( 8 一b ) n h ， i ( a a ) n ( b b ) n hi , i ( a - a ) n h 一( b - b ) n h n hj ) w h e r eh = ( 一+ 占) = g g i a + b + g = 彳+ b ) t h i s r e s u l th a v e m a n y a p p l i c a t i o n s i nc h a p t e r3 ，w em a i n l yi n c l u d et w og e n e r a l i z a t i o n so f k e m p e r m a n ss t r u c t u r et h e o r e m ( k s t ) f o rc r i t i c a lp a i r s ( i e t h o s ef i n i t es u b s e t saa n dbo fa na b e l i a n g r o u p w i t h a + b n a i + i b i ) t h r o u g hq u a s i p e r i o d i cd e c o m p o s i t i o n sa n d a n e wa l t e r n a t i v ef o r m u l a t i o no fk n e s e r st h e o r e m i nc h a p t e r4 ，w ec o m p l e t e l yc h a r a c t e r i z es o m ea s p e c t so f q u a s i p e r i o d i cd e c o m p o s i t i o n ，w h i c ha r et h eg e n e r a l i z a t i o n so f t h ea s p e c t so b t a i n e db yd g r y n k i e w i c z f o re x a m p l e ，w ep r o v e t h a t i f 4u 4 a n d4 l u a 。o a r eb o t hq u a s i p e r i o d i cd e c o m p o s i t i o n so fa s u b s e tao fa na b e l i a ng r o u p g ，w i t h4h p e r i o d i ca n d4 l - p e r i o d i c ，t h e no n eo f t h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n sh o l d s ( i ) 鸽= a 。，4 = a 。； ( i i ) t h e r ee x i s t s as u b s e tko fs o m eh n l - c o s e ts u c ht h a ta u k i s ( h + 三) 一p e r i o d i c ； ( i i i ) 上i sap r o p e rs u b g r o u po fha n d4i sl - q u a s i - p e r i o d i c ； ( i v ) hi sap r o p e rs u b g r o u po f 三a n d4i sh - q u a s i p e r i o d i c i na d d i t i o n ，w eg i v ean e wu n i t e de x p l a n a t i o no fk e m p e r m a n s c u r i o u sr e s u l ta n de x t e n dk e m p e r m a n sr e s u l t i n c h a p t e r5 ，w e r e f i n e t h e a s p e c t s o ft h es u m s e t ( s ) ，w h i c h i se s t a b l i s h e d b y g a ow e id o n g ，w h e r esi sa ( sj s e q u e n c eo fa na b e l i a ng r o u p ，w eg i v e an e ws i m p l ep r o o fo f t h er e s u l t so fc h u a n gp e n g ，w h i c hi sr e l a t e dt oo l s o n sc o n s t a n t v a n dw eo b t a i ns o m en e wu p p e rb o u n d so nt h ef r o b e n i u s n u m b e rw i t hs o m em e t h o d so fa d d i t i v eg r o u pt h e o r y i n c h a p t e r6 ，w ei m p r o v eg z e m o r sr e s u l ta b o u tt h e a d d i t i v eb a s e ；a n dd e t e r m i n e s a ( g ) a n d 乞( g ) i n s p e c i a lc a s e s k e yw o r d sa b e l i a n g r o u p ，c a r d i n a l i t yo fs u b s e t s ，k n e s e r s t h e o r e m ，q u a s i p e r d i cd e c o m p o s i t i o n ，a d d i t i v eb a s e v i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获 得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说明。 作者签名：盟堡 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅：学校可以公布学位论文的 全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校 可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：麴 导师筝名二羞箨日期：丛年旦月兰竺日 博士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 在这一章中，我们首先介绍这篇文章用到的一些常用的定义与记号：其次介 绍加性群论研究的一些问题的背景与进展；最后介绍这篇文章主要解决的问题 1 1一些记号与定义 这一节，我们首先介绍这篇文章用到的一些常用的定义与记号 【a , b 】：表示实数口与实数6 之间的整数，其中a ：表示由a 生成的子群 p 号p 4 = 口l + 2 + + 1 q a i , f 【1 ，p 】 a b e l 群g 的一个子集彳的直径s a m ( g ) ：r a i n pn oi 。= g ) a b e l 群g 的直径d i a m ( g ) = = m a x d i a m a ( g ) 1 = g 1 g 的一个子集a 为p - 极大生成集：如果它是使 ，一 ，= g 成立的极大 子集 ( g ) = ：m a x i s l l s 为群g 的p - 极大生成集) ( g ) = ： i s l ls 为群g 的非周期的p 一极大生成集) h o 一周期集a ：如果a 为日一陪集之并，此时称a 为日一周期 一非周期集a ：如果a 不为日一周期集，此时称a 为日一非周期 临界对( a ，b ) ：群g 中使爿+ b i 马a i + l 曰卜l 成立的一对有限子集彳和b 算术级数：缸+ 埘l i 【l ，纠) ，其中口g ，公差d g ，k 为正整数 极大h 一周期集a ：如果a 是日一周期集且日是使a 为一周期的极大子群，从 而h = h ( 彳) ( 彳的稳定化子) 穿孔日一周期集a ：如果3 a g a 使a u 口) 为日一周期 拟周期分解：对于a b e l 群g 的子集a 与一个非平凡子群h ，一的具有拟周期为 h 的拟周期分解是4 分为两个无交并子集的一个划分a = 4 u 以，其中4 为日 周期或空集且4 为某日陪集的子集，此时4 称为这个分解的非周期部分4 称 为这个分解的周期部分 拟周期集4 ：如果a 有一个拟周期分解a = 4 u 磊，其中4 非空，此时称z 为拟 周期( 否则称a 不为拟周期) 约化拟周期分解a = 4 u 4 ：如果a 有一个拟周期分解一= 4 u 鸽使4 不为拟周 期 c a u c h y 子集：a b e l 群g 的一个子集口称为c a u c h y 子集，如果b 是有限非空子集 且对每一有限非空子集a g 均有l a + 口陲m i n g i , i a i + i b i 一1 ) 博士学位论文 第一章绪论 1 2 加性群论与加性数论研究的一些问题 加性群论与加性数论又称堆垒群论和堆垒数论，它是具有悠久历史但现在迅 速发展的- r 学科给定a b e l 群g 的两个子集彳，曰，我们自然要考虑以下两个基 本问题： 直接问题( d ir e c tp r o b l e m ) ：已知一，b 为群g 的非空子集，则和集a + b 的 构造与特性是什么? 例如a + b 之大小( 所含元素的个数，记为i a + b i ) 逆问题( i n v e r s ep r o b l e m ) ：由和集爿+ 曰的构造与特性来推断a 与b 的构造 与特性 例如若相对于i 彳i 与j 曰i 而言1 4 + b i 较小，则a 与b 有什么样的构造? 特别临界对 的构造是什么? 首先我们来回顾一下直接问题的研究的历史背景 一般认为这个领域第一个著名的结果是c a u c h y d a v e n p o r t s 定理峪”，即 c a u c h y d a v e n p o r t s 定理设p 为素数，一，曰为循环群z p z 的非空子集， 则 i 彳+ b | r a i n p , i a i + f 丑f - 1 这个定理首先由c a u c h y 于1 8 1 3 年在研究二次剩余问题时发现的，1 9 3 5 年。d a v e n p o r t1 2 捌重新独立发现了上述结果，现在人们普遍称之为 c a u c h y d a v e n p o r t s 定理几乎同时，c h o w l a l 4 , 5 发现并证明m 阶循环群 z m z 中相类似的结果，即 c h o w l a s 定理设4 ，b 为m 阶循环群z m z 的非空子集，若0 b 且 v b e b 0 ) 均有( 6 ，m ) = 1 ，贝0 i 彳+ b 险m i n m ，1 a i + i 曰i 1 ) 后来c h o w l a ! b , 7 j j 。s c h e r k ”o l ，与k e m p e r m a n t “1 各自得到了一些有关群的两 个有限非空子集和集大小的重要估计另一方面，受m a n n1 9 4 2 年证明 4 博士学位论文第一章绪论 s c h n i z e l l a n d a u 关于密率的著名猜想之思想的影响，1 9 5 3 年k n e s e r l l 3 , 1 4 j 5 , 1 6 得 到加性群论与加性数论中的一个最深刻最著名的定理，即 k n e s e r s 定理设g 为a b e l 群，4 ，口为g 的有限非空子集，令 h = h ( a + 丑) 号 g g 1 4 + b + g = 4 + b 为群g 的子集一+ 曰的稳定化子，则 i a + bj 到a + 日i + l 丑+ 日i i i k n e s e r s 定理被用于数的几何，h a r r 测度及组合论等分支中 对于非a b e l 群的情形，1 9 7 3 年，g t d i d e r i c h t 2 卅证明了： 设g 为群，4 ，丑为g 的有限非空子集，假若召是可换的，则存在一个子群h 使 a + b + h = a + h + b = 一+ b 且i a + b i 割a + j + i 曰+ i l 1 1 9 8 4 年，j e 0 1 s o n 【2 4 1 得到了下面的结果：设g 为群，a ，b 为g 的有限非空 子集，则存在彳+ b 的一个子集s 使 l s 倒a j + i 丑卜i h l ， 其中h = g g l g + s = s ) 或h = g g f s + g = s ) 1 9 9 1 年，y 0 h a m i d o u n e t 2 5 1 ：导到了下面的结论： 设4 。b 为有限群g 的非空子集，b 匕a ，g 为a b e l 群或b = - b 则 1 4 u ( 4 + b ) i 到彳i + i 口l 或存在b b 使得b 生成的子群被包含于a u ( a + b ) 中 1 9 9 2 年，y 0 h a m i d o u n e ! ”i 又证明了： 设g 为群，a ，b 为g 的有限非空子集，0 b ，则 f a u b u ( a + 口) 到a i + i b i 或a 乙, b u ( a + 口) 包含一个非零子群 博士学位论文第一章绪论 1 9 9 4 年，高维东圳得到了：设g 为a b e 群，彳，b 为g 的两个有限非空子集且 0 a n b ，则对任意正整数七，或j a + b 剧aj + j b j _ 七或彳+ 丑包含一个由口中 七+ 1 个元素生成的g 的子群 他并将其结果推广到交换半群中 2 0 0 2 年，x d h o u ，k h l e u n ga n dq x i a n g ”1 将k n e s e r s 定理推广到 向量空间中去，即得到：设e c k 是域，且a ，b 是置上的有限维e 一子空间使 a o ，b 0 ，假若k 中每一个代数元在e 上的可离的，则 d i m e a b d i m a + d i m e b d i m e h ( a b ) ， 其中h ( a b ) = 缸k i 州占a b ) 是4 占在k 中的稳定化子 2 0 0 5 年，d j g r y n k i e w i c z ! “1 得到了关于k n e s e r s 定理的各种等价形式， 并用k e m p e r m a n - s c h e r k s 定理9 - “舢) 7 1 作为工具给出了k n e s e r s 定理的一个新 的证明 有关子集和基数的结论还可参文献( 4 8 ，4 9 ，6 2 ，7 3 ，7 4 ，7 5 ) 当i 爿+ 口i 较小( 相对于1 4 i 与l b i ) 时，描述a 与b 的结构与特性是加性群论 讨论的另一个重要的问题 在群g 中满足条件l 彳+ b 闰a l + l 且卜1 的子集对( a ，b ) 叫l 临界对( c r i t i c a l p a i r ) 对任意群来说，弄清临界对的构造这个问题仍未完全解决 1 9 5 6 年，a g ，v o s p e r ”3 9 1 对于，阶循环群z 。= z p z ( p 为素数) 而言完全 解决了这一问题，即对于z ，满足f 一+ 曰闰一f + f 曰| - l 的两个非空子集彳与曰，除 两个特殊情形外，4 与b 为具有相同公差的算术级数 1 9 5 9 年，c h o w l a ，m a n n ，与s t r a u s 俐利用v o s p e r 的结论给出了z 。上对角型 f ( x l ，而，矗) = q # + c 2 + + 巳 的值域r ( 厂) = ，( 五，x 2 ，矗) i t z p , i 【l ，玎】) 大小l 胄( ) i 的刻划 f r e i m a n 4 0 , 4 1 , 4 2 , 4 3 用指数和与分析的方法将v o s p e r 的结论更一般化，他证明 6 博士学位论文 第一章绪论 了：若a c _ z ，1 4 l = 七，f 2 爿卜2 k 一1 + ，1 2 一3 ，则4 包含在长度为七+ r 的算术级数中有关这方面的结论还可参文献 4 4 ，4 5 ，4 6 4 7 】 1 9 6 0 年，j b k e m p e r m a n 【1 2 1 给出临界对的一个完全递归描述( 也可参 d g r y n k i e w i c z t ”1 ) 这个结果有点复杂且不便于应用，正是出于此原因， 1 9 9 9 年f l e v 【4 7 1 关于l 临界对给出了一个较弱但较为简单实用的充分条件 y 0 h a m i d o u n e 2 7 , 2 8 , 2 9 用图论的方法， ( a ) 完全刻划了满足：l a + b 陋m i n j g 卜- l f a l + i 君i 。v a g 这样的群g 的子 集曰的构造 ( b ) 对一固定的c a u c h y 集b ，他给出了满足条件i a + b h a i + l 曰| _ 1 的子集a 的一个递归描述 2 0 0 5 年，d g r y n k i e w i c z s 1 介绍拟周期分解这样一个新概念，并给出一些便 于应用的性质，并得到在零和r a m s e y 理论起重要作用的一些结果 有关临界对的一些研究还参文献【”1 1 3 本文的主要工作 在这篇文章中，我们主要是讨论加性群论中与直接问题和逆问题有关的几个 问题，具体解决的问题如下 在第二章中，我们给出了k n e s e r s 定理的一个新的等价形式( 定理2 2 1 ) ， 即设g 为a b e l 群，4 ，b 为g 的两个有限非空子集，令 h = h ( a + 动= g g i 彳+ 口+ g = 一+ b ) 为4 + 曰的稳定化子，则 l a + b i - - a i + 1 8 1 一m 脚i n 瓜h f 一口) n ( 曰一6 ) n h i ， l ( 彳一n ( 6 一b ) n 日l ，i ( 彳一口) n i 厅( 曰一6 ) n 日】n 日j 此定理作为这篇文章中的一个基本工具，有以下一些特点： 7 博士学位论文 第一章绪论 ( i ) 定理2 2 1 比高维东定理更精细( 参推论2 2 1 ) ( “) 用定理2 2 1 改进m b n a t h a n s o n 3 7 i 关于群的加法基( 堆垒基) 的阶数的上 界( 定理2 3 1 ) n a t h a n s o n 用k n e s e r s 定理得到了：设g 为有限a b e l 群，4 为g 的有限生 成子集，且0 a 则a 为g 的阶数至多为 m a x z ，哿- l 的加法基 当，较小时，我们用定理2 2 1 容易得出下面的结果： 设g 为有限a b e l 群，一为g 的有限生成子集且0 a 若4 中任意，+ 1 个元生成 g 。则a 为g 的阶数至多为 m a x 2 , 船) 的加法基 ( i i i ) 用定理2 2 1 很容易推出k e m p e r m a n s c h e r k s 定理( 参推论 2 2 。2 ) ，c a u c h y d a v e n p o r t ，s 定理与c b o w l a s 定理等一些关于子集和的一些结 论 在这里顺便说明一下，我们用k n e s e r s 定理相对而言不容易解决象 ( i i ) ，( i i i ) 这样一些问题 在第三章中，我们将k e m p e r m a n s 结构定理( k s t ) 1 1 2 j 8 1 推广到下面两种情形： ( i ) 满足f 彳+ b i 爿a f + l 口i + 七( k 为非负整数) 的子集对，b ) ( 参定理3 2 2 ) ； ( i i )满足l a + b i 爿a i + 】b 卜p ( p 1 为整数) 且a + 丑为非周期或存在某元素 c a + b 使v o ( a ，b ) = p 的子集对( a ，b ) ( 参定理3 3 4 ，定理3 3 5 ) 注意到我们可用文献m 1 中定理3 4 与定理5 1 弄清( i i ) 的对( 一，丑) 结构，但不 够精细，在这篇文章里，我们从另一角度完全弄清它们的结构( 见定理3 3 4 与定 理3 。3 5 ) 在第四章中，我们将d g r y n k i e w i c z 关于拟周期分解的性质8 】一般化( 参定理 8 博士学位论文第一章绪论 4 2 1 ，定理4 2 2 ，定理4 2 3 与定理3 3 3 ) 如关于拟周期分解唯一性我们有下 面更一般的结果：设4 u 4 与彳u 一。分别为a 的拟周期为h 与l 的拟周期分解 其中日与三为g 的非平凡子群则下列结论之一成立 ( i ) 4 = a o ，4 = a 。： ( i i ) 存在日n 工的某个陪集的一子集k ( 可为空集o ) 使a u k 为( 日+ 三) 一周 期； ( i i i ) 三为日之真子群( 三 h ) 且4 为三一拟周期； ( i v ) h 为上之真子群( 日 l ) 且一。为h 一拟周期 另外，我们对k e m p e 瑚n 的一个奇怪的事实n 2 1 做出新注解，并推广相应的 结论( 参定理4 3 1 与推论4 3 1 ) 设a ，b 为a b e l 群g 的两个非空有限子集使 1 4 + b l 爿a i + l b l 1 令c ”= ：“，f 2 ，巳) 为a + b 中满足屹( j 4 ，曰) = 户的所有元素的集合 令n r 爿 g g i ( 爿，口) = ， i ，由k e m p e r i i l a n s c h e r k s 定理可知怫= o ( o p 2 p 下一个奇怪的事实：_ = 0 ( p r 2 p ”换为更广的条件：“群g 中任意珂一p 个元生成的 子群的阶数大于p ”k e m p e r m a n 的奇怪事实仍成立 在第五章中，我们给出了定理2 2 1 与k n e s e r s 定理的两个应用： ( i ) 给出了a b e 群g 的元构成序列s 的和集( s ) 的一些性质( 参定理5 1 1 s ( sj 与定理5 ，1 2 ) ，这些性质比高维东所给出的性质更精细有关这方面的结果还 可参文献【3 3 ，3 4 ，3 5 】 另外我们给出了c h u a n gp e n g i ”5 ”的结果的一个新的简易证明( 参定理5 2 1 9 博士学位论文 第一章绪论 与推论5 2 1 ) ( i i ) 利用定理2 2 1 给出了f r o b e n i u s 数的几个新的估计公式( 参定理5 4 1 ， 定理5 4 2 与定理5 4 3 ) 在1 9 7 5 年，v i t e k ”1 证明了下列结果： 若s 2 且不能从集合，口j ) 中选择q 与口卅使对任一i ( i 0 ，s ) ， 均有q = q + 气，其中气，气为非负整数，则 c ，q ，l 圭嘞j c q 一2 ， 在1 9 9 6 年，s h e nj i a n 【6 0 1 将v i t e k 的结果一般化，并得到： c 嘞，q ，茎 彳云 崭 q 一，一+ - 其中，是使r 上o + 1 ) i ( a o - s - l + ) 成立的最小非负整数 我们有( 定理5 4 1 ) ：假若正整数，口j 满足下列条件： ( i ) 0 a o q a , rg c d ( a o ，q ，a s ) = 1 ： ( i i ) 对于集合h ，q ) 中的任意r 个元气，口f ，我们有g c d ( a o ，气，q ) = 1 ， 其中1 1 f 2 j ，r s ： ( i i i ) q a j ( m o d a o ) ，v i _ ，i ，- ，【o ，s 】 贝u 。c ，q ，( 掣+ ) q 一，一+ ， 其中，是使0 + 1 r ) l ( a o s - l + ) 成立的最小非负整数 容易看出：当，相对于s 较小时，我们改进了s h e nj i a n 给出的上界( 参文献 【6 0 】定理3 1 ) 特别地，我们有： ( 1 ) 假若正整数a o ，口j 满足下列条件： ( i ) 0 a o q a s 且g c d ( a o ，q ，q ) = 1 ： l o 博士学位论文第一章绪论 ( i i ) v q ( f 【l ，s 】，均有g c d ( a o ，q ) = i ( i i i ) 珥a j ( m o d a o ) , v i j , i ，j i o ，5 】 则 蜥一班l 竿小叫 ( 此结论可作为s h e nj i a n t 驯文中定理3 2 的一般化) ( 2 ) 假若正整数，口j 满足下列条件： ( i ) 0 a o q 1 0 嘭，其中n l 竽j ，e ( g ) = 坼表群g 所有 元的阶之最小公倍数，则n a = g 其次，我们给出了有关p 一极大生成集的一个新结果( 参定理6 2 1 定理 6 3 1 与定理6 3 2 ) i q 知道如何确定( g ) ，t p ( o ) 这个问题除一些情形外( 见下面( i ) ， ( i i ) ，( i i i ) ) 仍没有解决b e l o p s c h 和v f l e v 得到以下结论”1 ： ( i ) 设g 为任意有限a b e l 群且p l ，2 ，3 ，d i a m ( g ) ，或g 为有限循环群 且p 【l ，d i a m ( g ) ，则j ，( g ) ，t ，( g ) 完全确定如当p = d i a m ( g ) ，我们有 博士学位论文 第一章绪论 俨心( g ) _ 1 似( g h ( g ) + 2 l 吲矧 ( “) 设g 为任意有限a b e l 群，p - - 4 ，贝l js p ( g ) 咖埘( g ) 且使( g ) = o 这样的( g ，力称为平凡的) 我们得到了( g ) 的上界的新估计公式，并给出y 使t p ( g ) = 0 的( g ，p ) - - 类 非平凡例子，即有： ( 1 ) 设g 为( ( 附肌胆a b e l 群，若p m a x 4 ，l 挈j ) ，其杈g 胁，贝o s p ( g ) 而i g i ( 此上界优于b k l o p s c h 和v f l e v 得到的上界三p “l g i ) ( 2 ) 设g 为( 2 ，m ) 型a b e l 群g = z 2 0 z 。( 2 l m ，m 8 ) ，则 ( i ) 电( g ) = 6 ，i ( g ) = o ； 1 1 g ) 2 v g ) = 4 ( 3 ) 设g 为( 3 ，m ) 型a b e l 群g = z 3 0 z 。( 3 i n ，m l o ) ，则 1 均g 矽嘲g ； 1 g 2 铀够m 本文的主要3 2 作整理在文献7 6 ，7 7 ，7 9 ，8 0 ，8 1 ，8 2 ，8 3 中 1 2 博士学位论文 第二章a b e l 群中的子集和及其相关问题 第二章a b e l 群中的子集和及其相关问题 在这一章中，我们得到关于a b e l 群的有限非空子集和的基数的一个新结论； 从这个结论出发，我们改进了高维东的一个结论，并容易推出了 k e m p e r m a n - s c h e r k s 定理；进一步，我们证明了我们的结论与著名的k n e s e r s 定理等价；最后，我们给出了该结论一个应用一改进了n a n s a n s o n 关于加法基 的一个结果，并得到其它相关的一些结论 2 1 引言 设g 为一a b e l 群，运算用加法表示，且一与占为g 的有限非空子集加性群论 研究的一个基本问题是：已知a 与丑为群g 的有限非空子集，则和集a + 口构造 与特性是什么? 例如a + b 的大小( 即所含元素的个数l a + b ) 为多大? 一般认为这个领域第一个著名的结果是c a u c h y d a v e n p o r t s 定理，即 c a u c h y d a v e n p o r t s 定理 设p 素数，彳与b 为循环群z p z 的非空子集， 则 l a + b m i n p ，l a + l b l 1 ) 这个定理首先由c a u c h y 川于1 8 1 3 年在研究二次剩余问题时发现的1 9 3 5 年，d a v e n p o r t 1 重新独立发现了上述结果，现在人们普遍称之为 c a u c h y - d a v e n p o r t s 定理后来，人们对上述定理做出各种各样的推广，我们可参文 献【4 ，5 ，8 ，l o ，1 1 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，2 0 ，2 4 ，2 5 ，2 6 ，3 0 ，3 6 在这些一般化的结论中，其中最 深刻最漂亮的结论毫无疑问是推广到任意a b e l 群中的k n e s e r s 定理f 1 6 】，即 k n e s e r 6 定理及其等价形式设g 为a b e l 群，4 ，4 ，4 ，为g 的有限非空 博士学位论文 第二章a b e l 群中的子集和及其相关问题 子集，：g g h 为自然同态，令 n月n 日= h ( 4 ) = ：( g g l 4 + g = 4 ) ，= li - 1 ；】 为4 的稳定化子( 此时又称4 为极大h 一周期) 坝。下列命题等价 ( i ) k n e s e r s 定理：i 4 陋1 4 + h i 一( 月一1 ) 1 h ( i i )l 矿( 4 ) 陋l ( 4 ) h + 1 月月 ( i i i ) l 4 陋1 4 i - ( n - 1 ) l h ( j v ) 或者1 4 陋1 4 i - n + l 或者4 是周期的 h月n月 ( v ) 或者1 4 陋1 4 + h i - ( n - 2 ) h i ，或者l 4 l = 1 4 + h i - ( n 一1 ) 1 h ，一l- l j - l，= l ( v i )当行= 2 时，以上五个命题之一成立 另外，若g 为有限a b e l 群，则下列命题与以上命题之一等价 3 ( v i i ) 若 = 3 上t e i 4j = i g i + i h i + l ，贝o 1 9 9 4 年，高维东0 0 1 得到下面的结果，并将此结果推广到有限交换半群上去 定理g 设g 为a b e l 群，一，b 为g 的两个有限非空子集且0 a n b ，则对任 意正整数k 威 l a + b l 到a l + i 口l k ， 或4 + 曰包含一个由b 中k + 1 个元素生成g 的子群 下一个重要结论是k e m p e r m a n s c h e r k s 定理怫”。“，它描述a + b 的大小与 g 的元素表示为形式a + b ( a a ，b b ) 的表示数目这间的关系对每一元c g ， 我们记 1 4 g = 4 ， 博士学位论文第二章a b e l 群中的子集和及其相关问题 屹( 彳，b ) = ：i ( ( 口，b ) i c = a + b ，a a ，b b ) i k e m p e r m a n s c h e r k s 定理表明若a + b 较小，则v c a + b 有许多表示 k e m p e r m a n - s c h e r k s 定理设g 为a b e l 群，4 ，曰为g 的两个有限非空子集， 则对a + b 中的任意元c 均有v a a ，b ) 到a i + j b 卜1 4 + 占| ，即有 i a + b 剖a i + i 曰l 一星恕k ( 4 ，占) k e m p e r m a n s c h e r k s 定理的一些背景可参l e v ”】 2 2 子集和的基数定理 在这一节，我们得到比高维东定理更精细的结论，即 定理2 2