（概率论与数理统计专业论文）位置不变的矩型估计量的渐近性质.pdf

西南师范大学研究生学位论文原创性声明 秉承我校勤奋、严谨学风，本人申明所呈交的论文是在导师指导下进 行研究工作所取得的成果，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含在我校或其他教 育祝构获得学位论文上的材料，与我共强工作的同事对本研究所擞的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 该甲请学位论文与资料如有不实之处，本人承担一切相关责任。 论文作者签名：釜赵盘 日期： ! 堂：! f 两南师范大学研究生学位论文版权协议书 本人完全了解西南师范大学有关保护知识产权之规定，即：研究生在 攻读学位期间所完成的论文的知识产权入单位为西南师范大学。本人保证 毕业离校后，发表攻读学位期间所完成的论文盛使用这些论支中的原创性 技术成果时，署名单位为西南师范大学，或在明显位置标明，该成果是作 者在西南师范大学攻读学位期问完成的。学校有权保留并向国家有关部门 或机构送交论文的复印件和磁盘 学位论文的全部或部分内容( 保密 他手段保存论文。 允许论文被查阕和借阕。学校可以公布 内容除外) ，可以采用影印、缩印或其 论文作者签名 指导教师签名 f 期挝辫 位置不变的矩型估计量的渐近性质 学科专业：概率论与数理统计 指导教师t 彭作祥教授 摘要 本文提出了一类新的极值指数估计量掣( k o ，) ： 镏( 硒，) = 碰1 ( ，) + 1 一； 1 研究方向概率论 研究生：凌成秀( 2 0 0 2 3 5 3 ) 其中 ， 聊，砷= 去蒌( 1 0 9 瓦x n 也- i , n 。- - 一x n - 也k , n 。， 1 j ，j 叫，2 且 女= ( n ) 一。，= k o ( n ) 一，：一o ，i k o o 称为位置不变的矩型估计量，并分四部分讨论了它的渐近性及b 的优选问题主要结果如下： 在一阶正规变换条件下，讨论了其强弱相合性，得到了定理1 3 在二阶正规变换条件下，讨论了其渐近正态性的充要条件及分布的渐近正态展开，得到了 定理4 一8 当条件且满足时，讨论了均方误差意义下，的最优选择问题，得到了定理9 最后，采用a d j u s ta l g o r i t h mo fa d a p t i v ep r o c e d u r e 进行了模拟比较分析，得出该估 计量相对于位置不变的h i l l ，p i c k a n d s 型的优良性质，以及在1 0 情形下相对于矩型估计量 的优良性质 关键词：极限分布函数；极值指标；位置不变性；矩型估计量；强弱相合性；渐近正态性； 顺序统计量；正规变换函数 t h e a s y m p t o t i cp r o p e r t y o fl o c a t i o ni n v a r i a n tm o m e n t - t y p e e s t i m a t o 。 m a j o r ：p r o b a b i l i t ya n d s t a t i s t i c s t u t o r ：p r o l p e n gz u o - x i a n g s p e c i a l i t y ：p r o b a b i l i t y a u t h o r ：l i n gc h e n g - x i u a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，an e we s t i m a t o ro fe x t r e m ei n d e x ，d e n o t e db y 镏( k 0 ，k ) 镏( ，k ) = 呱1 ( 硒，k ) + 1 ( 越1 ， ) ) 2 a 纡( ，女) w h e r e 蛾钳) = 去善( ，锯钱托例，。 a n d ， _ ，自o o o ，一k _ 0 ，挈一0 n a m e dl o c a t i o ni n v a r i a n tm o m e n t t y p ee s t i m a t o r ，i sp r o p o s e d ，a n dd i s c u s s e si t ss t r o n ga n dw e a k c o n s i s t e n c y , a s y m p t o t i cn o r m a l i t yp r o p e r t ya n d t h e o p t i m a lc h o i c e o fs a m p l ef r a c t i o ni nf o u rs e c t i o n s ， r e s p e c t i v e l y m a i nr e s u l t sa r eb r i e f l ya sf o l l o w i n g ： u n d e rt h ef i r s tr e g u l a rv a r i a t i o nc o n d i t i o n , w eo b t a i ni t ss t r o n ga n dw e a kc o n s i s t e n c yi nt h e o r e m 1 3 u n d e rt h es e c o n dr e g u l a rv a r i a t i o nc o n d i t i o n ，w eo b t a i ni t sa s y m p t o t i cn o r m a l i t ya n di t sa s y m p - t o t i cn o r m a l i t ye x p a n s i o no fi t sf u n c t i o ni nt h e o r e m4 8 w h e nc o n d i t i o nbi sh e l d t h ep a p e rd i s c u s s e st h eo p t i m a lc h o i c eo f i nt h em e a n i n go fm e a n s q u a r ee r r o ri nt h e o r e m9 a tl a s tw ea n a l y z et h eg o o dp r o p e r t yo ft h ep r o p o s e de s t i m a t o r ，c o m p a r e dw i t ht h el o c a t i o n i n v a r i a n th i l l t y p ea n dp i c k a n d se s t i m a t o r ，s oa st h ec o m p a x i s i o no ft h em o m e n te s t i m a t o rw h e n 1s0b ya d j u s ta l g o r i t h mo fa d a p t i v ep r o c e d u r e k e y w o r d sa n d p h r a s e s ：l i m i td i s t r i b u t i o n ；e x t r e m e v a l u ei n d e x ；l o c a t i o ni n v a r i a n tp r o p e r t y ；m o m e n t e s t i m a t i o n ；s t r o n ga n d w e a k c o n s i s t e n c y ；a s y m p t o t i cn o r m a l i t y ；o r d e rs t a t i s t i c s ；r e g u l a rv a r y i n g f u n c t i o n 2 1 弓f 言和预备知识 1 1 翦言 设 x j ，n l 为独立同分布随机变量序列。公共分布函数为f ( z ) ，x 1 n 恐ns n 为 x l ，j ，2 ，盼顺序统计量若存在a n 0 ，k r ，对非退化分毒函数g ( $ ) ，使碍 尸( ，。a n x + k ) = p ( d 。十k ) 薯g 0 )m 一。) 刚a ( x ) 必为 l a ( x ) ：= i ( 七) = e x p - ( 1 + ，y z ) 一彳， 1 + y x 0 ，1 r j l ：对称f ( 。) 属于吸； 场q ( z ) ，7 称为极值指数，记为f d ( g 点驽分布函数未知对，对极值指数7 的估计和极值分布吸引场中分布的尾部估计，构成了极值理论的重要组成部分极值理论是以自然界和人 类社会中翦极靖现象为背景昀，鲡自然界孛对传染病蔓延过程的控翻研究，石油能源劫探点静最佳估计， 对防洪防震建筑物的设计同时极值理论的应用已渗入金融市场，保险业等的风险度量与璜测 1 2 文献综述 对投值指数的估计，历史上已有较好的结论当7 0 时，h i l l ( 1 9 7 5 ) 提出了如下h i l l 型估计量： 矾= ；1 0 9 x n l o g x n 咄。 ( 1 1 ) d e k k e r s ( 1 9 8 7 ) 提出了对，y r 都适用的矩型估计量如下： 镏= 珥d + i - 扣譬 _ l ( 1 。) 其中 峭k 苕。s 恕n 川，。 潘家柱( 1 9 9 8 ) 讨论了h i l l 型估计量和矩型估计量的分布的渐近展开等性质程士宏( 2 0 0 i ) ，a t f l c ec u n t z ， e r i c h ，h a e u s l e r ( 2 0 0 3 ) 针对h i l l 型估计量的分布得到了更好的渐近展开颜颖和吴松林( 2 0 0 2 ) 推广了矩型 估计量，证明了其强弱耜合性 上述h i l l 型估计量和矩型估计量都不是位置不变的，而位置不变性对估计量是个基本的要求 较早提出静一位置不变的估计量是p i c k a n d s ( 1 9 7 5 ) 提出缒如下估计量， 话= 硒1l o g 瓦x n 夏- k + 五ln 了- - ) 瓦n - 2 k + 1 ( 1 3 ) 其中k = ( n ) 为满足当n o 。时膏一，k 一0 的中间整效列。称该估计量为p i c k a n d s 估计萤对 此估计量，d e k k e r 和d e h a a n ( 1 9 8 9 ) ，程士宏( 1 9 9 1 ) ，彭作榉( 1 9 9 7 ) ，伍度意等进行了较为详细的研究 3 和推广j o h a ns e g e r s ( 2 0 0 3 ) 提出了类广义的p i c k a n d s 型极值指数估计量，囊括了以上各种p i d a m d s 型估计量。重点讨论了下面这种特殊形式的估计量t 讪( c 虻面1i o g ( 砉苏瓮) 并且证明了其相合性，渐近正态性，讨论了在均方误差意义下c ，口的最优选择，提出了一种迭代程序法计 算拶，并模拟分析比较了几种估计量 r a g aa l v e s ( 2 0 0 1 ) 提出了- 种o r 不变的h i l l 垄估计量为 镏( ) 2 瓦1 1 0 9 瓦s n - 蔫i n - x n - k n )( 1 。4 ) 其中t o 。，k o 0 0 ，：一0 ，譬一0 ，并证明了该估计置的弱相合性，给出了其渐近展式，并对的最 优选择进行了讨论 上述的p i c k a n d s 估计量和位置不变的h i l l 型估计量虽是位置不变的，但p i c k a m d s 估计量的有效性较 差，对k 的优选及偏度的处理较难位置不变的h i l l 型估计量仅适用于叮 0 为此，本文受( 1 1 ) ，( 1 2 ) ，( 1 4 ) 三个估计量的启发，提出了如下矩型估计量： 黼瑚= 础”) + 1 一扣黜) 1 ( 1 5 ) 其中 ， 础”) = 去薯( 1 唱瓦x n - i , n - * x n - , n j 2 且当t n o o 时k ，钿一c o ，k n ，肚一0 成立 在一定条件下该估计量是否也有类似于矩型估计量的性质呢? 是否仍具有位置不变性呢? 在均方误差 意义下，是否也能获得乜的优选呢7 这就是本文研究的主要内容。 1 3 预备知识 为叙述方便，我们统一给出如下几个通用的记号及条件， 1 f ( x ) 为分布函数，f ”( t ) = i n f z ：m ( x ) 2t ) ，0 曼t 1 ，u ( t ) = ( t 与) ”( t ) 2 记垂和曲分别为标准正态分布函致和密度函鼓 3 记，二”、，垒”、”二”、”譬”为一弱收敛- 、。同分布- 、- 依概率收敛、 4 h ，觇，k 为独立同分布随机变量，公共分布函数为1 一z t - ! ，”1 ， 5 b = ) ，女= 女( ，1 ) ：b t ，女n 一0 ，k o l k o 。( n c o ) 6 。几乎处处收敛。 ( 1 6 ) = 硒( n ) ， = 女似) ：b k ，k 加一0 ，如l o g k ，k l o g n o o ( n o o )( 1 7 ) 4 【u ( t z ) 一v ( t ) l v c t y ) 一u ( t ) 】+ 3 ，一1 】【矿一1 】( 7 = 0 ：l o g x l o g y ) 对z ，y 0 ，1 局部一致地成立( t o o ) 8 ( i ) 当，y 0 时，存在6 ( t ) ，耳( $ ) ，k ( 。) 不恒为x t 的常数倍，使得对任意的z 0 ，满足 熹b等桀一一)。(。)o。，(t) 。矿( t ) “。”7 ( i i ) 当- f 0 ，满足 土b ( o 甓搭鬻一一) 。砸。) 。u ( o 。) 一矿( t ) 4 、。7 ”7 ( i i i ) 当7 = 0 时。存在口( t ) ，6 ( t ) ，k ( z ) ，( z ) 不恒为z 7 的常数倍，使得对任意的z 0 ，满足 志t 里鱼尝云型堕一1 0 9 。 。k ( 。) o - + 。o ) 6 ( t ) 。o ( t ) 5 ”一“， 其中丽1t 雨a ( t x ) 一1 ) 一。 由文献【2 4 l ，上述三种情况都必存在p 0 ，使得 ( 。) ：一兰竺 p j 6 ( t ) l 冗 5 ( 1 8 ) ( 1 9 ) ( 1 1 0 ) ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) 2 位置不变的矩型估计量的强弱相合性 f 面给出基本引理 引理1 若矿( ) ：= ( t 与) 满足条件( 1 8 ) ，则存在f ( t 2 ，t 1 ) ，使得当t l , t 2 t l o 。时 l 。g 崩甜fl o g s7 2 0 ，( t 2 ，t 1 ) 。i ( s 1 一1 ) 一7 0 局部一致地成立，且对任意的e 0 ，存在1 ， ，2 ，使得当t l 肌，幻# l 2 时，有 ( i ) 当7 0 时 ”小竿一警钟叫竿+ 。 ( i i ) 当，y 0 时 -一(-+e)+e 0 时， 蚝南群划魄高静删 从而对0 1 的情况) ，有 u ( 0 2 s ) 一u ( t 2 ) 0 由t l ，0 2 1 _ 0 0 ，对任意的岛存在n 1 ，使得t l n 1 时。t 1 t 2 s 结合( 2 1 ) ，( 2 2 ) 得 令幻一，得 f ( t 2 ) 一口( 如) u ( t 2 ) 一( t 1 】 u ( t 2 ) 糊黼可u(t28)-u(t2)u(t 盯( 亡2 ) 一c ，( t 2 e ) 、 u ( t 2 ) 一1 )、一一面雨j 一 两8 7 - - 1 _ 1 ，有磬 n 2 u ( h n ) 一u ( h ) u ( t 2 ) 一u ( h ) s u ( o o ) 一u ( h ) 得 翌f 垒：兰2 二u ( t 2 ) ，u ( t 2 - 3 ) 一u ( t 2 ) ，u ( t 2 s ) 一u ( t 2 ) u ( h n ) u ( t t ) 。u ( t 2 ) 一u ( h ) 2u ( o 。) 一，( t l j 一 令v ( t ) = u ( o 。) 一u ( 姨得 ( 刊器 得 ! ! ! 垒生二! f ! 尘2 ! ! ! 尘 ( v ( h n ) 一v ( h ) ) v ( t o 1 ( v ( t 2 a ) - v ( t 2 ) ) v ( t 2 ) 7 ( v ( t l n ) 一v ( t d ) v ( t i ) 令t l 一( 显然有t 2 一o o ) ，有 1 ! ( 垒虫二! ! 垒2 f 一，、! ! ! 塑! ( 垒：型二! ( 垒! 一，y v ( t a ) 一v ( h ) 。= 、“v ( h )7 v ( t 2 ) f!u ( t 2 s ) 一u ( t 2 ) v ( t 2 a ) 一y ( t 2 ) ：一7 - 器u ( t 2 ) 一u 2 7 y 一了1 一s 7 - i 驯m 耐碉1 黼剑谰1 黼竿 令一o 。，得证其余证明可参见g e l u ka n dd eh a a n ( 1 9 8 7 ) ，p a g e2 7 引理2 对k = ( n ) 满足0 0 ，1 l ，8 1 ) 则对任意7 r ，当n o 。时，有 i 掣碌- 1 ，n pa 丽刍甄1 鬲 证明t 见文献f 8 j 引理2 引理3 对k = ( ，1 ) 满足0 0 成立k ( - ) 0 0 9 n 尸一o o ，对 随机变量列x 1 ，尥，矗智f ( 司，x 1 ，。s ，。为其顺序统计量有 ( 1 ) 若f ( z ) = z o 似 0 ，1 1 ，o 1 ) ，则对任意7 r ，o 2 ( 7 + 盯) 加当n _ 0 0 时，有 证明- 见文献【8 】引理3 引理4 设仉，如，磐u ( o ，1 ) ，r 。( t ) 为其经验分布函数。0 ( n ) 0 ， 使得k ( n ) o o g n r o 。，b 0 的情形 训 ) = 石1 1 掣。- io s 恶告嚣高p = 去善麓器 = 去喜峨 ，b 一1 2 去h 西( 1 州1 ) ) 】 ，l ( k o ，) 三7 2 ( k o ，女) 三研2 从而 错( c o ，) 二，y ( i i ) 7 = 0 的情形 由引理2 及( 1 6 ) ( 1 8 ) 条件，有 唱髭碧嵩糍虬s c - + 器告篙毫碧， = 芝：s i 捌( + 。，( ，) ) = 鬻- ( - + 。，( ) )l o g ( 碥一b ，n 碥一七一) r p 、叫7 1 0 晤k b ，七 卜。叩卜川 故 训”，= 志喜怒告黑端】， 2 两瓦1 丽石1 铷o o g y k o b ) ( 1 + 删) 从而 l o g y k b ， h 1 ( k o ，七) 三1 1 0 9 2 r k b ，2 ( k o ，) 三2 结合l o g y 一如。k 。p 得证 ( i i j ) ，y 1 ) 的i i d 序列埒，埒的第n i 个次序统计 l i m s u p 赢k o 吲一l 厂( k m k 一女，。) p 。 同理，用引理1 中左边不等式得 * 州丽掣篝一，。一 由n k k ，。肛瞥1 及n 碥一b ，。k o 瞥1 知 赢一s ，( k b mk k 。) 。+ 从而 蟛。7 g 8 ( i i ) - y 0 的情形t 由引理1 中的不等式及条件( 1 7 ) 有 藏：国焉孽胀毋却叫器， 对上面不等式右边( 2 4 ) 式展开并应用g f 理3 ( 2 ) 及条件( 1 7 ) 得到其几乎处处收敛于 1 一c ；+ ( 1 一e ) 龋- t - - , + ( 一1 ) 嘭( 1 一s ，龋 同理，用引理1 中左边不等式得 赢一f 寤哿2 7 等厕一 【，( k b 一，1 0 一b 一) p ( 1 7 j 【1 一 j l l 一，7 j 且 故当- , 0 时，1 驾0 ， 敞 薏碥如铆 ，1 - ，f 1 一l 。if ( 1 1 ) 磁瞥o + l 一( 卜1 ) m 一i i l - 一h 刊、1 一l = 7 取f = 2 得定理2 的证明 定理3 的证明：利用引理4 ，由定理1 ，2 的证明过程可得 3 位置不变的矩型估计量的渐近正态性 下面给出基本引理百先作弼- f 记亏， 瑚= 壶譬1 l o g 一1 q ：= 击墼i l l 0 9 2 k 一2 r = 聒l 。厶仁k o - 0 1 ( 1 一y f f ) + 7 ( 1 1 ) q 。；七复i 1 ( 1 一掣) 2 2 ，y 2 ( 1 1 ) ( 1 一研) rl + 1 2 ，1 o ， 矿n 卜 ( 1 刊。( 1 呐) 4 8 高+ 鲁黼 o ； f 焉簪6 ( 孙妒+ ( 南) 2 ( 移 p 。 淝 加 南州嚣) + 去tp o i 耔警揣2 7 6 ( 鼢焉1 ( 鱼k p ，7 枷i7 ( 1 7 一力( 1 一 一p ) 、一7 4 e 7 1 一i ( 7 1 ) + 兰旱三署一2 ( ( 1 1 - - 一3 7 7 ) 2 ) ( ( 5 l - 一1 钾1 7 ) ) ，y 。 1 1 1 譬 n 蹋 篁|女更 簪鬻1 ：o 知三 m ，= 燃裂 口l ( ，y ) = ( 口( 7 ) ) 一3 ) i ( 7 2 ) 3 + 6 ( 7 2 ) 2 】+ 1 2 ( 7 2 ) + 1 5 一( 7 - 1 ) f ( 7 2 ) 2 + 3 n 一2 ) + 锄+ ；( 7 一1 ) 3 ； a 2 ( 7 ) = a d t ) f 1 7 ) 2 ( 1 2 7 ) 3 7 a ( 们 扣笨等) ( 1 一巧3 + 两3 一面1 ) + 掣”褊m 一禹+ 高一南十南， “1 - 。丁2 7 ，) 2 ”高尚尚+ 丽5 一两1 ) + ；c 等) 3 ( - 一高+ 尚 一两2 0 + 可1 5 一去15 7 + 去1 6 7 l 一3 1 1 一钾一 一 7 + 矿研4 7 盱a 丽一；( 南) 3 ) ； f ( 7 2 ) 1 。g m + = 1 1 0 9 埒，7 o 12 ( 1 一甲) + 1 - 2 2 1 2 7 、1 一f ) 2 i 7 o 下面给出本文所需的一个重要条件，记为( g ) 条件： ( c ) k o c ( k o ，p ) = d ( 1 ) 该条件与矩估计量的渐近正态时所需的条件类似 拥阀舶：m ( ( ：) ，1 三) ) 阀舶：，三( ( ：) ，) 其中 ，钾 = 志( 一上盈1 2 1 3 7 ( 1 一印) ( 1 3 7 ) ( 1 一钾) 证明t 参见引理3 4d e k k e r s ，e i n m a h la n dd eh a a n f 1 9 8 9 ) 引理6 对任意正整数m ，对z r 一致地有 m p ( w 么s 。) 垂( z ) + q 。o ) 七一昔+ d 一号) v = l 仉( 。) 一曲( z ) 风拙“。) 娶寿百；尚) b 上面等式右边求和号是对方程h 】+ 2 h 2 + + 口k ，= 口，8 = h 】+ + k 所有的非负整数解( 1 k ) 求和，r j 是( r 1 n ) ) _ 1 2 0 时， 镏( b ，砷= 7 + 譬+ ( 7 2 ) 碟+ 群6 ( ；) ( 警) 一一+ ( r 苦) 2 ( 譬) ，一未+ 且， ( 2 ) 当7 = 0 时， 铬，砷= 譬一2 碟+ 丁与矿6 ( 盖) + 志一未+ r 0 ( 3 ) 当7 0 时， 碟( ) = 7 + 坚华型( 2 p n + 等q n ) + # 警粼6 ( 薏) + 暑( 妒啪1 ) + 可8 0 - 2 - ) 筹耥】石1 忸t 其中皿，i = 1 ，0 ，- i 统一记为r ：，当( d ) 条件满足时，有 i p 磕i - k 0 1 1 日( 去，b ( 乏) ，( 警) 一，志) 1 日( ，o ，y ，z ) 为变量 ，z ，y ，# 的多项式 定理5 若。= ( ”) ，b 三k o ( ”) 满足( 1 6 ) ，u = u ( 0 ：= ( 南) 。满足二阶正规变换条件，存在常数 列 k ) 及非退化分布函数g ，使得 p k ( 碟( 硒，) 一，y ) ) 三0 ( 。) 则舀必为正态分布函数 定理6 在定理5 的条件下，则 r 既 口 0 = n ( a , a 2 ) 停v 俪 g c ( k o 赫p 。型, 、a t v i ( 3 1 ) ，女，) 一 定理7 若k = 女( n ) ，b = 岛( n ) 满足( 1 6 ) ，u = u ( 0 ：= ( 南) 满足二阶正规变换条件，则对r 一致地有 p 亟学纠叫卅i ) ( 1 _ ) 一赤i ( + e ( 伽饰( 石 ) 1 3 对满足下式的b 成立 硒e ( b ，k ，p ) 一e 定理8 若将上述定理的条件( 3 2 ) 改为 则在其它条件不变情况下。有 记( b ) b ( t ) 一c o l n ) = c 2 ( 7 ) 佤c ( k o ，k ，p ) 一e l p 、佤( 伴( 岛，k ) 一，y ) sz ) 一( ( 1 ，护( 7 ) ) t p ( c o ，p 0 ： c 矿且n 乒务丰 时，取 女= k ( o i 时，( b ，) 的渐近均方误差m s e 可达到最小值( 1 十嘉) ! 挚，此时 佃( 镏( h ) 三( 等】( 1 + 扣) 推论2 令 铂舻，垆檄毋，旷舞涨器 则在推论1 的条件下，有 、格( 碟( ，) 一7 ) 三n ( 0 ，( 1 + 去) 一2 ( ，y ) ) ( 3 3 ) 定理4 的证明：( i ) 7 0 的情形：注意到 故 罐叫垆等一鬻= x t + x t 了x p - 1 州小”m ， u ( k l ，n ) 一【，( 碥一k 。)u ( k f 。) u ( k 一，。) 一1 u ( k b ，n ) 一u ( k 一 ，n )u ( k b 。) u ( k k 。) 一1 一( h 1 一( p + 掣弛吨烈l + o p ( 1 ) ) ( 镣h l 一( 镣卜+ 掣弛吨n ) ( 1 十d p ( 1 ) ) j v 71 一k 二l ，b 砜，k + i 韭兰生l 二1 4 生二三6 ( k b ，n ) ( 1 + o p e 1 ) ) 一n b j i 了写西五丽i 而一 = 圪_ i l b 【1 + ( 1 一k ：；，b ) 圪- - 一7 b ，k ( 1 + 唧( 1 ) ) + ! 簋二! 字二二y f , - t o , o ( k 一女( 1 + d p ( 1 ) ) j 训”) = 去喜 l o g 卅( 1 - 配一诋一等手烈卅w = 志篆唱蚰肿俩) 砜一等乎烈h 即 n “硒， ) = 叮+ ，磁+ 了各( 警) ，+ r 1 - ( 警) 一一6 ( ；) + r - t b 一1 1 n ，：( ，砷2 焉蚤1 0 9 2 - i ，b + 2 7 ( 1 一k ! ) 1 0 9 _ i ，诋，一 + 2 7 坠争兰1 0 9 蚰h 堆洲_ 怯； = 。7 2 w q o + 警( 南- 1 ) ( 譬) _ p 6 ( ；) 曲( 南- 1 ) ( 钞仙。 镌，) = 7 2 + 聊2r 瑚+ 芒( 譬) 一吲；) + i 2 + 7 2 叮 、k o ，p + ，y 2 焉2 + r ， 其中r l l ，r 1 2 是关于( 硒) 1 ，疆岛，k 6 ( 碥一k ，n ) 的高阶无穷小量 从而 故 讯2 一镌，1 = 7 2 + ，y 2 ( 识一2 磁) + 2 ” y ( 1 1 矽一南) ( 譬) b 、n 。) 一抑( 辞铲一南) ( 鲁) 1 一，y 2 砰+ r 1 1 ，2 2 镌，l = 7 2 ( q ：一4 磺) + 警- ( 亡i 一1 ) 2 ( 争) 一9 b ( d 一2 7 ( 南一1 ) 2 ( 譬) 1 2 9 2 瑚2 十月1 2 铬( ) = 7 + 7 磁+ 南( 譬) 1 + 击( 譬) _ p 6 ( ；) 协- ，y 2 ( q o 一4 e 2 ) + 警巧1 - 1 ) 2 - ( 譬) - 州；) _ ( 南_ 1 ) 2 吲( k o 、7 _ 2 ，) , 2 p 0 2 埘2 1 。( 1 2 + 7 2 ( q o 一2 磁) 十警可 矛一i ) ( 等) 1 6 ( ；) 一z 7 f 去炉一若与) ( 警) 7 1 2 碟2 + r 1 1 ) = 7 + ( 譬一( 7 2 ) 焉) + 群( 警) 嘞( ；) + ( 南) 2 ( 譬r 一( 譬一3 p ：n q 。n ) + 5 磁2 ) + r - = 7 + ( 譬一( 7 2 ) 职) + 群( 鲁) 一p 6 ( ；) + ( r b ) 2 ( 警) ，一未+ 冗- f i i l l = 0 的情形；注意到 南t 掣咖扣脚，= 等甘黼 望彗二! ：! = 孥囊= ! ! ! ：1 + 旦! 兰= ! ! 型二坚! 堇= 鱼：1 2 ：】+ 坚! 堡= ! ：塾坠= ! ! ! ) 二里f 塾= 鱼生墨二! ! 1 2 u ( k b ) 一u ( k k ，n )矿( k 一知，。) 一u ( 碥一k ，。) ，( k b k 一。) 一矿( 碥一* 。) 一坳! “竺蝴生铀叠咖 故 即 故 椭 去融- + 豢y f 誊- i 鬻 = 瓦1 k 。- 。l l o g - lh h “l o g yk1 l o go - l , k oq 竿6 ( b 一( 1 + 印( 1 ) ) ) 2 瓦；：。 - 1 h h “ 玉! 二：；l 二6 ( b 一( 1 + 印( 1 ) ) ) = l o g 一，去1 妯射塾乒6 ( 。( 1 州1 ) ) 】p 刊酽石善妯射竿6 ( 。( 1 州1 ) ) 】p 讹问“s 。i 石1 k刍o-11f o o g k 十石1 喜堡诞h 册 讪饥砷 一l o g _ 1 一石刍胍k 十石蚤竿6 ( 静r n 册 2 l o g “k 一【1 + 职+ 南b ( 薏) + 岛1 榔矾) = l o g - 2 y k - k o , 一【去喜( 1 0 9 + 等乒慨酬l + d p ( 1 ) ) ) 2 】 - 1 0 9 - 2 嚎s 2 k * + 垫萼型l o s 蚰肥“低l = 1 0 9 。2 k 吨阱娥+ 群6 ( 薏) + 剐 - 2 ，1 ( k o ， ) = l o g 一2 k b ，k 【1 + 2 n + 击6 ( 未) + 磺2 + 岛1 】 t 。一镌，2 1 0 9 q k b “1 + ( 识一2 四) + 2 ( 暑三寿一r 与) 6 ( 乏) 一p ：n 2 + r o l j ) n , 2 - - 2 镌，t 。l o g - 2 k b ，小。：一4 磺) + 2 - ( 暑豸一南) 6 ( 苦) 一2 磁2 + r 0 2 】 故 故 镏( ) 刊o g 。k b ， f 1 + 焉+ 南6 ( 嚣) + 硒l j + 坚：堡二竺：! ! ! ! ! 二! 璺) + 2 ( 矗兰务一南) “嚣) 一2 f ：乎+ 丑】 十丽瓦i 再丽面再端写毒巍手赫 = 】o g - 1 趾 ”罴+ 巧1 嘁吨。) + 酬 + i ( q ：2 2 磁) 十( 毒三务一12 _ p ) 6 ( 嚣) 一磁。十r 0 。】 【1 娟：一2 磺) _ ( 掰南坝罢) + 砰一础- 】 = ( 。譬。- - 2 p o ) + e 筛一南坝孙譬- 3 碍q o + 靴志+ 凰 2 ( 等一2 焉) + 砑p6 ( 暑卜焉3 + 丧+ ( i ) 1 o 的情形t 注意y ( t ) = u ( o o ) 一u ( 力冗碍，且 锵卅) 六一刖副- 竽一鬻圳憎掣6 ( 小( 。圳) 器潮= ，+ 浆溉 = 1 + 三! 芎磊竺砉妄；：i j ；竺甜。，+ 辫 ；。+ 燮! 蹙! ：掌坠型! 型二1 1 一( 垛) ，一垛) ，蔓芦慨吨n ) ( 1 + 帅) ) ：，+ ! 釜二型坠兰二笺兰! ! 堡二鱼里! ! ! 竺! ! ! ! 二1 1 k 砜，t 竿磐洲j 州1 ) ) 2 1 + 硭“f 1 一坨一t ，b 一堰一i 。b 堡迎p 二6 ( k 一叫( 1 + d p ( 1 ) ) 】 n 一的= 去k 若a - 1 】d g f ，+ 跟( 1 一瑙b 一皖b 羔量= 警d 6 ( k 也“，+ 咋( 1 ) ) ) = 石1k 缶。- i 准( 】一瑙 b 一 b ! 量二乒6 ( 碥。) ( 1 十d p ( 1 ) ) ) p 即 “砷= 犯咤喜( - 一磁- i , b ) - - 去k 善o - 1 瑶。b 堡二皆兰! ( 薏) + m l l l = 犯鼢i 暑+ p n f 耦6 ( 杀) + r - u 瑚诎) = 。嚎詈”矿b 等净6 ( 。( - 吲1 ) ) ) 2 】 = 。嚎詈”一2 一面1k 白o - - i 。h ( 1 埠蛹) 等p 。( 扣钆： 镌1 ( ，) = 故 _ f 蒹两+ q 。叫f 茄 一( 南) 2 一再2 7r + 斋 n ，2 一镌1 = ，2 2 一- h 2 1 1 而i 一万j 丽f 巧而j 丽6 ( 丢) + p 2 + r 一“】 2 7 饿 f 蔫b 1 ( 1 2 7 ) ( 1 2 7 一p ) + + ( q n + 巧2 7r ) 叫矸丽南 f顸b而j6(”)一p2+r1y o 。1 j ( 一7 ) 2 ( 1 7 一p ) 1 。、 1 + ( q n + 再4 r ) 叫矿预 而 f i 而】6 ( 盖) 一z p n 2 + r - 1 2 l万j 丽r 确愀瓦j 一。 j 】6 ( 嚣) + r 一 敌 y ( k o ，驴跟【焉+ r f 丽i 6 ( 薏) + 码，j + 记”f + ( q 。+ 尚r ) _ 2 f 柄 1 f j 丽i j 而+ f 崭音葡j 6 ( 嚣) 一。瑶+ r - 1 2 p。( 1 7 ) 2 ( 1 7 一) 、 。1 “ _ 2 呶一f 耦堋。+ 毒p n 一【f 高 一f百丽1丽+矿可最百习16(薏)一职+r-111p 。1 ( 1 2 7 ) ( 1 2 7 一力。( 一，y ) 2 ( 1 一，y 一) 、硒7 1 “ = 7 + f 编一【( 半刊柳p n ) + f 丽晋糍南 坚等型( t 刊焉+ 坐学型( 譬+ 鲁+ 丽4 3 2 2 ) + y _ b ，t 【而- 7 + r f 1 。1 + 7 ) 2 ( 1 一计) f 可南b ( 嚣) 】+ 如 ( 。晶+ 等+ 鲁警揣6 ( 盖) + 暑( 譬) 1 + i ( 7 1 ) + 由于 8 ( 1 2 7 ) 2 ( 1 1 ) 2 ( 5 1 1 3 ) 1 3 7 ( 1 3 丁) ( 1 4 1 ) 】三+ r l 蜘 p f b n ( ： f f ( k o ，旷1 ) s $ ) = p 既( 鬻+ g ( 粕，帅) 州7 焉1 r i o + ) s z ) v n = p 絮删，力+ e ( 7 ) 瓦1 + p 4 ) s 丧 6 ( 盖) j 故由引理6 知 8 u p i p 取( 管( ，) 一7 ) 。卜，p 风( 鬻+ g ( p ) + e ( 7 蔚1 x o+ 磁) s 。? i d ( 石5 ) ( 3 4 ) 2 、，蜘 ： 。 上式表明f 7 n ( 镏( ，k ) 一7 ) 的非退化极限分布函数存在当且仅当 去叫咖+ 风e ( 硒 卅b n e ( 7 ) 石1 + 晶p 4 亦存在非退化极限分布函数，且两极限分布相同 下面给出定理5 ，6 的证明 定理5 的证明由定理5 的条件知，( 3 5 ) 式的极限分布函数是0 ，且 - 嬲一亮州们 0 时，( 3 1 3 ) 式中的m s 瓦( 许( 是最优解一( i i ) 当。主曼堕可取= 舻，使得 c ) 当k d n