（概率论与数理统计专业论文）使用cox过程对巨灾再保险衍生品定价.pdf

摘要 摘要 在保险模型中，我们经常使用泊松过程来模拟索赔到达过程。然而，在泊松 过程中，索赔强度是确定性的而非随机的，也就是说，泊松过程并不能很好的模 拟巨灾风险中的索赔到达过程。在这篇文章中，我们用c o x 过程来模拟索赔到达 过程，并且使用s h o tn o i s e 过程作为c o x 过程的强度函数。我们应用这一过程来实 现巨灾再保险衍生品的定价。 这篇文章的第一部分主要简单介绍了再保险产品的发展包括传统再保险产品 以及非传统再保险产品。第二部分主要介绍了c o x 过程和s h o tn o i s e 过程的定义及 基本性质。第三部分，我们在市场没有套利机会的假设下，引入一种新的再保险 产品定价方法。第四部分，给出了巨灾再保险衍生品的定价公式，并且举了一些 实际例子。 关键词：c o x 过程，s h o tn o i s e 过程，再保险衍生品，e s s c h e r 变换 a b s t r a c t 一_ 一 a b s t r a c t i ni n s u r a n c em o d e l l i n g ，t h ep o i s s o np r o c e s sh a sb e e nu s e da sac l a i ma r r i v a lp r o - c e s s h o w e v e r , i nt h ep o i s s o np r o c e s s ，t h ei n t e n s i t yi sd e t e r m i n i s t i c i tm e a n s t h ep o i s s o n p r o c e s si sn o tt h em o s ta p p r o p r i a t ep r o c e s sf o r i n s u r a n c em o d e l l i n g i nt h i st h e s i s w e u s ead o u b l ys t o c h a s t i cp o i s s o np r o c e s s ( a l s oi ti sk n o w na sc o xp r o c e s s ) t om o d e lt h e c l a i ma r r i v a lp r o c e s s a n dw eu s es h o tn o i s ep r o c e s sf o rt l l ec l a i mi n t e n s i t yf u n c t i o n w - e a p p l yt h em o d e lt op r i c et h ec a t a s t r o p h er e i n s u r a n c ea n dd e r i v a t i v e s i nc h a p t e ro n e 。w eg i v eab r i e fi n t r o d u c t i o no fr e i n s u r a n c ep r o d u c t sd e v e l o p m e n t t - h e r ea r eal o to fr e i n s u r a n c ep r o d u c t s ，f r o mt r a d i t i o n a lo n e st on o n - t r a d i t i o n a lo n e s t h e d e f i n i t i o na n ds o m es i m p l ec h a r a c t e r so fd o u b l ys t o c h a s t i cp o i s s o np r o c e s sa n ds h o t n o i s ep r o c e s sa r eg i v e ni nc h a p t e rt w o t h er e a s o nw h yw eu s et h e s et w op r o c e s s e s c a na l s ob es e e ni nt h i sc h a p t e r i nc h a p t e rt h r e e ，w ei n t r o d u c ea n e wa p p r o a c ht op r i c e m e 丘n a n c i a ld e r i v a t i v e s a n dw ea s s u m et h e r ei sn oa r b i t r a g eo p p o r t u n i t i e si nt h em a r - k e t f o rt h i sp u r p o s e ，t h ee s s c h e rt r a n s f o r mi sn e e d e d i nt h el a s tc h a p t e ro f t h i st h e s i s ，w e u s et h ed o u b l ys t o c h a s t i cp o i s s o np r o c e s st op r i c et h ec a t a s t r o p h ei n s u r a n c ed e r i v a t i v e s a n dc a l c u l a t et h er e i n s u r a n c ep r e m i u m r e l a t e df o r m u l a ei sg i v e n s o m ee x a m p l e sc a n a l s ob es e e ni nt h i sc h a p t e r f o rs i m p l i c i t y , w eu s es o m es p e c i a ld i s t r i b u t i o ns u c ha sm i x e x p o n e n t i a l ，g a m m ad i s t r i b u t i o n ，e t c k e y w o r d s ：t h ed o u b l ys t o c h a s t i cp r o c e s s ；s h o t n o i s ep r o c e s s ；c a t a s t r o p h er e i n s u r - a n c ea n dd e r i v a t i v e s ；e s s c h e rt r a n s f o r m ；f u t u r ea n do p t i o n ；m a r k o vp r o c e s s 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：鲍敬 冲年 ， 孕月，r 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：魄是 1 年争月旷e l 1 1 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n i n s u r a n c ef u t u r e sa n do p t i o n s i n1 9 9 0 s ，t h e r ew e r eal o to f c a t a s t r o p h i ce v e n t ss u c ha ss t o r m d a r i a ( e u r o p e1 9 9 0 ) ， k o b ee a r t h q u a k e ( j a p a n1 9 9 5 ) ，e t c t h et r a d i t i o n a lr e i n s u r a n c ec o n t r a c t sh a sb r o k e nd o w n s oi n s u r a n c ec o m p a n i e sh a dt of i n dn e wi n s t r u m e n t st oh e d g et h e m s e l v e s a g a i n s tl o s s e s t h e c h i c a g ob o a r d o ft r a d e ( c b o t ) i n t r o d u c e do n eo ft h en e wi n s u r a n c ep r o d u c t s - f u t u r e si nd e c e m b e r19 9 2 b u tt h en u m b e ro ft r a d e si sv e r yl o w s oa tt h ee n do fd e c e m b e r1 9 9 3 ，t r a d i n gh a sc h a n g e df r o mf u t u r e st oo p t i o n s c b o t 1 ，c b o t 2 f i r s t e x c h a n g e t r a d e dr i s km a n a g e m e n tt o o ls p e c i f i c a l l yd e v e l o p e df o rt h ei n s u r a n c ei n d u s t r yb yt h e c h i c a g ob o a r do ft r a d ea saw a yf o rt h ep r i m a r yi n s u r a n c ec o m p a n yt oo f f s e ti t sa n d e r w r i t i n ge x p o s u r e s t h e s ec o n t r a c t sa r ed e s i g n e dt op r o v i d et h ei n s u r a n c ec o m p a n y w i t hah e d g ea g a i n s tu n d e r w r i t i n gl o s s e sr e s u l t i n gf r o mc a t a s t r o p h i co c c u r r e n c e s t h e f u t u r e sc o n t r a c ti sa na g r e e m e n tt ob u yo rs e l la c o m m o d i t yo rf i n a n c i a li n s t r u m e n ta ta s e tp r i c eo na g i v e nd a t e t h eo p t i o np e r m i t st h eo w n e rt od e c i d ew h e t h e ro rn o tt oe x e r c i s et h eo p t i o nt ob u yo rs e l lt h ec o m m o d i t yo rf i n a n c i a li n s t r u m e n tb yt h es t i p u l a t e d e x e r c i s ed a t e t h ei n s u r a n c eo p t i o nt r a d i n gi sb a s e do nt h el o s sr a t i oc o n c e p t ( 1 0 s s e s i n c u r r e do v e ras t i p u l a t e dt i m ep e r i o dd i v i d e db yp r e m i u m se a r n e do v e rt h es a m et i m e p e r i o d ) f o re x a m p l e ，a s s u m ea ni n s u r a n c ec o m p a n yb u y sa no p t i o no nt h el o s sr a t i o t h a tw i l lf a l lw i t h i nt h er a n g eo f5 0 t o7 0 s h o u l dl o s s e sf a l lw i t h i nt h a tr a n g e ， t h ei n s u r a n c ec o m p a n yw o u l dt h e ne x e r c i s et h eo p t i o na n ds e l lt h ec o n t r a c t ，t h e r e b y e n a b l i n gt h ec o m p a n y t om a k eap r o f i to nt h eo p t i o n t h i sp r o f i tc o u l dt h e nb eu s e db y t h ec o m p a n yt oo f f s e tl o s s e s s h o u l dt h el o s sp o r t i o nn o tf a l lw i t h i nt h e5 0 t o7 0 r a n g e ，t h eo p t i o nw o u l de x p i r ea tz e r ov a l u e i n s u r a n c ef u t u r e sa n do p t i o n s 3 t h ev a l u eo fa ni n s u r a n c ef u t u r e ，f t a tm a t u r i t yti s ： e = 2 5 ，o o o m i n ( 鲁，2 ) ， ( 1 1 ) c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n w h e r e 2 5 ，0 0 0 ：t h en o m i n a lc o n t r a c tv a l u e 厶：t h er e p o r t e dl o s e si n c u r r e di nag i v e nq u a r t e r r l ：o n ef o u r t ho ft h ep r e m i u m s 厶i i ：i sa l s oc a l l e dl o s sr a t i o t h ev a l u eo fa c a t a s t r o p h ei n s u r a n c ec a l lo p t i o no nt h ef u t u r eo ft h eo p t i o n ，p t ，a tm a t u r i t y t i s ： w h e r e 只= ( 2 5 ，0 0 0 亓z t k ) + ， ( 1 2 ) 2 5 ，0 0 0 ，l t ，i i ：d i t t o k ：t h ee x e r c i s ep r i c e t h ed e t a i l e de x p l a n a t i o nc a nb es e e ni na n g e l o sd a s s i o s ，j i w o o kj a n g 4 l e tz f ，i = l ，2 ，b et h ec l a i ma m o u n t ，c 5 ( t ) b et h ei n t e r e s tr a t e ，bb et h er e t e n t i o n l i m i t ，fi st h en u m b e ro fc l a i m su pt ot i m et , s ii st i m ea tw h i c hc l a i mio c c u r s ，t h e n t h et o t a ll o s se x c e s so v e rbu pt ot i m eti s n 。 ( 艺z ：f p t i6 ( s ) d s - 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a t i v eb i n o m i a ld i s t r i b u t i o nc a i lb eo b t a i n e db ym i x i n gt h ep o i s s o nd i s t r i b u t i o nw i t h ag a m m ad i s t r i b u t i o n ，i e b yl e t t i n gt h ep o i s s o np a r a m e t e rb eg a m m ad i s t r i b u t e d a s am o r eg e n e r a lv a r i a n t ，w ec a nt a k et h ep a r a m e t e ra o ft h eh o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s st ob es t o c h a s t i c w ec a l li tm i x e dp o i s s o np r o c e s s w h a ti sr e a l l yn e e d e d ，h o w e v e r i sm o r ev a r i a b i l i t yi nt h ec l a i ma r r i v a lp r o c e s s i nam i x e dp o i s s o np r o c e s s ，t h i sv a r i a b i l i t yw i l ld i m i n i s ha st i m ep r o g r e s s e s i no r d e rn o tt ol o s et h i sv a r i a b i l i t y , ab a s i ci d e a i st ol e tt h e ”e x p e c t e d ”n u m b e ro fc l a i m sa ( ，b ) i nt h et i m ei n t e r v a l ( a , b 】b eg e n e r - a t e db yar a n d o mm e a s u r e a ( b ) ，b b ( r ) ) h e r ea ( b ) = j b 五( y ) c 加f o rs o m en o n - 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