（概率论与数理统计专业论文）两值响应数据的转变点模型.pdf

摘要 摘要 两值响应模型是一种非常重要的l d v ( 1 i m i t e dd e p e n d e n tv a r i a b l e ) 模型，已经被 广泛研究。文献 1 5 】和【1 8 】研究了两值响应数据的随机效应模型；文献 2 2 】给出 了两值响应模型中参数的一个有效的半参数估计；文献【3 0 】， 3 2 】在线性分位数 回归假设下，提出了参数卢的极大计分估计，并证明了估计的强相合性。在线性 。分位数回归假设下，z 口是给定。的条件下y 的唯一的。分位数。本文考虑两 值响应数据的转变点的估计问题。在我们的模型中，观测序列的分位数在某个未 知时刻 发生了变化，这个未知时刻称之为转变点。转变点问题是统计中很热门 的一个课题，不但在工业自动控制( 最早产生转变点问题统计研究的领域之一) 中 有大量应用，而且在经济、金融、医学和计算机等领域有大量的应用背景。我们 利用v a p n i k 并n c h e r v o n e n k i s 首创的经验分布理论以及文献【3 0 ， 3 2 】中提出的极大 计分的概念，在线性分位数回归假定下得到了转变点的强相合估计，并给出了估 计的收敛速度。 在第一章中，我们对转变点以及两值响应模型的研究现状做了简单的介绍。 在第二章中，我们在线性中位数回归假定下，即当。= l 2 时证明了 n 以指数收 敛速度收敛于a ，即对任意给定的e 0 ，0 a 一 a + e 0 ， f 吏彳g p ( i a 。一 l2e ) = o ( e x p 一g n ) 。在第三章中，我们对一般的0 0 s u c ht h a tp ( i a a l ) = o ( e x p - c n ) i nc h a p t e r 3 ，w ee x t e n ti tt ot h eg e n e r a ll i n e a roq u a n t i l er e g r e s s i o na n de s t a b l i s h e dt h e ( 赤) 。2 as c o n v e r g e n c er a t eo ft h ee s t i m a t i o no fc h a n g e - p o i n t w ep e r f o r ms i m u l a t i o n st os t u d y t h es m a l ls a m p l eb e h a v i o ro ft h ee s t i m a t o ro fc h a n g e - p o i n tf o rl i n e a rm e d i a nr e g r e s s i o n f o r mt h i ss i m u l a t i o ns t u d y , w ec a nf i n dt h a tt h ep r o c e d u r ep r o p o s e dh e r ef o re s t i m a t i n g t h ec h a n g e p o i n ti se f f e c t i v e k e y w o r d s ：b i n a r yr e s p o n s em o d e l ，m a x i m u ms c o r ee s t i m a t o r s ，c h a n g ep o i n t , s t r o n gc o n s i s t e n c y ，c o n v e r g e n c er a t e ，e x p o n e n t i a lc o n v e r g e n c er a t e 致谢 致谢 在论文完成之际，我要感谢所有在我攻读硕士学位期间曾经帮助过我的人。 首先，我要衷心感谢我的导师赵林城教授。赵老师学识渊博，治学严谨，诲 人不倦。他在学术上对我无微不至的关心和对我严格的要求，是我能完成本篇论 文的一个重要基础。赵老师以其独特的人格魅力深深地感染着我，激发起了我对 统计学研究的兴趣和热情鼓舞我努力向上。我从赵老师那里不仅学到了知识， 更为重要的是学到了做人的道理。这些将使我受益终身。另外由于赵老师的毫无 保留的推荐，我才能得到出国留学的机会。师恩浩荡，我将永记于心。 在学习和论文期间，我一直得到吴耀华教授、杨亚宁教授和缪柏其教授的热 情认真、毫无保留的指导。作为我的导师之一，吴老师不仅在讨论班上给了我很 多帮助，还对我的论文进行了仔细的修改，对我的论文的发表给予了大力的帮 助。杨老师的课程使我接触到了生物统计等我以前不熟悉的领域，开阔了我的眼 界。另外，在我联系出国留学时得到了缪老师和杨老师的热情的推荐，在此衷心 谢谢几位老师。此外，我还要感谢系里的所有老师和同学，感谢他们营造出的浓 厚学术氛围和良好学习风气。感谢胡太忠教授、苏淳教授、韦来生教授、崔文泉 博士、吴成庆博士、张洪博士、臧红老师和夏红卫老师对我的关心和帮助。 最后，我要感谢我的父母，感谢他们的养育之思以及对我的全力支持。 2 第一章综述 第一章综述 转变点问题是统计中很热门的一个课题所谓转变点是指在一个序列或一个 过程中，在某个未知时刻，序列或过程的某个统计特性发生了变化这个未知时 刻称之为转变点转变点问题最初是从质量控制中提出来的，人们从生产线上抽 检产品以监测产品质量是否发生显著波动，特别是检测产品是否超过其质量控 制范围，当产品质量发生质变( 主要指标超出质量控制警戒线) 时，希望能及时预 警，以免出现更多的次品，这个质变的时刻就是转变点一般地，转变点是“模型 中某个或某些参数起突然变化之点”，或者说，在转变点问题中，我们有一系列 的观察值( 样本) ，在某个未知的时刻，样本的分布或数字特征起了突然的变化， 这个时刻就是转变点，而该时刻r 又是未知的转变点问题的统计推断是根据具 体的背景，对r 作出估计，并对估计量的性质进行统计分析转变点问题不但在 工业自动控制( 最早产生转变点问题统计研究的领域之一) 中有大量应用，而且在 经济、金融、医学和计算机等领域有大量的应用背景例如，在流行病学中，人 们最关心的问题之一是传染病在其传染过程中其传染率变化大小和变化时刻，这 对确定合理的治疗和控制手段很重要心电图中的心率检测也是转变点问题的应 用计算机学中的模式识别、图像识别、存储中的图形边界的判断等都是转变点 问题的表现形式人们希望准确预报又难以精确做到的如地震、金融风暴和经济 及金融中的突发事件皆是转变点问题( 突变) 的体现特别是在高速信息时代，全 球经济一体化，金融中的风险防范对每个国家、地区甚至每个企业、个人都是必 不可少的事务人们非常关心也迫切希望应付好各类突发事件，而其随机性和发 1 究在国际上进行得有声有色文献【8 】和 9 介绍了一些处理转变点的非参数方法： 文献【2 4 】考虑了相依变量序列的均值在某个转变点发生变化的情形；文献【2 5 1 总结 位数在某个未知时刻发生了变化我们利用文献【3 0 ， 3 2 】提出的极大计分的概念 归酬书黧； 阻t ， 第一章综述 两值响应模型是一种非常重要的l d v ( 1 i m i t e dd e p e n d e n tv a r i a b l e ) 模型，已经被 广泛研究文献 1 5 】和 1 8 研究了两值响应数据的随机效应模型；文献 2 8 给出了 两值响应模型中参数的一个有效的半参数估计；文献【3 0 ， 3 2 】在线性分位数回 归假设下，提出了参数口的极大计分估计，并证明了估计的强相合性在介绍转 变点估计之前，我们先来回顾一下 3 2 中的相关结果 选择r p 中的一种模”m 设( 可，z ) 为取值于r 1 r p 上的随机变量，日。为相 应的1 + p 维分布函数，b 为2 1 的边缘分布考虑到 e ( y + i z ) = 1 p ( y o l x ) + ( 一1 ) - 1 一p ( y o l x ) 】 = 2 p ( y o t x ) 一1 在线性q 分位数回归假设下，z 口是给定z 的条件下y 的唯一的血分位数因此 p ( y 芝z 7 卢l z ) = 1 一 我们立即得到 。p 0 = 号p ( y o l x ) 1 一口 = je ( y + l z ) 1 2 q xp = 0 甘p ( y o l x ) = 1 一n 骨e ( y + i z ) = 1 2 ( i - 4 ) z 卢 0 = p ( y o l x ) 1 一o 号e ( y + z ) 1 2 。 ( 1 - 4 ) 将卢和( g + ，z ) 联系起来了条件( 1 - 4 ) 是估计参数卢的理论基础，但是比较 难以处理为了方便处理，我们考虑一个较弱的条件 。卢0 骨p b o l x ) 1 一甘e b + i z ) 21 2 。 。p 0 营p o i z ) 0 ，r ( 口卢) = 0 因此，如果卢0 ，且参数空间b 包含从 原点出发经过口的射线上的任意点，则p 不是l q b r 可识别另一方面，我们考 虑函数g ( b ) = b l l b l i ，b 0 ，9 ( o ) = 0 因为o p 川n 硎= p 川俐，因此我们只能希望 识别一个方向 参数p 是否可以被识别到一个方向矿兰b l l b l l 依赖于z 的分布文献 3 2 中的引理给出了不可识别的情形该引理表明，当p 2 时，如果参数空间包 含p 的一个邻域，r 有有界支撑，且若存在一个a 0 使得一p l aa e ，则 矿= b l l b i i 不可识别此引理表明像方差分析中的情形一样，如果协变量x 的支 撑有限，则参数矿几乎不可识别该引理也说明了如果两值响应变量的一个值为 小概率事件，则参数矿也不可识别文献 3 2 】中给出了使得矿为l q b r 可识别的 分布局。满足的条件 第一章综述 m a n s k i 假定( y ，x ) 的分布满足 ( a ) b 的支撑不能包含在7 妒的任何真的线性子空间中； ( b ) 0 p r ( y o l z ) 1 ，a e b ； ( c ) 记p = ( 卢1 ，岛) 7 ，则至少存在一个k l ，2 ，p ) 使得风0 ，且对几乎 每个茁= ( z l ，x 2 ，x k l ，x k + l ，唧) ，在给定奎的条件下，x k 的条件分 布有几乎处处大于零的l e b e s g u e 密度 文献 3 2 】证明了在上述假定下，卢+ 为l q b r n 识别的 为了更好地理解上述条件，我们结合前述可识别性给出一些直观解释注意 到( a ) 要求协变量x 的支撑足够大，是两值响应模型中参数可识别性的基本要 求假设( b ) 保证了响应变量中的任何一个响应值都不是稀有事件，避免了退化 情形的不可识别问题为了防止参数的局部不可识别，我们需要一些光滑条件条 件( c ) 起了这个作用特别地，( c ) 保证了z 7 b 有几乎处处为正的密度 为了得到矿的估计，定义参数空间b 为形中的单位球面假定口+ b ，记 p o 为产生分布玛。的参数为凡的概率测度，r 为对应样本( 虻，z i ) ，( 鲒，z ：) 的经验测度定义总体计分函数 晶口( b ) = e 矿一( 1 2 ) s g n ( 。b ) 】 = 2 只b o ，。b 0 一昂。b o ，z b 0 1 一2 ( 1 一a ) ( 只气恒 o ，z b 0 】一p o y 0 ，z b o )( 1 7 ) 以及样本计分函数 ( 6 ) 2 ：阱一( 1 2 a ) 酬z ：6 ) = 2 a p y o ，z b o 】一晶b o ，7 b 0 1 一2 ( 1 一o ) r b 0 ，z b 0 一r b o ，z 7 b 0 】)( 1 8 ) ，5 & 伊( 6 ) = e e ( y + 一( 1 2 0 ) x ) s g n ( x7 b ) 】 由( 1 - 6 ) ，& 口+ ( b ) 在矿处达到最大，且卢+ 为& 口+ ( 6 ) 唯一的最大值点因此，给定 萨= a r g r n a x b 品a ( 6 ) “( 0 ，1 ) ，我们考虑有一个转变点h 刈的两值响应模型 玑= ：竺二兰：茎三i ! ： c ，一。， 其中 e 。) 为非观测随机误差序列，卢l 。，屈。为未知参数，卢1 。历。，a 为转变比例 参数，0 a l ， ( 孵，z ：) ，i = l ，n ) 为独立的观测值对每个可能的转变点 磊= a r g m a x l n 一1 g 。( ) ( 1 1 0 ) g 船) = ；酱：p k- ( 1 嘞) 】8 9 n ( 翻+ 啪s u p n - l ；塞。_ ( 1 地嘶：6 ) ( 1 - 1 1 ) 转变点的比例系数a 的估计k 定义为 k = 鲁( i - 1 2 ) 在第二章中，我们在线性中位数回归假定下，即当a = 1 2 时证明了j 。以指数收 4 吏得p ( i a 。一a i ) = 0 ( e x p 一g n ) ) 在第三章中，我们对一般的0 )4(2n)exp_军a6 a 0 其中r 为对应样本的经验分布考虑到在许多应用中当n + 0 时有= 翻，0 在这种情况下，札e i 可能不是趋于无穷或趋于无穷的速度比较慢z h a o 在文 献 4 2 1 中给出了一个改进的不等式z h a o 证明了如果：v - c 类a 满足 s 训u p 尸( 4 ) 6 ia e o 则对任意给定的e 0 ，当n 充分大时，有 p 俐s u pi p n ( a ) 一p ( a ) i ) s5 ( 2 n ge x p 一彘) j 4 j 1 u 1 _ o + 7 ( 2 盯e x p 一器h 1 2 + r n l + 2 re x p 一誓 当6 = 如有较小的阶时，这个不等式给出了更好的精度【4 2 】中给出了此不等式用 于求近邻密度估计的收敛速度的例子 值得一提的是转变点研究中的另一个重要问题是检验转变点的存在性如何 检验是否存在转变点以及存在的转变点的数目在实际应用中有重要意义考虑到 一7 一 对离散响应数据，基于计分函数的检验统计量的极限分布比较难以求出，本文没 有致力于研究转变点的检验问题作者将在后续的研究中考虑这个问题在以下 章节中，我们始终假定有且只有一个转变点 8 第二章转变点的极大计分估计 第二章转变点的极大计分估计 在本章中，我们假定线性中位数回归成立，即在给定z 的条件下，y 的条件 中位数m e d ( y l x ) = z p ，且为唯一的我们将在此假设下估计转变点a ，并得到 转变点估计纛以指数速度收敛于转变点参数a 2 1 问题和主要结果 考虑有且只有一个转变点h 川的两值响应模型 r y i ：。：卢1 + 既，如果1 s ish 刈 ( 2 - 1 )= ( 1 ) lz ：胁+ 如果 n a 】 i n 其中 e i ) 非观测随机误差序列，卢l ，阮为未知参数，p l 历， 为转变比例参 数，0 a 1 ， ( 孵，z ：) ，i = 1 ，n ) 为独立的观测值 记f z 为。的边缘分布函数，我们假定以下条件成立： a 1 ( 托，e 。) ，i = 1 ，2 ) 为i , i d 随机变量序列，( x i ，e i ) = “( 。，e ) ，且给定x 时，e 的条件中位数m e d ( e l x ) 唯一且等于0 a 2 ( a ) r 的支撑不能包含在7 妒的任何真的线性子空间中 ( b ) 0 p r ( x 7 陆+ e20 i z ) 0 ，0 a e a + e l ，当n 充分大时， p i a 。一a l s c 1e x p 一c z n ( 2 5 ) 其中天。由( 2 4 ) 给出，c 1 ，c 2 为两个与n 无关的正的常数特别的，k a ，os 当n _ 0 0 第二章转变点的极大计分估训 注：由证明过程可以看出，定理中的常数c l ，c 2 也与a 无关 2 2 一些引理 为了简化记号，我们用c 表示与n 无关的正的常数，在不同公式中甚至在同 一公式中的不同部分可以表示不同的值 在本小节中，我们假定在模型( 2 1 ) 中芦1 = 屁= 芦记场为( y ，。) 的以_ 8 为参 数的概率测度，r 为对应样本的经验测度线性中位数回归假定下总体计分函数 可以表示为 s z ( b ) = 功旷s g n ( z 6 ) 】 = 乃b o ，z b o + p 口b o ，z b o 】 一场b o ，。7 b 0 】一场b o ，z b o ( 2 6 ) 线性中位数回归假定下样本计分函数可以表示为 踯) = ；势g n ( 如) = 晶函o ，z b o + r b o ，z b o 一r b 0 ，x b 0 一r b 0 ，x b 0 】( 2 - 7 ) 令 a l = ( z ，) ：y 0 ，x b 0 ：b 7 矽) 4 2 = “( z ，) ：9 0 ，z 6 0 ) ：b 7 2 9 ) 4 3 = “( 。，) ：y o ，z7 b 0 ，当n 矗时，有 p s u p ipn(a)一p(a)i6)4maa( 2 n ) e x p 卜警) e a 。 d s8 ( 2 n ) re x p 一警 引理2 3 假定条件a 1 和a 2 成立，则对任意5 0 ，当n 器时，有 p s ，u p 1 岛( 6 ) 一勋( 6 ) i d 墨7 e x p 一c n 5 2 ) 6 b 。 证明 由( 2 6 ) ，( 2 7 ) 以及引理2 2 ，对任意6 0 ，当n 韶时，有 p s u pi s n ( 6 ) 一曲( 6 ) 1 d ) b e b p s u p i r 扭o ，z b 兰o 】一p 口b2o ，z b o 1 ；) 6 b4 + p s u p i p n y o ，。6 o l 一昂b o ，z b ； b e b4 。 + p s u p i p d v2o ，z b o 】一p 口b o ，。7 b ；) 蜒b4 。 + p s 。u p 。i p n v ：) s 8 ( 2 咿e x p 一篙) 6 ) b 12 s u p 哇f i 疗s g n ( 。：6 ) 一掣跆( b ) i 6 ) 耻船| 。：蒹= l 。如巾i 6 卜掣鲫6 ) b 3 一胁s u ( 黼p 錾哇喜咖心勘一掣洲一掣黜炒d ) 耻 s u ( + p 茄b e u p bf ni 妻。小嘶7 i b ) _ i n - k 鲫炒6 ) 对任意6 o ，当礼充分大时，易见有h 川 吲喾2 再帮3 2 结合引理2 3 ，我们可 以得到如下结果 p b 1 ) = p 姗b 6 b 仨f i - - 1 谚s g n ( z ：6 ) 一掣勘。( 6 ) l d ) 、圳s u d 叫1 备 咖g 巾7 i 6 ) 一剐驯 高 c ( n a ) re x p 堋蒜 c e x p - - c n f 2 - 8 、 类似地，当几充分大时，易见有n 一【n 刈 g 荨铲匠= e i 3 耵2 结合引理2 3 ，我 们可以得到如下结果 即。 一 脚s u pf ；妻i n , i + 。细( z ：一学刚j a ) 蛐s u pi 诵1 ；：妻 h a l + 。洳( 札删j 丽n 5 ) c ( 札一7 唧卜m ( 习n 5 两) 2 ) 1 3 ( 2 - 9 ) 考虑到对k 礼( 入+ ) 以及充分大的n ，一【n 刈 型铲2 磊焉3 2 铲故由引 理2 3 ，我们可以得到 引胁s u 时p 驴s 型u p 畦1 豪。洲小卜掣洲锄 s 跏e m p s 型u p ：。：釜。小g n ( 如卜掣洲l 州 s 跏e m p s 圳u p 南i ：墓。斛勘刮圳 南 姗( k 一删) r 唧 _ 饥若斋) d 争 似咖s u m p 啪s 吲u p ；i ：薰。洳旷掣洲 争 当 n ( a + e ) 时，对充分大的n ，有n a 秽= 南故由引理2 3 ，我们 可以得到如下结果 p b 扣引脚s u 阱p 茄b u p l e b 三t t 。妄。幽g 巾翱一宰锹炒6 = 跏e m p s 型u p ；。妻。洲翻一字洲锄 第二章转变点的极大计分估训 跏m p s 圳u p 击；妄。蜘喊。) _ 等刚 熹) n c ( n 一) 7e x p c n i 而n 2 6 2 严) c e x p - - c n ( 2 - 1 2 ) 由文献 3 2 中引理5 ，s ( b ) 为b 上的连续函数故存在与n 无关的卢0 b ，使得 掣掣洲+ 掣鲫) ) 茎脬掣刚+ 坠毕趔鲫掣啪s u p $ 一2 ( 6 ) ；酱 a 昂。( 6 ) + ( 6 ) ) + i 1 2 + 生掣s b e u b p ( 6 ) = a 昂。愉) + e s m z o ) + i 1 2 + 生掣池) 因此当n 充分大时， 。，骢譬蹦剐+ 掣剐愚卜船 掣剐6 ) + 与掣 2 a 如。( p 1 ) 一嘞。( 阮) ，十e o ( 2 一1 3 ) 由( 2 8 ) ，( 2 9 ) ，( 2 一l i ) ，( 2 1 2 ) 和( 2 一1 3 ) ，对任意的6 ，满足0 n ( a + e ) + p s u pg 。( k ) g 。( h 刈) ，b z u b 2 u b 3 u b 4 k n ( + e ) n 掣 跏s u p 舯刚i 葛咖“们+ 咖s u p 刚s 刚u p1 _ 。萎。魄巾轮 f n 川 “ s u pi 渊n * s g n ( 辄承；：嘉+ 。妇巾m 嬲即：) + p b 1u 玩u b 3 u b 4 2 3 定理的证明 兰p 4 5 + 。，m s u p 删期 掣品，( b ) + 生掣( 啪2 掣s 口。( 剐+ 生掣( 愚) ) p 掣蝴) + 掣泓) - s u m p 刺掣刚+ 半鲫) ) ) = c e x p 一c n ) 考虑到样本的对称性，当n 充分大时，同理有 因此 定理证明完毕 p s u pg n ( ) g n ( 坼州) sc e x p 一饥 n ( 一e ) 剐鲁一ai 斟茎p 娜s u p + 。g n ( 蛇g 川堋 + p s u pg 。( ) 三g 。( h 川) ) 七 n ( 一e ) c e x p 一m ) 1 6 第三章 转变点估计的强收敛速度 在上章中，我们在线性中位数回归假定下得到了转变点的强相合估计，并 证明了该估计以指数收敛速度收敛于真参数在本章中，我们将对一般的。分位 数回归情形讨论转变点的估计，并将证明该估计以0 、。厂_ 乒) 的a s 收敛速度收 敛于真参数 3 1 问题和主要结果 本章考虑两值响应模型的转变点估计的收敛速度，此处的模型为线性。分位 数回归模型，即z 7 卢是给定z 的条件下y 的唯一的a 分位数 对给定的a ( 0 ，1 ) ，考虑有且只有一个转变点f n 刈的两值响应模型 iz ：p l a + e i ，如果1 i 陋州 lz ：伪。+ e l 如果 n a 】 i 墨n 其中 e t ，i = l ，2 ，) 为非观测随机误差序列，f i l c h , _ 8 2 。为未知参数，岛。屁。，a 为转变比例参数，0 a 1 ， ( 孵，z ：) ，i = 1 ，礼) 为独立的观测值记b 是z 的边缘分布函数，我们有以下标准的假定： a 1 ( 玩，岛) ，i = 1 ，2 ，) 为i id 随机变量序列，( ，e i ) = 4 ( z ，e ) ，且对给定的 o ( o ，1 ) ，给定z 时，e 的条件a 分位数q 。( e l z ) 唯一且等于0 ； - 1 7 3 1 问题利主要结果 a 2 ( a ) b 的支撑不能包含在冗p 的任何真的线性子空间中 ( b ) 对i = l ，2 ，0 p r ( x 7 岛n + e o l x ) 1 ，aer ( c ) 记屈。= ( 反l ，岛 ) ，则至少存在一个k i l ，2 ，p ) 使得 风q ，虹0 ，且对几乎每个蕊= ( z i ，l ，x i , 2 ，x i ，_ 1 ) 孔，k ，+ 1 ，z i ，p ) ，给定 面，z i , k 的条件分布有几乎处处大于零的l e b e s g u e 密度，i = 1 ，2 a 3 参数空间b 是砰的单位球面，卢1 。，历。b 注意到如果吼( e l z ) = 0 ，且为唯一的，我们很容易证明吼( g i z ) = 。卢， q 。( 旷l z ) = s g n ( x p ) ，且均为唯一的此即为线性o t 分位数回归假设n a ：- - 章n 论述，假设a 2 ( a ) 要求协变量z 的支撑足够大，是两值响应模型中参数可识别性 的基本要求如果响应变量中的某一个响应值是稀有事件，则由第一章的论述 知，参数不可识别( b ) 排除了这种退化情形为了防止参数的局部不可识别， 我们需要一些光滑型条件( c ) 起了这个作用特别地，( c ) 保证了x b 有几乎处处 为正的密度 对每个可能的转变点h 刈，极大计分估计满足 = a r g m a x l 女 n 一1 g n ( ) ( 3 - 2 ) 苴巾 g m 酱：妻护( 1 地) 】s g n ( 书) + s 锄u p1 。i 塞。- ( 1 _ 2 酬s g n 6 ) 被估计的转变点比例系数天。定义为 我们有以下定理 ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) 定理3 1 假定条件a 1 一a 3 满足，则转变点估计 n 以。( 、平) 的as 收敛 一1 8 第三章转变点估计的强收敛速度 速度收敛于a ，即有 1 磐普 恁嘛叫一 ( 3 _ 5 ) 其中 n 由( 3 4 ) 给出，c 为与n 无关的正的常数特别的， 礼一a ，n 矗，当 注：由证明过程可以看出，定理中的常数c 也与a 无关 3 2 一些引理 在本草以f 小节中，为了，简化记号，我们用c 表示与n 无关的正的常数，在 不同公式中甚至在同一公式中的不同部分可以表示不同的值 在本小节中，我们假定在模型( 3 一1 ) 中p l 。= 屈。= 忍记场。为( ，z ) 的参数 为风的概率测度，r 为对应样本的经验测度总体计分函数可以表示为 & 风( b ) = e + 一( 1 2 ) s g n ( z7 6 ) 】 = 2 0 只气【o ，z 7 b o 一p 口o y 0 ，z b o 】 一2 ( i 一) p z o b o ，。7 b o 】一p 口o y o ，。b o 】，( 3 6 ) 样本计分函数可以表示为 & 。( b ) ：元1 厶n 眦+ 一( 1 2 酬s g n ( 。：6 ) = 2 a p n b o ，。b o 】一r b o ，。b o ) 一2 ( 1 一d ) r 阿 o ，。b 0 一r b o ，。b o )( 3 7 ) 令 a l = ( ( 。，g ) ：y o ，z7 b o ) ：be 冗9 ) 4 2 = “( z ，) ：y 0 ，x b o ) ：b 7 矽) 32 些引理 山= t t ( z ，y ) ：y 0 ，zb 0 ，当n 嘉时，有 p 俐s u pi p 。( a ) - p ( 删 胚4 ( 2 n ) e x p 一警) a ，4 o 0 ，当礼 1 2 8 a v p l - “2 时， 有 p s u pl s a ( b ) 一& 风( 6 ) i 叮 _ c n re x p 卜笼) 6 且 0 1 z 证明 注意到0 e ) b 6 b 墨p 2 a s u p l r 曲0 ，zb 0 】一鼻免b 0 ，。b o l ；) b e 日 吐 + p 2 ( 1 一。) s u p i r b 0 ，z 1b 0 】一场。b 0 ，x b 寻) b e b 4 + p 2 c 。s u p l p n b o , z7 6 o l 一功。凶o ，z 6 i ) b e b ， + p i 2 ( t 一) s u p 玮b 云) b e b + p s u p l r b o ，z 7 b o l 一只阻 o ，z b 南) 0 t 口 + 尸 s u p i r b o ，z 7 b 0 】一p p o y 三o ，z b 云) b 6 b + p s u p i r b 壶) + p ( a s u 4 p 。l r ( a ) 一场。( a ) i 云 + p 心s u p 。l r ( a ) 一巧e ( a ) l 方与 + p 溉i r ( a ) 一昂。( a ) l 赤i 蝴 b t 5sup哇i阱一(12。)sgn(z：6)一掣&n删an)=l b2_；蜘妻阱川也)sgn(z扎掣(6)i。) b 铲 跏s ( u ps 锄u p l l _ _ 壹i y * - - ( 1 - 2 a ) 】s 嘶：6 ) 一掣撕) 一k - 礼b n & “驯 蝴 耻 脚s m u p 嘲础s u pi ! 。；萎。妒( 1 2 酬s g n ( 札字l 嘲 当礼充分大时，易见有 n 刈 堡鼍筹拶= 堡铲故由引理3 4 ，当n 充分大时，有 p b 1 ：p 泌噎罢 虻_ ( 1 地) s g n ( 如) 一譬撕) f p = p 则：善 虻一( 1 地) 酬。n 掣轧( b ) f = p 蚓b e b 志t j i - 1 烀( 1 地) 】s g ( z n ( 6 ) l 赢 鲫盯e x p 一唑掣) c e x p 一徊 一r ) l o g n ( 3 8 ) 类似地，当n 充分大时，易见有n 一 礼刈 垡迪等昂掣= 堡舻故 由引理3 4 ，当n 充分大时，我i f 确- 即。) _ p n 协十) ，对充分大的n ，一【n 刈 堕坚鼍嚣卷譬血型= 第三章转变点估计的强收敛速度 哥掣故由弓i n 3 4 ，有 k h i ， 引咖s 叶u p 叫s 啪u p 卜；：蒹。阱呻- 。酬s s n e 譬掣。( 6 ) l 盘。) 扎 脚m 州p s u p f ；蒹。也m s 咄勘一掣湖炒蝴 咖m p s u p1 丽1 。；蒹。护( 卜z 酬鲫e 。) - s 枷忪丽t z o t r 。) 墨、c ( 一却卜掣( 南) 2 k n ( a + e 。) 茎c n 州e x p 一0 l o g n ) c e x p 一( p 一r 一1 ) l o g n ) ( 3 1 0 ) k1m 刈 ”1 ：驴1 川删s 柏) 2 ；擎_ ( 1 _ 2 酬s g n ( 辄ii ：赢。铲( 1 。2 。帕( z ：6 ) ；= ；= j t = 【n j 十1 即。) - p s 泔u p 叫；罂i ；争_ ( 1 侧s 幽) _ 掣洲6 ) _ 掣i 叫嚣i ：- - ( i - - 2 0 0 砖蝴一掣i 矾2 ) + p 脚s u p 锄s u pf 。：薰。妒( 1 删s g n “6 ) - 掣心胗叫2 ) 当k n ( a + h ) 时，对充分大的n ，佗一 堡坚等最铲2 型谍篓严故由 引理3 4 ，有 即t ) = p 脚s u p 锄s u p i 。! 。萎，蟒- ( 1 删s g n ( b ) _ 竿 。n ) 脚阱p s u pe 。孙- ( 1 - 2 a ) s g n ( z , ；6 ) _ 等蚓驯矾) 跏阱p s u ph 1i = 妻k 4 - ，m - ( 1 - 2 a ) 酬札删 罴) 3 3 定理的证明 c ( n - k ) e x p 一等( 罴) 2 ) n ( a + e 。) 件1e x p 一日 l o g n c e x p 一( 钾一r 一1 ) l o g n ) 假定事件b c 彩蟛磁成立，对任意 n ( + ) ，我们有 ( 3 1 2 ) n a l ” = s 锄u p 。i 亏葛- j y $ - ( 1 侧s g n ( 辄痴；：赢。妒( 1 侧s g ( z 勘 馏：擎k 却一妞) 】s s 巾：6 ) 一锄s u p 。1 。塞。铲( ，嘞) s s 巾勘 掣。( 3 _ + 掣( 蚴一泌 掣洲6 ) + 半( 6 ) ) 一4 a n ( 3 - 1 3 ) 考虑到总体计分函数的连续性，存在, o oeb ，使得 ；蓦 掣一b ) + 生爿型。( 6 ) = 掣& 轧) + 生爿丛& 风汹) 此处肺可能与n 有关有下面论述知，无论z o 是否与n 有关，下述证明始终成 立 由引理3 1 和引理3 2 ，存在b 的开子集b i ，p l 。eb l ，使得当b b i 有 & 。( 愚) 一。( 6 ) 坠塑乓坠巡；。 o 且 2 兰6 紫b 。( 乳口a ( 卢1 ) 一& 口- 。( 6 ) ) o 取定目2 4 a 2 ，当n 充分9 k h , 寸，由( 3 - 1 3 ) ，我们有 g 。( n 刈) 一g 。( 女) 掣( & 且。( p ，) 一阢汹) ) + 生型( 。慨) 一& 风愉) ) 一4 。 m i n ( a l 2 ，x 2 ) 一4 第三章转变点估计的强收敛速度 ：= ! = ! = ! = = = ! = = ! = ! ! = = = ! = = = = = = = = = = ! = ! = = = ! ! = = 一 0 因此，我们可以得到 p s u pg 。( k ) 三g 。( h 刈) ，b l c 。2 c a 3 c u 4 c ) = 0 ( 3 1 4 ) k n ( + e n ) 由( 3 - s ) ，( 3 - 9 ) ，( 3 - 1 1 ) ，( 3 - 1 2 ) 以及( 3 - 1 4 ) ，当n 充分大时，有 p fs u pg 。( ) 2g n ( 钆刈) ) 七 n ( + e n ) = p fs u pg n ( 砖) 2g 。( 砷 】) ，b ；b b b i ) 七 n ( + 。) + p s u pg 。( 七) g 。( 礼州) ，b 1ub 2ub 3u 乳) 七 n ( + e n ) s 尸 b lub 2u b 3u 日4 ) = c e x p 一( 日；一r 一1 ) l o g n 由样本的对称性，当礼充分大时，有 p s u pg 。( 七) g 。( n 州) ) 曼c e x p 一( 9 i r 一1 ) l o g n ) 凫 n ( + e 。) r 1 ，我们有 p l 等一入1b ) c o b o r e l c a n t e l l i 弓l 理， l 。i m s u 。p 去ik 。佻弛曼 定理证明完毕 2 5 第四章模拟结果 在这一章中，我们将通过模拟来研究转变点a 的估计k 的小样本性质我们 只考虑线性中位数回归情形，即o = l 2 。为简单计，我们考虑解释变量是一维 的情形。在这种情况下，参数空间b = 一l ，1 ) 不妨设卢l = 一1 ，历= 1 我们考 虑以下模型： ( a ) z 和e 独立，e 一( o ，1 ) ，卢1 = 一1 ，阮= 1 ， ( b ) z 和e 独立，e n ( o ，1 ) ，。一e x p ( 1 ) ，卢1 = - - 1 ，屈= 1 在我们的模拟过程中，样本量分别取为5 0 ，1 0 0 ，2 0 0 矛1 1 3 0 0 ，每种 样本量下重复1 0 0 0 次在每个样本量下，我们对转变点 分别 取0 1 ，0 2 ，0 3 ，0 4 ，0 , 5 ，0 6 ，o 7 ，0 , 8 ，0 9 时进行了模拟( 见表4 1 ) 由模拟结 果可以看出： 除了转变点接近边界0 或1 时，我们用于估计转变点的方法是非常有效的，且 对样本量大小n 要求不太严厉 当转变点接近边界0 或1 时，比如0 1 ，0 9 ，且当样本量较小时，我们的算法 收敛性较困难，因此要求样本量足够大才行但当样本量大于1 0 0 时，我们也可得 到相当好的估计 注意到模拟结果中转变点估计都比真值略小，这是因为在我们的算法中，我 们选择满足( 2 4 ) 的最小的值作为转变点的估计 总之，我们用于估计转变点的方法是非常有效的 2 6 第四章模拟结果 注：表4 一l 中，a v e 表示转变点估计的平均值；a a d 表示平均绝对偏 差；r m s e 表示均方误差的开方 2 7 表4 is i m u l a t i o nr e s u l t s m o d e l s0 1o 2030 40506070809 ( a ) 5 0a v e0 1 3 6 50 1 9 7 002 9 3 303 8 1 404 8 0 505 7 9 606 7 3 207 4 7 907 7 2 2 a a d00 6 8 70 0 5 0 70 0 4 5 600 4 8 500 4 8 70 0 5 3 000 5 5 200 7 1 90 1 3 9 2 r m s e0 1 7 7 5 0 1 0 3 00 0 8 5 70 0 8 3 4 00 8 5 3 00 9 4 2 0 1 1 0 20 1 6 5 302 9 9 7 1 0 0a v e0 1 0 2 40 1 9 4 30 0 8 9 4o3 9 0 5o4 8 8 3o5 9 2 20 6 8 9 80 7 8 7 7o 8 6 2 8 a a d 0 0 2 9 4 0 0 2 6 4 0 0 2 5 000 2 6 100 2 5 4 0 0 2 4 50 ，0 2 6 700 2 9 100 4 8 2 r m s e00 9 1 20 0 5 6 10 0 4 8 30 0 4 5 700 4 5 9 00 4 1 700 5 2 7 00 7 1 40 1 5 6 9 2 0 0a v e 0 0 9 7 2