（概率论与数理统计专业论文）the+perance+of+vsi+cusum+charts+with+estimated+parameters.pdf

摘要 摘要 标准c u s u m 控制图是在固定时间抽样的为了更好的监测过程变化，人们引 入了变抽样区间的c u s u m 控制图，当过程预示发生变化时，我们缩短抽样的时 间以便更加快速的监测漂移，相反，当过程处于受控阶段，我们延长抽样的时间 以便减小错误报警的误差，这就是变抽样区间c u s u m 控制图的设计原理，与标 准的c u s u m 控制图相比较，它能够更有效的监测过程变化 通常情况下，设计变抽样区间c u s u m 控制图是以假定过程参数为已知的，然 而，实际上，过程参数经常是未知的，因此要用估计的参数来设计控制图，这将 影响控制图在可控及失控情况下的报警时间本篇文章推导出了估计参数控制图 的转移概率以及积分方程，并且，所有的计算结果都是基于伽和印的一个较好的 无偏估计而得到的我们分别给出了变抽样区间c u s u m 控制图，在参数己知和未 知情况下，可控平均报警时间和失控平均报警时间的比较 从未知参数的变抽样区间c u s u i 控制图的计算中，我们可以知道，在参数 未知情况下可控平均报警时间非常的不稳定以至于不能反映参数已知情况下可控 平均报警时间，特别的，在参数未知时，监测过程变化非常的不敏感，表现为失 控平均报警时间非常的大所以，在参数未知情况下，选择合适的m 和礼非常的重 要，以便我们同时控制可控平均报警时间的分布以及减小失控的平均报警时间 这里我们假定选择估计参数样本量的标准，即增加量不超过l o ，也就是说可控 平均报警时间和失控平均报警时间在参数未知情况下和参数已知情况下的增量 不超过1 0 为了满足这个标准，对于变抽样区间c u s u m 控制图，我们至少要选 择8 0 组各参为5 的样本 参数 关键词：平均报警时间；变抽样区间的c u s u 】控制图；马尔可夫方法；估计 a b s t r a c t a b s t r a c t as t a n d a r dc u m u l a t i v e ( c u s u m ) c h a r tf o rc o n t r o l l i n gt h ep r o c e s sm e a nt a k e s s a m p l e sf r o mt h ep r o c e s sa tf i x e d - l e n g t hs a m p l i n gi n t e r v a l sa n du s e sac o n t r o ls t a t i s t i c b a s e do nac u m u l a t i v es u n lo fd i f f e r e n c e sb e t w e e nt h es a m p l em e a n sa n dt h et a r g e t v a l u e i no r d e rt od e t e c ts h i f t sm o r ee f f i c i e n t l y , t h ev a r i a b l es a m p l i n gi n t e r v a l ( v s i ) c u s u mc h a r ti sc o n s t r u c t e d 1 1 1 ev s ic u s u mc h a r tu s e ss h o r ts a m p l i n gi n t e r v a l si f t h e r ei sa l li n d i c a t i o nt h a tt h ep r o c e s sm e a nm a yh a v es h i f t e da n dl o n gs a m p l i n gi n t e r - v a l si ft h e r ei sn oi n d i c a t i o no fac h a n g ei nt h em e a n t h e v s ic u s u mc h a r ti st y p i c a l l yd e s i g n e da s s u m i n gt h a tt h ep a r a m e t e r sa l e a s - s u m e dt ob ek n o w n ，i np r a c t i c e , t h ep a r a m e t e r sa r er a r e l yk n o w na n dc o n t r o lc h a t s a r ec o n s i d e r e du s i n ge s t i m a t e si np l a c eo ft h ep a r a m e t e r s t h i sp r a c t i c ec a l la f f e c tt h e c o n t r o lc h a r t st i m et os i g n a li nb o t hi nc o n t r o l ( i c ) a n do u to fc o n t r o l ( o c ) s i t u a t i o n s i nt h i st h e s i s ，t h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t ya n dt h ei n t e g r a le q u a t i o nf o re v a l u a t i n gt h ea t s o f v s ic u s u mc h a r tw i t he s t i m a t e dp a r a m e t e r sa r ed e r i v e d a l lt h er e s u l t sa r ed e r i v e d u s i n gt h em o s te f f i c i e n tu n b i a s e de s t i m a t o rf o r 踟a n d 印。a n dw eg i v eo u tt h ec o m p a r - i s o nb e t w e e nt h ei ca t sa n do ca t so ft h ev s ic u s u mc h a r tw h e nt h ep a r a m e t e r s a l ee s t i m a t e d f r o mt h es i m u l a t e da t sw h e nt h ev s ic u s u mc h a r t 奶t l le s t i m a t e dp a r a m e t e r s ， w ec a l lc o n c l u d et h a tt h ei ca t s sw i t he s t i m a t e dp a r a m e t e ra r el a r g e rt h a nt h ei c a ：r s ，b u tt h ed i s t r i b u t i o no f t h e1 1 2 灯si ss oi n s t a b l et h a ti tc a nn o td e s c r i b et h ea c t u a l d i s t r i b u t i o no ft h ei ca t sw i t hk n o w np a r a m e t e r s s p e c i f i c a l l y , e s t i m a t i o nr e d u c et h e s e n s i t i v i t yo ft h ec h a r tt od e t e c tp r o c e s sc h a n g e s s os e l e c t i n gs u i t a b l em a n d 竹i sv e r y i m p o r t a n tf o r t h ep e r f o r m a n c eo f t h ec h a r t , w es h o u l dc o n t r o lt h ed i s t r i b u t i o no f t h ei c a t sw i t he s t i m a t e dp a r a m e t e r sa sw e l la sm a k i n gt h eo ca t sa ss m a l la sp o s s i b l e i n o r d e rt om a k et h ev s ic u s u mc h a r tp e r f o r ml i k eo n ew i t l lk n o w n p a r a m e t e r s , h e r e w ea s s u m et h a tar e a s o n a b l ec r i t e r i o nf o rd e t e r m i n i n gt h en e c e s s a r yr e f e r e n c es 锄一 p i e 1 1 坞c r i t e r i o ni sa ni n c r e a s en om o r et h a n1 0 w h i c hg u a r a n t e eb o t ht h ei ca t s a n do ca t sw i t he s t i m a t e dp a r a m e t e r si n c r e a s en om o r et h a n10 t os a t i s f yt h i se r i t e f l o n , w es h o u l ds e l e c tt h er e f e r e n c es a m p l es i z en za tl e a s t8 0a n ds u b g r o u p so f s i z e5 k e yw o r d s ：a v e r a g et i m et os i g n a l ；v s ic u s u m c h a r t s ；m a r k o v - c h a i nm e t h o d ； 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： j 咿年，月事oe t 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名：璺即 叶 j 护矿年歹月口日 c h a p t e r1 i n t r o d u c t i o n t h ec u m u l a t i v es u m ( c u s u m ) c o n t r o lc h a r tw a s 讪的d u c e db yp a g e ( 19 5 4 ) 1 】a n d h a sb e e nw i d e l yu s e df o rm o n i t o r i n gt h em o r no faq u a l i t yc h a r a c t e r i _ s d co fap r o d u c - t i o np r o c e s s a sw ek n o w nt h a t ，t oc o m p a r et w oc h a r t sw h i c hc a nd e t e c tc h a n g e sm o r e e f f i c i e n t l yi st os e ew h i c hc h a r th a ss m a l l e ra v e r a g er u nl e n g t h ( a r e ) a tap a r t i c u l a r 弘l ，o nc o n d i t i o nt h a tm 哕h a v et h es a m e 灿也w h e np = t o i na n o t h e rw o r d s ，p e r - f o r m a n c ec o m p a r i s o n sa r em a d eb yd e s i g n i n gt h ec h a i t st oh a v eac o m m o ni ca r l a n dt h e nc o m p a r i n gt h eo ca r lf o rag i v e ns h i f t si nt h ep r o c e s sa n dt h ec h a r tw i t h t h es m a l l e ro ca r lf o rag i v e ns h i f ti su s u a l l yc o n s i d e r e dt oh a v eb e t t e rp e r f o r m a n c e t h ec u s u mc h a r ti su s u a l l ym a i n t a i n e db yt a k i n gs a m p l e sa tf i x e dt i m ei n t e r v a l sa n d p l o t t i n gac u m u l a t i v e 嗣a mo fd i f f e r e n c e sb e t w e e nt h es a m p l em e a n sa n d t h et a r g e tv a l u e i nl i m eo r d e ro nt h ec h a r t t h ep r o c e s sm e a ni sc o n s i d e r e dt ob eo nt a r g e ta sl o n ga s t h ec u s u ms t a t i s t i cc o m p u t e df r o mt h es a m p l e sd o e sn o tf a l li n t ot h es i g n a lr e g i o no f t h ec h a r t t h ec u s u mc h a r th a sas h o r tc o m i n g s ，n a m e l y , t h ep r o c e s ss i g n a l sw h e n t h ep r o c e s se n t e r st h es i g n a lr e g i o nw h i c h d e l a yt h ea ml e n # a s ow en e e dt om o d i f 3 ， t h es t a n d a r dc u s u mc h a r t f o rt h i sp u r p o s e ，r e y n o l d s ( 1 9 8 8 ) 2 1 ，a m i n ( 1 9 8 7 ) s 1 ，a n da r n o l d ( 1 9 7 0 ) 4 p r o p o s e dac u s u mc h a r t 谢mv a r i a b l es a m p l i n gi n t e r v a l s i ) c u s u m 硼s a m p l i n g i n t e r v a lo f v s ic u s u mc h a r ti sv a r i e da saf u n c t i o no f t h ev a l u eo f t h ec u s u ms t a t i s - 血i ft h ev s ic u s u mc h a r tf a l l sc l o s et ot h es i g n a lr e g i o n , t h i sc a l lb et a k e na sa n i n d i c a t i o nt h a tt h em e a nl e v e lo ft h ep r o c e s sm a yh a v es h i f t e d , t h ev s ic u s u mc h a r t a c c o r d i n g l yu s e sas h o r ts a m p l i n gi n t e r v a ls ot h a tm o r ei n f o r m a t i o na b o u tt h ep r o c e s s c a l lb eo b t a i n e dq u i c k l ya n da n yp o t e n t i a lc h a n g ei nt h ep r o c e s sm e a nc a l lb eq m c m y c o n f i r m e do rd e n i e d o nt h eo t h e rh a n d ，i ft h ec u s u ms t a t i s t i ci sn o tc l o s et ot h e s i 母1 a lr e , o n , t h i sw o u l db ea ni n d i c a t i o nt h a tt h ep r o c e s st n e a ni sc l o s et ot a r g e t i n t h ec a s e ，al o n g e rs a m p l i n gi n t e r v a lw i l lb eu s e db yt h ev s ic u s u mc h a r t a si st h ec a s ew i t hm a n yc o n t r o lc h a r t s , t h ev s ic u s u mc h a r tt y p i c a l l yi sd e s i g n e da s s u m i n gt h a tt h ep r o c e s so b s e r v a t i o n sa r en o r m a l l yd i s t r i b u t e dw i t hak n o w n m e a na n dv a r i a n c e i nr e a l i t y , t h ed i s t r i b u t i o no f t h ed a t aa n dt h ep r o c e s sp a r a m e t e r sa r e r a r e l yk n o w n i np r a c t i c e ，t h eu n k n o w np a r a m e t e r sa l eo f t e nr e p l a c e dw i t hu n b i a s e d e s t i m a t e sf r o ma ni n - c o n t r o lr e f e r e n c es a m p l e g i v e nal a r g er e f e r e n c es a m p l e ，t h eu s u a l e s t i m a t e so ft h em e a na n ds t a n d a r dd e v i a t i o na r eg o o de n o u g h , a l t h o u g hw ec o m m o n l y u s et h i sa p p r o a c hw h e np e r f o r m i n gt e s t so fh y p o t h e s e s ，r e p l a c i n gt h ek n o w np a r a m e t e r sw i t ht h e i re s t i m a t e dc o u n t e r p a r t sc a l la f f e c tt h ep e r f o r m a n c eo ft h ev s ic u s u m c h a r ti nb o t hi n - a n do u t - o f - c o n t r o ls i t u a t i o n s c o n l r o l - c h a r tp e r f o r m a n c ei st y p i c a l l y d i s c u s s e di nt e r m so ft h er u n - l e n g t hd i s t r i b u t i o no ft h ec h a r t , h e r ew eu s ea v e r a g et i m e t os i g n a l ( a t s ) t od e s c r i b et h ep e r f o r m a n c eo ft h ev s ic u s u mc h a r tb e c a u s eo ft h e c h a n g eo ft h es a m p l i n gi n t e r v a l m a n ya u t h o r sh a v es t u d i e dt h ea r lw h e np a r a m e t e r sa r ee s t i m a t e df o r t h ef i x e ds a m p l i n gi n t e r v a l ( f s i ) c h a r t s 。f o re x a m p l e ，b a g s h a w a n dj o h n s o n ( 19 7 5 ) 1 5 1i n v e s t i g a t e dt h ee f f e c to fe s t i m a t i n gt h ev a r i a n c eo nt h ea r lo f c u s u mc h a r t s y a n g ( 1 9 9 0 ) 6 1s t u d i e dt h ee f f e c to f e s t i m a t i n gt h em e a no nt h ep e r f o r - m a n c eo fc u s u mc h a r t s i nt h i sa r t i c l e ，an u m e r i c a lp r o c e d u r ei su s e dt os t u d yt h ea t so ft h ev s ic u s u m c h a r tw i t l le s t i m a t e dp a r a m e t e r s t h r o u g h o u t , t h ep r o c e s so b s e r v a t i o n sa r ea s s u m e d t 0b ei n d e p e n d e n tn o r m a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l e s i nt h ef i r s ts e c t i o n ab r i e f d e s c r i p t i o na n ds o m ep r o p e r t i e so f t h ev s ic u s u m c h a r ta r eg i v e n i nt h es e c o n ds e e t i o n , s o m ee s t i m a t i o nm e t h o d so ft h ep a r a m e t e r sa r eg i v e 也t h et r a n s i t i o np r o b a b i l i t y a n dt h ei n t e g r a le q u a t i o nf o re v a l u a t i n gt h ea t so f v s ic u s u ma r ed e r i v e di ns e c t i o n 3 i nt h ef o u r t hs e c t i o n , t h ep e r f o r m a n c eo ft h ev s ic u s u mc h a r ti si n v e s t i g a t e di n s e v e r a lp r a e t i c a ls c e n a r i o s ，f o l l o w e db yap r e s e n t a t i o no fg e n e r a lr e s u l t st h a td e s c r i b e t h ea t sp e r f o r m a n c eo ft h ev s ic u s u mc h a r tw i t he s t i m a t e dp a r a m e t e r s t h el a s t s e c t i o n sp r o v i d es a m p l e s i z er e c o m m e n d a t i o n sa n ds o m ec o n c l u d i n gc o m m e n t s 2 c h a p t e r2 v s ic u s u mc h a r t 2 1 d e s c r i p t i o no f t h ev s ic u s u mc h a r t s u p p o s et h a tt h ep r o c e s so f i n t e r e s th a saq u a l i t yc h a r a c t e r i s t i cxw h o s ec l i s t r i b u - t o ni sn o r m a lw i t hm e a n 弘a n ds t a n d a r dd e v i a t i o n 矿t h eo b j e c t i v ei st od e t e c ta n y d e v i a t i o ni nt h ep r o c e s sm e a nf r o mat a r g e tv a l u e 伽b yt a k i n gas e q u e n c eo fs a m p l e s e a c ho fs i z e 佗f r o mt h ep r o c e s s ，i nw h i c ht h eo b s e r v a t i o n sw i t h i na n db e t w e e ns a m p l e s a r ea s s u m e dt ob ei n d e p e n d e n t a l t h o u g ht h ec u s u mc h a r tc a nb eu s e dt od e t e c tv a t - i o u st y p e so fd e v i a t i o n sf r o mt a r g e t ( s u c ha sd r i f ti n 芦) w ew i l li n v e s t i g a t es h i f t s i np i nw h a tf o l l o w s ，芦1w i l lf r e q u e n t l yb eu s e dt or e p r e s e n tap a r t i c u l a rs h i f to f i n t e r e s t f o r t h e j t hs a m p l eo = 1 ，2 ) c o n s i d e rt h es t a n d a r d i z e ds t a t i s t i c 磊= 何( 冠一加) 口， w h e r e 夏ji st h es a m p l e m e a n n o t et h a tz i sj u s tt h ed e v i a t i o no f 夏jf r o mt h et a r g e t e x p r e s s e di nu n i t so fs t a n d a r de r r o ro f 叉i np r a c t i c e ，w en e e dt oe s t i m a t eb o t hp oa n d o rf r o mp a s td a t ai nm a n ye a s e s ，b u tf o rs i m p l i c i t yw ea s s u m eh e r et h a t 踟a n do ra r e k n o w n ac u s u ms c h e m ea c c u m u l a t e sd e v i a t i o n so ft h es a m p l em e a n st h a ta r em o r e t h a n s t a n d a r d i z e du n i t sf r o m 伽t h ep a r a m e t e r 惫i su s u a l l yc a l l e dt h er e f e r e n c ev a l u e o ft h ec u s u mc h a r t f o rd e t e c t i n gp o s i t i v es h i f t si n 弘，t h eu p p e ro n e - s i d e dc u s u mc o n t r o ls t a t i s t i c t h a ti su s u a l l yu s e da tt h ey t hs a m p l ei s 巧= m a x 巧一1 + ( 历一后) ，0 ) ， ( 2 1 ) w h e r eki sas p e c i f i e dc o n s t a n ta n dk 0 f o rp u r p o s e so fa d d i n gt h ev s if e a t u r et o t h ec u s u m c h a r t , w ew i l lu s et h em o d i f i e du p p e ro n e - s i d e dc u s u m s t a t i s t i c = m a x 一1 ，o 卜卜( 忍一七) ， ( 2 2 ) w h e r eu oi sac o n s t a n t ，t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nka n d i st h a tbi m m e d i a t e l yr e s e t s a n yn e g a t i v ec u s u m v a l u et o0 ，b u t r e c o r d st h en e g a t i v ec u s u mv a l u ea n dt h e n s t a r t st h ec u m u l a t i o nf i o m0f o rt h en e x ts a m p l e e x c e p tf o rt h i sr e c o r d i n go fn e g a t i v e 3 c u s u mv a h l e s , 巧a n d 蜴a r ee q u i v a l e n t t h ei e a s o l lf o rr e c o r d i n gn e g a t i v ec u s u m v a l u e si st h a tt h e s en e g a t i v ev a l u e sm a yb en e e d e dt os p e c i f yt h es a m p l i n gi n t e r v a l s t h ec u s u mc h a r ts i g n a l st h a tt h ep r o c e s sm e a l lh a sc h a n g e dw h e n e v e r h ( w h i c h i se q u i v a l e n tt o 巧 九) ，w h e r eh 0i su s u a l l yc a l l e dt h ed e c i s i o ni n t e r v a l t h e s t a r t i n gv a l u eu oi sf r e q u e n t l y0 ，b u to t h e rs t a r t i n gv a l u e sa r cs o m e t i m e su s e df o re x a m p l e , w h e naf a s ti n i t i a lr e s p o n s e ( f i r ) f e a t u r e ( l u c a sa n dc r o s i e r ( 1 9 8 2 ) f 7 】) i su s e d o rw h e nt h es t e a d y - s t a t eb e h a v i o ro ft h ec h a r ti sb e i n gi n v e s t i g a t e d i nt h i sp a p e r , w e u s et h es t e a d y - s t a t ei n i t i a lv a l u et oc a l c u l a t et h ea t so fv s ic u s u mc h a , r t sw h e nt h e p a r a m e t e r sa r ck n o w n a n de s t i m a t e d t h ep a r a m e t e r sha n d a l eu s u a l l yc h o s e ns ot h a tt h ec h a r tw i l lh a v ec e r t a i np r o p e r t i e s ，i su s u a l l yd e t e r m i n e db yt h es h i f ti nt h em e 趾t h a tt h ec u s u m i sd e s i g n e dt o d e t e c t l e t 6 ：j c 元( u - u o ) i ( 2 3 ) i 口 i b et h em a g n i t u d eo ft h ed e v i a t i o no f # f r o m 脚e x p r e s s e di nu n i t so fs t a n d a r de r r o ro f x i f ac u s u mc h a r ti st ob ed e s i g n e dt od e t e c tas h i f tf r o m 瑚t os o m es p e c i f i e dv a l u e p 1 ，t h e n 凫s h o u l db ec h o s e n 弱6 1 9 ，w h e r e6 1i st h ev a l u eo f6c o r r e s p o n d i n gt o a a o n c e 七i sd e t e r m i n e d , t h ep a r a m e t e rhi su s u a l l yc h o s e nt og i v eas p e c i f i e de x p e c t e d n u m b e ro fs a m p l e so fs i g n a lw h e np = 脚 f o rd e t e c t i n gn e g a t i v es h i f t si np ，( 2 2 ) c a nb er e p l a c e dw i t ht h el o w e ro n e - s i d e d c i j s ic ms t a t i s t i 易= m i n ( 岛一l ，o 卜卜( 乃+ ) ， ( 2 4 ) w h e r el oi sac o n s t a n ta n d 忌0i st h er e f e r e n c ev a l u e ac h a r tu s i n gt h i ss t a t i s t i c w o u l ds i g n a lw h e n e v e r 岛 0m a yb ed e t e r m i n e db yc o n s i d e r a t i o n ss u c h a st h em i n i m u ma m o u n to ft i m er e q u i r e dt ot a k eas a m p l ea n dt h em a x i l n ms a m p l i n g i n t e r v a l 乞m i g h tb ed e t e r m i n e db yt h em a x i n l ma m o u n to ft i m et h a ti sr e a s o n a b l et o a l l o wt h ep r o c e s st ob i nw i t h o u ts a m p l i n g i n t u i t i v e l y , as h o r ts a m p l i n gi n t e r v a ls h o u l d b eu s e dw h e nt h ec u s u ms t a t i s t i ci sc l o s et ot h es i g n a lr e g i o n r e c e n tw o r ko nv s i c o n t r o lc h a r t s ( a m i n ( 1 9 8 7 ) 【3 】；r e y n o l d ( 1 9 8 9 ) 【8 】；r e y n o l d se ta 1 ( 1 9 8 8 ) 9 ；r e y n o l d s a n da r n o l d ( 1 9 8 9 ) 1 1 0 1 ) h a ss h o w nt h a tt h eu s eo ft w os a m p l i n gi n t e r v a l si so p t i m a lf o r d e t e c t i n gs h i r s t h es h o r t e ri n t e r v a l ，s a y sd l ，s h o u l db ea ss h o r ta sp o s s i b l e ( d x = 1 1 ) ， a n dt h el o n g e ri n t e r v a l ，s a y sd 2 ，s h o u l db ec o n s i d e r a b l yl o n g e rt h a nd xb u tn o tn e c e s s a r i l ya sl o n ga s1 2 f o rt h eu p p e ro n e s i d e dc h a r ts u p p o s et h a td li su s e dw h e n ( g ，h 】a n d 如i s u s e dw h e n ( 一，乩w h e r e - - 0 0 0 ，i ti se a s yt os h o wt h a tu s i n g ，y = 0i n ( 2 1 2 ) ，( 2 8 ) ，a n d ( 2 9 ) p r o v i d e sal o w e l b o u n df o rt h ea t s t h ed i f f e r e n c eb e t w e e nt h ea t sa n dt h eb o u n di s ( 如一d 1 ) ( 7 a n s s t ) i ns o m ec a s e so f p r a c t i c a li n t e r e s t , t h ed e s i r a b l ev a l u eo f g w i l l b es u c ht h a t7w i l lb e0 ，a n di nm a n yo t h e rc a s e s ，yw i l lb ec l o s ee n o u g ht o0t h a tt h e b o u n dp r o v i d e sav e r yg o o da p p r o x i m a t i