（概率论与数理统计专业论文）基于小样本复杂总体试验的抽样验收方法.pdf

学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过 的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明 并表示谢意。 作者签名：日期：丝，监丛 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位 论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论 文的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保 密的学位论文在解密后适用本规定。 作者签名： 日期： 导师签名： 日期： 搿 - _ 摘要华东师范人学硕士论文l 摘要 本文研究某一类产品的质量验收闯题。该问题属于统计学中的抽样检 验范畴。该类产品的两个特征增加了设计检验方案的难度，其一，由于产 品成本高且实施破坏性试验，只允许采用小样本试验，其二，由于产品应 用范围广泛，在多种环境下均被使用，因此评判产品总质量应该基于在不 同环境下的试验结果，从而获得的多个试验点上试验结果不完全服从同 分布。我们把具有上述两点特征的试验称为小样本复杂总体试验。 目前普遍使用的检验方法是补充试验法以及简单和检验法。本文第一 章通过例证指出这两种现行方法虽然简单易行，但是在小样本复杂总体试 验场合，两种方法均暴露出低效控制两类风险的弱点。 本文从分析简单和检验法风险控制力度低的原因出发，提出组合检验 方法。组合检验法使用加权形式的检验统计量做检验，以实现尽可能多地 保留小样本复杂总体试验下的样本信息，从而我们可以期待它在控制风险 方面有良好表现。 提出组合检验方法之后，通过讨论组合检验与( 局部) 分类穷举法之 间的辩证关系，以及对两种方法的检验结果做比较，论证了组合检验方法 在控制两类风险上的优良性质，亦即近似最优的性质。 此外，文章比较全面地分析和阐述了如何在文中提出的五个组合检验 统计量中做选择。至此，我们不仅知道面对一个实际抽样验收问题时应该 如何运用组合检验方法制定检验方案，而且从理论的角度对五个组合检验 统计量的性质有了一般意义上的认识。 文章最后举例说明如何在保证定风险控制力度的前提下。进一步减 少样本的抽取，由此降低试验成本。这一点的提出对于因造价高且试验破 坏性大等等原因面临高成本检验的产品来说很有价值。 关键诃： 组合检验方法；抽样检验i 两类风险；小样本；复杂总体试验；分类 穷举法；局部分类穷举法 a b s t r a c t 华东师范大学硕士论文2 a b s t r a c t t h ep r o b l e md i s c u s s e di nt h i sp a p e ri ss e t t i n ga c c e p t a n c er u l ef o ras p e c i f i c k i n do fp r o d u c t i ti sb e l o n g st ot e s ti n s p e c t i o n si nt e r mo fs t a t i s t i c s t h i sk i n d o fs p e c i f i cp r o d u c ti sc o s t l yo rd i l a p i d a t e da f t e rt e s t i n g ，t h e r e f o r es m a l ls a m p l e s i z ei sr e q u i r e d i na d d i t i o n ，t h et e s t i n gs h o u l db ec a r r i e do u tu n d e rd i f f e r e n t c o n d i r i o n sf o rs u c hac o m p l e xe n v i r o n m e n tt h i sk i n do fp r o d u c tw o u l db eu s e di n t h ei n s p e c t i o nm e t h o d si n1 1 a l es u p p l e m e n t - t e s t i n ga n ds i m p l e - s u mm e t h o d w h i c ha r es h o w nt ob ei n e f f i c i e n ti nr i s kc o n t r o li nt h ef i r s ts e c t i o no ft h i sp a p e r f o ri n s p e c t i o n sw i t hc 0 8 t 】ys a m p l e sf r o mac o m p l e xp o p u l a t i o n ，t h em e t h o d o fc o m b i n e di n s p e c t i o ni sp r o p o s e di n t h i sp a p e rb a s e do nt h et h o u g h t st h a t p r e s e r v ea sm u c hi n f o r m a t i o no fs a m p l e sa sp o i b l e b yc o m p a r e dw i t hl i m i t e dc l a s s i f i c a t i o nr e s u l t s ，t h em e t h o do fc o m b i n e d i n s p e c t i o ni sp r o v e dt ob ep r o v i d i n ga na c c e p t a b l ed e s i g nw i t hm i n i m u m ( o r a p p r o x i m a t em i n i m u m 、t w or e a lp r o b a b i l i t ye 玎_ o r sf o rag i v e ns m a l ls a m p l es i z e f u r t h e r m o r e ，as u g g e s t i o no nc o m b i n e ds t a t i s t i cs e l e c t i o ni sp r o p o s e db n s e d o ns i m u l a t i o nr e s u l t s f i n a l l y , a ne x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t eh o wt or e d u c et h en u m b e ro f s a m p l e sa tt h ec o s to ft a k i n gat i t t l em o r er i s k ，s ot h a tt h ee x p e r i m e n te x p e n s e s c o u l dg e tf u r t h e rs a v e d w h i c hi 8r e a l l ya p p r e c i a b l ef o ro d 8 t l yp r o d u c t s k e yw o r d s ：m e t h o do fc o m b i n e di n s p e c t i o n ；s a m p l i n gi n s p e c t i o n ；c o m p l e x p o p u l a t i o n ；o v e r a l lc l a s s i f i c a t i o n ；l i m i t e dc l a s s i f i c a t i o n 箜二童鲤壁萱星量垫壁焦坠查塞坐丕夔整厶堂亟迨塞3 第一章问题背景与抽样检验方案 1 1 背景介绍 本文的讨论基于一个实际应用问题。我们要对一批药品的质量水平进行验收，做 出接收或者拒绝该批药品的判断。在统计学上，该问题属于抽样检验范畴，设计抽样 检验方案的关键问题是确定拒绝域的形式。但是实际背景中的两条限制增加了方案设 计的难度。 第一、小样本试验。由于该药品造价很高，试验成本昂贵，所以只能进行小样本 试验。而统计分析精度需要大样本量的保证，而且绝大多数统计分析理论都建立在大 样本基础之上。如何在小样本的前提下尽可能降低抽样检验方案的使用风险是方案设 计的难点之一。 第二、复杂总体。药品分布范围广泛，要提供给居住在不同气候特征、不同地理 环境的人群使用。所以为了得到真实准确的质量评定，必须模拟出不同温度、湿度、 气压下的环境作为试验环境，后文将试验环境称为试验点。在参数不完全相同的试验 点上进行试验，从而得到来自不同分布的试验结果，我们称之为复杂总体试验。而现 有的统计资料中很少有涉及到复杂总体的理论。如何在复杂总体下设计抽样检验方案 是另一个难点。 基于实际问题中小样本和复杂总体两条限制，在经典统计理论中很少有现成的解 决方案，所以我们考虑从问题的实际背景出发，为其量身定做一套解决方案，完成抽 样验收。本文设计的抽样检验方案完全可以沿用到同样具有上述两个特点的其他产品 的质量验收问题中。 1 2 使用现状 我们在每一个试验点上进行药品色谱鉴定，对应试验结果只有两个：拉出的色谱 与标准色谱一致( 即通过质量检验) ，以及拉出的色谱与标准色谱不一致( 未通过质 量检验) 。目前在实际验收药品质量时被使用的有两种抽检方案，分别是补充试验法 与简单和检验法。 首先举例介绍补充试验法。比如随机抽样7 瓶药品，将每瓶药品对应在一个试验点 上做试验，若这7 瓶全部通过检验则认为这批药品总体质量合格，若超过两瓶未通过则 认为药品总质量不合格，恰好出现一瓶或两瓶未通过则在未通过试验点上进行补充试 验，若补充试验全部通过则认为总质量合格，否则认为不合格。图1 1 展示了该抽样检 验的过程。类似这样的抽检方案就是补充试验法。 ( 在来通建点t 扑宠试验 图1 1 ：补充试验法 r 补充试骏全部通过辛接收t l 至少1 瓶来遽过寺拖魄 兰 第一章问题背景与抽样检验方案 华东师范大学硕士论文4 再介绍一下简单和检验，这一检验属于经典统计学中用检验统计量加i 临界值构造 拒绝域的检验范畴。简单和检验以总通过次数作为检验统计量，遵循抽样检验思想设 定临界值c ，最终的抽样方案是这样的：试验完毕后计算总通过次数，若通过次数多 于c 则认为质量合格，否则认为质量不合格。 这两种现行方法的共同特点是简单且易于实施，但是它们在风险控制方面的表现 不佳，所以不推荐使用，这一点会在后文中举例说明。 1 3 统计模型与抽样方案设计 1 3 1 统计模型 针对本文的问题，考虑到需要在不同环境下进行试验，同时为了减小因小样本对 统计分析精度的影响，我们采用联合检验。 抽样试验是这样进行的：随机抽取n i - 产品，在不完全相同的环境下试验，每个试 验点的试验结果独立地服从两点分布，由此得到样本。即： 样本x = ( x 1 ，溉) 来自总体：五一b ( 1 ，r ) i = 1 ，n ，x 1 ，墨相互独立 考虑检验问题：玩：鼽= mt ，s l ：a = m ( 其中：孙p l i 均已知，且m p l t ，t = 1 乱) 若检验后判定原假设为真则接收产品，若判定备择假设为真则拒绝产品。 附带说明，产品抽检个数札可以是固定的也可以是不定的。凡不定的情况，比如 补充试验法，不属于本文主要讨论范围。在抽检个数佗固定的前提下设计决策抽样检 验方案，比如简单和检验法，是本文重点研究对象。 1 3 2 两类风险 这里介绍抽样检验方案的设计思想，先介绍两类风险。两类风险是抽样检验思想 的灵魂，是评价检验好坏的基础。 抽样检验是通过抽取样本的优劣来评判总体产品的优劣，从而做出接收或是拒绝 产品的判断。由于样本的随机性，我们可能做出两种错误的判断，即产品符合标准但 判为拒收，或者产品不符合标准但判为接收。 合格的产品判为拒收，对厂方不利。该事件发生的概率，即原假设成立时，检验 统计量却落在拒绝域内的概率称为第一类错误，也称厂方风险，记为。写成式 子就是：a = p ( t w e o 。 不合格的产品判为接收，对用方不利。该事件发生的概率，即备择假设成立 时，检验统计量却没有落在拒绝域内的概率称为第二类错误，也称用方风险，记 为p 。写成式子就是：= p t w 。i e l 。 在实际使用中，我们需要同时考虑双方的利益，尽量使得两类风险都比较小，而 且两者相差不大。也就是说：m 口，研小并且i a 一纠小。 釜二重闷壁堂墨量地壁垒墅直塞堡丕盟堇厶堂亟迨塞5 由两类风险的定义可以看出，抽样检验方案一旦确定，就可以计算出该方案对应 的两类风险。下面以补充试验法为例计算两类风险，并根据两类风险大小对检验方案 在风险控制方面的表现进行评价。 例1 1 价点补充试验，抽检方案如图1 1 所示样本x = ( x 1 ，) 来自总 体：咒一b ( 1 ，鼽) = 1 n ，五相互独立，考虑检验问题： 凰：p t = 船t ，8 既：a = p u 其中：魁弛均已知，且p o i p l l ，i = 1 订，假设参数为孝= ( 砌l 抑p a r ) = ( o 8 6o 8 7o 8 8o 8 9o 9 0o 9 1o 9 2 ) ，p l = v o 1 3 样本落在接受域的概率如下，考虑所有试验点上试验结果相互独立： 7 p t 。1 0 = p 7 瓶全部通过) + p 仅第i 瓶未通过 p 第i 瓶补充试验通过 仅第i 瓶未通过 卢1 + p 仅第i j 两瓶未通过) p 第i 、j 补充试验全部通过l 仅第扎j 两瓶未通过 l g q g 。 = p “= 7 + p 协= 1 p 瓤= 0 ，= 6 ) 7 仁l + p 以= l ，= l p ( 戤= o ，= 0 ，靠= 5 由于7 个试验点上成功概率即参数e 0 与e 1 完全已知，计算得两类风险： o = p t w i o o = 1 一p t w 。i o o = o 1 0 6 9 ， 卢= p t w 。1 0 1 ) = o 3 7 2 6 通过计算机编程完成计算，可以省去很多繁琐的工作。 本例中两类风险反映出该抽检方案在风险控制上表现得不理想。第一、用方风险 为p = 0 3 7 2 6 过高：第二、风险差距为l a 一纠= o 3 7 2 6 0 1 0 6 9 = o 2 3 5 7 过大，这样 的方案不太公平，用方要承担的风险甚至超过厂方承担风险的三倍，尤其在药品验收 方面用方风险如此高是不能容忍的。事实上，在别组参数下采用补充试验法同样存在 风险控制效率低下的问题，所以该方法不推荐使用。口 1 3 3 在抽检个数固定的前提下设计抽样检验方案 从现在开始，我们重点讨论在抽检个数n 固定的前提下，如何设计出有效控制两 类风险的抽样检验方案。 我们设想方案大致如下：先确定检验统计量，如果样本对应的统计量取值落在拒 绝域内则拒收产品，否则接受产品。拒绝域的形式多种多样。其中一种简单的，也是 我们打算采用的形式为：w = r c 或者w = t c ，其中t = ? ( z l ，t 2 ，) 为 检验统计量，c 为临界值。由此，抽样检验方案设计问题就归结为两点：一、提出合理 的检验统计量：二、设定合适的临界值。 首先看检验统计量。备选的检验统计量很多，只要求统计量的大小趋向能给我们 接受或是拒绝原假设的启发即可。比如简单和检验方案中的墨，当z 撤大时我们 倾向于接受原假设，认为质量合格；当以较小时我们倾向于拒绝原假设，认为质量 蔓二重回壁萱量皇地壁捡堕互塞坐丕塑堕鑫堂亟主迨塞6 不合格。由此，很自然地把拒绝域形式定为w = 以c ) 。有了检验统计量以后， 我们需要计算它在、玩下的抽样分布。 需要指出的是，虽然找到一个检验统计量不难，但是找到一个好的检验统计量是 要下功夫的。为本文的实际问题寻找到好的检验统计量是我们的主要工作。 然后再来讨论临界值的选择由吐、口的计算公式可以看出：如果我们已经有了 检验统计量及其抽样分布，那么只要给定一个临界值就可以计算出该方案的两类风 险。l ，3 ，2 中提到，在制定方案时需要同时考虑双方的利益，尽量使得两类风险都比较 小，而且两者相差不大。也就是说：仇们 n ，册小并且i q 一纠小，这就是我们选择临界 值的标准。 下面以简单和检验法为例，设计抽样检验方案，同时根据两类风险控制情况评价 该方法。 例1 2 样本x = ( 墨，) 来自总体：x 一6 ( 1 ，p ) t = 1 n ，x 1 相 互独立，考虑检验问题： 凰：a 2 p o t ，s 盟：p 2 p l l 其中：p 嘶弛均已知，且阮 p “， = 1 ，n ，假设已知参数如下： r 礼= 9 龉= 1p 0 2 彻) = ( 0 8 60 8 70 - 8 80 8 90 9 00 9 10 9 20 8 8o 8 9 ) ( 1 1 ) - 【n = 细1 3 要在( 1 1 ) 式的假设下，使用简单和检验法设计检验方案，关键在于检验统计量和 拒绝域。 检验统计量忍的所有可能取值为0 、1 、2 9 。利用数学归纳法可证明下 式。 p 僖科1 0 卜旷争，( 蛇。邑曼。p h ”饿 p 翰= 自l = ( 一1 ) ( 一1 ) ( ：) p 。 l = l， i = k 、7l s i l i 2 7 则接收产品，否则拒绝产品。该方案对应的两类风险为a = 0 2 6 3 7 ，芦= o 1 6 8 5 。 两类风险反映出简单和方法风险控制力度不强，用户与厂方风险差距较大，不够 理想。事实上在别组参数下采用简单和检验法同样存在风险控制效率低的问题，有 待改进，所以我们需要寻找能更好解决本文问题的抽样检验方法。口 1 4 本文主要研究内容 本文二、三、四章从处理实际抽样检验问题展开，在选择性质优良的检验统计量 上做文章，提出能够有效控制两类风险的检验方案。第二章引入组合检验方法，并且 提出五个具体的组合检验统计量。第三章通过将组合检验与分类穷举作比较，说明组 合检验在控制风险上具有优良性质。第四章通过随机模拟分析五个组合检验统计量的 优劣，并且给出选择统计量的建议。 第五章进一步贴合实际应用需求，从减少产品抽检个数降低试验成本出发，在组 合检验的基础上进一步完善抽检方案。 箜三垩茎王尘堂奎星銎璺堡这墼丝塑全垒墼壹鲨坐丕蛭萱叁堂亟迨塞8 第二章基于小样本复杂总体试验的组合检验方法 2 i 组合检验方法概述 2 1 1 组合检验统计量及其分布 我们从两方面考虑如何选择性质优良的检验统计量。 第一方面已经在1 3 ，3 提到，即检验统计量的大小趋向应该能给我们接受或是拒绝 原假设的启发。 第二方面尽量选用能高效地替代样本的统计量。我们有理由相信，越是能够充分 反映样本信息的检验统计量，越能有效控制风险，亦即优良性越好。 我们在例1 2 中例举了简单和检验统计量x i ，它符合第一方面的要求。简单 和检验方案为如果e 以 7 则接收产品，否则拒绝产品。该方案对应的两类风险 为口= 0 2 6 3 7 ，卢= o 1 6 8 5 。两类风险反映出简单和方法存在风险控制力度不强的问 题，用户与厂方风险差距较大，不够理想。所以我们需要寻找能更好解决本文问题的 检验方法。 那么，用什么样的检验统计量更合适呢? 很显然，在统计量t = f 墨中给每个试 验结果加的权重都为1 ，其隐含的意思就是平等看待札个试验结果。而事实上，由于搬 不全相等，在n 个试验点上出现0 6 是l 的难易程度不全相同，所以平等地看待n 个 试验结果导致样本信息反映不完全( 亦即该检验统计量在第二方面表现不佳) ，进而 影响检验效果。基于这种想法，我们提出加权形式的检验统计量t = 也翰，通过给 每个试验点的试验结果加上不同权重来区别对待试验结果，目的就是为了尽量充分反 映样本信息。更一般地，采用t = 他反+ c i ) 作检验统计量，因为试验结果的不 同是由鼽不同而引起的，所以很自然地假设咄以及q 都是m 、p l 。的函数显然，如 果盔0 h 么拒绝域定为w = t c ) ，反之拒绝域定为w = t c ，其中c 为临 界值。 给定d i 、c f 的表达式以后，检验统计量就随即确定下来了。由于总共价试验点且 在每个试验点上的试验结果非o 即1 ，所以样本可能取值为2 f 1 个，分别为： ( ooo oo ) 恰有。个合格品，共( ：) 个样本， ( 100 00 ) 1 ( 0 1o o o 恰有1 个合格品，共g ) 个样本， ( joo o1 ) j ( 110 0 0 ) 1 ( 1o1 o o 恰有2 个合格品，共国个样本， ( ooo 11 ) j ( 111 11 ) 恰有n 个合格品，共( ：) 个样本。 第二章基于小样本复杂总体试验的组合检验方法华东师范大学硕士论文9 求出这哥个样本对应检验统计量的取值以及样本在原假设和备择假设下的分布 列，然后把相同检验统计量对应的概率合并，就得到了检验统计量分别在原假设和备择 假设下的精确分布。也就是抽样分布。 2 1 2 临界值的选择 l j 缶界值的选择沿用1 3 3 中介绍的方法。 在得到检验统计量的抽样分布以后，以统计量的每一个可能取值作为临界值c ，计 算该临界值相应检验方案的两类风险：a = p t wio o ，卢= p t 缈。10 1 。 然后以m a z a ，册小并且l a 一l 小为标准，选择临界值c 。 2 1 3 组合检验步骤 现在，我们把组合检验步骤总结如下： 1 提出检验统计量t = 眩奶+ c i ) ，即确定也以及q 的表达式，同时得出拒绝域的 = 1 形式。 2 计算检验统计量分别在王七、皿下的抽样分布。 3 以检验统计量的每个取值为临界值，计算该临界值对应的两类风险( 口，p ) 。 4 考察这有限组( o ，p ) ，以m n z 啦 小并且b 一纠小为标准，决定最后使用哪个临 界值。从而得到具体的拒绝域，由此组合检验就完成了。 上面的四个步骤中主要难点是第一步，即怎样选择也、c t 是要重点讨论的。一旦确 定了检验统计量，根据2 1 1 、2 1 2 的分析，完成后面几步并不困难。 在本章接下来的各节中，我们将从组合检验的想法出发，提出似然比检验统计 量、方差标准化检验统计量等五种组合检验统计量，并举例子模拟上述检验步骤，得 到抽样检验方案。从实例中可以看出，研究组合检验方法在解决实际问题中是很有价 值的，而且检验效果不错，即两类风险控制得比较理想。 2 2 似然比检验方法 处理检验问题的时候，我们总是习惯从充分统计量入手构造检验统计量，因为充 分统计量不损失样本信息。但是，用充分统计量处理本文中的检验问题有困难。因为 各试验点上的试验结果来自不完全相同的贝努里分布，即使是最小充分统计量也是多 维的，这样，充分统计量很难为检验统计量的构造提供更有用的信息。那么什么样的 一维检验统计量能尽量减少样本信息的损失呢? 2 2 1 统计量的提出 尽量不损失样本信息是构造检验统计量的一条基本原则。从这一想法出发，我们 想到采用似然比统计量，它基于样本在原假设和备择假设下出现的概率，能较好地反 映样本信息。 箜三童薹王尘搓奎星銎望签这坠丝塑盒捡墼互鎏坐壅堕堇奎堂亟途r 文1 0 针对本文的检验问题，似然比统计量如下： s u p p ( z l a 2 面o o 顶li 9 e o o x n ；0 )n 赡( 1 一p l ，) 1 _ a 厕2 磊i = 1 磊 2 1 根据点估计理论中的极大似然比原理，( 2 1 ) 式分子部分可以看作在给定样本条 件下，0 ，有多大可能为真的一种度量。同样，分母部分可以看作在给定样本条件 下，0 。有多大可能为真的一种度量。当似然比统计量较大时，我们偏向于相信各择假 设是真的，所以在a 较大时拒绝原假设。 我们来看一下对数似然比，由于对数变换是一一对应的，所以用l n ( a ) 做检验与似 然比检验等价，经过简单计算得： h ：娄卜( 丽p l i ( 1 丽- p o i ) ) 毛仙( 。i 刊- p l * 、i 仁z ， 从( 2 2 ) 式我们发现：就本文的检验问题而言，似然比检验是组合检验的一种。 l n ( a ) - 喜( 喀甄删黼成地p l i ( 1 - p 0 1 ) ) 仁乩1 ，一- - p 黜l i ) 拒绝域为；w = l n ( a ) c ) ，其中：c 为临界值a 2 2 2 应用举例 例2 1 检验问题以及已知参数假设与例1 2 相同，根据2 ，1 3 中列出的的组合检 验步骤，使用似然比检验方法给出检验方案。 似然比方法的检验统计量为：r e ( a ) = 耋卜( 渊) 曩+ l n ( 三嚣) ，拒绝域 形式为：w = fl a ( a ) c 。 由于n = 9 并且每一试验点的试验结果非o 即1 ，因此样本( z l 如) 的取值总共 有2 t l = 5 1 2 种可能，分别为 ( 00000 0000 ) ( 100000 000 ) ( 0100 000 00 ) ( 00 0 000 00 1 ) ( 1100 000 00 ) ( 10 10 000 00 ) ( 0000 000 1 1 ) ( 111111111 ) 恰有。个合格品，共( 9 ) 个样本 恰有1 个合格品，共( ：) 个样本 恰有2 个合格品，共圆个样本 j 恰有9 个合格品，共( 勃个样本 、illi，i-l，、i_-l，ilj 第二章基于小样本复杂总体试验的组合检验方法华东师范大学硕士论文1 l 由已知参数( 1 1 ) ，可以求出这5 1 2 个样本在鼠，、日l 下的概率，以及对应检验统计 量的值。把相同检验统计量对应的概率合并，就得到了检验统计量在凰、日1 下的精 确分布，即抽样分布。本例似然比统计量有2 8 8 种不同取值，其抽样分布见表2 1 ，表 中：o b s 为行号，l n ( n ) 为检验统计量的取值，加、p 1 分别为检验统计量在凰、三 下的 分布列，f 0 、f i 贝0 为相应的分布函数值。分布函数如图2 1 。 表2 ，l ：似然比检验( 例2 1 ) 然后以检验统计量的每一个取值作为临界值c ，计算该临界值对应的两类风险： 厂方风险：口= p t w ie o ) = p l n ( a ) c f o o = 1 一晶( c ) 用方风险：p = p t w e l e l = p l n ( a ) c 0 1 ) = f 1 ( c ) 其中昂( ) 、e l ( ) 分别为日o 、日1 下的分布函数。计算结果见表2 1 ，表中：a 、p 为以该 行l n ( a ) 值为临界值作检验时的两类风险。 考察这2 8 8 个( 口，p ) ，以m a x a ，甜小并且f q z i j , 为标准，应选择i 艋界值c = 0 0 9 9 5 ，由此得到拒绝域：w = l n ( a ) 0 0 9 9 5 ) 。 综上，参数满足( 1 1 ) 时，采用这样的检验方案：根据样本计算出i n ( a ) 的值记 为r ，如果r 0 0 9 9 5 则接收产品，否则拒绝产品。该方案对应的两类风险为口= o 2 1 2 0 口= o 2 2 3 4 ，这个检验结果很令人满意。口 笠三望薹王尘搓奎复苤璺堡达坠丝塑金鳖墅壹鲨坐查鳗整盔堂亟迨塞1 2 图2 1 ：似然比统计量的分布函数( 例2 1 ) 2 3 方差标准化检验方法 我们换一个思路，处理本文检验问题的症结在于每一试验点的试验结果来自不完 全相同的贝努里分布，如果来自同一分布就可以用经典的统计方法解决。那么，能不 能变换试验结果使之服从或近似服从相同的分布昵? 2 3 1 统计量的提出 要变换试验点的结果使之服从或近似服从相同的分布，从这一想法出发，我们很 自然想到标准化变换。虽然这里不是大样本场合，不能说每个试验结果近似到标准正 态分布，但是这种想法仍然值得一试。事实上，这是一个不错的检验方法，后文会结 合例子说明。 我们知道：随机变量x 一弓蔫称为标准化变换。现对试验结果作标准化变 v ， n 换t 令鼽= 于甓耪2 了篆鸶萧t = 1 ，巩然后用t 。i = 1 执作检验统计量 = = 1 压寻一赢 岳；一窑南 协3 ， 从( 2 t 3 ) 式可以看出这样的统计量是组合检验统计量t2 至( 盔孔+ q ) 的一种， 其中：磊= 7 二p o 二。( 1 - p o i ) q = 一了南 又因为至了翻是非随机的 验统计量简化为 对检验效果不产生任何影响，所以我们把该检 ( 2 4 ) 。：l | | t 。“ | i r 第二章基于小样本复杂总体试验的组合检验方法华东师范火学硕士论文1 3 从形式上看，( 2 4 ) 式是在凰下对每一试验点试验结果的方差进行了标准化处理， 所以把以( 2 4 ) 式作为检验统计量的组合检验方法称为方差标准化检验。对应的拒绝域 为：w = t c ，其中：c 为临界值。 另一点值得注意的是方差标准化统计量中的反恰恰是f i s h e r 信息阵中的所有非零 元素。f i s h e r 信息量是度量信息的一种手段，我们期待看到该统计量在抽样检验中有良 好的表现。 2 3 2 应用举例 例2 2 检验问题以及已知参数与例1 2 相同，根据2 1 3 中列出的组合检验步 骤，使用方差标准化检验方法给出检验方案。 方差标准化检验方法的检验统计量为： t = 耋 磊， 拒绝域形式为：= t c 。 用例2 1 中相类似的方法，可得到本例中方差标准化检验统计量有2 8 8 种不同取值， 其抽样分布见表2 2 ，表中：o b s 为行号，? 为检验统计量的取值，加、p 1 分别为检验统 计量在凰、日l 下的分布列，f 0 、f 1 则为相应的分布函数值。分布函数如图2 2 。 引 同 t 图2 2 ：方差标准化检验统计量的分布函数( 例2 2 ) 以检验统计量的每一个取值作为临界值c ，计算该临界值对应的两类风险： 厂方风险：a = p t w fe 0 ) = p t sc f e o ) = f o ( c ) 用方风险：芦= p t w 。i e l = p t c l e l ) = 1 一日( c ) 其中蜀( ) 、f l ( ) 分别为凰、王，1 下的分布函数。计算结果见表2 2 ，表中；o 、p 为以该 行? 值为临界值作检验时的两类风险。 考察这2 8 8 个( o z ，p ) ，以m a x a ，研小并且i a 一纠小为标准，应选择临界值c = 2 2 7 6 1 ，由此得到拒绝域：w = ft 2 2 ，7 6 1 ) 。 综上，参数满足( 1 ，1 1 时，采用这样的检验方案：根据样本计算出? 的值记为t 7 ， 如果r 2 2 7 6 1 则接收产品，否则拒绝产品。该方案对应的两类风险为a = 0 2 1 2 0 ，口= 0 2 2 3 4 ，这个检验结果很令人满意。口 蔓三童基王尘壁奎星垫堕堡这坠丝塑金焦墅直鎏坐奎塑踅叁堂亟圭鲨皇1 4 表2 。2 ：方差标准化检验( 例2 2 ) 2 4 其他组合检验方法 2 4 1 其他组合统计量 在2 2 、2 3 中我们提出了似然比和方差标准化两种组合检验方法。这两种检验方 法有很好的理论支持，所以我们对其检验效果抱有很高的期望。下面我们再讨论几个 形式简单的组合检验统计量，如： 佤戤， i = l 结合具体例子考察一下它们的检验效果。 2 4 2 应用举倒 ( 2 5 ) 例2 3 检验问题以及已知参数假设与例1 2 相同，使用( 2 5 ) 式列出的三个组合检 验统计量给出抽样检验方案。 。：i 戤 。：i 蔓三童茎王尘搓查量壅星签这墼盟塑佥焦堕盔鲨坐壅盟整叁堂塑堡塞1 5 方案设计步骤与例2 1 、例2 2 相类似，这里不再重复，只列出最终检验方案及其 对应的两类错误，从下表中拒绝域可得到用三种检验统计量做检验对应的抽检方 案，a 、口为该方案对应的两类风险。 检验统计量c o 口拒绝域w 葡反 6 6 0 8 8o 2 1 2 0 o 2 2 3 4 v 每磊墨6 ，6 0 8 8 4 需1。嚣1 m 甄 6 2 4o 2 1 2 0 o 2 2 3 4 m 墨6 2 4 1 磊1 广警广- 蚤、去反 7 _ 4 3 3 3o 2 2 9 50 2 2 4 6 薹 去而7 4 3 3 3 由上表，参数满足( 1 1 ) 时，采用这样的检验方案：根据样本计算出t 的值记 为f ，如果r w 则拒绝产品，否则接收产品。口 回顾例2 1 、例2 2 ，就这两例具体问题而言，我们发现参数满足( 1 1 ) 时，用l n ( a ) 、 蚤、赢杀丽盈、薹m 毛、量圻丽戤作为检验统计量的四个检验方案效果是一 样的( 两类风险一样) ，而且优于用圣、去甄检验的效果所以可采用最方便操作 的m 戤作检验。即：把成功的试验点所对应的成功概率值求和，如果和大于6 2 4 则 接收产品，否则拒绝产品。该方案对应的两类风险为口= 0 2 1 2 0 ，p = 0 2 2 3 4 ，这样检 验操作方便而且效果也不错。 2 5 小结 本章提出了组合检验的想法以及五种组合检验统计量、去磊、 川面而、 耋mx i 、i n ( a ) = 壹= 10 h 1 ( 删) 戤+ h ( 甓) 】、量两并且例举了 遇到具体问题时应该怎样选择检验方法，怎样得出检验方案。从中不难看出，组合检 验其实是提供了一种区分样本和实施样本分类的方法。把部分样本分到接受域里，其 余样本分到拒绝域里，这个分类是通过对检验统计量取值捧序，然后设定临界值来完 成的。 不难想象，检验统计量的可能取值多，对我们控制两类风险是有利的。比 如例1 2 中的检验问题，如果用墨作为检验统计量，其可能取值是l o 个，而用i ( a ) 、 三、面在竺雨戤作为检验统计量，其可能取值有2 8 阶，由此可见前者对样本的认识 n 太粗糙了，这就是为什么组合检验的效果优于简单用盈做检验的一个原因。一般来 说，当玩都相等时两者检验效果一致，而鼽差异越大，组合检验的优势体现得越明 显。下面再给出几组参数例子，加上用z i 做检验的情况以便对比，看看6 种检验统计 量对应的检验方案和两类风险。 1 假设n = 9 ，菇= ( 0 8 6 0 8 70 8 80 8 90 9 00 9 10 9 20 8 80 8 9 ) ，p l = p o 1 3 ： 箜三重蕉王尘搓查复垄堕堡达墅盟塑金丝坠查壁望壅堕堇苤堂亟圭迨壅1 6 检验统计量 a p拒绝域 而 o 2 6 3 7 o 1 6 8 5 7 i f ii = l l n ( a ) 0 2 1 2 00 2 2 3 4 l n ( a ) 0 0 9 9 5 至、鬲耳与面戤0 2 1 2 00 2 2 3 4 蚤 元西l _ 雨戤2 2 7 6 1 2 何以 o 2 1 2 0 o 2 2 3 4 压毛6 6 0 8 8 磊1需1 触囊0 2 1 2 00 2 2 3 4 m 6 2 4 磊1 一 景1 一 蚤 去鼢0 2 2 9 50 2 2 4 6 善、击7 4 3 3 3 2 假设t l = 7 ， 砖= ( 0 8 60 8 70 8 80 8 90 9 00 9 10 9 2 ) ，p 1 = 阳l ，3 ： 检验统计量 o t 口拒绝域形 毛 o 1 7 4 7 o 2 9 7 6 戤5 i = li ；1 l n ( a ) 0 ，2 5 6 80 2 3 8 4 i n ( a ) - 0 4 5 0 3 善 i 己葡墨0 2 5 6 80 2 3 8 4 善、面考：葡鼢1 9 1 4 8 1 俪毛 o 2 5 6 8 0 2 3 8 4 撕面甄5 6 4 9 4 磊1 嚣1 m 氛 o 2 5 6 8 0 2 3 8 4 触z i 5 3 2 髻一 。需1 广- 善 去 0 2 4 6 6 0 2 6 1 6 善 去墨6 3 4 3 1 3 假设礼= 9 ，碡= ( 0 8 10 9 90 9 90 9 90 9 80 9 80 9 8o 9 80 8 1 ) ，p l = 舶1 3 ： 检验统计量 口 口拒绝域 瓤0 0 7 1 60 2 4 6 7 戤7 i = l = 1 l n ( a ) o 1 3 7 3o ，1 2 2 4 l n ( a ) - 1 4 1 3 9 n 焉1 磊1 p m o 1 3 7 3 o 1 2 2 4 m 7 5 3 圣、嘉0 0 7 1 60 2 4 6 7 圣、去而7 2 6 7 9 4 假设扎= 7 ，靠= ( 0 8 10 9 90 9 90 9 90 9 80 9 80 9 8 ) ，p l = 伽1 3 ： 第三重基王型! 拦奎复杂总体试验的组合检验方法 华东师范大学硕士论文1 7 检验统计量 口 口拒绝域 o 2 6 0 3 o 1 1 7 9 盈6 l n ( a ) 0 0 8 6 8o 1 8 9 2 l n ( a ) - - 0 8 8 9 2 蚤 面击两矗0 0 8 6 8o 1 8 9 2 量 葡裔：雨戤 - 1 4 1 3 9 等价于如下说法：当9 个试验点上试验全 部成功或成功8 次且一次失败在0 8 1 处时接受原假设，否则拒绝原假设。上表中的两个 试验结果在表3 1 中的序号为1 、2 。 因此用似然比方法得出的检验等价于这样的分类：表3 1 中第一及第二个试验结