（概率论与数理统计专业论文）双参数复合poisson分布及二元混合双参数poisson分布的研究.pdf

摘要 摘要 某一险种索赔次数分布的研究，无论是对于经典风险模型，还是对于保险公 司的实务，都是很有意义的工作。过去我们常常假设索赔次数服从p o i s s o n 分布， 并由此得到了p o i s s o n 分布以及复合p o i s s o n 分布的很多优良性质。但在实际应 用过程中，我们渐渐发现p o i s s o n 分布具有散度偏大现象。为此，毛泽春、刘锦 萼撰文提出了一种新的索赔次数分布双参数p o i s s o n 分布。双参数p o i s s o n 分布的优势在于，p o i s s o n 分布是双参数p o i s s o n 分布的一种特殊形式，更重要的 是双参数p o i s s o n 分布解决了散度偏大的问题，具有较强的实用性。 本文就是在索赔次数服从双参数p o i s s o n 分布的基础上，对索赔总额进行了 研究，定义了双参数复合p o i s s o n 分布，并对其性质如矩母函数、数字特征、可 加性等做了一定的研究，也对其正态近似、平移g a m m a 近似、e s s c h e r 近似等近 似方法做了一定的探讨。 其次，在索赔次数服从双参数p o i s s o n 分布的基础上，本文对具有相依风险 且不同质保单组合中两种保险责任的索赔次数向量( | ，：) 的分布进行了研 究，提出了二元混合双参数p o i s s o n 分布，并讨论了它的一些基本性质，如条件 分布，矩母函数，数字特征等等。同时也考虑了免赔额对索赔次数向量分布的影 响，得到了一些结果。 关键词索赔次数双参数p o i s s o n 分布双参数复合p o i s s o n 分布二元混合双参 数p o i s s o n 分布 a b s t r a c t a b s t r a c t t h es t u d yo ft h ed i s t r i b u t i o no fn u m b e ro fc l a i m si sq u i t ei m p o r t a n tt oc l a s s i c a lr i s k m o d e la sw e l la st h ep r a c t i c eo fi n s u r a n c ec o m p a n y u s u a l l yi ti sa s s u m e dt h a t n u m b e ro fc l a i m sf o l l o w sp o i s s o nd i s t r i b u t i o n , b u tm a oz c c h u na n dl i uj i n e s u g g e s t e da n e wd i s t r i b u t i o n w h i c hi sc a l l e dt w o - p a r a m e t e rp o i s s o nd i s t r i b u t i o n ht h i sp a p e r , t h ed i s m i b u t i o no fa g g r e g a t ec l a i m si no n ey e a rh a sb e e ns t u d i e db a s e d o nt h ea s s u m p t i o nt h a tn u m b e ro fc l a i m sf o l l o w sat w o - p a r a m e t e rp o i s s o nd i s t r i b u t i o n t w o - p a r a m e t e rc o m p o u n dp o i s s o nd i s t r i b u t i o ni ss u g g e s t e d t h e nt h ep a p e rs t u d i e s t h ec h a r a c t e mo ft h i sn e wd i s t r i b u t i o nl i k et h em o m e n tg e n e r a t i n g f u n c t i o n , n u m b e r i c a lc h a r a c t e r i s t i ca n da d d i t i v ep r o p e r t y , a sw e l la st h en o r m a ld i s t r i b u t i o n a p p r o x i m a t i n g , t h ep a r a l l e lt r a n s l a t i o ng a m m aa p p r o x i m a t i n ga n dt h ee s s c h e r a p p r o x i m a t i n g a n du n d e rt h ea s s u m p t i o nt h a tt h en u m b e ro fd a i m sf o l l o w sat w o p a r a m e t e rp o i s s o n d i s t r i b u t i o nw ed i s c u s s e dt l l ed i s t r i b u t i o no fb i n a r yn u m b e ro fc l a l m sw h i c hi s g e n e r a t e db y t h et w oi n s u r a n c ec o m b i n a t i o nw h i c ht h er i s k sd e p e n do ne a c ho t h e rb u t h a v ed i f f e r e n tn a t u r e 弧eb i n a r ym i x e dt w o - p a r a m e t e rp o i s s o nd i s t r i b u t i o ni s s u g g e s t e d i t sb a s i cp r o p e r t i e sh a v eb e e ns t u d i e ds u c ha st h ec o n d i t i o n a ld i s t r i b u t i o n , m o m e n tg e n e r a t i n gf u n c t i o na n dn u m b e r i c a lc h a t a c t e r i s t i c n ee f f e c to ff r a n c h i s ef o r t h ed i s t r i b u t i o no fn u m b e ro fc l a i m si sa l s os t u d i e d k e yw o r d s ：t h en u m b e ro fc l a i m s ，t w o - p a r a m e t e rp o i s s o nd i s t r i b u t i o n ，t w o - p a r a m e t e r c o m p o u n dp o i s s o nm s 们b u t i o n b i n a r ym i x e dt w o - p a r a m e t e rp o i s o n d i s t r i b u t i o n 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 砧年弓月；日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 年 月日年 月 日 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 签名： “年弓月d 6 年弓月 第1 章综述 1 1 引言 第1 章综述 索赔次数分布的研究，无论是对于经典风险模型，还是对于保险公司的实务， 都是很有意义的工作( 参见【1 】) 。p o i s s o n 分布在风险理论研究中具有十分重要的 地位( 参见【2 】【3 】) ，我们经常假设某类事故的发生次数服从p o i s s o n 分布，进而 假设该事故的索赔次数也服从p o i s s o n 分布。我们知道，p o i s s o n 分布的一个重要 性质是方差等于均值，但是实际上索赔次数并不完全遵循p o i s s o n 分布规律，我 们发现其方差往往大于均值，这种现象相对于p o i s s o n 分布来说，称为散度偏大 ( o v e r - d i s p e r s i o n ) ( 参见【4 】) 。在保险中，引起散度偏大现象有多方面的原因： 一是受自然环境及各种客观条件的影响，使得个体保单实际出事故的次数偏离 p o i s s o n 分布；二是保险公司及投保人增强了风险意识，使得出事故的次数在0 处有更大的概率；另外一个重要原因则是保险公司采用了回避风险机制，如免赔 制度、无赔款折扣( n c d ) 制度等，使得投保人在发生事故时会权衡其利益得 失以决定是否进行索赔，这样，索赔次数就会少于事故发生次数。 针对这种情况，毛泽春、刘锦萼在 s l o e 提出了一类全新的索赔次数的分布 双参数p o i s s o n 分布。双参数p o i s s o n 分布的分布律和p o i s s o n 分布的有点相 似，而与之不同的，则在于双参数p o i s s o n 分布的方差是大于均值的，这就很好 地解决了p o i s s o n 分布的散度偏大现象，故毛泽春、刘锦萼建议采用双参数p o i s s o n 分布作为索赔次数的分布。 本文就是在索赔次数服从双参数p o i s s o n 分布的基础上，对索赔总额进行了 研究，定义了双参数复合p o i s s o n 分布，并对其性质如矩母函数、数字特征、可 加性等做了一定的研究，也对其正态近似、平移g a m m a 近似、e s s c h c r 近似等近 似方法做了一定的探讨。 其次，在索赔次数服从双参数p o i s s o n 分布的基础上，本文对具有相依风险 且不同质保单组合中两种保险责任的索赔次数向量( l ，2 ) 的分布进行了研 究，提出了二元混合双参数p o i s s o n 分布，并讨论了它的一些基本性质，如条件 分布，矩母函数，数字特征等等。同时也考虑了免赔额对索赔次数向量分布的影 响，得到了一些结果。 双参数复合p o i s s o n 分布和二元混合双参数p o i s s o n 分布是首次提出，所以， 本文对这两个分布的研究也只是取得了初步的研究结果，这两个分布在应用上的 优缺点还有待进一步的研究。 第1 章综述 1 2 预备知识 1 2 1p o i s s o n 分布及复合p o i s s o n 分布在保险中的应用 在长期的实践活动中，人们对随机现象进行了理论的概括，得出了几种主要 的随机的数学模型，这些模型都有其广泛的实际意义。p o i s s o n 分布就是其中之 p o i s s o n 分布的定义如下： 定义1 1 ：设随机变量的可能值为0 ，l ，2 ，如果的分布律为 p ( 一七) 一告e ，七1 0 ，垅 其中a 0 是常数，则称随机变量服从参数为a 的p o i s s o n 分布，简记为 n p ( a ) 。 p o i s s o n 分布的一个重要性质，就是服从p o i s s o n 分布的随机变量的期望和方 差是相等的，都是a 。这一性质，对确定随机变量服从的分布类型十分有用。因 为对于二项分布来说，期望大于方差；对于负二项分布来说，期望小于方差。这 样，如果预先没有假定是p o i s s o n 分布，只要先比较一下样本均值与样本方差， 就可以决定选择哪一种类型的分布更为合适。 p o i s s o n 分布的另一个重要性质，就在于它是二项分布的一个近似。具体可 通过下面的定理1 1 来表述： 定理1 1 设x 是服从二项分布b ( 一，以) 的随机变量，其分布律为 尸( x - k ) 。( 淞，训4 假设当咒呻时有n p , = a ( 常数) ，或者当行一0 0 时有n p , 一a ，在这些条 件下，我们有 j i m p ( xi 七) 一告已以 这是参数为a 的p o i g s o n 分布。 说明：( a ) 定理1 1 实质上是说，只要，l 是足够大，而p 。是比较小，我们就 可以用p o i s s o n 分布的概率去逼近二项分布的概率。 2 第1 章综述 ( b ) 二项分布是由两个参数n 及p 刻画的，而p o i s s o n 分布仅仅由一个参数a 就可以刻画，相对比较简单。其中a 代表每单位时间( 或者，在其他情况下， 每单位空间) 内成功的期望数，我们也称参数a 为分布的强度。 ( c ) 对期望而言，二项分布的期望是r i p ，p o i s s o n 分布的期望是a ，显然在 定理1 1 的条件下，两者是近似相等的。 ( d ) 对方差而言，二项分布的方差是慨( 1 一以) ，p o i s s o n 分布的方差是a ， 在定理1 1 的条件下，有矾( 1 一只) 一a 。 以上就是p o i s s o n 分布的重要性质。 自法国数学家p o i s s o n 于1 8 3 7 年引入p o i s s o n 分布以来，p o i s s o n 分布已日益 显示其重要性，它成为了概率论中的重要分布之一，并在实践中有着广泛的应用。 例如，段时问内，某电话交换台收到的呼叫次数，纺织厂生产的布匹上的疵点 个数，放射性物质分裂到某区域的质点数量等等，这些随机交量都可以认为是服 从p o i s s o n 分布的。 在保险精算领域中，我们经常把非寿险( 如车险、船舶险、财产险等) 的索 赔次数看成是服从p o i s s o n 分布的，在此基础上，我们建立复合p o i s s o n 分布模 型，它是研究索赔总额的重要模型，对保险公司研究保单风险有十分重要的意义。 复合p o i s s o n 分布的定义如下： 定义1 2 设置，置是独立同分布的随机变量，并具有相同的分布函数 f ( x ) 与相同的矩母函数m ( t ) ，随机变量服从参数为a 的p o i s s o n 分布，诸置 和也是相互独立的。记 s = x i + + x n 且当n ；o 时，约定s = 0 。称s 的分布是复合p o i s s o n 分布，称为求和次数， 称诸置为s 的加项。 显然，对于一给定时间区间内的保单组合来说，以表示索赔次数，再以置 表示第i 次的索赔额，则s 就表示素赔总额。 参考文献【3 】中指出，复合p o i s s o n 分布具有可加性。若干个服从复合p o i s s o n 分布的随机变量相加，仍然服从复合p o i s s o n 分布，且新的p o i s s o n 参数是原先 的p o i s s o n 参数的和，新的加项分布则是原先的加项分布的加权平均，其权数与 3 第1 章综述 各自的p o i s s o n 参数成正比。 文献 3 l q ，也指出，一个复合p o i s s o n 分布，可以表示成一系列的卷积。若假 设给定s 服从复合p o i s s o n 分布，其p o i s s o n 参数为a 0 。( 为避开技术上的细 节) 假定其加项的分布，是离散的，不连续点为z l ，x 2 ，令 嚷= p ( x = 乇) = f ( 鼍) 一f ( 五- 0 ) ，v i 之1 再以，表示取值为x f 的诸加项的随机次数。显然有 s = 置1 + 而：+ 而且( a ) m 服从参数为 氆的p o i s s o n 分布；( b ) 诸随机变量1 ，2 ，是相互独 立的。 人们普遍采用p o i s s o n 分布作为索赔次数的分布，其原因至少有三：其一， 复合p o i s s o n 分布有上面那些非常吸引人的性质：其二，它可以从理论上推导出 来( 参见【3 】) ；其三，仅有一个参数有待估计。正是这些原因，使得p o i s s o n 分 布在保险精算中有着十分重要的意义。 1 2 2 双参数p o i s s o n 分布 毛泽吞、刘锦萼在文献【5 】中指出，在保险实务中，由于保险公司采用7 回 避风险机制等种种原因，个体保单在单位时间内发生事故的次数要比实际索赔次 数大。记随机变量l 为个体保单在单位时间内发生事故的次数，且有 p ( l = 0 ) t 1 一a ，p ( l ， i ) f a ，记m 为该个体保单在单位时间内实际索赔的次 数，则p ( m o ) 要比p 仁一o ) 来很大，当然p ( m2 1 ) 要比p 仁苫1 ) 来得小。 故设p ( m 一。) = 1 一口+ 胆，则p ( 膨1 ) 一口( 1 一p ) ，p ( 1 一i 1 ，1 ) ，称p 为 偏离参数，由于 p ( m 2 1 ) = 口( 1 一p ) ；三( 1 刊2 p ， i 受r ( m - i ) = a ( 1 一p ) 2 p h r h - a ( 1 一p ) ，则m 的分布可写成 p ( m ；0 ) = l - h ，p ( m = 七) t i i l ( 1 一p ) p 一，七；1 ，2 ， ( 1 1 ) 所以，m 的母函数为 吼) 一驴( 肌咖卜掣 4 第1 章综述 设 f l ( 七一1 ，2 ，- - ，n ) 独立同分布，且它们的概率分前，如( 1 1 ) 式，则最t 薹m t 的母函数为 毗小掣卜 设珂- o o ；h 0 ，n h a ，则有 g 唧( 等) n 2 ， 从而引出了双参数p o i s s o n 分布的定义。具体定义如下： 定义1 3 若随机变量n 的母函数如( 1 2 ) 所示，其中a ，p 为参数，则称服 从双参数p o i s s o n 分布，记作一o e ( x ，p ) 。 毛泽春、刘锦萼在【5 】中证明了双参数p o i s s o n 分布有如下性质： 定理1 2 设随机变量n 服从双参数p o i s s o n 分稚，则 ( 1 ) n 的概率分布为 f p r ( n 一0 ) = p 矗 1pr(=七)一e一1；|；i熟(a(tp)p一j，七；1，2， ( 2 ) 的数学期望及方差分别为 申) = 南胸( 小将 ( 3 ) n 的散度参数为 。砌，( ) 1 + p 参一声= 二一 e ( )1 - p ( 4 ) 的偏度参数为 ，一篙掣一击钎 ( 砌r ( ) ) 打( 1 + p ) 说明：( a ) 当p 一0 时，由( 1 2 ) 可知，d p ( a ，p ) 退化成参数为a 的p o i s s o n 分布。因此d p ( x ，p ) 是尸( a ) 分布的一个推广。 5 第1 章综述 当0 1 ，所以双参数p o i s s o n 分布比p o i s s o n 分布有更大 的散度系数。 ( c ) 当o 0 ，0 p 1 ，则称服从参数为a 和p 的双参数p o i s s o n 分布，记为 d p ( x ，p ) 。 众所周知，当索赔次数服从p o i s s o n 分布的情形下，一年中总索赔额服从复 第2 章双参数复合p o i s s o n 分布 合p o i s s o n 分布。而在本章中，我们假设索赔次数服从双参数p o i s s o n 分布，进 而研究一年中总索赔额的分布。为此，我们提出了双参数复合p o i s s o n 分布，并 对其性质做了一定的研究，进而考虑了双参数复合p o i s s o n 分布的正态近似、平 移g a m m a 近似和e s s c h e r 近似，并分折了这三种方法的各自特点。 2 2 定义、性质及证明 首先，我们基于双参数p o i s s o n 分布，来引入双参数复合p o i s s o n 分布的定 义。 定义2 1 设x ，x ：，是独立同分布的随机变量序列，工。的分布函数为 f ( x ) ，服从双参数泊松分布d p ( 九p ) ，且诸五和也是相互独立的。那么， 称随机变量s 一石。+ x 2 + + x ，服从的分布为参数为a ，p 的双参数复合 i o i s s o n 分布 根据双参数复合p o i s s o n 分布的定义，我们来进一步研究它的矩母函数和数 字特征，并得到了下面的定理2 1 。这个定理为研究双参数复合p o i s s o n 分布提 供了理论基础。 定理2 1 设s 服从参数为a ，p 的双参数复合p o i s s o n 分布，则 ( 1 ) s 的矩母函数为 圳唧( 糊) 旺- ， 其q a m ( t ) 是x 。的矩母函数。 ( 2 ) s 的期望、方差分别为 e s ：_ = l e 配( 2 2 ) 。( s ) 5 南 ( 1 训瓯2 ) 伽( 瓯) 2 】( 2 3 ) 证明： ( 1 ) 由于服从d p ( a ，p ) ，因此易算得的矩母函数为 1 6 第2 章双参数复合p o i s s o n 分布 从而s 的矩母函数为 比m p ) = e x p ( 掣) m ，( f ) = e ( e 西) = e 仁 l ) = e e g 【l o g m ( f ) ) 叫等料) ( 2 ) 由文献【3 】第1 5 页( 6 6 ) 和( 6 9 ) 式得到 e s = e n f _ x 1 = 亡瓯 l 一口 d ( s ) = d ( ) ( 瓯) 2 + e s d ( x 。) = e x l ) 2 + 击。( 五) 。石寻 ( 1 + 州瓯) 2 + ( 1 一p ) ( ( 瓯2 ) 一( 瓯) 2 ) 】 2 南【( - 训瓯2 ) 伽( f x l ) 2 】 下面的定理2 2 则表明双参数复合p o i s s o n 分布具有可加性。 定理2 2 若s ，是相互独立，s 服从参数为 ，p 的双参数复合p o i s s 分布， 服从参数为屯，p 的双参数复合p o i s s o n 分布，且s ，是的加项分布都是f 仁) ， 则墨+ 是服从参数为 + 九，p 的双参数复合p o i s s o n 分布。 证明：由定理2 1 ( 1 ) 得到 酬叫错卜小唧( 谢) 1 7 哦n p h 肛 第2 章双参数复合p o i s s o n 分布 因此 m ：( t ) = m 焉( t ) m ，：( t ) 叫盥掣) 唧( 锵) 这表明s + 是服从参数为 + ，p 的双参数复合p o i s s o n 分布。 从传统意义上说，在风险理论中，某种保单的总索赔额分布是重中之重。对 总索赔额的分布，我们通常要考虑两方面的问题，一是分布的选择，考虑到索赔 次数的分布为双参数p o i s s o n 分布时，总索赔额分布的一个自然选择是双参数复 合p o i s s o n 分布；二是以近似方法为基础的数值计算。但随着近年来科技的飞速 发展，计算机可以直接计算卷积，或者利用精致的方法( 如快速f o u r i e r 变换来 反演特征函数) ，从而使得总索赔额的精确计算成为可能，也使得近似方法不那 么重要了。尽管如此，中心极限定理等近似方法对总索赔额的大致估计还是十分 有用的。所以，在下文中，我们对双参数复合p o i s s o n 分布的正态近似、平移伽 玛近似、e s s c h e r 近似等方法做讨论，至于文献【3 】中列举的其他近似方法，如 b o w e r 的g a l n m a 函数近似，g r a m c h a r l i e r 近似，e d g e w o r t h 近似等，就不再赘 述。 2 3 正态近似 正态分布常常被用来近似总索赔额s 的分布。文献【8 】中曾介绍了用正态分布 来近似个别风险模型以及聚合风险模型下的总索赔额的分布，并证明了对复合 p o i s s o n 分布，在a 很大的情况下，正态分布的近似效果很好。 同样地，对于双参数复合p o i s s o n 分布，我们也首先考虑用正态分布来做近 似，也就是看中心极限定理在哪些条件下成立。 对双参数复合p o i s s o n 分布，正态近似的两个参数由( 2 2 ) 和( 2 3 ) 式给 出。下面的定理2 3 说明，当a m ，p o ，柚一0 时，中心极限定理成立，也 就是说可以用正态分布来拟合双参数复合p o i s s o n 分布。 定理2 3 若s 是参数为a ，p 的双参数复合p o i s s o n 分布，且记置的矩母函数 为肼( f ) ，e ( 五) = p l ，e ( 矸) = p 2e ( 砰) = p ，上t e l x 3 i * 。另外记 第2 章双参数复合p o i s s o n 分布 口= e ( s ) = 南p - ， b = 玩r ( s ) = 则当a 一* ，j 口一o ，印一。时，z - 羔的分布收敛于标准正态分布。 d 证明：只需证明对任意给定的f ，当a - 0 0 ，po , a p 一0 ，有m z ( t ) - - , e “， 就完成了证明。利用 吲f ) - 虮( 沪p ( 引 - e x p e x p 一肚( 吾) 口 一m t 6 a 口a ( 1 一p ) 1 - - t 4-：-一 叫 p 卜叫；) 显然a m ，p 一。时，有6 一，故m ( 吉) t ，从而p m ( 吉) 9 。利用 l - x ) - 1 在z = o 处的瑚。y 展开为( 1 一x ) = 1 + x 一工2 + d ( 工2 ) ，故有 蚴蛔卜掣卜( 护一2 纠】 再利用m ( 吉) 在。处的倒吖展开为m ( 吾) 一- + 譬幼p 2 ：r 2 + 参r 3 + 。( 古) ， 可得 圳p 降掣m ，+ 钞扣扣。( 古) ) ( - + 钞扣扣。2 + d ( 纠】 1 9 第2 章双参数复合p o l s s o n 分布 = e x p 寺詈