（概率论与数理统计专业论文）基于局部平均的香农采样展开式的截断误差估计.pdf

中文摘要 信号是信息的载体，几乎所有的工程技术领域都要涉及信号问题而信号处 理的目的则是对信号进行分析、变换、综合、估值与识别等在数学上，信号可以 用一个或几个独立变量的函数表示，也可以用图形表示从基础上说，信号处理 的深入研究是以数学领域的微积分、复变量分析、矩阵代数、概率统计、随机过 程、数值分析、最优化理论、近世代数、泛函分析等为基本工具 采样定理是连接离散信号与连续信号的桥梁从采样定理的发展历史上来看。 很多科学家对此都做出过有益的尝试并取得了一些有意义的结果其中，香农在 1 9 4 8 年发表的论文引起了电子工程和通信领域的巨大变革因此香农采样定理作 为信息论的基础，对于信息技术的发展产生了巨大而又深远的影响 采样定理要求我们取无限多个采样点的值。但是在实际应用中，由于测量仪 器的性质，只能取到有限个采样点的值，这样就产生了截断误差同时由手测量 仪器的惯性，实际中得到的采样值并不是时间变量t k ( 七= 0 ，l ，2 ，) 点的，( t ) 的 精确值，而是“点附近的局部平均值因此，误差分析，尤其是一些混合误差的 分析，是采样定理一个重要的研究方向 本文主要研究利用局部均值这一工具对香农采样展开式中所涉及到的截断误 差进行估计，并推广了b u t z e r 1 0 】的结论 关键词：截断误差；局部均值；香农采样定理；连续模 a b s t r a c t s i g n a li st h ec a r r i e ro fi n f o r m a t i o n a l m o s ta l la r e a so fe n g i n e e r i n ga n dt e c h n o l o g y i s s u e sc o u l db ei n v o l v e di ni t t h ep u r p o s e so fs i g n a lp r o c e s s i n ga r ea n a l y s i s ，t r a n s - f o r m a t i o n ，i n t e g r a t e d ，v a l u a t i o nr e c o g n i t i o na n ds oo n m a t h e m a t i c a l l y , s i g n a lc a nb e e x p r e s s e da sf u n c t i o nb yo n eo rm o r ei n d e p e n d e n tv a r i a b l e s f r o mt h eb a s i s ，s i g n a lp r o - c e s s i n g sd e e ps t u d yt a k e sc a l c u l u s ，c o m p l e xa n a l y s i s ，m a t r i xa l g e b r a ，p r o b a b i l i t ya n d s t a t i s t i c s ，r a n d o mp r o c e s s ，n u m e r i c a la n a l y s i s ，o p t i m i z a t i o nt h e o r y , m o d e r na l g e b r a ， f u n c t i o n a la n a l y s i sa n d8 0o na st o o l s s a m p l i n gt h e o r e mi sab r i d g eb e t w e e nd i s c r e t es i g n a la n dc o n t i n u o u ss i g n a l f r o m a nh i s t o r i c a lv i e wo ft h ed e v e l o p m e n to fs a m p l i n gt h e o r e m m a n ys c i e n t i s t sh a v em a d e u s e f u la t t e m p t sa n da c h i e v e ds o m em e a n i n g f u lr e s u l t s s oa saf o u n d a t i o no fc o m m u - n i c a t i o nt h e o r e m ，s h a n n o ns a m p l i n gt h e o r e mh a sal a r g e i n f l u e n c e ，e s p e c i a l l yi ns i g n a l p r o c e s s i n ga n dm a t h e m a t i c a lt h e o r y s a m p l i n gt h e o r e mr e q u i r e su st ot a k ea nu n l i m i t e dn u m b e ro fs a m p l i n gp o i n t s v a l u e s b u ti np r a c t i c e ，b e c a u s eo ft h ec h a r a c t e ro fi n s t r u m e n t s ，o n l yaf i n i t en u m b e rn o fs a m p l e sa r et a k e ni n t oa c c o u n ti n s t e a do ft h ei n f i n i t e l ym a n yo ft h es a m p l i n gs e r i e s ， t h e ni ti st r u n c a t i o ne h o r m e a n w h i l e ，d u et oi t sp h y s i c a ll i m i t a t i o n ，s a yt h ei n e r t i a ， am e a s u r i n ga p p a r a t u sm a yn o tb ea b l et oo b t a i ne x a c tv a l u e so f | a te p o c ht kf o r k = 0 ，1 ，2 i n s t e a d ，w h a tam e a s u r i n ga p p a r a t u so f t e ng i v e su si sl o c a la v e r a g e so f ， n e a r 坟f o re a c hk s oe r r o ra n a l y s i s ，e s p e c i a l l ye r r o r so c c u ri nc o m b i n a t i o n ，i sa l s oa n i m p o r t a n tp a r to fs a m p l i n gt h e o r e m t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht r u n c a t i o ne r r o rf o rs h a n n o ns a m p l i n ge x p a n s i o n f r o ml o c a la v e r a g e s w eu s el o c a la v e r a g ea sat o o lt os t u d yt r u n c a t i o ne r r o r a n d i m p r o v ear e s u l to fb u t z e r 1 0 】 k e yw o r d s ：t r u n c a t i o ne r r o r ；l o c a la v e r a g e s ；s h a n n o ns a m p l i n gt h e o r e m ；m o d u l u so f c o n t i n u i t y 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证书而使用 过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确 的说明并表示了谢意 学位论文作者签各趣惫确 签字日期： 学位论文版权使用授权书 日 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定特授 权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索并采 用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校向国家有 关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签各忽勉询 签字日期：切私石月日 j 一 岔肌 易干f 名 扩 刳 嘲 t 日 i y r 刷 辩 第一章前言 第一章前言 信号是信息的载体，几乎所有的工程技术领域都要涉及信号问题信 号处理就是要从大量混合杂乱的信息中提取或增强有用的信息或者说， 信号处理的目的是对信号进行分析、变换、综合、估值与识别等因此，实 质上信号处理就是提取、增强、存储、和传输有用信息的一种运算在数学 上，信号可以用一个或几个独立变量的函数表示，也可以用图形表示信号 还可以用多维空间变量和一个时间变量来表示从基础上说，信号处理的 深入研究是以数学领域的微积分、复变量分析、矩阵代数、概率统计，随机 过程、数值分析、最优化理论、近世代数、泛函分析等为基本工具 随着自动化测试与控制技术的发展，一些现代的信号处理的理论和技 术，如短时傅里计变换、信号的时一频域分析、小波变换和分形理论等得到 越来越广泛的应用这方面的内容极其丰富，发展非常迅速 采样定理是连接离散信号与连续信号的桥梁正因为如此，其在工程 应用，尤其是信号处理方面以及数学理论的研究方面都具有十分重要的意 义 以下从三个方面介绍采样定理的研究阶段 1 e t w h i t t a k e r 的工作 上世纪初，英国的数学家e t w h i t t a k e r 开始研究函数 咖吐= 心邕 1 ， 的性质他在1 9 1 5 年 1 4 成功解决了利用给定数据进行内插的问题同时 构造出一类函数 c = 。曼f ( a 伽) 粼 ( 1 2 ) c ( t ) = + 鼬) 等警措 ( 1 2 ) 七= 一 其中，所给数据为( a + k w ，f ( a + 鼬) ) ，k z ，山为复数w h i t t a k e r 寻找了对于 给定表值f ( z ) 可能的最平滑的插值，它不包含奇点，不包括快速震荡由 于具有这个性质的插值函数是唯一确定的，称此类函数为基数函数( c a r d i n a l f u n c t i o n ) 其实w h i t t a k e r 插值公式可以看作是当表值，( 2 ) 个数趋于无穷时拉格朗 第一章前言 日插值公式的极限情况从这个角度说，拉格朗日插值公式可以看作对于 有限带宽的周期函数的采样定理，因为它决定了一个正弦函数的线性组合， 并且符合在n 个等距节点上的逼近函数 但是，w h i t t a k e r 忽视了对所有的点“，明显有c ( t k ) = i ( t k ) ，而且不难验 证 器t k 咄u ( 1 3 ) 三( t v 一 ) “一 ”7 其中，t k = a + k w ，由此很容易发现c ( t ) = ，( ) 最终。w h i t t a k e r 和这一重要发 现失之交臂c ( t ) = f ( t ) 的严格证明在1 9 2 0 年才由o g u r ak 【1 5 1 给出 2 采样定理的k o t e l n i k o v 公式 普遍认为最早应用于通信工程的采样定理的公式是由v l a d i m i ra l e k s a n - d r o v i c hk o t e l n i k o v 给出的。在他的定义及公式中，采样定理陈述如下： 定理1 1任意频率为0 一i 1 的函数f ( t ) 可以由以下序列重构 邢) ：壹_ s i n w l ( t - 一k _ _ k _ ) d k k ( 1 4 ) f ( t ) = 孑 ( 1 4 ) 其中凳为整数，1 = 2 1 r f l ，d k 为由f ( t ) 决定的常数相反的，任何由( 1 4 ) 表 示的函数f ( t ) ，其频率为0 一f 1 在k o t e l n i k o v 的文章中，共介绍了七个定理，讨论了低通和带通信号， 本文不再一一表述 3 采样定理的s h a n n o n 公式 1 9 4 8 年，在s h a n n o n 的经典论文 3 】，【4 】中，s h a n n o n 建立了信息论的基 础，他提出的采样定理引起电子工程和通信领域的巨大变革香农采样定 理指出，对于任何函数，若满足f ( t ) l 2 ( r ) ，其傅里叶变换： ， f ( u ) = f ( t ) e - 2 霄讪班 具有有限带宽，且频率由丌q 所控制的函数工都可以由采样点七2 q 上的函 数值重构，即： 巾) = ，( 轰) s i n c ( 2 s 2 t - 垆：( ，) ( 线 ( 1 5 ) 2 第一章前言 其中，s i n e ( t ) = s i n 疵( 仉) ，t 0 ，s i n c ( o ) = 1 应该说，现代数字信号处理几乎都是基于对获得的原始信号，( t ) 的一 组离散采样值。但是在实际处理中，比如由于测量仪器的惯性，实际中得到 的采样值并不是时间变量t k ( k z ) 点的f ( t ) 的精确值，而是t k 点附近的局 部平均值这种局部平均一般取为： ， k ( ，) ：= ( f ，u k ) = f ( t ) u k ( t ) d t ( 1 6 ) ， 其中所选择的均值函数u 屉( t ) ，k z ，满足： it一昙，+乳u知0suppuk c i r k t k 0 ，u k ( t ) d t ：1 ( 1 7 ) 一石，+ ij ，u 知， = () 事实上，在工程领域，d i r a c 一6 函数为上式特例，即u 奄= 6 ( 一t k ) ，因为 x k ( f ) = ( ，乱七) = f ( t k ) 是在如点的精确值 1 9 9 2 年，g r s c h e n i gk 8 】首先将这种局部平均用于研究采样定理，随后 1 9 9 8 年和2 0 0 0 年b u t z e rp l 和l e ij 【9 】，【儿】将局部平均定义为一个连续线 性泛函序列沁，k z 对在【一q ，删上频谱有限的连续信号，( t ) 作用的结果 k ，( - t - 打q ) ，( 栅q ) ，然后利用连续模对普通信号逼近和误差估计进行了 深入的研究工作2 0 0 6 年，宋占杰教授研究了连续信号局部平均采样逼近 问题 1 2 】，把l e i 结果【1 l 】中的上界估计减小到原来的1 1 6 ，并将对称区间推 广为非对称区间 另一方面，( 1 5 ) 式要求我们知道信号，在无穷多个点的精确值，并且 和为一个有限值事实上，我们只能得到信号的有限个采样值因此我们研 究了截断误差，它由下式定义： t n f ( t ) ：= 邢) 一，( 翥) 妞c ( 2 a t 一七) ( 1 8 ) 奄= 一n 关于截断误差，l i 1 3 】在1 9 9 8 年给出了一些结论本文的主要工作是利 用局部均值来推断截断误差。并推广了b u t z e r 1 0 】的结果 全文下面的几章安排如下：第二章主要介绍一些基础知识和一些基本 定理第三章利用了局部均值这一工具重点对截断误差进行估计，进一步 研究了b u t z e r 【l o 的结果第四章总括全文的工作 3 第二章基础知识 第二章基础知识 本章主要介绍研究背景和需要解决的若干问题，明确研究的意义同 时预先介绍研究中需要用到的部分基础知识 2 1 基本定义 在本节中，我们首先介绍一下本文中涉及到的一些基本定义 定义2 1有限带宽：信号，：r c 称为是有限带宽的，若，三2 ( r ) ， 即它具有有限能量，且其傅里叶变换f ( 口) = 巴f ( t ) e - 2 霄伽2 t i t 在有限区间 一仃q ，丌q 】之外的值全为0 ，也即：当川 ，r q 时，f ( v ) = 0 定义2 2若函数t 七满足： ( 1 ) s u p p u kc 啤q 一吒，岛q + 】，其中a 4s ，a 2 ，口为正常数； ( 2 ) u k ( t ) 0 ，f u k ( q d t = 1 ； ( 3 ) a = 眦i n f ( 一口知 ，其中a 知：= j k 七7 i n 2 - + a 盯7 4 4 让女( 牡 则称u 七为权函数 定义2 3 l p ( x ) 是由r 上所有满足l i f l l p + o o 的可测函数所构成，其中 ，+ m i p ：= ( l f ( u ) l p d u ) 1 p ，1 p o 。 j - - o o i i ，l l ：= e s s s u pl f ( u ) l ，p = 。o 更进一步的，c ( r ) 是由r 上所有一致连续有界函数构成的空间，其范数 定义为i i f l l c ( r ) ：= s u pl f ( u ) l ，并且c ( 7 ) ( r ) ：= ，c 假) ；，( ) c ( r ) ) 对于r n t t k 成立 定义2 4傅里叶变换：函数，l 1 ( r ) 的傅里叶变换，也被称作信号f ( t ) 的谱，定义如下： f ( v ) 圭 ，( u ) e 1 讹砒0 r ) j 一 对于f l p ( r ) ，1 0 和1 p ，有 i i f i i l p ( r ) s 础u p h 七三i f ( 一触孵加 ( 1 籼咄( ，璐 这就意味着不等式中间的表达形式定义了璐上的范数，它等价于汐 空间上普通的范数 定义2 6函数g 满足次数为口的l i p s c h i t z 条件，其中0 0 ) ( 2 1 ) l i s d 在【一霄q ，7 r q 】上一致连续； 5 第二章基础知识 g a c 一 r q ，7 r q 】，若 g ( ) = 夕( t ) 砒，( t - t r f 2 ，7 r 纠)( 2 2 ) 对于一些g l ( 一7 r q ，丌q 】) 成立 更迸一步的，g 在【一祀，丌踊是有界变差的，g b v 一7 r q ，7 r q 】，若 v a t g 】三而1 仁i 卸印去轰愀? m ) _ g ( 毗) i ( 2 3 ) 是有限的，上确界在所有可能的取值里一丌q = a o 口1 a n = 7 r q 可能被 取到 2 2 基本定理 定理2 1 ( h s l d e r 不等式的积分形式，匡继昌 2 2 】) 设p ，q 为共轭指数， 即1 p + 1 q = 1 令 i l f l l p = ( f ( x ) i p d x ) 1 p ，0 p o o ( 2 4 ) l l f l l 。= e s s 。s u pif(z)l=infep ( a i = u 一罂a ) l ( 2 5 ) o e a 若f i y ( e ) ，g l 口( e ) ，贝0 当l ps0 0 时，f g 工1 ( e ) ，且 即 f g l l lsi i f ll p i i g l l g( 2 6 ) 上l ，( z ) 9 ( 删如5 ( 上刮p 如) 1 p ( 上m 删4 如) 1 q , 1 p o 。 ( 2 7 ) _ l f ( x ) g ( x ) d x ( | ，( z ) i 如) ( e 8 ss u p1 9 ( z ) i ) ，p = l ( 2 8 ) j ej ez e 6 第二章基础知识 若0 p 1 ，则上述不等号反向，仅当存在实数卢和不全为零的实数 c l ，c 2 ，使得 c i f ( x ) i p = c 2 l 夕( z ) 1 9 ，o r 夕( ，( z ) 9 ( z ) ) = p( 2 9 ) 在e 上几乎处处成立时等号成立 特别当p = q = 2 时， ei f ( x ) g ) l a x _ ( ei i ( 刮2 删1 2 ( 上1 2 d x ) 1 2 ( 2 1 0 ) 称为c a u c h y 不等式 定理2 2函数，属于璐当且仅当它的傅里叶变换f 在【一q ，翻外几乎 处处不存在 以下是几个有关f o u r i e r 变换的定理： 定理2 3( 河田龙夫【2 5 】引理1 1 1 1 ) 设f ( x ) l 1 ( 一，o o ) n ( 一，) ，且，( z ) 0 ，则 f l 1 ( 一o o ，0 0 ) 定理2 4( 河田龙夫【2 5 】引理1 1 1 2 ) 设f ( x ) l 1 ( 一o o ，) n l 。( 一o o ，o 。) ，则 l i 1 1 2 = l i f l l 2 ( 2 1 1 ) 定理2 5 ( 河田龙夫【2 5 】定理1 1 1 1 ) 设f ( x ) l 2 ( 一o 。，。) ，则存在，0 ) l 2 ( 一o o ，o 。) ，使 l l 去z 6 e 一谢， ) d z 一，( t ) i t 2 _ 。，( 口_ 一o o ，6 一o o ) ( 2 1 2 ) 而且 i i f l l 2 = i i f l l 2( 2 1 3 ) 又对任一夕( z ) l 2 ( 一0 0 ，。) ，有 ( ，9 ) = ( ，9 ) ( 2 1 4 ) ，一，的变换是从l 2 ( 一，c o ) 到工2 ( 一，。) 的酉变换 我们称( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 为关于f o u r i e r 变换的p a r s e v a l 等式或p a r s e v a l 关系式 7 第二章基础知识 定理2 6 ( 河田龙夫【2 5 】定理1 1 2 2 ) 设f ( x ) l 2 ( 一o o ，。) ，且在t = z o 的 一个邻域上是有界变差的，则有 主 f ( x o + 0 ) 一m 。叫】- l i r a 1 7 一 ( 咖谢班 ( 2 1 5 ) 定理2 7 ( 河田龙夫【2 5 】定理1 1 2 3 ) 设f ( x ) l 2 ( 一o o ，。o ) ，且 i ， + u ) + ，( z 一钍) 一2 f ( x ) l d u = o ( ) ，t 一0 ( 2 1 6 ) 则 m ) = 去恕( 1 一跏t ) e 锄班 ( 2 1 7 ) 定理2 8 ( 河田龙夫【2 5 】定理1 1 3 1 ) 设，( z ) ，g ( x ) l 2 ( 一，o 。) ，则f ( w ) g ( x ) 的f o u r i e r 变换为砺1 ( ，木鸯) ( t ) 定理2 9 ( 河田龙夫【2 5 】定理1 1 3 3 ) 设，( z ) ，g ( x ) l 1 ( 一o o ，。) ，且f ( x ) o ( 一0 0 z l 以及f 妫满足i ，( t ) i 屿一，t 1 则我们有 盯( ) 一k = 量- 嘉n a k ( 例s i n c ( q 删l c 酬加2 ) l n 高 其中k = ( 6 6 + 3 1 m i ) 7 - 1 , 0 o k 盯2 1 2 ，u ( ，仃2 ) m i n e - i , q 一1 定理2 1 1 ( s o n g 【1 2 】)令q 2 ，仃 0 则有 i t n ( 圳 0 上是有 限带宽的，对所有的t r ，由在结点k r l f t ，k z 处的采样值( k s a ) ，可以 完全重构，即 巾) - 。量晦) 警亭= s i n ( n t ) 。妻晦) 拦 ( 3 6 ) 若我们选择n = 0 ，伽= ，r q ，则上式即为c ( t ) = ，( t ) 在这里有限带宽指的是 信号，的带宽不大于q 用数学语言来讲，若，在r 上连续且平方可积，则 它的f o u r i e r 变换在 一q ，q 外消失 采样定理是由s h a n n o n 在1 9 4 8 年介绍到通信工程领域上的他指出，在 区间【一l 卅上包含所有有限带宽函数值的信息集合与在2 w t 个离散点处 取得函数值的信息集合相等( 假设t 足够大) 下面我们把采样定理与l a g r a n g i a n 插值公式做一下比较 一个次数为2 n 的多项式l 2 n ，( ) ，它与一个给定信号，( t ) 在2 n + 1 个节 点t k = h q ，k = 0 ，士1 ，士n 上的取值相等该多项式由下式给出： 刎归塞羔- n疗= 其中，g 。( t ) 是在节点上的典范式乘积，即： g n ( ) ：= ti i ( 1 一( ) 2 ) 弘= l p 刮亟( 卜( 黝 = 帅( 争镨 第三章基于局部平均的香农采样展开式的截断误差估计 考虑一下采样定理，它可以看作是当节点为无限多个时l a g r a n g e 插值 序列事实上，( 3 6 ) 式可以由l a g r a n g e 公式中节点数趋于无穷取极限时得 到，即l i m 。一。l 2 。_ 厂( t ) 事实上，取g ( ) ：= 呼，t k ：= k r f h 则c ( t k ) = 0 ，g ，( t ) = c o s f 2 t ，g 他七) = ( 一1 ) 。，k z ，则( 3 6 ) 式可以重新写为： 注意到 弛) ：萎f ( t t ) 焉 弛) = t ) 正 k = - - 0 0 l 一u s 刁 1 ( a ) 一 一q o 0 - 尸0 q ) 粤 ； l t 一q ，一q ，0 q ，q ， q 2 2 1 l 声( j ；q ) 譬一。三。一 u 一q，0q ， 2q ， q 图3 1 ：原始信号和采样信号的频谱 1 2 第三章基于局部平均的香农采样展开式的截断误差估计 c ( t )( 一1 ) 七8 i i l f t ts m f l ( t 一“) 一=-=- ( t t k ) g 7 ( “)q ( 一t k )q ( t t 岛) 进一步的，用无穷项表示s i n f i t ，有 篙= i ( - 1 ) k t k - i 。”( p f i 丌t2 ) = 恕编 另一方面，从工程的角度来看，采样信号的频谱包括原始信号频谱和 无限个经过平移的原始信号频谱，这些频谱都要乘上系数1 t ，如图3 1 ( a ) 和( b ) 所示 如果原始信号是最高频率为的带限信号，从图3 1 可以看出，当 吼 f c 的高频成分，这种防止混叠的模拟滤波器称为预滤波器， 又称为抗混叠滤波器使频谱不发生混叠的最小采样频率五= 2 y c ，称为 n y q u i s t 率对于任意的采样频率厶，五2 称为n y q u i s t 频率或折叠频率，它 定义了n y q u m t 区间的端点： 【_ ，5 2 ，f j 2 】= n y q u i s t 区间 只有当信号最高频率位于该频率区间内，才不会产生频率混叠的现象， 否则位于该区间外的频谱会折叠回来形成混叠，因此频率混叠均产生在折 叠频率附近 需要说明的是厶必须足够高，换句话说，经过预滤后，在n y q u i s t 间隔 内剩下的信号频谱应包含应用所需的所有有意义的频率分量 1 3 第三章基于局部平均的香农采样展开式的截断误差估计 3 2s h a n n o n 采样定理的截断误差分析 在由采样值重构信号时，有四种误差会影响其精确性这四种误差分 别是： 1 混淆误差：若，不是严格的有限带宽函数或者说它的带宽大于 一q ，q 】， 则产生混淆误差； 2 截断误差：若考虑采样定理中的项数为有限项而不是无限项时， 会产生截断误差更为一般的情况我们称为信息缺失误差，它是由采样信 息的缺失造成的； 3 振幅误差：若精确的采样值不能取到而只能取其逼近值，并且误差 不大于e ，则会产生振幅误差； 4 时间颤动误差：若n y q u i s t 采样点t k = k r l f l 不能精确取到，而只能取 到坟+ 艮，i 以i 6 ，则会产生时间颤动误差 当然，很多时候这些误差会结合出现其中截断误差在实际应用中非 常普遍，对它的研究也非常多截断误差由以下公式定义： 酬硼卜七三n 晦净n c f - k ) ：z c 和c c 警叫 7 ， 除了使其满足有限带宽的条件以外，它还可以由在，上增加采样点来得到 控制对于( 3 7 ) 式更为一般的估计由d j a g e r m a n 1 6 】给出： 定理3 2若，璐满足控制条件t r f ( t ) l 2 ( r ) ，则对于_ 。来说， 有 i ( 2 k ，) ( ) l = o ( n ”一1 2 ) 如果放弃h i l b e r t 空间的方法，那么p l b u t z e r 等人【1 0 】指出： 定理3 3 若，璐且f l i p ( a ；c ( r ) ) ，0 0 ，有i ，( ) i = o ( i t l 一1 ) ，当一。o 时，有 0 ( t n ，) ( 刚c = d ( 叫- 1l o g n ) 以上介绍的结论都是在较为理想的条件下，比如假定在采样的过程中 某采样点的值可以精确测量到但是在实际处理中，比如由于测量仪器的 惯性，实际中得到的采样值并不是时间变量t k ( k = 0 ，1 ，2 ，) 点的f ( t ) 的精确 值，而是t k 点附近的局部平均值这种f ( t k ) 局部平均一般取为公式( 1 6 ) 在研究局部均值的过程中，b u t z e r 和l e i 9 】，【1 1 】首先将s h a n n o n 采样级 数记为 巾) = ，( 轰) 咖c ( m r 一七) = ：( ，) ( t ) ( 3 8 ) 七= 一 然后b u t z e r 和l e i 9 】，【1 1 】假设函数，c o ( r ) ，其中岛( r ) 表示在一般 b a n a c h 空间上的所有定义在r 上的满足l i r a i t i 。o f ( t ) = 0 的连续函数采样 值f ( k 丌l n ) 由k ，( + 凫7 r q ) f ( k 丌a ) 取代，其中扎是c 0 ( r ) _ c 的连续线性 范函序列显然有k ，( + 栅q ) f ( k j ，r f 1 ) 新定义的采样值其采样误差由下 式给出 q ( 厂 a ) = s u pi a 七，( + k ，r f 1 ) 一f ( k 7 r f 1 ) l( 3 9 ) z 其中q 0 新定义的采样值s h a n n o n 采样级数和记为 ，a = 5 ：a 七，( + k l r 1 2 ) s i n c ( f l t 一是)( 3 1 0 ) k 一- - - - - 0 0 我们希望，a 能够用来逼近粕，逼近误差e ( f ，a ) = l i 。a s n f l l c 如果连续线性泛函序列a = 儿的所有支集的并是紧的，即；s u p p ( a ) = u 七s u p p a k 是紧集，则称序列入= k 有有限支集函数，岛( r ) 是按多项式 比率衰减的，即存在固定常数m s 0 和7 ( 0 ，1 】使得 l ，( t ) i m ，一，i t i21 ( 3 1 1 ) 成立在上述条件下，b u t z e r 和l e i 1 1 】得到了下述结果 定理3 5 若入；扎是一个连续线性泛函序列，q ( r ) 并满足( 3 1 1 ) 式，入具有充分小的支集，则有 1 5 第三章基于局部平均的香农采样展开式的截断误差估计 e ( ，a ) k l 甜( ，入) b 研森， ( 3 1 2 ) 其中k 1 = 8 7 1 3 e + m r ( 1 + 2 一y i l 入i | ) e 1 4 ，滞( ，a ) m i n e 一1 2 , 7 r q ) ，7 r q 1 对连续函数，定义其连续模 u ( ，盯) = s u pi i f ( + h ) 一，( ) l i e ( 3 1 3 ) 川s 口 其中盯是任意正常数 3 3 基于局部平均的香农采样展开式的截断误差估计 现在我们假设泛函k 由( 1 6 ) 式给出，且锹满足下列性质： ( 1 ) s u p p u kc 【k n 一吐，k n + 】，其中口4s 以，伊2 ，口为正常数； ( 2 ) u k ( t ) 芝0 ，su k ( v ) d v = 1 ； ( 3 ) 口= 魅 毗) ，其中口七：= j f 七k k n a 一+ 矿。, 4 4u 七( t ，) 幽 对于一个连续函数，我们用山( 六6 ) 定义连续模 我们的主要结果为以下定理： 定理3 6 令f c ( r ) n l ( r ) 在【一7 r q ，7 r 删上是有限带宽的若r 阶微分 f ( r ) 在士7 r q ( r n 圭 1 ，2 ，】i ) 连续，f ( 一1 a c 一7 r q ，7 r q 】，f ( r b y 一7 r q ，7 r q ， 则对于n n l t l ，有 沪詹r 篇妣c v ) f ( v ) d v ，如c ( n t - k ) 酗毋扣山陋 其中仃足够小，使得= 【( p ( ，芝) 】_ 1 ( 1 + r s n 7 ) j 8 ，其中l t j 代表不大于t 的 最大整数，以及 k = 4 0 6 9 c 1 ( f ( r j ) + 1 5 e ( 2 一口)( 3 1 5 ) 其中 c i ( f ( 7 ) 圭 v a r f ( 1 鸳n 在证明定理之前，先介绍六个引理 第三章基于局部平均的香农采样展开式的截断误差估计 - - k 旦= - n 舯k a - a l k u k ( v ) s ( v ) d v 】s 毗( a t - k ) i n知= 一 + 2 u n - 矿i p ) 1 胁苎。| s i n c ( q ) 1 。i k l n k l n + u k ( v ) f ( v ) d v 且 l 毒k f k l n - t k 州咖捌妣c q 川 型i 磊等叫w 蜊p ，i 磊懈m 妒。 g l 暑i 蔗a - 4 以u k ( v ) f ( v ) d v l p ) l p ( 喜泖m 邢) l q 结合( 3 1 7 ) 、( 3 1 8 ) ，( 3 1 9 ) 式，有 i ，( t ) 一七三帆c ，k n l a 一- 吐 让七( 口) ，( 钉) 如1 8 m c ( 呲一七) i 外。驴n c 洲篙u k ( v ) f ( v ) d v ) l p ) l p + ( z 引鸱妒) 1 p 2 。， 删l 岳i l n - , 。, zu k ( v ) f ( v ) d v l p ) 1 p 七妻陋c mw g 1 8 第三章基于局部平均的香农采样展开式的截断误差估计 证毕 引理3 2 ( s p l e t t s s s s e r 【2 0 】) 对于q 1 ，1 肋+ l 口= 1 ，n 0 我们有 。妻i s i n c ( a t - k ) l q 1 + ( 舟 n 。 证明： ( i ，( 争) 珈 a ( f 7 ) ( 2 ( 轰) ( 1 打加) 1 p k = n + l 。 _ 2 1 p 卵) ( f ( - ( r + 1 ) p 酬p 。2 勘 2 1 p 仍( f ( r ) ) n 7 + 1 ( 器) 1 p 2 1 p c l ( f ( r ) ) q + 1 n 一( 1 + ，) 引理3 5令n 4 为正整数，则n 之4 0 f t ，故有 c 七如争z 竺州钌，f ( v ) d v p ，1 p n - i - 1 ，n 4 盯q ，t 一口4 ，盯4 】，贝4 有 i t + 五ki 一三+ i 去l 一蛊+ i 鲁i 面1 5 1 k l ( 3 2 9 ) 若i k i + l ，n 4 盯q ，t 【一盯2 ，一盯4 】u a 1 4 ，盯2 】，贝4 有 i t + 鲁i 一三+ f 鑫i 一丽i k l + j 去i 丽7 1 k l ( 3 3 0 ) 故由( 3 2 9 ) ，( 3 3 0 ) ，有 第三章基于局部平均的香农采样展开式的截断误差估计 c i 磊懂篙州w 蜊p 州r ) ) c i 赢懂筹喾n 1 p a ( f ( r ) ) ( a ( i 1 5 6 ) + 1 + ( 1 一q ) ( 拿) 7 + 1 ) ( i 屉e i i 袅- i 一( 1 + r ) p ) 1 p ( 3 3 1 ) a ( f ( r ) ) ( a ( 而1 6 ) 件1 + ( 1 叫( 妒1 ) ( 2 o o ( 孬t ) _ ( 1 + r ) p 埘p 2 1 p a ( f ( r ) ) ( 口( 篙) + l + ( 1 一a ) ( 拿) ”+ 1 ) f 2 l 押( 器) 1 p 以下证明定理3 6 由引理3 1 ，可得 ( ，妻i s i n c ( r t k ) l + ( 寺) l 。 2 ，2 1 p 1 4 1 5 ，且有 p 1 qs ( b a n ) 1 1 h i n n 假设我们取盯足够小，使得 n l l p ：e 叫( p ( ，署) 】- 1 1 川8 f u 7 ) j 8 其中例代表不大于t 的最大整数，则有 “，( ，i a ) ( 了8 1 1 ) 1 + r 结合引理3 1 3 6 ，我们可以得到 2 1 ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) 第三章基于局部平均的香农采样展开式的截断误差估计 l m ) _ 七三e k a 一- 吐, , z 让七( 可) m ) d 叫s i n c ( f 2 t - - k ) i 【1 5 n 1 p ( 2 一q ) u ( ，矿4 ) + 2 1 p c i ( f ( r ) q + 1 n 一( 1 + r ) + 2 2 1 p c i ( f ( r ) ) ( 等) 1 + r 川川 = 【2 ；c 1 ( f r ) q + 1 一1 + r ( 1 + 2 。( 等) 7 + 1 ) + 1 5 吾(