（概率论与数理统计专业论文）几类相依随机变量的强极限定理.pdf

文中部分缩写及符号说明 随机变量 几乎必然 互相独立且同分布 随机变量序列 ) 几乎必然收敛于随机变量x 随机变量序列 】- 依概率收敛于随机变量x 随机变量序列 ) 依分布收敛于随机变量x 测度序列 踟) 弱收敛于测度肛 u 与v 等价，即u 与v 有相同的有限维分布 集合a 的示性函数 集合a 中元素的个数 实数集 整数集 非负整数集 正整数集 l i m s u p a n b n 0 t = 1 在第二节中我们主要讨论了一类比正相伴更广的被称之为d e m i - 鞅的随机变量的 儿 h 毛j e k - r 4 n y i - c h o w 不等式，同时也获得了正相伴随机场上的h a j e k r 宅n y i 不等式第 三、四、五节主要讨论了几类相依随机变量的b e r r y - e s s e e n 不等式 b e r r y - e s s e e l 3 不等式用来表示随机变量序列 矗，仡1 ) 前礼项的正则化和的分布函数r ( z ) 与 标准正态分布函数圣( z ) 之差趋予零的速度，由b e r r y ( 1 9 4 1 ) 和e s s e e n ( 1 9 4 5 ) 最早开 始讨论：设 0 ， e i x l l 3 0 ， v a r ( x 1 ) = 仃2 0 z ) = 0 i = 1 e 】) t h ea b o v ei n e q u a l i t yi sc a l l e dh g j e k - r 6 n y i - c h o wi n e q u l i t y ，i nt h es e c o n ds e c t i o no ft h i s c h a p t e r ，w eo b t a i nt h eh 舂j e k r 6 n y i - c h o wi n e q u l i t yf o rd e m i m a r t i n g a l e sa n dah 五j e k r 6 n y it y p ei n e q u a l i t yf o rp o s i t i v e l ya s s o c i a t e df i e l d s i nt h et h i r d ，f o u r t ha n df i f t hs e c t i o n ， w ed i s c u s st h eb e r r y - e s s e e ni n e q u a l i t yf o rs o m ed e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s t h eb e r r y - e s s e e ni n e q u a l i t y ( b e r r y ( 1 9 4 1 ) a n de s s e e n ( 1 9 4 5 ) ) s t a t e st h a ti f ，n 1 ) i sas e q u e n c e o fm e a nz e r oi n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ( i i d ) r a n d o mv a r i a b l e sw i t hf i n i t e t h i r dm o m e n t sa n de x ? = 盯2 0 ，t h e nt h e r ee x i s t sa na b s o l u t ec o n s t a n tcs u c ht h a t su。lp(杀圹吣)ieix113up c e l x l l 。 s 。p ( 考z ) 一垂( z ) i 一 w h e r e 品= e 銎1 五i nt h et h i r ds e c t i o n ，w eo b t a i nab e r r y e s s e e ni n e q u a l i t yf o ra s y m p t o t i c a l l yn e g a t i v e l ya s s o c i a t e ds e q u e n c e s ，i nt h ef o u r t hs e c t i o n ，w eo b t a i nb e r r y e s s e e n i n e q u a l i t i e sf o rl i n e a rn e g a t i v eq u a d r a n td e p e n d e n ts e q u e n c e sv i as t e i n sm e t h o d ，i nt h e f i f t hs e c t i o n ，w eo b t a i nb e r r y - e s s e e ni n e q u a l i t i e sf o rn e g a t i v e l ya s s o c i a t e dr a n d o mf i e l d s p h i l i p p ( 1 9 6 9 ) p o i n t e dt h a t “t h el a wo ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h m ( l i l ) h o l d sf o ra n y s e q u e n c ef o rw h i c ht h eb o r e l - c a n t e u ii e m m a ，t h ec e n t r a ll i m i tt h e o r e mw i t har e a s o n a b l y g o o dr e m a i n d e ra n dac e r t a i nm a x i m a li n e q u a l i t ya r ev a h d ”y u ( 1 9 8 6 ) a n ds h a oa n ds u ( 1 9 9 9 ) h a df o l l o w e dt h i sp l a ni np r o v i n gt h el i lf o rp o s i t i v e l ya s s o c i a t e da n dn e g a t i v e l y a s s o c i a t e ds e q u e n c e s ，r e s p e c t i v e l y l e v y sm a x i m u m i n e q u a l i t yo re x p o n e n t i a li n e q u a l i t y o ft h em a x i m u mp a r t i a ls u m si sak e yt oe s t a b l i s ht h el i l w h e t h e rt h el i ls t i l lh o l d s f o rs o m ed e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sw h i c hh a v en o tl e v y sm a x i m u m i n e q u a l i t vo re x - p o n e n t i a li n e q u a l i t yo ft h em a x i m u mp a r t i a ls u m sb e c a u s eo ft h e i rs p e c i a ld e p e n d e n c e s t r u c t u r e ? i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ed i s c u s st h i sq u e s t i o n r e p l a c ee x p o n e n t i a li n e q u a l - i t yo ft h em a x i m u mp a r t i a ls u m sw i t hm o m e n ti n e q u a l i t yo ft h em a x i m u mp a r t i a ls u m s w es u c c e e do b t a i n n i n gt h el i lf o rs o m ed e p e n d e n t ( a s y m p t o t i c a l l yn e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ， l i n e a rn e g a t i v e ( p o s i t i v e ) q u a d r a n td e p e n d e n t ) r a n d o mv a r i a b l e s i v i i t h et h i r dc h a p t e ri sa b o u tt h ea l m o s ts u r el i m i tt h e o r e m s t a r t i n gw i t hb r o s 锄l e r ( 1 9 8 8 ) a n ds c h a t t e ( 1 9 8 8 ) ，i nt h ep a s td e c a d es e v e r a la u t h o r si n v e s t i g a t e dt h ea i m o s ts u r e l i m i tt h e o r e mf o rp a r t i a ls u m so fi n d e p e n d e n tr a n d o m v a r i a b l e s t h es i m p l e s tf b r mo ft h e a l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m ( s e eb r o s a m l e r ( 1 9 8 8 ) ，s c h a t t e ( 1 9 8 8 ) a n dl 沁e ya n d p h i l i p p ( 1 9 9 0 ) ) s t a t e st h a ti fx 1 ，x 2 a r ei i d r a n d o mv a r i a b l e sw i t hm e a 肌0 ，v a r i a n c e 1a n dp a r t i a ls u m s 品= 墨】五，t h e n v z 舰南耋丢碟鲥叫咖s 、 i th a sa l s ob e e ne x t e n d e dt os o m ew e a k l yd e p e n d e n tr a n d o m - v a r i a b l e sf s e e p e l i g r a da n d s h a o ( 1 9 9 5 ) ，k h u r e l b a a t a r ( 2 0 0 1 ) ，d o n ga n dy a n g ( 2 0 0 4 ) ) i n1 9 9 8 ，a r n o l da n dv i l l a s e f i o rf i r s to b t a i n e da na s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no fd r o d u c t s o fp a r t i a ls u m sf o ri i a e x p o n e n t i a lr a n d o mv a r i a b l e sw i t hm e a n1 l a t e ro n , r e m d 出a a n dw e s o t o w s k i ( 2 0 0 2 ) s h o w e dt h a ti f ，礼1 ) i sas e q u e n c eo fi i d p o s i t i v es q u a r e i n t e g r a b l er a n d o mv a r i a b l e sw i t he x l = 肛 0 ，m a r ( x 1 ) = 盯2a n dt h ec o e f f i c i e n to f v a r i a t i o n1 = o | 恤、t h e n f = l l _ _ 型n s 11 1 价伺三e 脚 r e c e n t l y ，k h a r e l b a a t a ra n dr e m p a 土a ( 2 0 0 6 ) v z u n d e rt h ea b o v ea s s u m p t i o ns h o w e dt h a t ) 1 m 瓜) z ) ：f ( 。) 们， f ( z ) i st h ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o no ft h er a n d o mv a r i a b l ee 脚 i nt h es e c o n ds e c t i o n o ft h l sc h a p t e r ，w eg e n e r a l i z ek h a r e l b a a t a ra n dr e m p a l a sr e s u l ta n do b t a i nt h e a i m o s t 8 u r el i m i tt h e o r e mo fp r o d u c t so fp a r t i a ls u m sf o rn e g a t i v e l y ( p o s i t i v e l y ) a s s o c i a t e da n d m l x n n gs e q u e n c e s ，i nt h et h i r ds e c t i o n ，w eo b t a i nt h ea l m o s ts u r ec e n t r a ll i m i tt h e o r e m f b r n e g a t i v e l y ( p o s i t i v e l y ) a s s o c i a t e dr a n d o mf i e l d s i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ed i s c u s st h ep r e c i s e a s y m p t o t i c si nt h el i lf o rt h es e l f - n o r m a l i z e ds u m s l e t ，n 1 b eas e q u e n c eo fm e a nz e r oi i d n o n d e g e n e r a t e 。a n d o r av a r i a b l e s p u t 盯2 = e x ? ，晶= e l - 1 五a n d 曙= 饕l 砰，n 1 t h e c l a s s i c a ll i m i tt h e o r e m sd i s c u s sl i m i tt h e o r e m so f & 而n o ww er e p l a c e 石矛w i t h ，晶i sc a l l e ds e l f - n o r m a l i z e ds u m s l i m i tt h e o r e m sf o rt h es e * n o r m a l i z e ds u i l l s p u tat o t a l l yn e wc o u n t e n a n c eo nt h ec l a s s i c a ll i m i tt h e o r e m s s e m n o r m a l i z a t i o i ni sm o r e n a t u r ef r o mt h es t a t i s t i c a lp o i n to fv i e wb e c a u s et h ep a r a m e t e r si n v o l v e di nm a n yc l a s s i c a l 警 孔 n 随 去 熙 v i i i l i m i tt h e o r e m sa r eu s u a u yu n k n o w n m o r e o v e r ，t h es e l f - n o r m a l i z e ds u m sa n ds t u d e n t i z e d t - s t a t i s t i ch a v eac l o s er e l a t i o n s h i p d e f i n eas t u d e n t i z e dt - s t a t i s t i c = v 佤2 n s 。 w h e r e 矗= & na n ds i = 翟1 ( 五一不) 2 ( n 1 ) w ec a nw r i t e 一 & n2f y n 佗一1 凡一 f o ra n yz 0 w eg e tf r o ma b o v ee q u a t i o n ( 品) 2 ) 1 2 z ) = 品x ( n ( n + z 2 1 ) ) 1 2 ) i nt h ep a s td e c a d e ，m a n yi n v e s t i g a t o r sd i s c u s s e dt h el i m i tt h e o r e m sf o rt h es e l f - n o r m a l i z e d s u m s w er e f e rt og r i f f i na n dk u e l b s ( 1 9 8 9 ) f o rt h el i l ，s h a o ( 1 9 9 7 ) f o ral a r g ed e v i a t i o n r e s u l tw i t h o u tm o m e n tc o n d i t i o n s ，g i n 4 ，g s t z ea n dm a s o n ( 1 9 9 7 ) f o rt h ec e n t r a lh m i t t h e o r e m ，c s 6 r 9 6 ，s z y s z k o w i c za n dw a n g ( 2 0 0 3 a ，2 0 0 3 b ) f o rt h ed a r l i n g - e r d 6 st h e o r e m a n dd o n s k e rt h e o r e m ，j i n g ，s h a oa n dw a n g ( 2 0 0 3 ) f o rc r a m 6 rt y p el a r g ed e v i a t i o n s ，p a n g ( 2 0 0 5 ) f o rt h ea s y m p t o t i c sd i s t r i b u t i o nf o rr a n d o mp r o d u c t s t h ep r e c i s ea s y m p t o t i c si nt h el i lh a sb e c o m eai m p o r t a n ta n dp o p u l a rt o p i co f l i m i tt h e o r e m s z h a n g ( 2 0 0 1 c ，2 0 0 2 a ) g a v eb e s tr e s u l t so ft h ep r e c i s ea s y m p t o t i c si nt h e l i lf o ri n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s ，z h a n g ( 2 0 0 2 b ) a n dp a n g ( 2 0 0 5 ) g a v eb e s tr e s u l t s o ft h ep r e c i s ea s y m p t o t i c si nt h el a wo ft h el o g a r i t h mf o ri n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s ， j i a n g ( 2 0 0 4 ) g a v eb e s tr e s u l t so ft h ep r e c i s ea s y m p t o t i c si nt h el i lf o rt h em o m e n to f i n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s w a n ga n dc a i ( 2 0 0 4 ) g a v et h ep r e c i s ea s y m p t o t i c sf o r u s t a t i s t i c s h u a n g ( 2 0 0 3 ) a n dl i ( 2 0 0 5 ) g a v et h ep r e c i s ea s y m p t o t i c si nt h el i lf o r d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sa n dl i n e a rp r o c e s s e s ，r e s p e c t i v e l y i nt h es e c o n ds e c t i o no f t h i sc h a p t e r ，w eo b t a i nt h ep r e c i s ea s y m p t o t i c si nt h es e l f - n o r m a l i z e dl a wo ft h ei t e r a t e d l o g a r i t h m ，i nt h et h i r ds e c t i o n ，w eo b t a i nt h ep r e c i s ea s y m p t o t i c si nt h es e l f - n o r m a l i z e d c h u n g sl a wo ft h ei t e r a t e dl o g a r i t h m a l lc o n c l u s i o n so ft h i sa r t i c l eh a v eb e e nd i v i d e di n t os e p a r a t ea r t i c l e sa n ds u b m i t t e d f o rp u b l i c a t i o ni nv a r i o u sj o u r n a l si nc h i n aa n da b r o a d ，a m o n gw h i c h ，s o m eo ft h e mh a v e b e e np u b l i s h e do ra c c e p t e d ，d e t a i l sm a yb er e f e r r e dt ot h ee n do ft h i sa r t i c l e a l li na 1 1 d u et ot h eb r u i t e dk n o w l e d g eo ft h ea u t h o r ，m i n o re r r o r sm a yi n c u ri nt h i sa r t i c l ea n dw e s h o u l dg r e a t l ya p p r e c i a t ea n ya d v i c ef r o my o u t h a n ky o u ! w a n g ，j f x 曲c a m p u s m a r c h2 0 0 6 第一章 h 磊j e k r s n y i c h o w 不等式和b e r r y - e s s e e n 不等式 第一节定义 作为随机变量之间相依性的一种简单而自然的描述，l e h m a n n ( 1 9 6 6 ) 引进了下 述的概念： 一 定义1 1 1 称r u x 和y 是负陋) 象限相依m 印。t i u e ( p o s i t i u 舭。砒佗d e p e n d e 竹纠 的，若对v z ，y r 有 尸伍 z ，y ) 一p ( z z ) p ( y 可) o ( o ) ( 1 1 1 ) 称r m 序列 ，礼1 】是两两负他j 象限才日依的，若对v i 歹，置和玛是负p v 象限相依的 作为这个定义中的两元记号的一种推广， e s a r y , p r o s c h a r t 和w 撒u p ( 1 9 6 7 ) 首 先引进了下述较强的概念： 定义1 1 2 称r 口x 1 ，( 佗2 ) 是正相伴( p o s i t i r e l y 。s s 。c 纰e 矽，的，如果对于任 意两个使得协方差存在的且对每个变元均单调上升的函数，1 和，2 ，都有 c o y ( ( x 1 ，- ，) ，2 ( x 1 ，) ) o ( 1 1 2 ) 称r m 序列 蜀，几1 ) 是正相伴的，如果对每个n 2 ，r 口x 1 ，都是正相伴 的 a l a m 和s a x e n a ( 1 9 8 1 ) ，以及j o a g - d e v 和p r o s c h a n ( 1 9 8 3 ) 引进了另一种推广： 定义1 1 3 称r m x l ，墨( n 2 ) 是负相伴m 叼口t i r e 匆口s s 。c i 口抬圳的，如果对于 1 ，礼) 中的任意两个不相交的非空子集a 1 和a 2 ，都有 c o y ( 9 1 ( 五，i a 1 ) ，9 2 ( x j ，j a 2 ) ) 0 ， ( 1 1 3 ) 其中g l 和9 2 是任意两个使得协方差存在的且对每个变元均单调上升的函数称r 口 序列 ，n 1 ) 是负相伴的，如果对每个n 2 ，r m x l ，都是负相伴的 2 介于两两负( 正) 象限相依和负( 正) 相伴之间的一类相依是由n e w m a n ( 1 9 8 4 ) 引进的： 定义1 1 4 称r u 序列( 弱，礼1 】是线性负陋j 象限相依( 1 i n e a rn e g a t i v e ( p o s i t i v e ) q u a d r a n td e p e n d e n t ) 的，如果对于任意两个不相交的正整数的非空集合b 1 和b 2 以 及正数r d ，e t b ，n 和j b 。r j z j 是负他) 象限相依的 显然地，由定义可知，负( 正) 相伴随机变量一定是线性负( 正) 象限相依的， 线性负( 正) 象限相依随机变量一定是两两负( 正) 象限相依的反之，则不一定成 立 例1 1 1 ( n e w m a n1 9 8 4 ) 假设噩，恐，弱是3 个离散的随机变量，记它们的联合分 布为p ( x l ，茁2 ，x 3 ) = p ( x 1 = ：t 1 ，x 2 = x 2 ，弱= x 3 ) ，且p ( o ，1 ，0 ) = p ( o ，2 ，o ) = p ( 1 ，0 ，1 ) = p ( 1 ，l ，0 ) = 1 1 4 ，p ( o ，2 ，1 ) = p ( 1 ，0 ，0 ) = 2 i 4 和p ( o ，0 ，0 ) = p ( 1 ，2 ，1 ) = 3 1 4 经简单的 计算，可知 x 1 ，x 2 ，x 3 是两两正象限相依序列，然而它不是线性正象限相依序列 ，既然3 1 4 = 尸( x l 0 ，恐+ 玛 1 ) o ) 尸( 恐+ 拖 1 ) = ( 7 1 4 ) 2 例i i 2 ( n e w m a n1 9 8 4 )假设x l ，拖，拖是? 个离散的随机变量，记它们的联 合分布为p ( x l ，x 2 ，x 3 ) = 尸( 噩= x l ，恐= 2 ：2 ，弱= x 3 ) ，且p ( 2 ，2 ，1 ) = p ( 3 ，2 ，1 ) = p ( 2 ，3 ，1 ) = p ( 3 ，3 ，1 ) = p ( 1 ，l ，2 ) = p ( 2 ，l ，2 ) = p ( 3 ，1 ，2 ) = p ( 1 ，2 ，2 ) = p ( 1 ，3 ，2 ) = 1 1 7 和p ( 1 ，l ，1 ) = p ( z ，3 ，2 ) = 4 1 7 经计算，可知 x l 恐，弱) 是线性正象限相依序列， 然而它不是正相伴序列，既然4 1 7 = p ( x 1 l ，磁 l ，弱 1 ) l ，硒 1 ) | p ( 弱 1 ) = ( 8 1 7 ) ( 9 1 7 ) 在许多与实际应用密切相关的模型( 如可靠性理论，渗透模型及多元分析) 中， 负( 正) 相伴随机变量有着广泛的应用因此，许多学者对之进行了广泛深入的研 究，并得到了许多深刻、重要的结论，见参考文献其中有三位学者对负( 正) 相伴 的定义进行了进一步的推广，n e w m a n 和w r i g h t ( 1 9 8 2 ) 首先推广了正相伴的定义， 给出了下面的概念： 定义1 1 5 假设 ，n 1 ) 是一n 8 - 歹 1 ，定义& = e 努1 玛，s o = o 如果对于 任意使得数学期望存在的且对每个变元均单调上升的函数，都有 e ( 岛+ 1 一岛) ，( s 1 ，岛) 0j 1 ( 1 1 4 ) 则称 晶，n 1 ) 是d e m i 一鞅( d e m i m a r t i n g a l e ) 进一步，如果，又是非负函数，则 称 ，n 1 ) 是d e m i 一下鞅r s 钍6 d e 仇i m o n i 礼9 0 j e ， 一 张( 2 0 0 0 a ，2 0 0 0 b ) 推广了负相伴的定义，给出了下面的概念： 3 定义1 1 6 称序列 ，n 1 ) 是渐近负相伴( a s y m p t o t i c a l l yn e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ) 的，如果 其中 p 一( r ) ：= s u p p 一( s ，t ) ：s ，t n ，d i s t ( s ，t ) r _ _ 0 ( r _ ) ， p c s ，t ，：= 0v supi可吾ii舌妻：；笔雪专号雩i笔睾篙专孙：，9厂)， 厂= f = f ( x l ，) ：厂对每个变元均单调上升；p 1 注1 1 1 显然地，一零均值的正相伴序列，其部分和序列是一d e m i 一鞅序列 注1 1 2 显然地，负相伴随机变量一定是渐近负相伴的且p 一( 1 ) = 0 相比较负相 伴随机变量，渐近负相伴随机变量定义了一类更加广泛的相依变量俱体的例子， 参见z h a n g ( 2 0 0 0 a ) ) 4 第二节d e m i - 鞅的h e l j e k - r 6 n y i c h o w 不等式 1 2 1 介绍及主要结果 众所周知， k o l m o g o r o v 不等式是证明强大数律非常有用的工具 1 9 5 5 年， h a j e k 和r 4 n y i 推广了k o l m o g o r o v 不等式，得到了一个更有意思的不等式，并且利 用此不等式给出了强大数律的一个简洁证明c h o w 在1 9 6 0 年把h a j e k 和r 4 n y i 的 结论推广到下鞅我们首先来回顾一下他们的结论 假设x 1 ，矗是独立随机变量，e 五= 0 ，e 霹 ，1 i n 记s k = 名1 玛 和a 磊= m a o c l 0 ( 1 2 2 ) 假设 碥，兀，竹1 ) 是非负下鞅，记昵= + 署( q q + 1 ) m c h o w 不等式： p m s 甩a s x n c k e ) e 一1 i = 1 ( q c t + 1 ) e k + e 碥j _ 1 型謦c 七k e ) e - 1 e 晖 比 0 ( 1 2 3 ) 如果x 1 ，矗是独立随机变量，e x i = 0 ，e 霹 0 ，有 n p ( 罐e ) e 一1 龟e i o ( s d 一9 ( & 一1 ) ) j 鹾) ( 1 2 4 ) t = 1 定理l 2 2 假设 & ，礼1 ) 是一d e m i 鞅序列， ，n 1 ) 是一单调下降的正数 列则 知 e m m a x 。勺i s j l p q p e e 嚣= 1 龟( 蚓一阮1 i ) p p 1 ，石1 + 百1 = l ( 1 2 5 ) e 增m & 驴x 俐】音 1 + 目( 薹训讣协m ) l o g ( q ( 蚓一i & 一1 | ) ) 】) ( 1 2 6 ) 假设 x ( m ，礼) ，m 1 ，n 1 是一两指标的随机变量序列，记s ( m m ) = 忍l 1 五南，j ) ，s ( t ，j ) = o ( 3 v 果i 或j = o ) 记 6 ( m ，n ) ，m 1 ，n 1 ) 是一正数列，令a b ( k ，j ) = 6 ( ，j ) 一6 似一l ，j ) 一6 ( 幻一1 ) + b ( k 一1 ，j 一1 ) ( 其中呱j ) = 0 如果i 或j = o ) 定理1 2 3 假设| ( x ( m ，n ) ，m 1 ，礼1 ) 是一零均值的正相伴的两指标序列设 6 ( m ，。) ，m l ，礼1 ) 是一正数列且满足6 ( m ，。) 0 ，m 1 ，礼1 则对v e 0 ，有 p ( m a y x m a x 。i s ( 幻) 6 矧纠刍( 鲁肛雹薹等i p p 1 ( 1 2 7 ) 特别地 p ( 毫m a x m 删a x 。i s ( 幻) 6 州 ) 圳6 4 薹薹滁) 2 ( 1 2 8 ) 1 2 2定理的证明 假设g 是定义在r 上的一个凸函数，我们令 ) = 一l i m 。一监学 、7 。 0 一 z 由g 的凸性可知，h 是一个单调上升函数，且对比，可r 9 ( ) 一9 ( z ) ( y z ) 危( z ) ( 1 2 9 ) 定理1 2 1 的证明 令 u c z ，= 三z 三三三 由g 的定义可知 r l 0z 0 u ( z ) = 一 l9 ( z ) z 1 ，我们有 ：p 厂矿i p ( m a x ，c j i s l 。) d z 2p 上矿1 垡。勺独 p 上”矿2 e 蓦训讣慨- 1 l 髓勺i s j l 独) 】如 ：p e f f 手龟吲一i s , 驯厂躜勺蚓护一。如 - 、 = p e 龟( 蚓一川以坯压“。护卅如 = q e z o ，我们有下面的基本不等式 a l o gb a l o g a + b e - 。 由此，我们可得 、 e 【盟勺愀一1 e 【( 薹删一刚) ) l o g ( 三龟( 阱刚 + e 一1 e 【m a xc j t 岛l 】 ( 1 2 1 6 ) 。1 i 0 ，有 p ( 1 1 ，易知m & x 1 j nl s ( 七，j ) l p 是一个非负的凸函数 因此，利用( 1 2 4 ) 和( 1 2 5 ) 式，我们有 引理得证 p ( 1 三m 拧a 3 x m m ! j a s x ni s ( ，j ) i e ) = p ( 1 1 m 拧a 3 x m m 3 j a s x 。i s r 、南，j ) f p ，) 1 e ，e m s j a s x 。i s ( 。剁p - - 1 1 两p ) p 明哪) i p 定理1 2 3 的证明 记甄幻) = 叁1 盘1 1 【= 1 k - 1 厶j f _ 1 措一冬1 j - 1 丽x ( i , o + 渊k - 1 s ( 惫j ) = = 1z = 1 专署，全丑七棚2 冬，l ：，苎b ( i 盟, o 一 j f _ - 1 1 垃b ( i , o ，k = 1 ，2 ，m ，j = 1 ，2 ，n 则 七 j x ( i ，z ) = b ( i ，o ( a t ( 训) ) i = l f = 1 if a t ( i ，f ) a b ( 啪) = t = 1h = l 既然警1 ：la b ( t ，h ) b ( 忌，j ) = l ，我们有 因此 既然 我们有 = 1h = 1 xb(，、堑, 一 ，薹三等 = c ：= o ，o ， ( i s ( k j 渺矧纠c 谑m 勖a x ，瑟噻塞等险 1m a xi n 8 2 ( i 1 七 m1 f n 亡亡x ( i ，f ) i = t 善谱f = 。p ，j s ( k ，j ) b ( k ，j ) i e ) c 酆m a xm a x max咧kltml h n 委等盼) 1 s 詹s ml s j s n 一一 一一 。! ：乙 6 r in i 。j t = 1z = 1 x ( i ，1 ) b ( i ，f ) im a x1 2 2 a xm a x 、1 k 一m1 ， n1 m 等一薹喜等+ 蚤t - - 1h 善- 1 b ( i b ( i等b ( i ， ，f ) 鲁鲁，z ) 刍台，f ) ) x ( i ，z ) i 6 ( i ，z ) 最后，结合( 1 2 1 9 ) 和( 1 2 2 0 ) 式，利用引理1 2 1 ，我们得到 三) p ( 1 一m a x 。m a y xi s ( 幻) 6 矧列刍( 鲁) p e i 蘸等i p ( 1 2 1 8 ) ( 1 2 1 9 ) ( 1 2 2 0 ) 9 ，惫筒 ，七 ，七 | | 七汹 ，七 一d砟瓦 ，胤岛lc 瑟 定理证毕 注1 2 1从定理j 2 3 的证明可知， 仁2 矽式推广到d 一指标伊p 随机场j 是显然 的我们不加证明地给出正相伴随机场的h d j e k - r d n y i 型不等式 p fm a x 、1 0 ， n + 。o 。( 1 3 2 ) 对垤 0 啄2 e 霹z i x i l e ) 一0 几一o o ( 1 3 3 ) 则 n ：= s u p i p ( 塑 z ) 圣( 。) l = o ( 1 ) ( 1 3 4 ) z o n 最大值矩不等式： 假设e l x d p 0 0 ，p 2 ，i = 1 ，n 且对某个正整数n ，p 一( n ) r ，其中0 r 2 和s u p 。e q x 。1 2 + 6 n 。 1 2 知 则 p 一( n ) = o ( n 一8 。)其中p 2 0 1( 1 3 7 ) l i r a i n 。f 盯i n 0 n _ + o o ( 1 3 8 ) n c n p t + 礼一虎+ n - 风】，( 1 3 9 ) 其中卢1 = ；( 口1 一南( 口一1 ) ) ，危= ；( p 2 一( 目一1 ) ) 和阮= 觜 注1 3 1 令6 = 1 和0 充分大，a n 趋于零的速度可以充分接近o ( n 一1 4 ) 潘和陆 ( 1 9 9 8 ) 对协方差具有指数速度衰减的负相伴序列给出了一个b e r r y e s s e e n 不等式， 他们得到的收敛速度n = o ( n 一1 2l o g n ) 然而，他们的方法不适用于渐近负相伴