（管理科学与工程专业论文）模糊环境下的生产函数及决策研究.pdf

中文摘要 生产函数是经济学中一个非常重要的概念，它描述了一定投入下可能获得的 理想产出其中c o b b - d o u g l a s 生产函数因其优良的特性、明确的经济意义而得 到广泛的认可和应用可是由于收集信息难度较大，成本太高等原因，生产函数 中的参数通常很难得到精确值，有时需要依赖于专家的估算，因此这些参数存在 模糊性，使得产出的度量变的困难为此本文用模糊变量来刻画其中某些参数， 通过含有模糊参数的生产函数的期望值来代表一定投入下产出的平均水平 基于可信性理论本文提出了一种解析计算模糊变量函数的期望值公式，并用 于计算模糊环境下，一定投入时，c o b b - d o u g l a s 生产函数理想产出的期望值 根据生产函数按照投入的可调节性分为短期生产函数和长期生产函数的特性， 本文分别建立了模糊环境下短期生产和长期生产收益的期望最大化生产决策模 型，给出了两个具体算例，并利用p s o 算法( 粒子群算法) 得出最优解和最大期 望收益 ， 最后，本文分析了内部管理和外部管理对企业产出效率的影响，并给出了模 糊环境下企业采取管理变革可接受的最大成本，为组织变革提供指导 关键词：c o b b - d o u g l a s 生产函数，模糊变量，期望值，决策 a bs t r a c t p r o d u c t i o nf u n c t i o ni sa ni m p o r t a n tc o n c e p ti ne c o n o m i c st h e o r y , i td e 一 $ c r i b e st h em a x i m a lo u t p u tf o rl i m i t e di n p u ti np e r f e c tc o n d i t i o n t h e r ea r e m a n yk i n d so fp r o d u c t i o nf u n c t i o n ，a m o n gw h i c hc o b b - d o u g l a sh a sb e e nw i l d l y a c c e p t e da n da p p h e di nm a n yf i e l d s ，b e c a u s eo fi t sg o o dc h a r a c t e r i s t i c sa n d e x a c t e c o n o m i cs i g n i f i c a t i o n h o w e v e r ，f o rr e a lp r o b l e m ，i ti sa l w a y sh a r dt oc o l l e c t e n o u g hi n f o r m a t i o nt oe s t i m a t et h ep a r a m e t e ro fp r o d u c t i o nf u n c t i o no ri t i s c o s t l yt og e tt h ee x a c tf i g u r e ，t h ep a r a m e t e ro ft h ep r o d u c t i o nf u n c t i o ns h o u l d b ec o n s i d e r e da saf u z z yv a r i b a l e s i n c ei tb e c a m eh a r dt om e a s u r et h eo u t p u t ， t h i sp a p e ri n t r o d u c e st h ee x p e c t i o nv a l u eo ff u n c t i o no ff u z z yv a r i a b l et os t a n d f o rt h ea v e r a g eo u t p u ti np e r f e c tc o n d i t i o n b a s e do nc r e d i b i l i t yt h e o r y , t h i st h e s i sp r o p o s e sa l le x p r e s s i o nt oc a l c u l a t e t h ee x p e c t i o nv a l u eo ff u n c t i o no ff u z z yv a r i a b l e ，w h i c hw i l lb ea p p l i e dt oe v a l u a t e t h em a x i m a lo u t p u tu n d e rt h ec o b b - d o u g l a sp r o d u c t i o nf u n c t i o nt h e o r y a n d t h e nt h i st h e s i se s t a b l i s h e sm o d e l so ft h em a x i m a le x p e c t e dv a l u eo fi n c o m eo f s h o r t t e r mp r o d u c t i o na n ds h o r tt e r mp r o d u c t i o n ，r e s p e c t i v e l y , s i n c ec c o r d i n gt o t h ea d j u s t a b i l i t yo ft h ei n p u t s ，p r o d u c t i o nf u n c t i o n sw e r ed i v i d e di nt os h o r t t e r m a n dl o n g - t e r mp r o d u c t i o nf u n c t i o n t h i st h e s i sp r e s e n t st w oe x a m p l e sa n dg e t s t h es o l u t i o n sb yp s om e t h o d ，f i n a l l y , t h i st h e s i sp o i n t so u tb o t ht h ei n s i d ea n do u t s i d em a n a g e m e n te f f i - c i e n c i e s ，w h i c hc h a r a c t e r e da sf u z z yv a r i b a l e ss i n c et h e yw e r eh a r dt od e s c r i b ea s e x a c tn u m b e r s ，d e t e r m i n et h er e a l i s t i co u t p u to fa no r g a n i z a t i o n ，a n de v a l u a t e s t h eh i g h e s ta c c e p t a b l ec o s to fi n n e ro ro u t s i d er e v o l u t i o ni naf u z z ye n v i r o n m e n t ， w h i c hp r o v i d e sad i r e c t i o nf o rt h eo r g a n i z a t i o nr e v o l u t i o n k e y w o r d s ：c o b b - d o u g l a sp r o d u c t i o nf u n c t i o n ，f u z z yv a r i a b l e s ，e x p e c t a t i o n v a l u e ，d e c i s i o nm a k i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津大学或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者貅薛国签字日期呻年月伊 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津大学有关保留、使用学位论文的规定 特授权天津大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：藓 签字日期：9 哼7 年f 月如 导师签名： 签字日期2 夕年f 月聒日 第一章绪论 1 1 生产函数研究背景和意义 经济学理论，视生产为“黑箱”，故构建了生产函数的概念，用以描述这一 。黑箱”的输入( 投入) 与输出( 产出) 之间的关系生产函数在经济学中是一 个非常重要的概念，它是萨缪尔森f 2 7 】的生产理论的基础，它研究的是在一定的 技术水平下各种生产要素投入量的某一组合同它所能产出的最大可能产出量之 间的关系，它是表征生产状况的一个带根本性的函数，用来测定经济发展中技术 进步的效果和生产增长速度，并由此引入总产量、平均产量、边际产量，以及边 际收益和规模收益的比较静态分析等 自1 9 2 8 年美国芝加哥大学经济学家d o u g l a s 和数学家c o b b 提出c o b b - d o u g l a s 生产函数【1 7 】以来，经t i n g b e r g e n ，s o l o w 1 2 】等经济学家的改进，日臻 完善之后，经济学家们又先后提出了线性生产函数、固定替代( c e s ) 生产函数 3 0 】、可变替代( v e s ) 生产函数 3 l 】、超越生产函数等【2 3 ，3 4 】与这些生产函 数相比，c o b b - d o u g l a s 生产函数因其形式简单，计算方便，经济意义明确等优 点，受到了世界各国经济学家的广泛认可和应用，作为一种辅助决策的工具 2 8 】 在科技【1 8 ，2 5 】，经济【1 9 ，2 0 ，2 1 ，2 2 】，工业，农业【2 4 】，等各个领域得到了广泛的 应用 经济学中认为生产是一个充满不确定性的过程，影响产出的因素是不确定 的，生产一种产品需要多种生产要素的投入，因此，生产要素的投入是指各种要 素在某一组合下的投入那么何种投入对产出起决定作用呢? 采用因素分析法 【1 6 ，c o b b - d o u g l a s 生产函数认为决定产出的两种重要要素投入要素分别为劳动 投入和资金( 只用于支付除劳动成本之外的其他资本) 投入，因此这种生产函数 主要按资金投入和劳动投入两种要素讨论产出，认为劳动投入与资金投入对产 出的影响程度是不同的，这在很多的经济学著作中都给与了充分的阐述和论证 ( 3 3 ，3 5 1 ，综其根本是因为劳动能够带来剩余价值，所以劳动投入对产出的贡献 理所当然的大于资金假设k 表示资金的投入量，l 表示劳动的投入量，q 表 示产出量，生产函数为q = q ( l ，k ) 生产函数的形式是多种多样的常见的主 要有以下三种形式： ( 1 ) c o b b - d o u g l a s 生产函数，其形式为： q ( k ，l ) = a ( t ) k q l 卢( a o ，0 q ，卢 1 ) ，( 1 - 1 ) 其中q 为产出量( 函数) ，l 为劳动投入量( 自变量) ，k 为资本投入量( 自变量) 第一章绪论 ，0 f 、p 为带估参数或者已知参数值得注意的是，a 为技术水平( 比例系数) ， 是时间t 的函数 在本文的研究中，我们将先a 设为一个常数，认为在一定的时间状态下， 技术水平是既定的而在扩展研究中，我们将a 作为一个与组织的管理水平相 关的生产效率，将管理水平，科技进步水平等等都作为影响a 的因素 ( 2 ) c e s 生产函数，其形式为： q ( k ，l ) = a a k p + ( 1 5 ) l p 】；( 0 a 1 ，p 1 ) ，( 1 - 2 ) 其中a 为比例系数，q 为分配参数，p 为替代参数这种生产函数有不变替代 弹性 ( 3 ) 线性生产函数，其形式为： q ( k ，l ) = o t o + 5 1 k + 0 1 2 l ，( 1 - 3 ) 其中5 0 、d ，、5 2 为待估参数或者已知参数 c o b b - d o u g l a s 生产函数是研究最广泛的生产函数，虽然形式简单，却能够 完美地解释很多现实的经济现象 1 2 c o b b d o u g l a s 生产函数的性质 c o b b - d o u g l a s 生产函数是1 9 2 8 年由美国芝加哥大学经济学家d o u g l a s 和 数学家c o b b 共同探讨投入和产出关系时提出的生产函数他们根据有关历史资 料，研究了1 8 9 9 - 1 9 2 2 美国制造业中的资本和劳动投入对生产的影响，得出了在 技术经济条件不变的情况下的生产函数 c o b b - d o u g l a s 生产函数虽然数学形式简单，但却蕴涵了丰富的经济内容 下面给出几个由c o b b - d o u g l a s 生产函数推导出的几个参数 ( 1 ) l 保持不变时，q 对k 的偏导数o q a ( k k , l u 称为产出量对资本投入的边 际产量， 百o q ( k , l ) = q a k q 一1 l 芦= t 5 q ( k , l ) ，( 1 - 4 ) 其经济意义近似地表示当劳动投入量保持不变时，资本投入量增加一个单位时， 总产量的增量 ( 2 ) k 保持不变时，q 对l 的偏导数掣称为产出量对劳动投入的边 际产量， 1 0 q ( k 广, l ) 斗a k 哪q ：型掣，( 1 - 5 ) 2 第一章绪论 其经济意义近似地表示当资本投入量保持不变时，劳动投入量增加个单位时， 总产量的增量 值得注意的是，因为0 q ，p 1 ，所以产量对资金投入和劳动投入的二阶 偏导数均为负的，即 掣= 卢( 卢一1 ) a k n 工卢一2 。，( 1 - 6 ) 1 0 2 q 洒( k , 一l ) = a ( q 一1 ) a k q - 2 o ( 1 7 ) 这个结论与经济学上的边际递减规律一致 ( 3 ) 产出量对资本投入的偏弹性，即资本的产出弹性 塑( 丝! 望 巩= 前特一，( 1 - 8 ) f 其经济意义近似地表示为当资金投入增加( 或减少) 1 时，产出相应增加( 或减 少) q ， ( 4 ) 产出量对劳动投入的偏弹性，即劳动的产出弹性 塑! 丝! 型 局= 前硝( 1 - 9 ) 丁 其经济意义近似地表示为当劳动投入增加( 或减少) 1 时，产出相应增加( 或减 少) p 可见q ，卢的大小，揭示了产出对资本和劳动投入变化的敏感程度大小 ( 5 ) 规模报酬的研究令q + p = ，y ，则c o b b - d o u g l a s 生产函数可化为 q ( k ，l ) = a k n l y 一口( 0 0 ) ：a ( 分驴， 1 枷 于是 跏l ) = a ( 篆) 口( 。卵 卅a ( 争l 7 7 = a r q ( k ，工) 此式表明当资本和劳动投入都扩大到原来的a ( a 1 ) 倍时， 矿倍因此 3 ( 1 1 1 ) 产出扩到到原来的 第一章绪论 ( i ) 当q + 芦= 1 时，劳动和资本投入按照同样比例增加时， 幅度与投入增加幅度相同，即规模报酬不变； ( i i ) 当q + 卢 1 时，劳动和资本投入按照同样比例增加时， 幅度小于投入增加幅度，即规模报酬递增 g g = n ，产出增加 矿 n ，产出增加 c o b b - d o u g l a s 生产函数的发明者美国芝加哥大学经济学家p a u l h d o u g l a s 和数学家c h a r l e s w c o b b 通过对1 8 9 9 - 1 9 2 2 年美国制造业的投入产出历史数 据的分析，用经验估计方法得出该期间内美国制造业的c o b b - d o u g l a s 生产函数 为： q ( k ，l ) = 1 0 1 k o z s l 0 7 5( 1 1 2 ) 这个生产函数表明，美国经济的增长基本上属于规模收益不变类型，并且可见劳 动投入引起的增长幅度大于资本投入引起的增长幅度在c o b b - d o u g l a s 之后， 有许多经济学家对不同国家国民经济的生产函数进行经验估计，虽然得到的指数 a 和卢的值有所不同，但q + 卢都接近于1 ，即都属于规模收益不变类型，这 个结果是和c o b b - d o u g l a s 的结论一致的 由于篇幅的关系，本文着重讨论在规模效益不变的前提下， c o b b - d o u g l a s 生产函数的期望值，以及基于期望值最大化原则的决策问题研究而规模效益递 增和规模效益递减的情况，由于研究方法相近，将不再仔细讨论 1 3 c o b b d o u g l a s 生产函数的推广研究 c o b b d o u g l a s 生产函数揭示的是劳动投入和资本投入与一定技术水平下可 能最大产出的关系，是理想状态下企业得设计生产能力可是实际生产过程中， c o b b - d o u g l a s 生产函数并不完全符合生产函数的定义，因为历史统计资料上的 某一年的实际产出不等于，一般来说总是小于该年最大可能的产出我们知道， 即使在生产的繁荣时期，各行业生产能力的利用率也不一定能达到l o o ，在萧 条时期，更将有高达5 0 - 7 0 的生产能力闲置，例如目前中国多数行业就处于这 种状态这是因为市场经济是竞争经济，即使在繁荣时期，各行业中也有强弱之 分，弱势企业也仍然可能接不到定单相应地，工人也仍然实现不了全员就业， 即劳动力有闲置事实上，在既定技术条件下使给定投入的最大产出化，意味着 所投入的要素相互协调，服从整体最优化而市场经济中投入要素分别属于不 同竞争主体，各竞争主体追求各自利益最大化，因而必然相互冲突，难以实现整 体最优化不仅如此，由于各竞争主体的相互冲突程度和方式不同，由于政府调 4 第一章绪论 控竞争的力量和方式不同，同样的劳动力和资本投入可能会产生各种不同的总 产量统计资料上显示的产量只是诸多可能性中的一个其所以是这一产量而不 是别的产量，并不是c o b b - d o u g l a s 生产函数所决定的，而是在一定工程技术条 件下，该年度市场各种力量充满偶然性地竞争冲突的产物其次，由于c o b b 和 d o u g l a s 处理的是1 8 9 9 1 9 2 2 年间现实数据，而这些年间技术在不断发生变化， 因此该函数还不符合生产函数所要求的工程技术条件不变的假设因此我们对 c o b b - d o u g l a s 生产函数进行修正，使其更符合客观现实，得出实际的产出修 正的c o b b - d o u g l a s 生产函数为 q ( kl ) = a ( k n l 卢) u ，( 1 1 3 ) 其中a 代表了组织内部与外部( 环境) 的响应与协调能力，例如项目决策、市场 需求计划与销售、信息掌握与利用等；牡代表了资本与劳动的配置与整合能力， 例如设备布置、作业计划与管理、财务管理、人力资源管理等 式( 1 1 3 ) 的经济解释如下 ( 1 ) 。当a = u = 1 时，q ( k ，l ) = k 驴代表企业设计生产能力，表明企业 设备及生产流程的先进程度，是企业理论上的生产能力，或称潜在的生产能力 ( 2 ) 当a = 1 时，q ( k ，l ) = ( k a 矽) u 代表企业实际生产能力，表明通过 生产管理和组织企业能达到的实际生产能力，强调调控组织的作用，因此该式为 适用计划经济体制的生产函数 ( 3 ) 当牡= 1 ，q ( k ，l ) = a k n 胪代表企业实际产出效益，表明企业通过 市场交换所能获得的实际产出效益 如果说在计划经济体制下企业的生产函数是q ( k ，l ) = ( k 口扩) u 的话，那 么在现代企业制度下的企业就可用生产函数q ( k ，l ) = a ( k n 驴) 缸来描述因 此，在现代企业制度下企业要真正实现其目标，实行科学管理的意义和作用就更 加重大 在经济学中，引入可变投入和不可变投入来划分短期与长期不可变投入是 使用量不能改变的投入虽然更确切地说，无论所考虑的时间周期有多短，都没 有绝对意义上的不可变然而，迅速变更投入的使用量会造成巨大的成本，为了 实际的目的，投入是固定的例如，建筑、主要设备、管理人员通常是不能迅速 增加或者减少的投入可变投入是指投入的使用量可随产量变化需要而变化，各 种类型的劳务、原材料和中间产品属此类在不可变投入和可变投入的划分的基 础上，经济学家把生产经营分为短期经营和长期经营 3 2 】短期经营是在经营期 间内一种或者多种投入要素的使用量是固定的，所以在短期内，产量的变化完全 归于变动投入的使用量的变化因此，如果生产者希望扩展短期的产量，在现有 5 第一章绪论 的设备厂房不变的情况下，必须多使用劳动和其他可变投入同样，如果希望降 低短期的产量，就可以减少一定投入的支出，但是不能立即闲置一栋建筑物或者 设备，只能通过对可变投入的减少来实现在这个简化的生产函数中，可以把资 本看成是固定投入并将短期的生产函数写成 q ( l ，凰) = a 鳍l 卜n ，( 1 1 4 ) 其中娲表示短期内不可变的资金投入 当然，在特殊情况下资金的投入是可变的，而劳动投入不可变，就如我们常 说的 千金易得，一将难求 此时的短期生产函数为s q ( l o ，k ) = a k 口l o 一， 其中l o 表示短期内不可变的劳动投入 如果劳动投入和资金投入都是可变的，则为长期的生产函数 q ( l ，k ) = a k q 己1 _ 口 1 4 模糊环境下的c o b b - d o u g l a s 生产函数 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) 在以往的研究过程中，学者们往往根据历史经济数据，用统计方法通过回归 拟和得到生产函数中的参数如a 、q 、牡值的大小可惜的是，在实际工作中， 由于信息的不完全，收集信息代价太高，历史数据难以考证等等原因，使得q 确 切值的获得变得不太现实尤其是在宏观经济背景下，影响q 参数的因素非常 多，而企业管理因子a ，u 的精确定义又非常的困难，单纯的取用历史数据作为未 来决策的唯一依据，往往偏离实际情况，使得决策者在制定决策时出现偏差正 是由于模糊性的存在，本文提出c o b b - - d o u g l a s 生产函数中的参数，如a 、q ， u 可以通过德尔菲法( 也就是专家法) ，综合考虑多方面因素，用一个带有隶属 程度的模糊变量表示这样做的好处主要有： ( 1 ) 节约收集信息的成本，分散信息不完整带来的风险 ( 2 ) 避免信息的丢失，另一方面，由专家法得出的区间可以避免由于随机误 差产生的伪数据的影响 由于模糊性的存在，使得基于生产函数的决策变得困难，我们应该如何比较 决策得优劣呢? 为此，我们创建了期望值最大化模型，基于期望值最大原则，为 确定最优投入量提供依据通过严格得推导，我们给出了计算模糊事件得期望值 的一种新方，为以后的工作提供了有力的工具 6 第一章绪论 1 5 本文的工作和主要创新 在以往的研究中，生产函数中的参数都是用统计方法通过回归拟和得到的 而考虑到实际情况，历史数据往往不够全面具体，得到的参数估计并不完全反映 客观事实，或者收集信息代价太高，往往得不偿失更重要的是，当进行未来的生 产决策时，情况发生变化，历史的数据往往不能反应未来这种种可能性表明， 生产函数的参数估计存在模糊性因此我们讨论在模糊环境下利用期望值最大原 则来进行决策，本文的创新点总结如下： ( 1 ) 提出一种计算模糊函数的期望值的方法为后来的模型求解提供一种 数学工具 ( 2 ) 基于c o b b - d o u g l a s 生产函数建立了模糊环境下短期生产的收益期望最 大化模型，并给出求解方法 ( 3 ) 基于c o b b - d o u g l a s 生产函数建立了模糊环境下长期生产的收益期望最 大化模型，并给出求解方法 ( 4 ) 提出考虑到外部管理存在模糊性时的生产管理决策模型 ( 5 ) 提出考虑到内部管理存在模糊性时的生产管理决策模型，并进行风险 分析 7 第二章模糊变量函数的期望值 2 1 模糊理论基础知识 模糊集理论( f u z z ys e t st h e o r y ) 自z a d e h 1 3 】于1 9 6 5 年于信息与控制 期刊中发表模糊集论文后，成为至今不确定性研究中个非常重要的工具 模糊理论是以模糊集合为基础，其基本精神是接受模糊性现象存在的事实，而以 处理概念模糊不确定的事物为其研究目标，它强调许多事实的结果无法符合传统 二值逻辑。是”与“非”二者必居其一，它认为事物的判断不仅是”是 与”非 之间选择其一，而是介于 是”与”非之间，例如在界定一个人是否身高较 高，有的人会认为身高1 8 0 c m 为身高较高，但这不意味着于身高为1 7 9 c m 的人 不算是高因此在评估是否符合高标准的哪个程度，来取代原本严格的定义，而 这个程度称之为隶属函数 定义2 1 ( z a d e h 【1 3 ) 设u 为论域a 为u 的一个子集，对任意元素z u ， 函数 肛a ：u 一 0 ，1 】( 2 - 1 ) 指定了一个值p 五( z ) 【0 ，1 】与之对应p a ( z ) 在元素x 处的值反映了元素z 属 于a 的程度，我们称集合a 为模糊子集，而p 冱( z ) 称为a 的隶属函数也就是 说，肛五( z ) 的值越大，元素z 属于a 的程度也就越高 如今，模糊理论已得到了长足的发展k a u f m a n n 7 首先提出了模糊变量 的概念，随后该定义又出现在z a d e h 1 4 ，1 5 】和n a h m i a s 1 l 】中z a d e h 1 5 创立 了可能性理论，许多学者如d u b o i s 和p r i d e 2 ，3 】对其发展起了重要作用为了 发展一套类似于概率论的公理体系，最近l i u 9 给出了完善的研究模糊性的公 理体系，称之为可信性理论 定义2 2 ( n a h m i a s 1 1 ) 设e 为非空集合，p ( e ) 为e 的幂集，即e 所有自 己构成的集合如果集函数p o s 满足 ( i ) p o s q ) = 1 ； ( i i ) p o s 0 = 0 ； ( i i i ) 对于p ( e ) 中的任意集合 a ) ，p o s ua = s u pp o s a i ， 则称p o s 为可能性测度，三元组( e ，p ( e ) ，p o s ) 称为可能性空间 定义2 3 ( l i u 9 ) 设( e ，p ( e ) ，p o s ) 是可能性空间，a 是幂集p ( e ) 中的一个 8 第二章模糊变量函数的期望值 元素，则称 n e c ( a = 1 一p o s ( a 。 为事件a 的必要性测度 定义2 4 ( l i ua n d l i u 【1 0 ) 设( e ，p ( e ) ，p o s ) 是可能性空间， 中的一个元素，则称 ( 2 - 2 ) a 是幂集p ( e ) c r a = 音( p o s ( a + n e c ( a ) ( 2 - 3 ) 为事件a 的可信性测度 定义2 5 ( n a h m i a s 【1 1 ，l i ua n dl i u 1 0 ) 模糊变量是个从可能性空间( e ，p ( e ) ，p o s ) 到实数集合的一个映射 设是一个定义在可能性空间( e ，p ( e ) ，p o s ) 上的模糊变量，则其由可能性 测度导出的隶属函数p 可以表示成： 弘( z ) = p o s 9 el ( 口) = z ) ，z 鸵( 2 - 4 ) 定义2 6 ( l i ua n dl i u 1 0 ) 设是一个隶属函数为p 的模糊变量，则对任意实 数b o r e l 集黟，都有下式成立： p o s 召) = s u p p ( z ) ， 霉吕 n e c 艿) = 1 一s u pp ( z ) ， z 且 1 c r ( 召) = i j i ( p o s 8 ) + n e c ( 召) 厶 定义2 7 ( l i ua n dl i u 【1 0 ) 设是一个具有隶属函数p 的模糊变量，则对任意 的实数b o r e l 集召，都有 p o s ( b ) = s u p 弘( z ) ， z 吕 n e c f z 3 = 1 一s u p 卢( z ) ， z b o 1 c r b ) = 言( p o s b ) + n e c 侈) ) 定义2 8 ( l i u 【9 】) 设( e ，p ( e ) ，p o s ) 是可能性空间我们有 ( i ) c r e ) = 1 ； ( i i ) c r 仍) = 0 ； ( i i i ) 如果acb ，则有c d g c r j e 7 ) ； ( i v ) c r 是自对偶的，即对于任何的a p ( e ) ，c r a ) + - c r a 。) = 1 ； ( v ) c r 是次可加的，即对于任何的a ，b p ( e ) ，c r aub ) c d a + c r t s 9 第二章模糊变量函数的期望值 下面给出一些引理，做为本文后续工作的理论基础 引理2 1 ( l i ua n dl i u 1 0 ) 设是一个隶属函数为p 的模糊变量， 定的实数b o r e l 集b ，都有下式成立t c r 召) = 1 ( s 譬u p 8 弘( z ) + 1 一善s u 胪p 芦( z ) ) 引理2 2 ( l i ua n dl i u 1 0 ) 设是一个隶属函数为p 的模糊变量， 立。 c 球= z = 丢( 础) + 1 - s 咖u p 劬) ) ，比 比跪 乳 则对任意给 ( 2 - 5 ) 则有下式成 ( 2 - 6 ) ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 引理2 3 设f 是一个具有连续的隶属函数肛的模糊变量，则可信性测度c r ，z ) 是一个关于z 连续的函数，且有下式成立， c r z ) = z p ( 2 - 9 ) z p c r t 2z ，= 1 ：焉：可) x z p p ， c 2 _ 1 。， 、l-、 秒 秒 p p p p 蠢 锄驴 鲫k 一 一 十 + 可 y n “ 印9 即嘧 刚蛏 云i 蛇 1 2 1 2 l i i l z z 一 r o c 可 裟 1 2 y 肛 霉 1 2 一 ，i，、【 第二章模糊变量函数的期望值 e o 如果l e b e s g u e 积分 c r ，( ) r d r 有限，则有 - ，- - o o l i r a z c r ，( ) z ) = 0 ( 2 1 3 ) z - - i - 一 证明：因为c r ，( ) r d r 收敛，所以对任意 0 ，存在x o 0 ，使得当 z 吾 z o 时，有 0 c r ，( ) r d r 吾， ( 2 1 4 ) - ，鲁 二 又因为，虢- 跄单调递增，所以当吾rsz 时，有 因此有 即 所以 c r ，( ) z ) c r ，( f ) 7 ( 2 1 5 ) 。2 c r f ( 5 ) z ) f xc r ， ) r ) 主， 0 x c r f ( 5 ) z ) s ， l i m z c r ，( ) z ) = 0 霉卜p o o 同理可证，l i mz c r ，( ) sz ) = 0 正+ 一 证明完毕 2 2 模糊变量函数的期望值 由于模糊性在现实生活中无处不在，如影随形，模糊理论得到了很多学者和 关注，并在许多领域得到了广泛的应用以往的学者常常使用模糊变量或者模糊 变量的函数来刻画模糊事件，并用期望值来评价模糊事件d u b o i s 和p r a d e 3 】 定义了模糊区间数的期望值，将期望值表示成一个期望的区间h e i l p e r nf 6 也 引入了期望值并给出了模糊数的期望值定义，将模糊数的期望值定义为模糊期 望区间的中点c a m p o s 和g o n z d l e z 【1 1 比较了多种关于模糊数排序的方式， 并将其应用到线性规问题中g o n z h l e z 5 】给出了模糊变量期望值的更广泛的定 义l i u 和l i u 1 0 】在可信性空间上定义了模糊变量的期望值，并将其应用到模 糊规划过程中本文采用的l i u 和l i u 1 0 】关于模糊变量期望值的定义 1 1 第二章模糊变量函数的期望值 定义2 9 ( l i ua n dl i u 【1 0 ) 设是一个定义在可能性空间( 0 ，p ( e ) ，p o s ) 上的 模糊变量，则其期望值e 旧定义如下 ，+ ，i o e ( 纠= c r r d r 一 c r r d r ，( 2 1 6 ) ，0 ，一 上式两个积分至少一个是有限的 在实际研究过程中，受到模糊性影响的模糊事件通常用模糊变量表示，而 受模糊变量决定的事件，则用以模糊变量的函数表示以模糊变量为参数的函数 ( 以下简称模糊变量的函数) 的应用十分广泛，下面我们给出模糊变量的函数的 期望值的定义t 定义2 1 0 ( l i ua n dl i u 【1 0 ) 设是一个定义在可能性空间( 0 ，尹( e ) ，p o s ) 上 的模糊变量， ，乳一乳是一个到实数集合的映射，则期望值e 【，( ) 】定义如下 广+ ，1 0 e 【厂( ) 】= c r ，售) r d r 一 c r ，偿) r d r ， ( 2 1 7 ) j 0，一 上式两个积分至少有一个是有限的。 根据模糊变量的性质，不难发现，在具体的应用背景下，例如本文研究的生 产函数的模糊参数，通常可以用一个具有连续单峰隶属函数的模糊变量来表示， 常见的如三角模糊变量，梯形模糊变量，指数型模糊变量等等结合本文研究的 c o b b - d o u g l a s 生产函数的特点，下面给出具有连续隶属函数的模糊变量的单调 函数的期望值的解析公式 定理2 1 已知是一个具有连续隶属函数的模糊变量，假设，：驼- 驼是严格 单调增加的函数， 善十l i r a f ( x ) = q 且$ 粤， ) = p 俨 ( 2 3 1 ) 根据式( 2 2 9 ) 和( 2 3 1 ) 可得： e 【，( ) 】= f ( r ) d c r r 证明完毕 定理2 1 ，定理2 2 和推论2 1 都是基于f ( x ) 是一个严格单调递增的假设得 出的，通过证明可以得出当，( z ) 单调递减的时候可以得到相似的结论由于篇 幅的关系，下面略去证明过程，直接给出以下两条推论 推论2 2 已知是一个具有连续隶属函数的模糊变量，假设，：乳_ 跪是严格 单调递减的函数，l i m ，( z ) = q 且l i m ，( z ) = p 俨 q ，如果l e b e s g u e 玉卜p 正一 积分 ，i + i 0 c r ，( ) 芝r d r 和 c r ，( ) r d r ，0 j 一 有限，则有 ，i ，- 1 ( p ) e 【，( ) 】_ f ( r ) d c r r ) ( 2 - 3 2 ) 1 6 第二章模糊变量函数的期望值 推论2 3 已知f 是一个具有连续隶属函数的模糊变量，假设，：乳_ 乳是严格 单调递减的函数，如果l e b e s g u e 积分 ，i + i 0 c r ，( ) r d r 和 c r ，( ) r d r - ，0，一 有限，则有 e 【，( ) 】_ f ( r ) d c r 5 7 ) ( 2 3 3 ) 综合定理2 2 和推论2 3 ，我们得到如下结论 定理2 3 已知是一个具有连续隶属函数的模糊变量，假设，：乳一孵是严格 单调函数，如果l e b e s g u e 积分 ，+ i , o c r ，( r ) r d r 和 c r ，( 7 ) r d r ，0，一 有限，则有 e 【，( ) f ( r ) d c r 7 ， ( 2 - 3 4 ) 定理2 3 给出了具有连续的隶属函数的模糊变量的单调函数的期望值的计算 公式，该结论与大家熟悉的随机变量的期望值计算公式极其的相似，说明做为不 确定性理论的工具，模糊变量的期望值与随即变量的期望值有着平行的作用下 面给出两个应用的例子 例2 1 已知是一个具有连续隶属函数的模糊变量，( z ) = x 2 免+ 1 ( k = 0 ，1 ，2 ， ) j 则可以得到，( ) 的期望值表达式如下： e 医铣+ 1 = x 2 k + l d c r 冬z ) 值得指出的是，当k = 0 时，厂( z ) = x ，此时： e 旧= x d c r sz ) 例2 2 已知是一个具有连续隶属函数的模糊变量， 厂( z ) = 矿，则可以得到 ，( ) 的期望值表达式如下： e 问= e = d c r f z 卜 由定理2 3 ，我们可以得到一系列关于模糊变量的期望值的结论 1 7 第二章模糊变量函数的期望值 推论2 4 ( l i u 【1 0 】) 已知是一个具有连续隶属函数的模糊变量， 望值存在，则对于任意实数p 和g ，都有 e 陕+ 胡= p e 【臼+ 口 如果的期 ( 2 - 3 5 ) l i u 和l i u 1 0 】早就给出了推论2 4 的证叽可是篇幅较大，过程比较繁琐， 而根据定理2 3 ，我们很容易证明该推论 证明：当p = 0 时，显然有f ( x ) = q ，此时该引理显然成立当p 0 ，可知 f ( x ) = p x + q 关于z 单调由定理2 3 ，可得 e ，( ) 】- - i - q ) d c r r ) = - i - q ) d c r f r ，- + ，i 十 = p r d c r r ) + q d c r r ) ，- - 0 0i ，一o 。 = p e 吲+ q 证明完毕 同理，我们可以得出如下推论 推论2 5 已知是一个具有连续隶属函数的模糊变量，如果，( ) 的期望值存 在，则对任意实数p 和口，都有 e 囟厂( ) + q 】= p e 【，( ) 】- i - 口( 2 3 6 ) 正如我们所知，由于认识的有限性和客观世界中模糊性的广泛存在，在实际 建模过程中不确定的参数通常用模糊变量表示对实际问题而言，模糊变量通常 都是支撑有界的，例如常见的三角模糊变量和梯形模糊变量在c o b b - d o u g l a s 生产函数中应用到的模糊变量通常是一个正的支撑有界的模糊变量，为此我们给 出一些支撑有界的模糊变量的单调函数的期望值解析计算公式 定理2 4 已知f 是一个支撑在止，酊上的模糊变量，且，：睨- 蹰是一个严格单 调的函数如果l e b e s g u e 积分 ，+ r 0 c r 【，( ) r d r 和 c r ，( ) r d r ，o ，一 有限，则有 e 厂( ) 】 ，d = f ( r ) d c r f r 一 ( 2 3 7 ) - ，n 1 8 第二章模糊变量函数的期望值 证明：因为的支撵为有界区间【a ，6 】，因此有 c r 7 ) 兰0 ，墨口， c r r 兰1 ，r b 根据定理2 3 ，可得 e 【，( ) 】 = e 竹) d c r = 仁竹) d c r 骼卅小r ) d c 球纠+ 厂m ) d c r 滢 = f ( r ) d c r r ) ， 证明完毕 例2 3 已知- ( 0 ，1 ，3 ，5 ) 是一个梯形模糊变量，则有 c r z ) = 0 ，z 0 z 2 1 2 o 一1