（概率论与数理统计专业论文）一类特殊相依风险的研究.pdf

兰州大学硕士学位论文 摘要 在经典风险理论中，当考虑多个风险的组合时，我们总是假定风险之间是相互独立 的，如p a n j e r 递推公式，卷积公式，多重生命模型，都是基于个体之间的独立假设投保的 个体间是相互独立的，由大数定律知当投保人越来越多时，平均风险就可以预测，而且保 单组合的累积索赔对应的分布近似于正态分布，这就使得它在数学上易于处理 然而“物以类聚，人以群分”，还有夫妻生命模型间的“心碎综合症”等等由于受一些 共同因素的影响，风险模型中个体间总是有这样那样的关系，独立性假设往往不能如实地 描述变量之间的内在联系，自然就不能准确地反映客观实际 近年来，对于风险间相依关系的研究成为一个热点，由于研究内容越来越贴近实践， 所以对它的研究具有越来越重要的意艾 本文第二章在描述了风险相依性后，引进一种特殊的正相依结构一共同单调相依结 构我们发现随机向量共同单调时，则它的联合分布达到最大通过对随机向量分量和 的研究，我们发现如果随机向量共同单调，则其分量和在凸序意义下达到最大，如果随机 阿量是p c d 的，则其独立版本的分量和在凸序意义下达到其分量和的下界，并且给出了 p a ，p g d ，w ( p ) a 之问的关系+ 最后我们指出，当随机向量的相依结构介于独立和共同单 调之间时，独立性假设总是低估索赔的危险，而共同单调的假设总是高估索赔的危险，所 以我们总是试图构造一种两个极端情形的某种组合，使得其接近于我们研究的问题本身 第三章通过对共同单调相依结构假设下多重生命模型的研究，得到了与独立性假设 下平行的一些结论，同时从单重生命表出发，通过一个例子给出了连生一最后生存者状况 生命表的构造 关键词：相依共同单调p ap c dw ( p ) a 关系多重生命模型 兰州大学硕士学位论文 a b s t r a c t i nt h ec l a s s i c a lr i s kt h e o r y jw h i l ec o n s i d e r i n gt h ec o m b i n a t i o n so fal o to fr i s k s ，w e a l w a y sa s s u m et h ei n d e p e n d e n tb e t w e e nt h e m ，s u c ha sp a n j e rr e c u r r e n c ef o m m l a ，t h e c o n v o l u t i o nf o r m u l a t h em u l t i p l el i f em o d e l se t ca r e 缸lb a s e do ut h ea s s u m p t i o ni n d e p e n d e n c eb e t w e e nt h ei n d i v i d u a l ss u p p o s et h a ti n d e p e n d e n c eb e t w e e nt h ep o l i c y h o l d e r ， t h ea v e r a g er i s kc a nb ep r e d i c t e db yt h eg r e a tn u m b e rl a ww h e nt h ep o l i c y h o l d e ri sm o r e a n dm o r e ，a n dt h ed i s t r i b u t i o no fa c c u m u l a t i o nc l a i mt h a tt h ei n s u r a n c ep o l i c ym a k eu p i sa p p r o a c ht on o r m a ld i s t r i b u t i o n ，w h i c hm a k ei te a s yt od e a lw i t hi nm a t h e m a t i c s 、 b u t “b i r d so faf e a t h e rf l o c kt o g e t h e r ，p e o p l eo fo n em i n df a l li n t ot h es o n i cg r o u p a n d “h e a r t b r o k e ns y n d r o m e i nt h ec o u p l e sl i f em o d e le t ca r ei n f l u e n c e db ys o n i cs i m i l a rf a c t o r si n d i v i d u a l so f r i s km o d e l so f t e nh a v ev a r i o u sr e l a t i o n s h i p ，i n d e p e n d e n c e a s s u m p t i o nc a n td e s c r i b et h ei n n e rl i n ka c c u r a t e l y ) a n do fc o u r s ec a n tr e f l e c tt h er e a l i t y o b j e c t i v e l y i nr e c e n ty e a r s ，r e s e a r c ho nt h ei n t e r d e p e n d e n to fr i s k sh a sb e c o m et h ef o c u s ，a n d t h ec o n t e n t sa y em o r ec l o s e dt ot h ep r a c t i c e ，t h i sm a k et h er e s e a r c hw o r km o r ea n dm o r e i m p o r t a n t i nc h a p t e rt w o ，f o l l o w i n gt h ed e s c r i b i n gt h ei n t e r d e p e n d e n tr i s k tak i n do fs p e c i a l i n t e r d e p e n d e n ts t r u c t u r e - t h ec o m o n o t o n i c i t ys t r u c t u r ei si n t r o d u c e d w ef i n dt h a ti t s u n i o nd i s t r i b u t i o nr e a c h e st h eb i g g e s tw h e nt h er o a m o mv e c t o ri sc o m o n o t o n i c i t y 1 砖- o m t h er e s e a r c ho ft h es u l no fr a n d o mv e c t o r ss e g m e n t ，w ef i n dt h a ti f i t i sc o m o n o t o n i c i t y , i t ss u mw o u l dr e a c ht h eb i g g e s ti nt h em e a n i n go ft h ec o n v e xo r d e r i fr a n d o mv e c t o r b e l o n g st op c d ，t h es u mo fi t ei n d e p e n d e n te d i t i o nr e a c ht h el o w e rb o u n d a n dp r o v i d e t h er e l a t i o n sb e t w e e np a ，p c da n dw ( p ) af i n a l l y , w ep o i n to u t ，w h e nt h ev e c t o r s i n t e r d e p e n d e n ti s1 3 ，i n gb e t w e e nt h ei n d e p e n d e n c ea n dc o m o n o t o n i c i t y , t i l ei n d e p e n d e n t a s s u m p t i o na l w a y su n d e r e s t i m a t et h ed a a g e ro ft h ec l a i m la n dt h ec o m o n o t o n i c i t ya s s u m p t i o na l w a y so v e r e s t i m a t et h ed a n g e ro ft h ec l a i m s ow ea l w a y st r yt oc o n s t r u c t ac o m b i n a t i o nm a d eo ft h e s et w ok i n d so fe x t r e m e st om a k ei tm o r ea p p r o a c ht ot h e p r o b l e mt h a tw es t u d y i nc h a p t e rt h r e e ，t h r o u g ht h er e s e a r c ho ft h em u l t i p l el i f em o d e li nt h ec o m o n o t o n i e - i t ys t r u c t u r e ，w eg e ts o m ec o n c l u s i o nw h i c hp a r a l l e li n d e p e n d e n c ea s s u m p t i o nm e a n w h i l e ， p r o c e e df r o ms i n g l el i f e st a b l e ，w i t ha ne x m n p l ew ep r o v i d et h ec o n s t r u c to ft h ej o i n t l i f e a n dt h el a s t s u r v i v o rs t a t u s k e y w o r d s ：i n t e r d e p e n d e n tc o m o n o t o n i c i t yp ap c dw ( p ) ar e l a t i o nm u l t i p l el i f e m o d e l s 原创性声明 本人郑重声明：本人所呈交的学位论文，是在导师的指导下独立进行研究 所取得的成果学位论文中凡引用他人已经发表或未发表的成果，数据，观点 等，均已明确注明出处除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个入 或集体已经发表或撰写过的科研成果对本文的研究成果做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明 本声明的法律责任由本人承担 论文作者签名日期：冽= ：芝蕴 牛 关于学位论文使用授权的声明 本人在导师指导下所完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属兰州 大学本人完全了解兰州大学有关保存，使用学位论文的规定，同意学校保存或 向国家有关部门或机构送交论文的纸质版和电子版，允许论文被查阅和借阅； 本人授权兰州大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行 检索，可以采用任何复制手段保存和汇编本学位论文本人离校后发表，使用学 位论文或与该论文直接相关的学术论文或成果时，第一署名单位仍然为兰州大 学 保密论文在解密后应遵守此规苊 论文作者签名 导师签名：垂f ：黼期：盎圭业六墨 爷 声 兰州大学硕士学位论文 第一章准备工作 1 1 几种常见的序 我们知道，随机变量之间是不能比较大小的，但是当我们在风险间做出选择时我们 已经对风险作了比较现实中，为了对风险进行比较，一般的做法是将要比较的随机变量 做一系列相同的变换，使得在这种变换下每个随机变量都对应一个实数，然后对这些实数 进行比较很多精算学的文章都是基于这种思想的 下面我们介绍三种常见的随机序 在本篇文章中用到的随机变量都指一般随机变量，并且期望和方差都是存在的，如 果它们是用来描述风险的，则假定其非负 定义1 1 1 考虑两个随机变量x 和r 如果对任意非降函数，都有e f ( x ) e ，( y ) 成立，则称x 在通常随机序意义下小于y ，记作x 目y 通常随机序简称随 机序 随机序的另外一种等价定义：考虑两个随机变量x 和y ，如果对有f x ( z ) f y ( 。) ，则称x 在通常随机序意义下小于y 这里i k ( z ) 是x 的生存函数，即瓦( z ) = p ( x z ) 从这个等价定义能得到一个关于随机序的很好的性质，即： x 占y 辛e x e y 等价性的证明见s h a k e d 等( 1 9 9 4 ) p 3 - 4 定义1 1 2 考虑两个随机变量x 和如果对任意非降凸函数，都有e i ( x ) e f ( z ) 成立，则称x 在停止损失序意义下小于一记作x “y 停止损失序的另外一种等价定义：考虑两个随机变量x 和y ，如果对v d r 有 e ( x d ) + e ( z d ) + ，则称x 在停止损失序意义下小于y 其实在很多时候我们用的 是后一种定义，即通过止损保险费的形式给出的止损序止损序也称为递增凸序，用记号 。来表示 等价性的证明见s h a k e d 等( 1 9 9 4 ) p 8 3 8 4 从定义1 12 可以看出，x “y e x e y 为了在期望相等的两个风险间进行比较，我们引进凸序 定义1 1 3 考虑两个随机变量x 和y j 如果对任意凸函数，都有e i ( x ) e ，) 成立，则称x 在凸序意义下小于y ，记作x 血y 凸序的另外几种等价形式的定义 e x = e y ，并且对v d r 有e ( x d ) + e ( y d ) + e x e y ，并且对v d 豫有e ( d 一目+ e ( d n + ， 对v d r 有e ( d x ) + e ( d y ) + ，e ( x d ) + e ( yd ) + 兰州大学硕士学位论文 等价性的证明见s h a k e d 等( 1 9 9 4 ) p 5 5 5 6 1 2 逆分布函数 逆分布函数即分位数函数，可以看成是概率分布函数的反函数，它在概率统计尤其 是在精算学中具有举足轻重的地位，是精算学中的一个基本工具，这一节里我们首先给出 逆分布函数的定义，然后给出它的性质，重点给出对这些性质的证明 我们知道随机变量x 的分布函数取( z ) = p z ) 是一非降右连续函数，而且成 立关系： b ( 一o 。) = 1 i m 败( 。) = 0 ，取( + ) = l i 毋如( 。) = 1 通常意义下逆分布函数是一非降左连续函数，它的定义通过以下形式给出： 定义1 2 1 称只；1 细) = i n s x r i 取( z ) 西，p 【0 ，1 】为通常意义下的逆分布 函数，约定i n f o = 十 定义1 , 2 2 我们定义彤如贬“( p ) = s u v z r l 如扛) p ，p 【0 ，1 1 的逆分布函 数，约定s u p o = 一。并且对任意的“ 0 ，1 】，我们给出： 定义1 2 3f 互u 州( p ) = 口f i l 扫) + ( 1 a ) f 互h ( p ) ，p 【o ，l 】，并称它为d ( ( z ) 的 。一混合逆分布函数 容易从定义1 2 3 看出f i l 0 ) 一j ；1 ( 1 ( p ) ，巧1 + ( p ) = 巧1 o ( p ) 从下图中看成立关系： q p f x 1 0 ) f x ( p ) f x - i 钿f x ( q 啄1 + ( o 常用的逆分布函数是f i l 0 ) ，有时候也用巧”( p ) ，我们能从定义1 2 1 和定义1 2 2 看出x 的所有密度落在【乓”( o ) ，巧1 ( 1 ) 内 2 兰州大学硕士学位论文 现在令d 满足0 f x ( d ) 0 ，盘+ e a ，从而f x ( o + e ) p ，令e _ o 由如( z ) 的右连续性玫( a ) p ， 因此n a 若巧1 ( p ) z ，则z = i n f a ，z a ，从而取( z ) p 若 ( 。) p ，则z a ，从而z m f a = 巧1 ( p ) 口 定理1 2 2f j l ( p ) 是p 的非降左连续函数，而巧1 t ) 是p 的非降右连续函数 证明：我们就贬1 ( p ) 的情况予以证明，巧“( p ) 的证明也是一样的 非降性：任取p l 0 ，若9 0 ) x ， 有巧1 一e ) ，由( 1 2 1 ) 式有p e 取( z ) ，令e 一0 ，有p 以( z ) 再由( 1 2 1 ) 有巧1 扫) z 口 下面我们给出随机变量x 和g ( x ) 的逆分布函数之间的关系，其中9 是单调函数， 具体描述在定理中给出 定理1 2 3 设x 和9 例都是是随机变量，取0 p l 我们有 r 叫如果口是非降左连续的，则巧知) ! 妒( 只i 1 ( 力) p j 如果9 是非降右连续的，则巧茄0 ) = 9 ( j x l + 0 ) ) 卜j 如果9 是非增左连续的，则巧茄) = 9 ( 最1 ( 1 一p ) ) f d j 如果9 是非增右连续的，则b ( p ) = 9 ( 眨“( 1 一p ) ) 证明：( a ) 设0 p 1 ，取非降左连续函数9 ，对任意实数。，从( 12 1 ) 得巧1 ( p ) z p 民( z ) 由于9 是左连续的，所以我们有 g ( z ) z 车争z s t 印 | 9 ( f ) z ) 3 兰州大学硕士学位论文 对所有的实数z 和。成立因此， p 岛( x ) ( z ) 甘p p ( g ( x ) z ) = 尸s 印驯9 ( ) z ) ) = r ( s 叩圳9 ( 9 ) z ) ) p 取( 5 婶( 咖( p ) z ) ) 巧1 0 ) s “p y l g ( y ) z ) 9 ( 巧1 0 ) ) x ( b ) 由于g 是非降右连续的，可知g ( z ) 。= z i n f yp g ( u ) 。 对所有x 成立因而 对任意的x 有 乞- - ( x 1 + ) ( p ) z 甘p p ( 9 ( x ) z ) p p i n f ( y l g ( y ) z ) ) 巧1 + ( p ) i n f y l g ( y ) z ) 9 ( 巧1 + ( p ) ) z ( c ) 当9 是非增左连续时，一g 非降左连续，可以仿照( a ) 的情形证明如下： g ( z ) z z s u p y i 一9 ( 9 ) z ) 对所有的x 成立，从而 g ( z ) z 。s u p y l g ( y ) z ) 对所有的成立因而对任意的z 有 巧妨( p ) 。甘p m , p y l g ( y ) $ 9 ( 贬1 ( 1 一p ) ) ( d ) 当g 是非增右连续时，一g 非降右连续，可以仿照( b ) 的情形证明如下： 一9 ( 。) 。 z z z i f y l g ( y ) z ) 对所有的x 成立因而对任意的z 有 巧羔) ( p ) z 甘p p ( 9 ( x ) z ) = p ( 9 ( x ) z ) = p ( x i n f y l g ( y ) 。) ) 甘1 一p 1 一p ( y i n y u l g ( y ) z ) ) 竺p ( x i n f y l g ( y ) z ) 9 ( 巧”( p ) ) 口 4 兰州大学硕士学位论文 第二章风险相依性 在经典的风险理论中，当考虑多个风险的组合时，我们总是假定它们之问是相互独 立的，如集体风险模型中的p a r t i e r 递推公式，个体风险模型中的卷积公式以及近似逼近 都是基于独立性假设的，还有多重生命模型，多重损失模型都是基于个体之间的独立如 果投保的个体间相互独立，由大数定律知当投保人的数量越来越大时，平均风险就可以预 测，而且保单组合累积索赔的分布近似于正态分布，这使得它在数学上易于处理 然而受一些共同因素的影响，如夫妻生命模型间的“心碎综合症嘞以类聚，人以 群分”等等，所以风险模型中个体间总是有这样那样的关系，独立性假设往往不能客观的 描述变量之间的联系，自然就不能如实地反映客观实际 目前，从已知的边际分布出发，研究风险相依性的有多种方法，其中最彻底的就是从 边际分布出发构造联合分布其中一种是基于1 9 5 9 年s k l a r 提出的c o p u l a r ( 联系子1 的 方法，另一种是基于共同单调性的研充它最初是由s c h m e i d l e r ( 1 9 8 6 ) 和y a r r i ( 1 9 8 7 ) 分 别在数学和经济学中提出的，随后被引入风险理论 2 1 常用描述相依性的量 我们引入记号r ( 取。取。，最。) ，它表示所有一维边际分布函数为r 。， 氏。的所有随机向量组成的集合，即： r ( f x 。，取，r ，。) = ( ( h ，k ，k ) | 氏= f x ，i = 1 ，2 ，n ( 2 1 1 ) 定义2 1 1 对于两个随机变量五r 如果0 v a r ( x ) + 。，0 v a r ( y ) x 2 ) 尸( 蜀 z 1 ) p ( 犯 x 2 ) 对于所有z l 0 ，x 2 0 都成立，则称x l ，托是正象限相依的，记为p q d 定义2 1 6 【8 】如果有 尸( x 。l 。1 ，x 2 x 2 ) p ( x l x 1 ) 尸( x 2 x 2 ) 对于所有。l ，劫都成立，则称x l ，j 屯是正象限相依的，记为p q d i t l 也用这一定义 注：2 1 1 我们在不同的文献中看到关于随机变量问p q d 相依关系的定义时出现 了定义以上四种情彤的定义，如果把随机变量看成风险，则定义213 ，2t 6 等价下面的 引理给出72 1 4 和2 1 5 及2 16 的等价性 引理2 1 1 对于任意的随机变量x ，y ，下列描述是等价的 ( a ) 隅即是p q d 的j ( b ) 对任意使得协方差存在的非降实函数，g 有c o y ( f ( x ) ，口( 1 ，) ) 0 成立 引理的证明见1 7 l e m m a4 定义2 1 7 【2 2 】考虑随机向量墨= ( x l ，扔，五；) ，对于使得协方差存在的非降 函数，g 都有 c o y ( f ( 墨) ，g ( x ) ) 0 别称墨是正相关的，记为朋 定义2 1 8 【2 2 】对任意非降函数，9 ，及a l ，a 2c ( 1 ，2 ， ，札) ，a 1n a 2 = 咖有 c o v ( f ( x i ，i 1 ) ，g ( 玛，j a 2 ) ) 0 成立，则称( x l ，j 如，五。j 是弱形式的正相关的，记为f 列a 注：2 1 2 依据定义2l7 ，21 8 可知， 1 5 1 p 7 1 中关于p 4 的定义只是弱形式的正相 关，而非正相关，而且【2 l 】指出正相关可以推出弱形式的正相关而一般情况下弱彤式的正 相关不能推出正相关 同时我们发现二维情形下，弱形式的正相关和正象限相依等价 定义2 1 9 【1 3 】ic 1 ，2 ，n ) ，对任意的，和j ，如果研= 五和局是 埏， p q d 一臣据定义215 j ，则称x 1 ，局， ，五是正累积相依( p c d ) 的 6 兰州大学硕士学位论文 2 2 风险共同单调性 共同单调( c o m o n o t o n i c i t y ) 是由s c h m e i d l e r ( 1 9 8 6 ) 和y a r r i ( 1 9 8 7 ) 分别在数学和经 济学中提出，随后被引入风险理论共同单调性指的是各个个体风险均n n - - n n 有关， 并随着它的变化而同向变化即个体风险x ，局，焉满足，置= 皤) ，其中一( ) o ，。= 1 ，2 ， ，z 是风险显然，地震，洪水，火灾等巨灾引起的个体保险损失或索赔都满 足共同单调性 我们首先定义r ”中n 维向量的共同单调性用表示( 。z ，她，。) 对于两个n 维向量量y ，如果它们各分量大小关系相同，即吼肌对所有的i 0 = 1 ，2 ，n ) 都成立， 则用记号x ”来表示它们的关系 定义2 2 1a 中的任意两个向量羔，y ，要么x y 要么x y ，则称集合a 为共同 单调集 从这个定义可以看出，对a 中的任意两个元素墨，y ，如果对某个t 一= 1 ，2 ，札j 有 z 。肌时有墨y 成立，则集合4 是共同单调的因此共同单调集每个分量同时非降或 非增，共同单调集的任何子集都是共同单调集 我们引入r “中集合a 的( i ，j ) 一投影的概念，它是这样定义的j a ，= ( 瓤，z ，) i 签 a ) 引理2 2 1a p 是共同单调的当且仅当对所有的i j ，2 ，j 1 ，2 ， ，n ) ，4 是共同单调的 证明：j 显然 仁，所有的a 都共同单调，特别的有a l ma l ，拍 ，a 1 。共同单调，从而对v z _ ，y 4 ，它们在4 的( 1 ，j ) 投影的分量分别为( x 1 ，) ，( y l ，鲫) ，z = 2 ，3 ，n ，如果z 1 y 1 ，则 必有耳蜥，j = 2 ，3 ，q 即x y ，从而a 共同单调 口 为了引入随机向量共同单调的概念，我们先给出支撑的概念 一个集合a 鼢称为墨的支撑，如果p ( 墨a ) = 1 ，同时对任意非零测集t 3c a ， 有d ( 墨b ) 1 成立，则称a 为墨的最小支撑，今后我们讲的支撑都指的是晟小支撑 下面我们给出随机向量共同单调的概念 定义2 2 2 如果随机向量五= ( z 1 ，x 2 一，z 。) 有共同单调的支撑，则称墨是共同 单调的 从这个定义我们能够看出，共同单调性是非常强的一种正相依结构事实上，如果 昌y 是墨共同单调支撑中的元素，即马y 是盖的可能的取值，则它们的分量大小一致， 这就解释了“共同单调” 一个随机向量的共同单调性意味着一个分量的值变大，其它分量的值也会变大 下面的定理给出了随机向量共同单调的一些等价命题 定理2 2 1 一随机向量x = ( x l ，弱) 是共同单调的当且仅当下面等价条 件之一成立 7 兰州大学硕士学位论文 ( 1 ) 五有共同单调的支撑 f 2 ) 对所有的x = 扛l ，z 2 ，z 。) ，我们有 瞧( ! ) = n 最。( z ) ，凸。( z 。) ， ，取。( z n ) ) ( 3 ) 对于u u n i f o r m ( o ，1 ) ，我们有 x 曼( 赋( u ) ，j 玄( 矿) ，f 乏( u ) ) ( 4 ) 存在一随机变量z 和非降函数 0 竺1 ，2 ，n ) ，使得 x 兰( ( z ) ) ，2 ( z ) ) ，a ( 牙) ) 证明：( 1 ) j ( 2 ) ，假设x 有共同单调支撑b ，取! 时，定义a ) ，j = l ，2 ， ，n 由于b 是共同单调的，因而总存在一个i 使得a = 们发现 取( z ) = p ( x n a j ) i - l = p ( 丝a i ) = 取。( 墨) 一m i n f x ，( z 1 ) ，取。( z 2 ) ，最。( z n ) ( 22 1 ) ( 222 ) ( 223 ) = 妇口l 协 n 饕。岛，因此我 ( 2 ) 辛( 3 ) 现在假定f x ( q ) 一m i n f x 。( z 1 ) ，耽( z 。) ， ，最。( z n ) ) 对所有的 ! = ( 巩。2 ，z 。) 都成立，从( 12 1 ) 可知成立下面的表达式 p ( f 寻( u ) z 1 ，j 乏( u ) n ) = p ( u 取，( z ) ，u 最。( z n ) ) = p ( u r a i n ( q ) ，j = 1 ，n ) ) = m i n 取，( q ) ，j = 1 ， ，n ) ( 3 ) ( 4 ) 直接从( 3 ) 的表达式中就可以确定 ( 4 ) ；( 1 ) 假如存在一支撑为b 的随机变量z 和非降函数 0 = 1 ，2 ，n ) ，使得 墨兰( ( z ) ，2 ( z ) ， ， 。( z ) ) 则x 的可能取值是“ ( z ) ，2 ( z ) ，a ( z ) ) i z 口) ，它显然是共同单调的，这就 意味着墨是共同单调的 d 由( 22 1 ) 可知，为了得到所有n 个共同单调风险五的结果小于轨“= 1 ，2 ，n ) 的概率，只要取这个事件中最不可能发生的那个事件的概率显然，对一般的随机向量 ( x l ，x 2 ，x ) ，下列不等式成立 p ( x 1 尥她，墨。) m i n f x ( z ，) ，i = 1 ，2 ，n ) ( 224 ) 8 兰州大学硕士学位论文 h o e f f d i n g ( 1 9 4 0 ) 和f r 6 c h e t ( 1 9 5 1 ) 研究发现( 2 24 ) 式的右端实际上是随机向量 ( 巧j ( u ) ，赋( 叭砭( u ) ) 的分布函数，而( 赋( u ) ，赋( 叭赋( u ) ) 和向量 ( 局，局，五，) 有相同的边际分布不等式( 2 2 4 ) 说明在所有和( 托，凰，) 乙) 有相 同边际分布的随机向量中，所有五都取小的概率在随机向量共同单调时达到最大，这说 明共同单调实际上是一种非常强的正相依结构 由前面的叙述可以看出，由于随机向量( 赋( u ) ，f 乏( u ) ，f - 。i ( u ) ) 和随机向量 ( ( 乓“( u ) ，巧：”( u ) ，f - 1 睁“( u ) ) ) 以概率1 相等，我们发现墨的共同单调性可 以通过下式描述 墨= d ( e 爿。1 ( u ) ，只若劬( ，) ，只嚣。”( u ) ) ，u u n i f o r m ( o ，1 ) ，啦i o ，1 】 ( 22 5 ) 由于u u n i f o r m ( o ，1 ) ，因此1 一u u n i f o r m ( o ，1 ) 故而基的共同单调性也可 以通过下式描述 x = d ( f 乏4 ( 1 一u ) ，f - 。i 。2 ( 1 一u ) ，f - 。1 “( 1 一矿) ) ( 226 ) 在后续的内容中我们用随机向量( x ：，避，麟) 表示随机向量( x z ，恐，五；) 的共同单调版本，从( 222 ) 我们发现对任意的随机向量墨，它的共同单调版本墨。= ( x 二端，坶) 的可能结果以概率1 落在下面集合中 “f 乏) ，磋) ，聪0 ) ) l o p 1 ) ( 227 ) 定理2 2 2 一个随机向量墨是共同单调的当且仅当( 五，五) 对所有的i j ，i ，j f 1 ，2 ，n ，是共同单调的 证明： 显然 乍考虑即中的集合a = ( 赋( p ) ，f 乏( p ) ，磋p ) ) l o p 1 它的( i j ) 一投影 通过表达式a 。= “f 乏( p ) ，f - 1 ( p ) ) i o p 1 ) 给出，事件墨a 和事件“( 五，。砀) a 对所有的( i j ) 成立”等价由于( 蜀，置) 的共同单调性知( 置，玛) a 是一必然事件因 此我们有p 区a 1 = 1 ，因此共同单调集a 是墨的支撑，这就证明了墨是共同单调的 随机向量 2 3 两个例子 口 例2 3 1 我们先给出连续分布的情形 设x u n i f o r m ( o ，；) u ( 1 ，；) ，y b e t a ( 2 ，2 ) ，这样r ( g ) = 3 y 2 2 y a , y ( 0 ，1 ) ，z n o r m a l ( o ，1 ) 如果x ，rz 相互独立，则它们的支撑在下面集合中 f ( z ，z ) i z ( o ，j 1 ) u ( 1 ，i 3 ) ，( o ，1 ) ) ，z r 9 一 兰型盔堂巫圭堂垡堡塞 ( x ，fz ) 同调版本( x 。，y 。，z 。) 的支撑在下面集合中 “f j l ( p 1 耳1 ( p ) 屹1 ( p ) ) 【o p 1 ) ，具体情况可参见下图 事实上，我们只是在图中描述了共同单调集的一部分，即省去了p ( 中( 一2 ) ，中( 2 ) ) 和沿着渐近线( o ，0 ，z ) ，( ；，1 ，z ) 的部分粗的连续曲线就是支撑s ，点线是为了把s 变成 连续曲线写注意到取( 2 ) 在= j 和z = 1 处有一水平部分，君精着每个坐标轴的投影 都构成一条递增曲线 例2 3 2 二维离散随机向量的情形 x “u “2 f o r m o ，1 ，2 ，3 ) r 1 ，一b i ，l o m ( 3 ，；) ，易证 ( 0 ，0 ) ( 0 ，1 ) ( 1 ，1 ) ( 2 ，2 ) ( 3 ，2 ) ( 3 ，3 ) p p p p p 口 0 ，及b ，使得 p ( y = a x + b ) = 1 ，因此，r ( x ，y ) = 1 意味着( x ，y ) 的共同单调，而( x ，y ) 共同 单调只能有r ( x ，y ) 非负，后面我们将要证明当，y ) 满足一定的条件时共同单调和 r ( x ，y ) = i 等价 我们在定理2 21 中已经证明过，在所有的墨r ( r 。，f x 。， ，取，。) 中，当随机向 量是( 矸1 ( v ) ，巧1 ( ，巧1 ( u ) ) 时，联合分布达到共同单调的上界 定义24 1 随机向量墨r ( 如，乒k ， ，h 。) ，如果存在一个随机变量正实 数常量n ，实数常量b ；使得关糸墨兰o 。y + b 对所有的z = 1 ，2 ，n 成立，则称墨属 于同一位置尺度分布族 这个定义等价于存在分布函数r ，正实数a 。和实数b 。使得对所有的i ；l ，2 ，n 成立关系f x 。( z ) 一r ，( 一6 。) n ；) 从定理1 23 可以看出，随机向量墨r ( r ，取。，取。) 属于相同的位置一尺度 分布族，则成立关系 贬? 扫) = n ：巧1 p ) + o 。p ( 0 ，1 ) ，( 24 1 ) i 一 一 一 一 一 一 一 一 一一 一 一 p 一 一一一一一 一 一 ， 一 ， 一 ， 一 ， 一 ， 一 ， 一 ， 一 兰州大学硕士学位论文 一一 定理2 4 1 属于同一位置 足度分布族的随机向量盖r ( r ，如z ，) 是 共同单调的当且仅当对所有的z ，j 1 ，2 ， ，n ) 都成立r ( 五，玛) = 1 证明：由于五属于同一位置一尺度分布族，所以从( 2 4 1 ) 和定理2 2 1 可以看出墨 是共同单调的当且仅当 墨皇( o l 巧1 ( u ) + 6 1 ，n 2 巧1 ( u ) + ， ，n n f f l ( u ) + k ) ( 242 ) 因此x 的共同单调意味着对所有的0 3 ) 都成立r ( 五，玛) 21 另一方面如果所有的相关系数都等于1 ，那么所有的( 五，玛) 都共同单调，由定理 ( 222 ) 可以看出墨是一共同单调的随机向量 。 2 5 共同单调随机向量分量的和 我们下面开始研究共同单调的随机向量各个分量和的有关性质 我们用记号s c 来表示随机向量( x - ，x 2 ，墨z ) 的共同单调版本( x ；，弼 各分量的和即 n s 。= 霹 i = l ，霹) ( 2 5 1 ) 在下面的定理中我们将要证明共同单调随机向量各个分量和的逆分布函数等于各个 分量逆分布函数之和 定理2 , 5 1 ( x f ，霹，驾) 的各分量和s 的“一混合逆分布函数可以通过以下 形式给出 。 曙。p ) = 。协0 p l ，0 d 1 ( 2 1 5 1 2 ) i = i 犁( p ) = ；) 晒) = g ( 巧1 ( p l l 。g ( p ) ，0 p 1 、 因此s c 的逆分布函数可以表示成 同理可得 ( p ) = 赋( p ) 0 p 1 蹄+ ( p ) = 赋+ ( p ) ，0 p i 1 2 等篇 髫腻 筒一 嚣 兰州大学硕士学位论文 结果 根据一混合逆分布函数的定义，用n ，1 一n 分别乘以上两式再相加可得要证明的 注意到 s e f - 1 “( 矿) 口 通过上面的定理，我们发现酽的连续支撑如下： n 辱1 “( p ) ，o p 1 ，0 。1 ) = “扫) ，0 p 1 ，0 “l t = 1 这意味着 疆+ ( o ) = 赋+ ( o ) ，璀( 1 ) = 赋( 1 ) i = 1 l = 1 因此，共同单调随机向量分量和的最大值和最小值分别等于对应分量的最大值最小 值的和，同时注意到 o 。，掣( o ) = 赋( o ) = 一o o 给定硭0 = l ，2 ，n ) ，s 。= x ；+ 驾+ + 弼的分布函数可以表述如下 毋c ( z ) = s 婶( p ( 0 ，1 ) 1 f s c ( z ) p ) 一s u p ( p ( 0 ，1 ) 1 剐扫) 。) = s 婶 p ( o ，i ) i 赋o ) z ) i = l 我们自然很关心共同单调随机向量各个分量和的止损保险费与对应各个分量的止损 保险费之间的关系，在下面的定理中我们将要证明共同单调随机向量各个分量和的止损 保险费等于各个分量止损保险费之和 引理251 共同单调集s 。的连续闭包是连续的共同单调的曲面 引埋的证明参阅【1 l 】性质2 定理2 5 2 ( x i ，磁，霹) 的各个分量和铲的止损保险费可以通过以下形式给 出 s i ( s 。一d ) + 】- e s i ( x 。一d 。) + 】，( 巧? + ( 0 ) y ) p ( 五 z ) p ( 玛 y ) 对所有的z ，y 都成立显然有 对任意的i j 有p ( 置 x ，玛 y ) p ( 咒 z ) p ( 玛 y ) 对所有的z ，y f 矿成立， 即任意的( 置，玛) 0 j ) 是p q d 的根据引理2 1 ，l 可知这和( 五，而) w ( p m 等价，由 w ( p ) a 的定义及i ，j 的任意性可知结论已证 对于前者，由p a 的定义，取，( 墨) = 妻五，9 ( 丝) = 咒，由p c d 的定义，结果 嗣 可以用下面的反侧验证定理中后者的逆不成立 设样本空间n = o ，b ，c ，d ) ，p ( n ) = d ( 6 ) = p ( 4 一p ( d ) = i 1 一 。1 口 y = 。1 ，, o 。j ：一a 。o ，t 。c ，z = 。1 ，, 。u ：a 。o ，r 。d ，则容易验证 ( x ，y ，z ) w ( p ) a ，且x + y p ( x + y o ) p ( z 0 ) = i 至此，我们给出了随机向量在凸序意义下的界我们发现，当随机向量的相依结构 介于独立和共同单调之间时，独立性假设总是低估索赔的危险，而共同单调的假设总是高 估索赔的危险所以我们总是试图构造一种两个极端情形的某种组合，使其接近于问题本 身 1 6 x 。 y +x p 但 cro 0 6 d l l f | l | u u 2 1 0 兰州大学硕士学位论文 第三章相依结构下的多重生命模型及其生命表的构造 多重生命精算计算的应用极为常见多重生命模型是指涉及与多个生命相关联的收 益分析，应用在退休金计划中就是常见的连生最后生存