（无线电物理专业论文）基于时域有限差分（fdtd）法的互连传输线参数提取研究.pdf

摘要 随着半导体材料科学和电子信息技术的飞速发展，高速大规模集成电路的集 成度和工作速度得到了不断的增加。作为高速集成电路系统中信号互连线的多 导体传输线，其时域响应分析成了保证高速电子信息系统正常工作的必需环节。 而为了对互连和封装结构进行时域响应分析，首先必须对其进行电磁建模和参 数提取，这在现代电子系统的设计中扮演了重要的角色，是一系列后继工作的 基础。 本论文所涉及的研究课题即是高速集成电路中互连传输线的电磁建模和参 数提取，及其研究方法。研究方法从精度和速度两方面考虑，为适合e d a c a d 设计使用，更侧重速度研究。主要研究工作如下： 1 采用时域有限差分( f d t d ) 法对高速集成电路中互连结构的参数进行 了提取，结合降维方法、渐变非均匀网格划分技术、交变隐式差分方向( a d d 技术和信号拟合预测技术，可以极大地缩减f d t d 法庞大的计算量，提高电磁 仿真的效率。 2 针对有耗多导体衰减常数难以精确提取的问题，将一种新的改进降维方 法应用到有耗互连线系统分析中，可以计算得到衰减常数的准确值。 3 应用以上方法对共面波导( c p w ) 传输线结构进行了高速高精度的电磁 仿真和传输特性的分析。 对以上所有的研究内容，均编写了相应的f o r t r a n 程序，在程序设计上开展 了一定的工作。 关键词：互连线共面波导电磁建模参数提取时域有限差分法 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs e m i c o n d u c t o rt e c h n o l o g ya n de l e c t r o n i ci n f o r m a t i o n t e c h n o l o g y , t h ed e n s i t ya n ds p e e do fv e r yl a r g es c a l ei n t e g r a t i o n ( v l s i ) a r eg r o w i n g u pr a p i d l y t h ea n a l y s i so ft i m ed o m a i nr e s p o n s eo fm u l t i c o n d u c t o rt r a n s m i s s i o n l i n e su s e da si n t e r c o n n e c t i o nl i n e si nv l s ii sb e c o m i n gab a s i cl i n kt oe n s u r eg o o d p e r f o r m a n c eo ft h eh i g hs p e e de l e c t r o n i ci n f o r m a t i o ns y s t e m i no r d e rt oa n a l y z et h e t i m er e s p o n s eo ft h ei n t e r c o a n e c t i o na n dp a c k a g es t r u c t u r e ，p e o p l eh a v et om a k e e l e c t r o m a g n e t i cm o d e l i n ga n dp a r a m e t e re x t r a c t i o n ，w h i c hp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei n t h ed e s i g ns t a g eo fe l e c t r o n i cs y s t e m i ti st h ef o u n d a t i o no ft h ef o l l o w i n gw o r k t h es u b j e c to ft h i sd i s s e r t a t i o ni s e l e c t r o m a g n e t i cm o d e l i n ga n dp a r a m e t e r e x t r a c t i o no fh i g hs p e e di n t e g r a t e dc i r c u i t s ，a n dc o r r e s p o n d i n gm e t h o d s t u d y a c c u r a c ya n de f f i c i e n c ya r et w oa s p e c t st ob ec o n c e r n e d ，a n dt h el a t e ri sg i v e nm o r e a t t e n t i o nf o rt h es a k eo fp r a c t i c a lu s a g ei ne d a c a d ，t h i sd i s s e r t a t i o nh a sm a d et h e f o l l o w i n gr e s e a r c h e s ： 1 f o rl o s s yi n t e r c o n n e c tl i n e s ，t h ef i n i t e d i f f e r e n c et i m e d o m a i n ( f d t d ) m e t h o d i su s e dt oe x t r a c te q u i v a l e n tc i r c u i tp a r a m e t e r s c o m b i n e dw i t hc o m p a c tf d t d m e t h o d ，g r a d e dm e s hp a r t i t i o n i n gt e c h n i q u e ，a l t e r n a t i n gd i r e c t i o ni m p l i c i t ( a d i ) t e c h n i q u ea n ds i g n a lc u r v e - f i r i n gp r e d i c t i o na p p r o a c h ，t h ec o m p u t a t i o nb u r d e ni s t r e m e n d o u s l yc u td o w na n dt h e s i m u l a t i o ne f f i c i e n c yi sg r e a t l ye n h a n c e d 2 d u et ot h ed i f f i c u l t yi ne x t r a c t i n ga t t e n u a t i o nc o n s t a n ta c c u r a t e l y , an e w m o d i f i e dc o m p a c tf d t dm e t h o di sa p p l i e dt oa n a l y z i n gl o s s yi n t e r c o n n e c tl i n e st o g i v ea c c u r a t er e s u l t s 3 t h eh y b r i df d t d a l g o r i t h mi sa p p l i e dt oa n a l y z i n gc o p l a n a rw a v e g u i d e ( c p w ) s t r u c t u r e s ，a n dt h e i rp r o p a g a t i o nc h a r a c t e r i s t i c s c a l lb eo b t a i n e d a c c u r a t e l y a n d e f f i c i e n t l y f o r t r a np r o g r a m sh a v eb e e nw r i r e nf o ra l la b o v ea p p r o a c h e sa n ds o m ew o r kh a s b e e nd o n ei ns o f t w a r er e a l i z a t i o n k e y w o r d s ：i n t e r c o n n e c tl i n e ，c o p l a n a rw a v e g u i d e ( c p w ) ，e l e c t r o m a g n e t i cm o d e l m g ， p a r a m e t e re x t r a c t i o n ，f i n i t e - d i f f e r e n c et i m e d o m a i n ( f d t d ) m e t h o d i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示谢意。 签名：碌篷日期。诲棚士日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论 文的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和 磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：二骅导师签名：二兰晕章 日期：o 叨年】月, 1 - 日 第一章引言 1 1 研究背景 第一章引言 1 1 1 深亚微米技术和系统芯片技术 2 0 世纪6 0 年代初集成电路( i n t e g r a t e dc i r c u i t ，i c ) 的出现是电子工业发展 历史上一个重要的里程碑。在此后的几十年里，微电子技术得到了惊人的飞速 发展，它的目标是不断提高集成系统的性能和性价比，i c 制造的特征尺寸先后 从最初的1 0 a n 以上缩小到5 a n 、l a n 、0 5 a n ，并在1 9 9 7 年前后缩小至 0 3 5 a n ，半导体工艺自此进入深亚微米阶段( 线宽0 3 5 a n ) ；同时，i c 芯片 的规模在依次经历了小规模( s m a l l s c a l e i n t e g r a t i o n , s s i ) 、中规模( m e d i u ms c a l e i n t e g r a t i o n ，m s i ) 、大规模( l a r g es c a l ei n t e g r a t i o n ，l s i ) 、和超大规模( v e r yl a r g e s c a l ei n t e g r a t i o n ，v l s i ) 阶段后，如今已发展到特大规模( g r a n ds c a l ei n t e g r a t i o n g s d 阶段。 目前，市场上最先进的中央处理器( c e n t r a lp r o c e s s i n gu n i t ，c p u ) i n t e l p e n t i u m4 的线宽已达到0 1 3 a n 。面积达到数厘米乘数厘米，时钟频率高达 3 o g h z 左右，集成的晶体管数达到5 0 0 0 万个左右。表1 - 1 是1 9 9 7 年公布的美 国半导体技术发展蓝图川，给出了深亚微米技术的主要特征数据。表1 - 1 揭示了 g s i 技术的发展基本遵循特征尺寸平均每三年缩小2 倍、集成度平均每三年增 加4 倍的摩尔定律。 表1 1深亚微米技术主要特征数据 年代1 9 9 71 9 9 92 0 0 12 0 0 32 0 0 62 0 0 9 工艺最小特征尺寸( r t m ) o 2 50 1 8o 1 50 1 30 1 00 0 7 晶体管数目 1 l m2 i m4 0 m7 6 m2 0 0 m 5 2 0 m 芯片时钟( m h z ) 7 5 01 2 0 01 4 0 01 6 0 02 0 0 02 5 0 0 芯片面积( r a m 2 ) 3 0 03 4 03 8 5 4 3 0 5 2 06 2 0 布线层数 66 7777 88 - 9 深亚微米技术的出现，可以使得整个系统全部集成到一个芯片上，即系统芯 电子科技大学硕士学位论文 片( s y s t e mo nac h i p ，s o c ) 技术成为可能。以前通常被分别置于几个芯片上 的微处理器、存储器、以及逻辑控制单元等，现可被置于2 0 x 2 0 m m 或更大一点 的单个芯片上。这样不仅提高了密度和速度，而且减少了成本。2 1 世纪微电子 技术领域在芯片级上的必然发展方向就是集成电路向集成系统( i n t e g r a t e d s y s t e m ，i s ，系统由一个或少数几个芯片构成) 发展，这是微电子设计领域的一 场革命。 s o c 技术在概念上和传统的i c 设计技术是完全不一样的【2 j 。 传统的i c 设计中，通常系统由若干块由i c 芯片组成的印刷电路板( p r i n t e d c i r c u i tb o a r d ，p c b ) 通过所谓的“二次集成”而形成。尽管i c 的速度可以很高、 功耗可以很小，但由于p c b 板中i c 芯片之间的连线延时、p c b 板可靠性以及 重量等因素，系统的性能受到很大的限制。 s o c 是从整个系统的角度出发，把模型算法、芯片结构、各层次电路甚至器 件的设计紧密结合起来考虑，在单个芯片上一次性完成整个系统的功能。s o c 不但是单个芯片，而且又是一个完整的系统，无须且也不可能通过所谓的“二 次集成”构成系统。由于没有多次集成的附加效应，因此s o c 对系统性能可提 出几乎是无止境的要求。很多的研究表明，由于s o c 设计能够全盘考虑整个系 统的各种情况，因此它可以在同样的工艺技术条件下相对传统i c 设计实现更高 的性能和系统指标。 由于s o c 芯片一定是采用深亚微米工艺制造，因此s o c 设计必须解决深亚 微米工艺带来的自身乃至设计中的一系列问题。例如，深亚微米工艺很小的线 间距和层间距带来的线间和层间的信号耦合作用，以及很高的系统工作频率， 电磁干扰、信号串扰等问题需要研究深亚微米阶段的互连效应，需要更精确的 器件与连线模型等。 s o c 技术的出现对中国科技发展具有重要的意义。首先，从微电子技术的角 度看，我国的微电子产业与发达国家在生产技术总体上存在两代左右的差距。 s o c 技术对科研人员来说是一种挑战，但对于中国的微电子科学来说，则是一 次难得的发展机遇。如果把握得好，有望在五年内使我国在微电子产业方面与 国际先进水平的差距缩小到一代。其次，从整个电子信息产业的角度看，微电 子在产业链中的关联最大，可以共荣材料业、计算机业和通信业，引发包括多 媒体、网络在内的整个电子信息产业群的发展。因此，如果不抓紧研究s o c 技 术，我们将失去未来一次科技和技术跃变的良机。 2 第一章引言 1 1 2 封装技术 s o c 设计需要解决的深亚微米物理设计的问题，其直接研究对象就是集成电 路的互连和封装。 封装设计是集成电路芯片研制中的一项关键技术。由于封装的电、热、可靠 性等性能直接影响集成系统的性能，高性能集成电路芯片要求有与其高性能相 配的高密度和高可靠封装技术，随着电路的封装成本越来越接近芯片的成本， 自上个世纪8 0 年代初起，封装技术也逐渐成为影响集成电路技术发展的重要因 素之一。 传统的i c 封装包含互连和组装两个方面。分为四个层次【3 】即： ( 1 ) 0 级封装芯片层次上的互连； ( 2 ) 一级封装芯片( 单芯片或多芯片) 的i o 与基板互连； ( 3 ) 二级封装一级封装体在卡板( c a r d ) 或p c b 板上的互连； ( 4 ) 三级封装系统板与整机母板的互连。 可见封装系统是由不同层次的互连及互连拓扑组成，多导体互连线是实现封装 的基本手段。通过互连，实现封装的基本作用：电源供给、信号交流、散热、 芯片保护和机械支撑。 新的半导体工艺的出现常常伴随着新的封装技术的出现。深亚微米阶段的封 装技术面临一些新问题。首先，随着集成门数越来越多，互连线的总长度也越 来越长，芯片及系统封装的密度提高在一定程度上取决于互连的拓扑结构，因 此需要不断研究适合新工艺技术的互连架构。其次，由于互连效应，封装时还 必须考虑保持信号的完整性，防止电源布线的干扰，为测试和使用方便建立标 准的引脚间距和输出，加强散热等问题。 深亚微米技术下，尤其是s o c 技术下的互连和封装已开始由原来的四个层 次缩小至前两个层次，可见，新的封装技术将呈现独立芯片封装向集成系统封 装发展的趋势，具体表现在：1 ) 传统的三级封装将在二十一世纪最终进入一级 封装，片内和片问互连及互连拓扑将是封装研究的重点方向。2 ) 平面封装向立 体封装( 三维互连) 发展。 1 1 3 互连技术 在深亚微米阶段，由于互连寄生效应将贯穿与电路设计成败密切相关的开关 电流、优化、异步设计、设计复用和设计技术等关键问题中，集成电路的互连 1 电子科技大学硕士学位论文 技术得到了空前的重视。 在直流或低频情况下，多导体互连线可以看作是简单的金属导线，仅仅起着 电连通的作用。但在高频时，情况就不同了，当互连线中高频信号的波长与互 连导线的长度可比拟时，导线上将出现以下一些分布参数效应：电流流过导线 时导线发热表明导线本身有分布电阻；导线之间出现漏电流表明导线之间处处 有漏电导；导线间有电压，导线问便有电场，表明导线之间有分布电容效应； 导线中通过电流时周围出现磁场表明导线上有分布电感。 对于现代高速电子信息系统，工作信号的上升时间和脉冲宽度已经达到p s 量级，对应的频谱则已伸至微波、毫米波波段，高频谐波的波长和互连线的长 度已处于同一量级时，因此互连线系统就不能再简单地认为是仅起电连通作用 的金属导线，而应作为具有分布参数的信号传输线处理，信号脉冲在芯片外的 甚至芯片内的互连线上呈现出波效应，会影响电路的功能，严重时会导致高速 电路系统无法正常工作。另一方面，一些不连续结构，如多层布线板间的通孔、 垂直互连弯头、跨接线等互连结构也将对系统性能产生明显的影响。可见，深 亚微米阶段，尤其在高性能系统芯片中，互连情况是很复杂的。 互连线的互连效应具体表现为”】：1 ) 延时：即由于脉冲信号在传输线上的 波传输而产生的信号时间滞后。2 ) 畸变：由于传输线的色散、损耗、不连续性、 终端负载不匹配以及多导体之间的相互耦合，使脉冲信号通过后产生的波形变 化。3 ) 回波：由于传输线的不连续性和终端负载不匹配而使信号脉冲产生的多 次来回反射。4 ) 干扰噪声：由于多导体传输线中各导体之间存在着耦合，使脉 冲信号在各相邻线之间产生感应。 上述的互连效应已影响到了信号的完整性，因此在新一代高速电子系统设计 中必须考虑互连结构对i c 的影响，将互连系统、电子器件以及单元电路作为一 个整体进行分析。 在传统的v l s i 的自上而下( t o p d o w n ) 设计流程中，前端设计和后端物理 设计是分离的，互连的寄生效应只能在后端版图预布局完成后才能准确知道， 如图1 1 所示。如果在后仿真时才发现系统性能达不到要求，势必重新开始设计， 严重时可能造成因前、后端设计相分离引起设计迭代过程不收敛而导致设计失 败。可以看出，互连已成为限制系统整体性能的“瓶颈”，互连系统设计已成为 系统芯片设计的重要组成部分，系统芯片设计必须从以逻辑门为中心转向以互 连设计为中心，必须发展能适应深亚微米高性能系统芯片的片内互连技术。 4 第一章引言 图1 - 1 集成电路t o p - d o w n 设计流程 1 1 4 片内互连的基本布线结构 芯片内的互连线大致可分三种 s , s j 。一种是短线( 局部线) ，通常其长度， 0 时，说明该晚时响应的振幅是上升的，需要按一定的线形比例 调节口值( 例如口= 口0 , 9 ) ，使口减小；当a ，一a ， 0 时，说明该晚时响应的 振幅是下降的，需要按一定的线形比例调节口值( 例如口= 口1 1 ) ，使口增加。 然后代入新得到的口值，进行f d t d 仿真，又可以得到下一次的a ，和一，重新 进行判断。如此循环，直到i ( a ：一4 ) a 。l 蜀或i 4 ：一a 1 s ：为止，配合搜索算 法的f d t d 电磁仿真最终得到的口。就是我们所需要的口一。 我们在得到衰减常数口。的同时，也得到了电压时变信息量v ( ，) 和电流时变 信息量f ( ，) 。我们所需的频域电压v ( f ) 和频域电流i ( f ) 可以利用离散傅立叶变换 电子科技大学硕士学位论文 ( d i s c r e t ef o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n 。d f t ) 获得， n - 1 v ( ，) = 址v ( n & t ) e x p ( - j o2 a f n a t ) n = o ( 3 1 4 a ) n - l f ( ，) = a t i ( n a t ) e x p ( - j 0 2 庀f n a t ) ( 3 1 4 b ) n = 0 其中，n 为总的时间步进数，出为时间步长。频率f 可以从v ( ，) 或f ( f ) 波形中相 邻波峰间隔精确地提取。传输线特性阻抗z 0 的计算公式为【5 2 1 z 。：业 ( 3 1 5 ) 。 i ( f ) 在得到传输线的传播常数，和特性阻抗z 0 后，我们就可以利用( 3 - 3 ) 和( 3 4 ) 式计算传输线的等效电路参数了。乱 最后需要指出的是：虽然巧妙而有效地解决了衰减常数a 难以精确提 的问 题，但是由于需要进行搜索寻解，这种基于三大步骤的二维f d t d 法非常耗时， 较基本的二维方法，计算时间成倍增长。本章以下两个小节介绍的渐变非均匀网 格划分技术和交变隐式差分方向技术是弥补此缺陷的有效方法。 3 3 3 渐变非均匀网格划分技术 3 3 3 1 采用非均匀网格划分的意义 即使采用降维技术使三维问题二维化，有时计算量仍然很大，主要是因为二 维空间的网格数目仍然很多。为了解决这个问题，我们采用非均匀网格划分方法。 对于我们研究的互连多导体结构，由于高频时的趋肤效应，导体边界附近场 变化比较剧烈，因此必须对导体边界附近进行精细划分，由于趋肤深度万的限制， 这部分的网格的空间步长必须极小。而远离导体至截断边界的那部分空间，场的 变化比较平缓，显然没有必要采用过细的网格划分，但如果采用均匀网格划分， 这部分空间还是得随着导体变得精细的划分做无谓的精细划分，这样整个空间的 网格数目就会非常巨大。若均匀网格空间的空间步长减小一倍，保持所模拟的物 理空间不变，二维分析的总网格数就将增加n 2 倍。 如果能对需要精细划分的区域采用细网格，在其它区域采用粗网格，这样 既达到细致地描绘局部精细结构，又达到节省计算存储量的目的，就能有效地缓 解趋肤深度占导致网格数目过大的状况。 - 3 2 第三章互连线高速高精度参数提取的研究 非均匀网格技术有两类，第一类是渐变非均匀网格，空间上采用渐变步长， 配合结构和材料的空间变化按需要调整空间步长。由于采用统一的时间步长，编 程实现较为容易。第二类是在局部区域采用均匀细网格，在全域采用采用粗网格， 二者之间无渐变过渡。由于在不同的区域时间步长取值不同，编程实现较难，实 际应用中不如前者普遍。我们涉及的工作属于第一类。 用于f d t d 法的非均匀网格技术理论比较简单，但在实现上具有一定的难 度，主要是由于网格划分既要受数值稳定性条件的限制，又要受划分余量刚好为 零、划分网格数目为整数等条件的限制。我们在理想电壁为截断边界条件的仿真 空间内将渐变非均匀网格和均匀细网格结合，成功地解决了这些限制条件的协调 问题。 3 3 3 2 渐变非均匀网格的时域有限差分法 二维渐变非均匀网格的示意图如图3 - 6 所示。设主网格( 实线) 点的坐标分 别为扛，；f = 1 , 2 ，n ， 和饥；= l “2 ，以j ，网格点之间的边长为 a x ，= x f + l x f ，f = 1 , 2 ，一l a y = y 川_ y j ，_ ，：l ，2 ，一l ( 3 - 1 6 ) 辅助网格( 虚线) 中各网格之间的边长为 ：笪去竺丛，f = 2 ，3 ，m 蟛：型掣= 2 ，3 ，m 3 。乃 0 + l , j o ， a i , j 。夺- 1r 卜6 ，。 ( f ，j ) l 一夺1r - _ o l ，) 图3 - 6 二维渐变非均匀差分网格 可以得到二维f d t d 差分方程( 以巳和以为例) 电子科技大学硕士学位论文 l + 盯 ，+ 圳出 拈( 1 ，力 a ( ，+ 引出 ：s ，刁d 哇_ + 耩p z e ，力 + 。m ：卟圳 可，+ 守督，+ 爿 一硼a t m 小+ 三) + 警剃p 1 8 b ) a t ( 3 - 1 9 ) 其中，v 为波速，缸。和妙。分别为整个计算空间中z 、_ y 方向上最小的网格 步长。为了保证数值稳定性，不引起较大的伪折射误差，非均匀网格的尺寸变化 不能太快，存在空间步长的一般选取准则【5 9 1 o 5 a x i i 缸，2 a x “ ( 3 - 2 0 ) 3 3 3 3 渐变非均匀网格的实现 对于用二维f d t d 法研究的互连线结构，在横截面内，趋肤效应导致导体边 界附近场变化比较剧烈，而且场强主要集中在导体间，所以必须对导体边界附近 和导体间进行精细网格划分。为此，均匀细网格和渐变非均匀网格的结合既能满 足以上要求，又能简化网格的划分方法。图3 7 给出了三种典型互连传输线结构 的网格划分示意图。 3 4 第三章互连线高速商精度参数提取的研究 ( a ) 双导体互连线横截面结构 ( b ) 带状线型互连线横截面结构 ( c ) 微带线型互连线横截面结构 图3 7 均匀网格和非均匀网格相结合的网格划分 由于导体边界附近电磁场变化比较剧烈，相应导体边长2 倍的周围区间采用 均匀细网格划分，再外围采用渐变非均匀网格划分：由于场强主要集中在导体间， 导体间采用同样的均匀细网格划分。在确定二维仿真空间的边界时，为避免复杂 电子科技大学硕士学位论文 吸收边界条件产生的额外计算量而采用理想电壁( p e r f e c t l ye l e c t r i cc o n d u c t o r , p e c ) 截断，大量的数值实验表明，可以将截断边界设在至少6 倍中心导体边长 的位置。 这种网格划分技术结合p e c 截断边界条件简单方便，由于p e c 边界是可调 的，非均匀网格划分余量一定为零，划分的网格数也一定为整数，不需在编程上 花费精力处理常见的非均匀网格划分余量不为零的问题。 ， 3 3 3 4 数值计算结果 对图3 7 ( a ) 所示的双导体互连线结构进行衰减常数提取的电磁仿真计算， 分别运用二维f d t d 法的均匀网格划分和渐变非均匀网格划分，其中，均匀网格 划分的空间步长缸：a y ：o 4 p m ，总的网格数为4 0 x 6 0 ；渐变非均匀网格划分的 最小空间步长a x = 缸= o 4 , u m ，渐变速率为1 5 ，总的网格数为2 4 4 8 。表3 - 1 给出了两种网格划分法之间的计算数据比较( 计算机配置：i n t e ip 42 0 g h z c p u 、 1 0 2 4 m 内存) 。 表3 一l 二维f d t d 法的均匀网格和渐变非均匀网格划分的计算数据比较 从表3 一l 可以看出，两种网格划分方法对衰减常数口的计算结果十分接近， 但非均匀网格划分的计算耗时仅为均匀网格的1 3 左右。说明在利用二维f d t d 法分析互连线传输特性时，采用上述简单方便的渐变非均匀网格划分技术可以在 保证计算精度的前提下，明显地提高计算速度。 3 3 4 交变隐式差分方向技术 3 3 4 1 交变隐式差分方向技术简介 传统的f d t d 方法属于显式差分方法，因而具有显式差分方法的共同特性， 解的过程必须满足稳定性条件( 2 2 6 ) 式。这使得f d t d 方法的应用范围受到了 限制。比如，为了准确地模拟微细结构的电磁特性或由于趋肤深度的限制，空间 步长必须足够小。为了保证解的稳定性，这时时间步长也需相应地取得很小，这 将使f d t d 迭代的时间步数猛增，导致计算效率很低。 3 6 第三章互连线高速高精度参数提取的研究 与显式差分方法相反，隐式差分格式总是稳定的，其时间步长仅受数值误差 的限制。但是，隐式差分格式的缺点是需要通过矩阵求逆或迭代求解大型线性方 程组，计算复杂且量大。 期望的算法是既具有隐式差分格式的无条件稳定性又具备显式差分格式计 算相对简单的优点。1 9 5 6 年，p e a c e m a n 和r a c h f o r d 提出了著名的交变隐式差分 方向方法( a l t e r n a t i n g - d i r e c t i o ni m p l i c i tm e t h o d ，简称a d i 方法) 。其基本思想是， 对于空间变量为多维的偏微分方程，例如两个空间变量( x ，y ) ，首先，选取任一 变量方向按隐式差分格式处理而余下的变量方向按显式差分格式处理；然后，交 换隐式和显式差分格式处理的变量方向。对于每一步来说，解仍然是条件稳定的。 但是，两步复合的结果使得解是无条件稳定的，具备了期望的特性。 1 9 9 9 年，t n a m i k i 首先将a d i 原理应用于f d t d 法【鲫1 ，提出了a d i f d t d 方法，并将其应用于二维t e 波问题的模拟，后来又将其推广至三维问题。紧接 着，e z h e n g 针对三维问题报道了一些数值结果【6 “，并研究了解的稳定性和数值 色散。c e c h e n 报道了a d i - f d t d 法在v l s i 互连线电磁特性模拟方面的应用即】。 研究结果初步显示了a d i f d t d 法相对于传统f d t d 法的优势。 3 3 4 2a d 卜f d t d 法的基本原理 在a d i f d t d 算法中，仍然采用y e e 的矩形差分网格，与普通f d t d 法的主 要区别在于对m a x w e l l 旋度方程右边的时间离散化处理不同，它包含如下两个交 替过程。 过程一：m a x w e l l 旋度方程右边第一项采用隐式差分格式，第二项采用显式 差分格式。 ( 1 + 型) ( f + i 1 ，j ，七) 一e ( f + 昙，t ) a t = 占 竺：竺圭：! ：塑：! ! ：圭：! ：塑 。竺：边二兰二竺：超生 ( 3 2 la ) 电子科技大学硕士学位论文 ( 1 + 警蹦+ 扣一粥，+ j 1 a t = 占 ( 1 + 警( f m + 尹1 一剐。t + 争 a t = 占 ( 1 + p “a t ) h ：+ 1 ( f ，+ 三，七+ = 1 ) 一彤( f ，+ = 1 2 22 ，七+ 三2 ) “ a t = 型竺：圭：! ：! ! 二! 竺：塾 z e ! ( f ，_ ，七+ i 1 ) 一f ( f ，+ 1 ，+ 昙) 4 二土 缈 ( 1 + p “a t ，m ，+ 1 ( f + 三，舭+ j 1 ) 一日；( f + j 1 ， + 圭) a t = 竺兰竺：皇：竺竺：兰 a x e ( ，+ 了1 ，u ，七) 一f ( ，+ i 1 ，七+ 1 ) ! 二! 二一 a z 3 8 ( 3 2 1 b ) ( 3 - 2 1 c ) ( 3 2 l d ) ( 3 2 l e ) 一砖一坠岵一 彤一 噬一。 ! 止! 血 一2一 。一 塞缸 申一一 o o 一 + 一， 一坐竺 鲞 学学 k 一兰 一兰篓 第三章互连线高速高精度参数提取的研究 ( 1 + p “a t ) n ；+ ( f + 三+ 互1 瑚一彤( f + 三1 ，+ i 1 ，j ) a t = 竺：竺i ：! ：! ：竺二竺：竺墨竺 蛳 坐：! ：塾二! ：! ! ! ：垫 a x ( 3 - 2 1 t 3 过程二：m a x w e l l 旋度方程右边第一项采用显式差分格式，第二项采用隐式 差分格式。 ( 1 + 警酽( ，+ 扣旷( r + 知” a t = 占 彤+ 1 ( f + 互1 ，- ，+ j 1 一彤+ 1 ( ，+ i i ，一三，i ) 缈 。! ! ：墨! 二兰二! 尘墨! 生 扯 ( 1 + 警“_ ，+ j 1m e ；弋“+ 扣 a t = s ：气“+ j 1 ，七+ j 1 ) 一日：弋“+ 1一三) a z ! ! ：圭：! ：垫二! ! ：圭：! ：堑 缸 ( + 孚“m + 争叭+ 争 a t = 占 彤+ 1 ( f + 砂1i + j 1 ) 一雎+ ( 卜j 1 。七+ 三) + 日：+ 2 ( u 一尹1 + 互1 ) 一职+ 2 ( “+ 圭，七+ i 1 ) 3 9 ( 3 - 2 2 a ) ( 3 2 2 b ) ( 3 - 2 2 c ) 电子科技大学硕士学位论文 ( 1 + p “t ) a c 气“+ 三1 ，七+ 尹i f ，_ ，+ i 1 ，女+ 圭) a t = 甲( f ，+ 了i ，t + 1 ) 一彤+ 1 ( f ，+ i 1 ，j | ) 止 。! 竺! ：垫二! 竺竺：垫 缈 ( 1 + p a t ) h ；+ 2 ( f + 扣七+ i 1 ) 一彤1 j + 扣i + 三) a t = 。! ! ：羔竺：竺：竺垫! ：! ! ( i + p “a t ) h + 2 ( f + 吉+ j i 国一掣+ 三，+ j 1 a t = 掣( f + j 1 ，+ 1 ，女) 一f + 1 ( f + j 1 ，_ ，七) 每 + 蟛+ 2 ( f ，+ i 1 ，女) 一e y “( ，+ 1 ，_ ，+ i 1 ，后) f 3 2 2 d ) ( 3 - 2 2 e ) ( 3 2 2 0 在第一过程中，将( 3 - 2 1 f ) 式8 9h y 代入( 3 2 1 a ) 式，将( 3 2 1d ) 式的上誓“代入 ( 3 2 1 b ) 式，将( 3 2 1 e ) 式的h 。n “代k ( 3 - 2 1 e ) 式，可得 一 暑 - + 譬濉气r + 圭小+ + 了o a t “脚l + 譬 c ，+ 扣妁 一阱哇一m ， 叫舭 + 差m 咖t 一争彤 ，如t + 耕 4 0 第三章互连线高速高精度参数提取的研究 f f1 + f 是陋+ _ ，1 ，如叫撕扣矿1 ) lj e ；( r + ，+ 吉，t 一巧( t ，+ j 1 ，t q x + l ( f ，+ 三，七) e ；( ，+ ，一吉，七 + e ；( t ，一i 1 ，t ( f ，+ 昙，七) ( 3 2 3 a ) = 髟( “+ 纠+ 差m 一扣引卅( r + 圳 + 【毒卜“弓扣( p ) ) r a t 2 1 一叵1 + p a t 慨 小+ 舭( “，t 廿彰i , j + l , k - 争彤( “，t 一耕 e ：“( f + i ，七+ 昙) + f + 。( f 一1 ，女+ 妻) 4 1 e ? + t ( f ， 七十去) 羞哮 影 告丐 坐。 rl叫l q 釜吲 釜哆 急弓 2 一 坐占 篷哮 釜哮 电子科技大学硕士学位论文 = 掣( “n ； + 嵩m 小扣宁郦( r 专t + 耕 + 纠( 1 + 譬胎+ 扣1t + 料 ，1 卷陬+ 抄+ t ) 一f 怫1 ，0 一f 肼+ ，) + f ( _ ，讲 芦j 实际执行第一过程时，首先由( 3 2 3 ) 式解出e 、e 、e ，1 ，将其代入 ( 3 - 2 1 d ) ( 3 - 2 i f ) ，求得够，、日。线性方程组( 3 2 3 ) 是三对角型系统， 通过追赶法可以求得其解 6 3 , 6 4 。 相似地，过程二中进行同样的变换。 过程一和过程二交替进行，可以实