（概率论与数理统计专业论文）双险种的复合广义poisson风险模型的研究.pdf

摘要 在保险数学，也称为精算数学的范畴内，破产理论是风险理论的 核心内容，而作为评价保险公司偿付能力的数量指标破产概率在 破产理论中占有很重要的地位。因此，科学的预测保险公司未来的保 费收入，可能发生的理赔额，以及估计保险公司的破产概率等，都是 保险数学中十分重要的课题。 由于保险公司风险经营规模的不断扩大，考虑到用单一险种的风 险模型来描述风险经营过程的局限性，本文首先研究了多险种的复合 齐次p o i s s 。n 风险模型：( i ) u ( f ) ：“+ d 一主竺零，f o ，给出了初始 资本为0 时破产概率甲( o ) 的明确表达式，以及初始资本为“时破产概 率甲( “) 的近似估计，并推导出了索赔额服从指数分布情况下生存概 率( “) 的表达式，从而推广了经典复合p o i s s o n 风险模型的相关理论。 然后，我们建立了两险种的复合广义齐次p o i s s o n 风险模型： 1 ( 订 ( f ) ( i i ) u ( t ) = u + c t - 艺矿一艺l 犯，t o ，通过调节系数尺，利用更新理 论和鞅论方法，推导出该模型的破产概率的上界表达式，然后给出了 破产概率的一般微分表达式，还进一步推导出了索赔额服从指数分布 的情况下破产概率的明确表达式。由于该模型考虑到了在充分小的时 间内可以发生多次理赔，从而使本文更具有理论研究与实际应用的价 值。 全文共分为五章。首先在第一章简要介绍了破产理论的研究历 史、现状，以及经典复合p o i s s o n 风险模型。在第二章中，介绍了全 文所涉及到的一些概念，以及更新理论知识和鞅论方法。在第三章中， 将经典复合p o i s s o n 风险模型中的风险理赔推广到多险种的模型，然 后推导了当索赔额服从指数分布时生存概率的明确表达式。第四章是 本文的核心部分，首先建立了两险种的复合广义p o i s s o n 风险模型， 然后推导出了破产概率的微分表达式以及它的上界表达式，还推导出 了索赔额服从指数分布的情况下破产概率的具体表达式。第五章是总 结本文主要工作，探求其不足之处及可拓展空间。 关键词复合广义p o i s s o n 过程，风险模型，调节系数，破产概率， 指数分布 a bs t r a c t i nt h ec a t e g o r yo ft h ei n s u r a n c em a t h e m a t i c s ，a l s oc a l l e da c t u a r i a l m a t h e m a t i c s ，r u i nt h e o r yi st h ec o r ec o n t e n to ft h er i s kt h e o r y a st h e q u a n t i t yi n d e xt o e v l u l a t et h ea b i l i t yo ft h ei n s u r a n c ec o m p a n y , r u i n p r o b a b i l i t y s t a n d st h e i m p o r t a n tp l a c e i nr u i n t h e o r y t h e r e f o r e ， s c i e n t i f i c a l l yp r e d i c i t i n go ft h ef u t u r ep r e m i u mi n c o m e ，s a t i s f a c t i o no f c l a i m ，a n de s t i m a t i n gt h er u i np r o b a b i l i t yo fi n s u r a n c ec o m p a n i e s ，a r ea l l v e r yi m p o r t a n ts u b je t c si ni n s u r a n c em a t h e m a t i c s t h ei n s u r a n c ec o m p a n yi n c e s s a n t l ye n l a r g et h eb u s i n e s ss c a l e c o n s i d e r i n gt h ei m i t so f t h es i n g l e - i n s u r a n c er i s km o d e l ，w ef i r s t l ys t u d y t h em u l t i - i n s u r a n c er i s km o d e l ：( i ) u ( t ) = u + c t - z ( o o g i v e s i fj t = 1j = l d e f i n i t ee x p r e s s i o n so fr u i np r o b a b i l i t y 甲 ) ，w h e ni n i t i a lc a p i t a li sz e r o ， a n dt h ea p p r o x i m a t ee v a l u a t i o no fr u i np r o b a b i l i t yw ( 0 ) ，e s t i m a t e d 甲( “) ，g o tt h ee x p r e s s i o no fw ( u ) u n d e r t h ec o n d i t i o nt h a tt h ec l a i mi s e p o n e n t i a l d i s t r i b u t e d t h e nw eh a v ee s t a b l i s h e dt w oi n s u r a n c e c o m p o s i t eg e n e r a l i z e dh o m o g e n e o u sp o i s s o nr i s km o d e l ： l ( f )帆( r ) ( i i ) u ( f ) = u + c t - 一驴，f o b ya d j u s t i n gt h ef a c t o rru s i n g u p d a t e dt h e o r ya n dt h em a r t i n g a l em e t h o d ，d e r i v i n gt h eu p p e rb o u n d e x p r e s s i o no f r u i np r o b a b i l i t i e si nt h i sm o d e l ，t h eu p p e rb o u n de x p r e s s i o n ， a n dt h e ng i v e sar u i np r o b a b i l i t i e so fg e n e r a le x p r e s s i o n ，a l s of u r t h e r i i i c a l c u l u se d u c ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o no fc a s e so fr u i np r o b a b i l i t i e sf o r c l e a re x p r e s s i o n a st h em o d e lt a k e si n t oa c c o u n tt h a tt h e r ec a nb em a n y t i m e so fc l a i m si nl i u l et i m e ，t h i sp a p e rw o r t h t h e o r ys t u d ya n dp r a c t i c a l a p p l i c a t i o n t h i sp a p e rh a sf i v ec h a p t e r s i nt h ef i r s tc h a p t e ri tb r i e f l yi n t r o d u c e s t h es t u d yh i s t o r y , c u r r e n ts i t u a t i o n ，a n dc l a s s i cc o m p o s i t ep o i s s i o nr i s k m o d e l i nt h es e c o n dc h a p t e r , i tt a l k sa b o u ts o m e c o n c e p t sm e n t i o n e di n t h ew h o l ep a p e ra n du p d a t e st h e o r i e sa n d m a r t i n g a l em e t h o d i nt h et h i r d c h a p t e r , i tp o p u l a r i z et h er i s kc l a i m so fc l a s s i c a lc o m b i n ep o i s s i o nr i s k m o d e lt om u l t i r i s kk i n d m o d e l ，a n dt h e ni td e r i v e st h ed e f i n i t e e x p r e s s i o n so fs u r v i v a lp r o b a b i l i t yw h e nt h ea m o u n to fc l a i m so b e y e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n t h ef o u r t hc h a p t e ri st h eh a r dc o r eo ft h i sp a p e r , a si tn o to n l ys e t su pd o u b l ei n s u r a n c ep o l i c y - p o s s i o n ，r i s km o d e lb u t a l s od e r i v e s c o m p i l e r d i f f e r e n t i a l e x p r e s s i o na n di t su p p e rb o u n d e x p r e s s i o n ，f i n a l l yi ta l s od e d u c e st h et h ec o r r e c te x p r e s s i o n so fr u i n p r o b a b i l i t yw h e n w h e n t h ea m o u n to fc l a i m s o b e ye x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n t h ef i f t hc h a p t e ri st h es u m m a r yo fm a i nw o r ko ft h i sp a p e r , a n di ta l s os e a r c h e st h el i m i t a t i o n sa n de x t e n s i o n a ls p a c e k e y w o r d sc o m p o s i t eg e n e r a l i z e dp o i s s o np r o c e s s e s ，r i s k m o d e l s ， a d j u s t i n gc o e f f i c i e n t ，b a n k r u p t c yp r o b a b i l i t y , e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n i v 硕士学位论文第章绪论 第一章绪论 1 1 破产理论的研究历史和现状 保险风险理论的研究对象来自保险商业的各种随机模型，而研究的这种模型 都是在集体风险理论基础上发展起来的。风险理论作为保险精算数学的一部分是 精算和数学界研究的热门课题，主要处理保险事务中的随机风险模型并研究破产 概率调节系数等问题。 破产理论是风险理论的核心内容。破产理论是研究风险经营者经营状况的理 论和方法，主要应用于风险经营过程中的稳定性分析，预测经营者在有限时间内 和最终会破产的可能性大小，对经营者的决策起指导性作用。在进行风险决策前， 对将来要进行的风险经营过程进行稳定性分析，有极其重要的现实意义和理论意 义。特别在投资和保险行业，其现实意义更加明显。通过对破产概率的估计和预 测，可以决定是否对一个项目进行投资；通过对一新险种将来经营过程的稳定性 分析，可以决定是否开发这一新险种，同时对该险种的保费厘定也有指导作用， 可以通过调节保费来达到减小风险经营过程的破产可能性的目的。它在忽略投资 回报、利率和通货膨胀等因素影响的前提下，从理赔的角度研究风险对保险人偿 付能力的影响。而偿付能力是一个受到多种不确定性因素影响的变量。在风险理 论中，偿付能力被看作是一个随机过程。 破产理论的研究可以上溯至瑞典精算师e l u n d b e r g 于19 0 3 年发表的博士论 文u j ，至今已有百余年的历史。对破产理论的研究既有实际应用的背景，也有其 概率论上的兴趣。事实上，一类最重要的随机过程，p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在这篇论文中提出来的。不过，l u n d b e r g 的工作不符合现代数学的严格标 准，它的严格化是以h c r a m e r 为首的瑞典s t o c k h o l m 学派完成的。c r a m e r 将 l u n d b e r g 的工作重新建立在坚实的数学基础之上( 相关文献见“叫j ) ，并为精算 师处理绝大多数实际的保险问题提供了主要的分析工具。在这个过程中，c r a m e r 发展了严格的随机过程理论。l u n d b e r g 与c r a m e r 的工作被认为是经典破产理论 的基本定理。 在那之后破产理论研究中最令人瞩目的是方法的改进。c r a m e r 的证明虽然 在数学上是严格的，但分析方法比较繁冗。f e l l e r 的更新理论【1 w 和g e r b e r 的鞅 方法【1 1 - 1 习分别给出了l u n d b 蚪r r m e r 经典模型研究式中简洁的证明。由于这 两种证明方法具有代表性，更新论证技巧和鞅方法证明技巧已成为研究经典破产 理论的主要数学工具。如今，破产理论已经成为使用数学模型来描述和研究保险 硕士学位论文 第一章绪论 公司面临风险的一门学科，使用概率论中的马尔可夫过程和随机过程等随机模型 描述保险公司经营过程，以此来演剧保险公司的生存概率、破产概率、破产时间 以及破产前最大盈余分布等等。近期大量文献所研究的模型虽较经典模型有较大 程度的推广，但所使用的方法基本上不外乎以上两种，这两种方法已成为当代研 究破产理论的主要途径。 1 2 经典风险模型的研究内容及主要成果 1 2 1l u n d b e r g c r a m e r 经典风险模型 设“为保险公司的初始资本，c 为单位时间收取的保费， 互) 眨。表示第f 次的 索赔额，n ( t ) 表到时刻t 为止所发生的索赔次数，则公司在时刻t 的盈余为： n f r l u ( t ) = u + c t - 歹 z i f 0 ( 1 2 一1 ) 上述模型是基于以下3 个假设成立的( 相关文献见【1 4 h 1 5 1 ) ： 假设1 ( 独立性假定) 互 企。为一非负独立同分布的随机变量序列， ( f ) ) 御 是参数为兄的齐次p o i s s o n 过程，且 互) 盆。与 ( f ) 御相互独立。 设z f 的同分布函数为f ( x ) = p r ( z t 功，眠o ，口= 研乙 - f t l 一，( x ) 】出， “、 s ( t ) = z f ，v t _ o 这里，s ( f ) 表示到时刻f 为止的索赔总额。由独立性假设可知， i = l 研s ( f ) - 研( f ) 】匝五】= 2 a t 。 为了保证保险商品( 险种) 投放市场后能够安全运行，保险公司自然要求： 一层 s o ) 】= ( c - 2 a ) t o , t 0 为了满足这一要求，应给出以下假设： 假设2 ( 相对安全负荷假定) 令c = ( 1 + 0 ) g , a ，即秒= _ c 一1 ，称9 为相对安 以口 全负荷或相对安全附加。 由模型( 1 - 2 - 1 ) 的独立假设性1 和齐次p o i s s o n 过程的独立增量性可知， c t - s ( t ) ：f 0 ) 为齐次独立增量过程。于是，由强大数定律可知： 甜一s ( f ) ：f o ) l 。一i r a u ( f ) = 佃，觚 2 硕士学位论文第一章绪论 从盈余模型( 1 2 1 ) 看，一方面是连续不断的保费收入以速度c 进行积 累，另一方面则是不断会有理赔需要支付，形成跳跃的支出，因此盈余过程也是 一个跳跃的上升变化过程。但是，这并不排除在某一瞬时盈余过程取得负值的可 能性，这时称保险公司“破产 ，即若某一时刻发生了数额很大的理赔，就很有 可能马上出现盈余小于零的情况。 记r 为保险公司首次破产的时刻，简称破产时刻，令： t = i n f t ：t o ，u ( t ) 0 ，i n f = 0 0 l u n d b e r g 和c r a m e r 所研究的是保险公司最终破产的概率，即： 甲( “) = p t o o l u ( o ) = “ = p 3 t 0 ，u ( f ) 0 ， v u 0 简称甲似) 为破产概率。显然破产概率可作为评价保险公司偿付能力的一个重 要数量指标。l u n d b e r g c r a m e r 的结果可直观的表述为：当初始准备金u 充分大， 保险公司在经营“小额索赔 情形的保险业务时，破产是不易发生的。下述假设 给出“小额索赔”的确切含义： 假设3 ( 调节系数存在唯一性假定) 个体索赔额的矩母函数为： m z ( ，) = e r z = f e “d f ( x ) = 1 + ，j c o 1 一f ( x ) 协 至少在包含原点的某个领域内存在；其次，要求下述方程： m z ( ，) = 1 + 要， 以 ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 具有正解。 注意到m ，( ，) 在其收敛域内是严格意义下的递增凸函数，故方程( 1 - - 2 - - 3 ) 若有正根，必定是唯一的，记此正根为r ，并称其为调节系数，相对应的方程 ( 1 - - 2 - - 3 ) 也称之为调节系数方程。 由( 1 2 2 ) 和( 1 - - 2 - - 3 ) 两式可知，调节系数r 满足下述等式： 兰f 1 一f ( x ) d x = 1 ( 1 - - 2 4 ) 注意到詈j c o e r 7 1 一f ( x ) d x = 等= l 吾 o 由( 1 - - 2 - - 4 ) 式可知，厂( x ) 为一概率密度函数，这就是称尺为调节系数的原因。 1 2 2 风险模型的主要研究结果 若假设( 1 ) 一( 3 ) 成立，则经典风险模型有如下主要研究成果： ( 1 ) 甲( 。) = 而1 ； 硕士学位论文第一章绪论 ( 2 ) l u n d b e r g 不等式： 甲( “) e - r uv u 0 ； ( 3 ) l u n d b e r g - c r a m e r 近似：存在正常数c ，使得： 甲 ) c e - 肋, v u 专o o 即 。l i r a 等乩 从( 1 ) 式看到：在l u n d b e r g - c r a m e r 经典风险模型中，当初始盈余为零时， 破产概率仅依赖于相对安全负荷p ，而与个体索赔额的分布无关。此外，( 2 ) ，( 3 ) 式表明：当初始盈余很大时，保险公司在经营“小额索赔 情形的保险业务时， 破产是不易发生的。 1 3 经典风险模型的推广 经典风险模型的研究为风险理论的研究奠定了基础，但它不能很好的反应 保险公司的经营状况，与现实生活操作也有很大的差距，因此，已有许多风险理 论研究者对古典风险模型作出了更符合实际经营的推广。这些推广主要有以下几 个方面： ( 1 ) 对保费收入过程的推广 在经典风险模型中，假定保险公司在单位时间内收取的保费是为一常数c ， 进一步假设每张保单保费相等，则保险公司单位时间以常数速率收取保费，这种 假设显然太理想化。为此，近年来有很多学者在这方面做了推广。如：孙立娟和 顾岚【l6 】认为不同单位时间所收取的保单数常常不相同，是一个随机变量，可能 服从某一离散分布，将经典复合p o i s s o n 模型推广到保单到达和索赔发生独立的 p o i s s o n 过程，在索赔服从指数分布的情况下得出了最终破产概率满足的不等式； 龚日朝和李凤军将此模型定义为双p o i s s o n 风险模型，利用随机过程和鞅论的方 法得出了此模型破产概率满足的l u n d b e r g 不等式和一般公式；等等。考虑到实 际经营中的利率、通货膨胀等因素，有的使保费收入过程与利率变动相结合，如： s u n d u t 和t e u g e l ( 1 9 9 5 ) 考虑了带利率的经典风险模型等的破产概率，导出了生 存概率m ) 满足的积分方程，在假定f ( x ) 的矩母函数存在的前提下，还给出了 破产概率的l u n d b e r g 不等式及l u n d b e r g - c r a m e r 的近似侯振挺( 2 0 0 2 ) l l 等在 马尔可夫骨架过程一书中对带利率结构的风险模型、带利率与通货膨胀的风 险模型等给出了比较系统的阐述；等等。有的将保单到达过程推广为广义p o i s s o n 过程，如：龚日朝和李风军，利用鞅论方法得出破产概率满足的l u n d b e r g 不等 式和一般公式等；有的讨论保险费率与盈余相结合，按公司的盈余进行适当调整， 4 硕士学位论文 第一章绪论 如：戚懿，王静龙和汪荣明( 1 9 9 9 ) 讨论了在保费有上、下限调整时如何求破产 概率的问题，引入破产前盈余、破产时刻盈余及破产时刻的联合分布函数，研究 当前盈余首次低于初值时的一些特殊情况；h e l e n aj a s i u l e w i c z ( 2 0 0 1 ) 考虑费率 依赖于当前资产盈余的情况，推导出破产概率满足的微分积分方程，并讨论了通 货膨胀下的一个具体实例等等。 ( 2 ) 多险种风险模型( 相关文献见1 8 - - 1 2 2 1 ) 经典风险模型的一个局限性就是只考虑一类同质风险，也就是说模型只考虑 经营一种险种的破产概率。但随着保险公司经营规模的日益扩大，险种的多元化 及新险种的不断开发，这些单险种的风险模型对于研究整个公司的破产概率就无 能为力了。现在许多学者用不同分布的随机序列来描述不同险种的索赔额，并用 不同的点过程来描述不同险种的索赔次数。如：p i c a r d ( 2 0 0 3 b ) 在离散情形，对 多险种的二项风险模型进行了研究；w a n gg j ，y u e nk c 等研究了连续时间的索 赔相关模型；蒋志明和王汉兴对两险种的p o i s s o n 风险模型进行了研究；于广文 讨论了复合广义齐次p o i s s o n 过程的多险种模型；等等。 ( 3 ) 带扩散干扰的复合p o i s s o n 过程( 相关文献见【2 3 u 2 4 】) 设盈余过程由下面式子给出： 尺( f ) = u + c t s o ) + 形( f ) ， v t 0 其中u 为保险公司初始盈余，c 为保险公司在单位时间内收取的保费率，s ( t ) 为 到时刻t 为止的总索赔额，扰动项w ( t ) 则是一布朗运动。假定 ( f ) ：f 0 与 s ( f ) ：t 0 ) 是相互独立的。 此时破产概率甲以) 可分解为： l 壬，似) = 甲d ) + 甲， ) 其中甲j 似) 表示因为随机而引起的破产，则甲，似) 表示因为索赔引起的破产。 ( 4 ) 对索赔过程的推广( 相关文献见2 5 】【2 6 1 ) 随着点过程理论的系统和完善，我们可以采用更一般的点过程来描述索赔到 达，大量的文献也对此进行了推广。如：戚懿( 1 9 9 9 ) 及龚日朝和杨向群( 2 0 0 0 ) 把索赔发生由p o i s s o n 过程推广为广义p o i s s o n 过程，解决了同一时刻有多个索 赔到达的问题；刘再明，张飞涟和侯振挺( 2 0 0 2 ) 提出和建立了m a r k o v 骨架过 程方法，研究了索赔为一般到达的保险风险模型；g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) 把索赔过程 由p o i s s o n 过程推广为非齐次p o i s s o n 过程、c o x 过程、更新过程、平稳过程。 5 硕士学位论文 第一章绪论 ( 5 ) 对索赔额序列的推广( 相关文献见【z 7 卜p 叫) 经典风险模型研究的都是关于“小额索赔情形的破产讨论，一个很强的约 束条件是要求调节系数的存在。如果调节系数不存在，则更新论证和鞅方法都无 法奏效。但在实际中，如火灾、洪水灾害、冰雹与地震等灾难性保险都是“大额 索赔的情形。对于“大额索赔的情形，p u a le m b r e c h t s 和c l a u d i sk l u p p e l b e r g 在这方面展开了研究。近来，对具有随机的投资收益的随机模型的研究感兴趣的 人越来越多，但工作难度较大。主要有j p a u l s e n 的工作。 1 4 本文的主要内容及结构 本论文所研究的风险模型均是在小额索赔分布假设下进行的，重点是对破 产概率的估计和计算。由于保险公司在实际中并不是经营单一险种，因此在单位 时间内有多个险种同时发生索赔。在这种情况下，前面所述的经典风险模型就不 太适用了。而且在经典风险模型中，到时刻t 的风险s ( f ) 是一个复合p o i s s o n 过程， 而p o i s s o n 过程具有普通性，即在充分小的时间内至多只有一次索赔。但在实际 中，我们经常会遇到在同一时刻有两个以上的索赔情形。本文就是从这两个实际 出发，由单险种推广到多险种的复合齐次p o i s s o n 过程，及由一般的复合齐次 p o i s s o n 过程推广到复合广义齐次p o i s s o n 过程。 第一章概括性的介绍了破产理论的研究历史和现状、经典风险模型的研究内 容和主要成果及其推广、本文的主要内容。 第二章为预备知识，介绍了本文中所涉及到的一些基本概念、随机点过程、 条件期望、更新理论以及鞅论知识。 第三章主要研究了多险种的复合齐次p o i s s o n 风险模型的破产概率，给出了调 节系数尺所满足的方程以及初始资本为0 时，破产概率、壬，( 0 ) 的明确表达式，以 及初始资本为“时，生存概率 ) 所满足的微积分方程，破产概率v ( u ) 的近似 估计和在某些特殊情形下的精确分析表达式。 第四章建立了双险种的复合广义齐次p o i s s o n 风险模型，并对其破产概率进行 了研究。本章从调节系数r 分析了该模型的破产概率，给出了初始资本为0 时， 破产概率、王，( o ) 的明确表达式，以及初始资本为u 时，破产概率v ( u ) 的近似估计 和在某些特殊情形下的精确分析表达式。 第五章，总结与展望。总结本文主要工作，探求其不足之处及可拓展空间。 6 硕士学位论文 第二章预备知识 2 1 随机点过程 第二章预备知识 弟一早 耿亩刘以 在实际生活中，我们经常见到一些这样的实例，如：某路段在某一时间段内 发生交通事故的数量，某一时间区间内到达某商店柜台要求服务的顾客数量等都 是不确定的，随机的。在客观世界中，存在着许多这样的随机现象，其中我们关 心的随机事件具有高度局部化的特点，亦即事件的发生可以认为是只限于在时间 或空间的一个很小的范围内，因而在数学上可用一个理想化的点来表示。于是， 概略的说，一个按一定的统计规律在某空间中的随机的分布的点集就形成一个随 机点过程( 简称点过程) 。我们要看到，随机点过程实质上是一类特殊的随机过 程( 相关文献见【3 4 h 刈) 。 在最简单的情形中，点发生空间通常是一维的，人们往往把空间取为时间轴 或它的一个子集( 特别地，一个区间) 有些作者把时间轴上的点过程称为随机事 件序列或事件流。在风险理论中，通常用随机点过程来描述保费的收入过程和索 赔到达过程。 以下介绍的随机点过程实际上为其伴随计数过程，它们之间存在着一一对应 的关系，因此人们把两者看作是等同的东西。以m = n ( t ) = ( o ，f 】j 表示在时刻 t 以前( 包含时刻f ) 发生的点数。通常假设n o = 0 。易知过程 m ；f 0 j 是取非 负整数值的，它的样本函数是右连续单调不减的阶梯函数，在对应的点过程有一 个点发生的时刻，它有单位跳跃，于是，在出现以重点的时候它就有n 个单位的 跳跃。 2 1 1 齐次p ois s o n 过程 齐次p o i s s o n 过程是被研究得最早、也是最简单的一类点过程，它在点过程 的理论和应用中都占有极其重要的地位。齐次p o i s s o n 过程被看作是随机点过程 理论的建筑基石。 定义2 1 1 称随机过程 ( f ) ；f 0 ) 为计数过程，若n ( t ) 表示在( o ，t 】内发生事 件k 的总次数，且( f ) 满足以下条件： ( 1 ) ( f ) 0 ； ( 2 ) ( f ) 取正整数值； 7 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 3 ) 若s t ，则( s ) n ( t ) ； ( 4 ) 对于s t ，n ( t ) - n ( s ) 等于在时间间隔o ，t 】内发生的事件k 的次数。 定义2 1 2 若对于任意的整数值刀和0 - 乞 s 0 ，增量m ，= m 一以有参数为2 ( t s ) 的p o i s s o n 分布， 即对k = 0 ，1 ，2 ， 帆叫= 掣e 叫一) ， 这里旯0 是常数，称做过程的强度或发生率。 ( 3 ) 具有独立增量。 在以上定义中，条件( 1 ) 是对过程初始状态的规定，它不是实质性的限制。 条件( 2 ) 蕴含过程具有平稳增量，即m ，的分布只依赖于差数t s 而与s ，t 的具 体值无关。此外，由： 以圯，。 ) = 尸( m ，= j | ) = 1 ，推知p o i s s o n 过程是局部有限的。条件( 3 ) 表示 过程是无后效性的，即：对v n e z + 和o 毛 f 2 0 ，当h 专0 时， p ( m j + = 1 ) = 2 h + d ( j 1 1 ) 和p ( m f + 2 ) = o ( h ) ； ( 3 ) 有独立增量。 条件2 1 4 ( 1 ) p ( n o = 0 ) = l ； ( 2 ) 对任意的正整数k ，实数o t 2 0 时， 尸( n t k 纠= l i = 唧，1 njnk ) = a h + o ( h ) 和 开n l l t 2 l = n j , 1 n j s k ) = d ( ) 。 此等价条件的证明见文献【3 4 】 性质2 1 2 设 m ；f 0 ) 是齐次p o i s s o n 过程，对任意的5 ，te o ，o o ) ，且s f ， 有： e x ( t ) - x ( s ) 】= d x ( t ) 一x ( s ) 】= 2 ( t j ) ， 根据j ( o ) = 0 ，故有： 以( f ) = e x ( f ) 】= e x ( f ) 一x ( 0 ) 】= a t ， 于是五= 鱼型，即旯表示单位时间内事件k 发生的平均次数。 f 性质2 1 3 方差函数：醴( f ) = d 【x ( f ) 】= 研x ( f ) 一彳( o ) 】= a t 。 性质2 1 4 相关系数函数： 9 硕士学位论文 第二章预备知识 如( s ，t ) = 研x ( f ) ，x ( s ) = e 石0 ) x ( f ) 一x 0 ) + x o ) b = e 彳( f ) 一x ( o ) 】 x ( f ) 一x o ) + 研z ( j ) 】2 = e x ( f ) 一x ( o ) x ( f ) 一z o ) 】+ d x o ) 】+ 研x 0 ) 】2 = 2 s a ( t - s ) + 2 s = 2 s 2 2 s ( a t + 1 ) 性质2 1 5 协方差函数：g ( j ，f ) = 疋( s ，t ) - i t x ( s ) t x ( t ) = 知。 一般地，p o i s s o n 过程的协方差函数可以表示为：q ( s ，f ) = 2 m i n ( s ，f ) 易知，p o i s s o n 过程的特征函数为：x ) = 研p 埘】= e x p a t ( e m 1 ) 。 定义2 1 5 称随机过程 s ( f ) ；f o ) 为复合齐次p 。i s s 。n 过程，若s ( f ) ：羔每。 其中，( f ) 是强度为五的齐次p o i s s o n 过程， 毒；f 1 ) 是独立、同分布的随机变 量序列，且 ( f ) ；f o ) 与 专；f 1 ) 相互独立。 性质2 1 6 设s ( f ) ：艺缶是一个复合齐次p 。i s s o n 过程，则： ( 1 ) s ( f ) 是独立增量过程3 ( 2 ) s ( f ) 的特征函数为。即) ) = 唧 办( f ( “) 一1 ) 】，其中善似) 是随机变量 毒的特征函数，五是事件k 的到达率； ( 3 ) 若研孝2 】 o ，的概率母 函数必形如：g f ( s ) = p 纠h 1 ，这里旯o 是某一常数，且g ( s ) = a s ( 其中 荟a o 见= 1 ) 是某一正整数值随机变量x 三主2 三： 的概率母函数，其吊t = o，i ， ，3 见给出过程在任一个点发生时刻有k 个点同时出现的概率。由此可知，广义齐次 p o i s s o n 过程是这样的点过程：它的点发生时刻形成一个强度为五的齐次p o i s s o n 过程，而在各个点发生时刻的点数是具有相同分布 p k ；k 1 的独立随机变量。 事实上，我们有广义齐次p o i s s o n 过程的又一刻划： 定理2 2 2 对于如上给定了名和见的广义齐次p o i s s o n 过程 m ；f o ) 为一复 合齐次p o i s s o n 过程，且f = 以，其中： ( 1 ) 五为n 上的离散随机变量，且p ( 鼍= f ) = 只，其中a = 1 ； ( 2 ) m ( t ) 为强度为兄的齐次p o i s s o n 过程。 ， 定义2 2 2 称随机过程 s ( f ) ；f o 为复合广义齐次p o i s s o n 过程，若 n c t ) s ( f ) = 缶。其中，( f ) 是广义齐次p o i s s o n 过程， 参；f l 是独立、同分布的 i * 1 随机变量序列，且 ( f ) ；f o 与 每；f 1 相互独立。 2 2 随机和与条件期望 2 2 1 随机和 定义2 2 1( 随机和) 设五，x 2 ，e 是独立同分布的随机变量，并且有相 同的分布函数，( x ) 和矩母函数以( f ) = e e t x - p 髓d f ( x ) ，它们和的分布函数是 f “( 功，其中f 。”表示f 的刀重卷积。则【丝( f ) 】”是它们和的矩母函数3 7 1 。 若求和次数是一随机变量则也有类似的结果： 设是一个仅取非负整数的随机变量，记： 胁p ) = 矿见 n = o ( 2 2 一1 ) 硕士学位论文 第二章预备知识 其中p n = p ( = 刀) ，n = 0 , 1 ，2 ，又设五，五，鼍是独立同分布的随机变量序 列，并以f 与m ( t ) 分别表示它们的公共分布函数与矩母函数。再假定诸 五o = 1 ，2 ，) 和n 也是相互独立的，并记： s = x i + x 2 + + x n 当n = 0 时，约定s = 0 。以下称s 为随机和，并称为求和次数，而诸 置o = 1 ，2 ，) 为s 的加项。 例如对于在已给定区间内的保单组合来说，以n 表示索赔次数，再以z 表 示第f 次的索赔额，则s 就为索赔总额。 s 的分布函数计算如下： f s ( s ) = 尸 s s ) = e p s s l 】 = 研s s i = ，l 慨= f h ( x 城 n f f i 0 n = 0 类似的，可得到矩母函数的表达式： m s ( f ) = e e 心】- e e e 巧i 】= 研 m ( f ) 】= 聊( f ) ( 1 0 9 m ( t ) ) 其中m ( t ) 是由式( 2 2 1 ) 定义的的矩母函数。这样， 础两坝1 0 9 删器 性质( 1 ) e s 】_ e n e x 】； ( 2 ) v a r s = 玩， ( 研z 】) 2 + 研m v a r x ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 由式( 2 - - 2 - - 2 ) 可得到：m s ( o ) = m ( o ) m ( 0 ) ，这就得到了性质( 1 ) 将式( 2 2 2 ) 再微分一次，并取t = 0 ，可得： m s ( o ) = 聊。( o ) 瞰( o ) 】2 + m ( o ) m ( o ) 一i n ( o ) 】2 即有： g s 2 】_ 研n 2 】 研x 】2 + e n v a r x 最后，再将上式两端减去( 2 2 3 ) 式两端的平方，便得性质( 2 ) 。 特别地，当求和次数服从参数为五的齐次p o i s s o n 分布时有： ( 1 ) e s - a 研朋，v a r s = a 研x 2 】； 1 2 硕士学位论文第二章预备知识 ( 2 ) v 。c s ) = 扩 = 0 ( 2 ) 式便是著名的复合齐次p o i s s s o n 分布。 2 2 2 条件期望 定义2 2 1 具有下列两性质的随机变量e ( 善i g ) 称为孝( 国) 关于g 的条件数学 期望( 简称为数学期望) 3 。如果： ( 1 ) e ( 善l g ) 是g 的可测函数； ( 2 ) 对v a g 有：1 五( f l g ) p ( d 纠= i 善尸( d 国) 州削 定义2 2 2 设c f 为任一事件，则它的示性函数为：i c ( o ) = 1 ，如果彩c ， 否贝j j i c ( o ) = o ，：w t - g 的条件期望称为c 关于g 的条件概率，记为：p ( c i g ) p ( c i g ) 是满足下列条件的随机变量： ( 1 ) p ( c i g ) 为g 的可测函数； ( 2 ) 对w g 有：i h p ( c i g ) p ( d m ) = p ( 彳c ) 注：在本文中，如无特别说明，所有的l 都表示示性函数，即：i a 丘o ) = 1 ， 如果c o c ，否则丘( 缈) = o 条件期望的性质：以下等式、不等式或极限关系都是以1 概率成立的，善，毒，r 都是随机变量且e 矧 层( 刁l g ) ( 3 ) l e c 善i g ) i - e c 孝i i g ) ( 4 ) 设o 点个孝，e i 孝l o o ，则e ( 磊i g ) 个e ( 孝i g ) 1 3 硕士学位论文 第二章预备知识 ( 5 ) 设磊一孝，l 当l r ，励 o o ，则e ( 缶i g ) 一e ( 孝l g ) ( 6 ) 若刁对g 可测，e 眵7 7 i o o ，勋 o o ，则e g 刁i g ) = 刁e 偕l g ) ( 7 ) 若孝对g 可澳4 ，贝0 e ( 善l g ) = 孝 ( 8 ) 若f 与g 独立，则e ( 孝i g ) = 霹 ( 9 ) 若g lcg 2cf ，则e ( e ( 孝i g 2 ) fg 1 ) = e ( 善l g 。) = e ( e ( 引g 1 ) i g 2 ) ( 1 0 ) e ( e ( 善i g ) ) = 彤 在上述各性质中，取随机变量为事件的示性函数，就得到相应的条件概率的 性质。 一个常用的记号，孝关于盯代数f ；f r )