（概率论与数理统计专业论文）具有预警线的控制图在完全检验中的最优设计.pdf

摘要 摘要 近来，随着全球经济一体化的进程，各国的制造业和服务业都将面临更大 的竞争。中国已于2 0 0 1 年1 2 月加入w t o ，越来越多的外自产品进入我国市场， 同时我国的产品也进入全球市场。对于我国的企业来说，既是机遇也是挑战。 此时，产品质量的改进和提高成为企业成功、发展和增强竞争力的一个关键因 素。随着顾客对产品质量要求的提高和新的生产技术的发展，质量保障技术对 统计的需求迅速增长。 本论文的研究在理论上将解决生产过程中具有预警线的控制图在完全检验 中的最优设计问题在两种检验准则下：( 1 ) a t & t 准则，( 2 ) 批量准则，应用 随机过程中的离散马尔可夫过程理论，建立马尔可夫链的状态转移概率矩阵，再 利用马氏链的遍历性，求解出转换模型；利用最优化方法，建立生产过程的质量 成本最优设计模型：即通过对单位总的期望成本的极小化，得到最优控制界限。 对每类最优模型设计出求解程序，并进行大量的数据试验。用所获得的最优设 计方法模拟解决质量控制的实际问题。并且与h u i ( 1 9 9 1 ) 提出的反馈式准则 下的控制图在完全检验中的最优设计的结果进行了比较，由此可以看到本论文 的研究结果的必要性。此研究成果可应用于采用完全检验的企业的实际生产中， 帮助企业提高产量质量，减少生产成本，获得生产过程的最优控制。 关键词：预警线，控制图：完全检验：最优设计 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e sp r o d u c t i o np r o c e s sc o n t r o lw i t hc o m p l e t ei n s p e c t i o nu n d e ra t & t r u l e sa n dn mr o l e t h ec o m p l e t ei n s p e c t i o np l a na n dm o d e la s s u m p t i o n sa 糟g i v e n ac o s tm o d e l i sd e v e l o p e dw h e r eo p t i m a lc o n t r o ll i m i t s f o ra s s u r i n go i i t g o j n gp r o d u c tq u a l j 砂a n df o r m o n i t o r i n gt h ep r o c e 鼹s t a t ea 旭d e r i v e d o p t i m a la c t i o nl i m i t 占i sd e t e r m i n e db y m m 。m u z m gc rw i t hr e s p e c tt o 点mo p t i m a id e s i g n so fac o m p l e t ei n s p e c t i o n w i t hi ) a 1 & tr u l e s1a n d2 ；i i ) r u nr u l ea r cc o m p a r e dw i t ht h eo p t i m a ld e s i g n 州t h f e e d b a c kc o n t r o l ( h u i ，1 9 9 1 ) i ti sc l e a rt h a tt h eo p t i m a ld e s i g no fac o m p l e t e i n s p e c t i o nw i t hs u p p l e m e n t a r yr u n sr u l e si sm o r ee c o n 删c a lt h a nw i t hf e e d b a c k c o n u - 0 1 t h er e s u l to ft h i sd i s s e r t a t i o nc a nb eu s e dt oi m p r o v et h ep r o d u c tq u a l i t y , r e d u c et h ep r o d u c tc o s ta n do b t a i nt h eo p t i m a lc o n t r o li np r o d u c t i o np r o c e s s k e y w o r d s ：w 越i l i n gl i m i t s ；c o n t r o lc h a r t ；c o m p l e t ei n s p e c t i o n ；o p t i m a ld e s i g n - 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：轼眺一 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部 或部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：连型l 导师签名：虚盈趁丝日期：z 丑：曼尘， 第1 章绪论 i 第1 章绪论 1 1 课题背景 近年来，随着全球经济一体化的进程，各国的制造业和服务业都将面临更大 的竞争。中国已于2 0 0 1 年1 2 月加入w t o ，越来越多的外国产品进入我国市场， 同时我国的产品也进入了全球市场。对于我国的企业来说，既是机遇也是挑战 此时，产品质量的改进和提高成为企业成功、发展和增强竞争力的一个关键因素。 随着顾客对产品质量要求的提高和新的生产技术的发展，质量保障技术对统计的 需求迅速增长。在产品质量的管理和控制中，统计过程控制图是最常用的统计技 术。统计过程控制图由s h c w h a r t 于1 9 2 6 年首先提出，现在已经广泛应用于生产和 研究中。 近二十年来，计算机技术飞速发展，越来越多的制造企业实现了计算机控制 下的自动化生产。由于一些新技术的发展，例如运用计算机的电子检测技术，完 全检验在实际生产中已经得到广泛应用。自八十年代后期，很多学者对完全检验 的最优设计进行了研究。为了提高产品质量，在生产过程中进行完全检验的最优 设计就很有必要，其研究的结果会对实际生产具有积极的指导作用。 1 2 文献综述 统计控制图的最优设计问题是d u n c a n 于1 9 5 6 年首先开始研究的。五十多年 来，控制图的最优设计一直得到广泛重视，许多学者做了大量的研究工作，他们 根据实际环境提出了不同的最优设计。m o n t g o m e r y 总结了1 9 8 0 年以前控制图最 优设计的文献。h o 和c a s e 总结了1 9 8 0 1 9 9 1 年控制图最优设计的研究文献，k e a t s 等总结了1 9 9 1 1 9 9 7 年控制图最优设计的研究文献 为了增加s h e w h a r t 控制图的敏感度，p a g e 于1 9 5 5 年提出带预警线的j 控制 图，他建议使用具有预警线和控制线的控制图进行生产质量的控制与管理。 w e i n d h n g 等( 1 9 7 0 ) 提出一种修正的带预警线的控制图，并证明对于生产过程失控 状态，这种控制图比s h c w h a r t 的控制图更敏感。w e s t e r ne l e c t r i c ( 1 9 5 6 ) 、 北京工业大学理学硕士学位论文 r o b e r t s ( 1 9 5 8 ) 、b i s s e u ( i 9 7 8 ) 、d u n c a n ( 1 9 8 6 ) 、g r a n t 和l e a v e n w o r t h ( 1 9 8 8 1 、 j o h n ( 1 9 9 0 ) 、m i t r a ( 1 9 9 3 ) 都对具有预警线的控制图进行了研究。 g o r d o n 和w e i n d l i n g ( 1 9 7 5 ) 研究了带预警线的控制图的最优设计，他们提出以生 产过程中每个产品的平均成本作为目标函数。c h i u 和c h i n _ g ( 1 9 7 7 ) 对上述模型进 行进一步的研究发展，提出以单位时间的期望成本作为目标函数，其模型比g o r d o n 和w e i n d l i n g ( 1 9 7 5 ) 模型简单，在文章中他们将具有预警线的牙控制图的最优设 计与c u s u m ( c u m u l a t i v es u n l ) 控制图的最优设计，一般牙控制图的最优设计进行 比较，研究发现，前两种方法的结果相差不多，都比最后一种方法的效果要好。 r a h i m ( 1 9 8 4 ) 、c h 岫g ( 1 9 9 3 ) 分别研究了不同情况下具有预警线的岩控制图的最优设 计。p a r k h i d e h 和p a r k h i d e h ( 1 9 9 6 ) 研究了a t & t 准则下牙区域控制图的最优设计 问题与d a m e a n 提出的牙控制图的最优设计问题相比较，他们所提出的控制图的 区域更灵活。a t & t 准则下的控制图的区域宽度不是预先给定的，而是通过极小 化生产过程中单位产品的期望成本得到的。结果表明，在增加了a t & t 准则之后， 牙控制图的最优设计可以节约成本。 t a n g ( 1 9 8 8 ) 提出了单质量特征值过程中完全检验的一种最优设计。他建立了生 产过程的质量损失模型，由模型可以导出完全检验的最优产品质量规格界限。t a n g 和s c h n e i d e r ( 1 9 8 7 ) 提出了一种带有检验误差的完全检验的最优设计模型。在这个模 型中，研究了检验错误带来的经济和统计影响。t a n g 和t a n g ( 1 9 8 9 ) 研究了多元 产品质量特征值的完全检验问题。对不同的过程提出了两个模型。传统方法是对 每个独立的产品质量特征值确定检验的规格界限，而t a n g 和t a n g 所确定的最优 规格界限考虑了经济与随机因素对质量特征值的影响。h u i ( 1 9 9 0 ) 研究了两个质量 特征值的产品的完全检验。t a n g 和t a n g ( 1 9 9 4 ) 总结了完全检验最优设计的相关研 究文献。谢和：i ：( 2 0 0 0 ) 将完全检验与生产过程的控制结合起来，提出了相应的最优 模型，他们的最优设计在保证产品质量的同时，又对生产过程进行控制。 第l 荤绪论 1 3 本文主要研究内容 本论文的研究在理论上将解决生产过程中具有预警线的控制图在完全检验中 的最优设计问题。本文应用随机过程理论与最优化方法。在两种检验准则下：( 1 ) a t & t 准则；( 2 ) 批量准则，建立生产过程的质量成本最优设计模型。对每类最优 模型设计出求解程序，并进行大量的数据试验，利用所获得的最优设计方法模拟 解决质量控制的实际问题。并且与h u i ( 1 9 9 1 ) 提出的反馈式准则下的控制图在完 全检验中的最优设计的结果进行了比较，由此可以看到本论文的研究结果的必要 性此研究成果可应用于采用完全检验的企业的实际生产中，帮助企业提高产量 质量，减少生产成本，获得生产过程的最优控制。 北京工业大学理学硕士学位论文 第2 章a t & t 准则下具有预警线的控制图在完全检验 中最优设计 本章将讨论在a t & t 准则下具有预警线的控制图在完全检验中的最优设计问 题。 2 1a t & t 准则 w e s t e r ne l e c t r i c ( 1 9 5 6 ) 提出了均值为z ，控制线为，出西，d 互西, u f _ 3 0 的x 控 制图的a t & t 准则，其定义如下： 准则1 ；一个检测点落在3 a 控制线之外，则表示系统失控。这个规则就是s h e w h a r t s 准则。 准则2 ：三个连续检测点落在同侧，其中有两个落在2 a 控制线之外，3 0 控制线之 内，则表示系统失控。 准则3 ：五个连续检测点落在同侧，其中有四个落在a 控制线之外，2 0 k ，制线之内， 则表示系统失控。 准则4 ：八个连续检测点落在同侧，则表示系统失控。 a t & t 准则下的控制图是一种区域控制图。如图l 所示，控制图分为八个区 域。对于目标值，其区域的分界线定义为肛，吐o p ，d 之西，出仉 + 3 0 - + 2 0 + 盯。 p o u - 2 0 - 一3 0 a b c c b a 图l ：目标值为_ 的区域控制图 第2 章a t & t 准则下具有预警线的控制图在完全检验中的最优设计 一i i i i _ r o b e r t ( 1 9 5 8 ) ，c h a m p ，w o o d a l l ( 1 9 8 7 ) ，p a l m ( 1 9 9 0 ) 证明了，与s h e w h a r t 控制图比较，a t & t 准则增加了检验产品的敏感度。p a r k h i d e h 和p a r k h i d e h ( 1 9 9 6 ) 研究了a n 打准则l 、2 、3 下的区域控制图。他们假定控制界限不是预先给定的， 而是由d u n c a n ( 1 9 5 6 ) 的成本模型所确定。 2 2 检验计划 假设x 为一个产品的检验值与目标值肿的差，我们把j 看作生产过程中产品 的质量特征值。生产出来的所有产品都要经过检验，检验后的产品，根据质量特 征值卫或者伴随着一定的质量损失成本送达顾客，或者重新制作扔掉，质量损 失成本是质量特征值x 的函数。 生产过程开始为可控制状态，简称可控状态。可控状态生产的产品质量特征 值的均值( 也就是标准值) 为肿，生产过程出现问题后，产品的质量特征值的均值就 会从肋转变为肋。这时候，生产状态就会从可控状态转变成失控状态。如果要想 使失控状态再转变为可控状态，就必须采取措施，调整生产状态。产品生产过程 由肺转换为朋的转换概率为常数g 。生产过程中，可控状态的产品质量特征值j 的概率密度函数为舷i ，d ，失控状态的产品质量特征值x 的概率密度函数为氕x 胁) 。 在生产过程中。转换概率和概率密度函数可以通过试验数据来估计。 设劝产品质量的规格界限，劝检验过程的控制界限。一般说来，总是假设 监& 产品质量的接受与否和生产过程的检验决策是由观察到的产品质量特征值x 所确定的。当一个产品的质量特征值满足闳a 耐，就接受这个产品，这个产品将 伴随着一定的质量损失成本送达顾客，质量损失成本是质量特征值x 的函数。当 产品质量特征值闭 耐，这个产品就会重新制作或者扔掉。本文提出利用具有控 制界限研口产品规格界限确区域控制图来检测生产过程。这种控制图是一种具 有预警线的控制图，如图2 所示。这是在实际生产中应用最广泛的区域控制图。 具有预警线的i 控制图曾经由g o r d o n 和w e i n d l i n 9 0 9 7 5 ) ，c h i u 和c h u n g ( 1 9 7 7 ) ， g a b i m ( 1 9 8 4 ) ，c h u n g ( 1 9 9 3 ) 研究过。本章将讨论在a t & t 准则1 、2 下控制生产过 北京工业大学理学硕士学位论文 程，即一个检测点落在啦制线之外。则表示系统失控，三个连续检测点中有两个 落在同侧6 控制线的之外，口控制线之内，则表示系统失控。 如果失控信号被检测到，在生产过程中立即采取调整措施，系统重新开始时 的状态仍然是目标值为肺的可控状态。 2 3 转换模型 本节将利用离散的马尔可夫链来描述具有预警线的区域控制图的生产过程。设 死是生产过程中检验了第h j ( 娩1 ) 个产品之后控制系统的状态，定义序列弘 t k ， k = - 1 , 2 ，) 为控制状态过程。显然，控制状态过程r 为离散的马尔可夫链。本节所 提出的模型中共有2 3 个状态。 当采用a t & t 准则l 和2 时，具有预警线的控制图( 如图2 所示) 有六个区域( 而， ，两，恐) 。不失一般性，设控制状态的产品质量特征值的均值u o = 0 。 拒绝域蜀 警告域彤 o 一占 一口 接受域s 接受域 警告域w 2 拒绝域飓 图2 具有预警线的控制图 在可控状态时，产品落在每个区域的概率由下面的式子给出： 第2 章a t t 准则f 具有预警线的控制图在完全检验中的最优设计 a = r m l 鳓皿 p 2 。l ；，( z i 岛) 出 扔= r ，o i 鳓) 出 ( 1 舻，q i z o ) 出 a = 1 一a 一见一见一a 在失控状态时，产品落在每个区域的概率由下面的式子给出： p 6 = r 厂o i “) 出 p 7 = 厂o l 韪) 盘 n = c ，o l h ) 凼 ( 2 ) a = c ，( 工i h ) 凼 p - o = l p 6 一p 7 一p s p 9 设畅，劲表示在某一时刻最后两个产品的观察值所落入区域的状态，其中乃 表示的是最后一个产品观察值所落入的区域，而刁表示的是倒数第二个产品观察 值所落入的区域。 生产系统共有2 3 个状态，捧列如下： 稳定状态( 可控状态：一铷) ： e l ：( s t ，岛) ，( 岛，韪) ，( 岛t ) 历：c s 2 ，& ) ，( ，) ，( s 2 ，) e r ( ，s 2 ) ，( 眄，w 2 ) 局；( ，s i ) ，( w 2 ，) 警告状态( 可控状态：钠) e s ：( 矾，研) 风；( s i ，啊) 北京工业大学理学硕士学位论文 e t - ( w 2 ，) e s ：( 昆，w 2 ) 西：( ，) e j o ：( ，昵) 稳定状态( 失控状态：l = 。1 ) ，l ：( 禺，两) ，( 两，& ) ，( 蜀，w 2 ) 乃：( & ，& ) ，( 岛，s t ) ，( 岛，) 乃：( ，s 2 ) ，( 矾，w 2 ) f 4 - ( w 2 ，蜀) ，( w 2 ，) 警告状态( 失控状态：钠) 丹：( ，两) r ：( s i ，) f t ：( ，岛) f s ：( ，w 2 ) f 9 ( ，啊) n o ：( w 2 ，w 2 ) 需要调整的状态( 出现失控信号时) g i ：当= 阳时，最后检测的产品被接受而控制图显示系统失控。 g 2 ：当u = z l 时，最后检测的产品被接受而控制图显示系统失控。 g 3 ：最后检测的产品被拒绝同时控制图显示系统失控。 所有状态的状态转移概率由下列分块矩阵给出： fa l o x t o b l o 。1 0c l “31 l o l o x l od l o x i o e l lf 3 mg m o e 1 3 1 3j 其中， 第2 章a t & t 准则下具有预警线的控制图在完全检验中的最优设计 b 。= q d 。，l k 。= ( k o 。lg = ( g ：。o 。) 这里a 是由状态e l ，e l 。到五，巨。的转换矩阵： a = ( 1 - q ) a 且a 为： b 是由状态毛，e l 。到e ，的转换矩阵；c 是由e 1 ，e l 。到g 。，g ：，g ，的转换 矩阵， 且c 为： c = ( 1 一q ) c + q e 0 0 0 0 p 3 马 a a p 1 + a p 1 + p o 见 0 a 0 a o 见 0 见 o a o 死 o a p + p lp s p 1 + p ，乳 9 o o o 矶o o o o o o o o 融o o o o o o o o o o 如o o 办o 0 o o n o o o o 0 o o o o o n o n o o o o o 儿o o o o o o 0 o o n o n o n a o o a 0 o a o 见o o 见见o 乃 a 办见o n 胁o 见见o a a o a o a a a o a 北京工业大学理学硕士学位论文 d 是由状态e ，最。到e ，e 。的转换矩阵： e 是由状态e ，最，e 。到g i ，g ：，g 3 的转换矩阵： 00 a o 00 a o 00 a o 00 a o 0 风a o 0 见p j o 0 岛a o 0 内a o 0 风+ aa o 0 p 1 + p 9p m f 7 是由状态g l ，g 2 ，q 到五，e 2 ，毛，臣的转换矩阵： f = ( 1 - q ) f 。 f 。为： 睢矧 g 是由状态g l ，g 2 ，g 到e ，e ，e ，只的转换矩阵： g = g g - l o o o o 玛o 0 o o o o o o 既o o o o o o o o o o 办o o 办o o o 0 岛o o o o o o o o o o 风o 既0 o o o o 既o o o o o o o o o co西o办胁o o 办o o a o 仇o o a a o a 办肼办o办办o办西o 风既o风0风风见o仇 第2 章a t & t 准则下具有预警线的控制图在完全检验中的昂优设计 且g 。为： p 6 p 7 p 8p 9 、 p p 7p 8p 9 、p 6p 7p sp 9j h 是由状态g 。，g 2 ，g ，到g l ，g ：，g 3 的转换矩阵： r o0 ( 1 一叮) a + q p l 0 1 1 00 ( 1 一日) p ，+ q p l ol i , o0 ( 1 一q ) p 5 + 蹈o j 注意到矩阵a 中的a ，p 2 ，p 3 ，p ，p 5 分别用p 6 ，p 7 ，p s ，p 9 ，p i o 代替，就得到矩阵 d 。矩阵f 中的，l ，p 2 ，a ，p 分别用p 6 , p ，n ，p 9 代替，就得到矩阵g 。a , c ，e ，f 和h 矩阵均由上述的转换概率确定。 图3 给出了任何两个状态问的关系。 图3 由蜀到蜀的状态路线图 北京工业大学理学硕士学位论文 控制状态过程丁是一个有限的不可约的马氏链，因此，此马氏链具有遍历性， 其极限分布存在且唯一。设( 石( o ，f = 1 ，2 ，2 3 ) 为控制状态过程r 的极限分布， 则这个极限分布满足下列系统方程组： 石( 1 ) = ( 1 一q ) p l 防( 1 ) + 石( 2 ) + 万( 4 ) + 万( 6 ) + 石( 7 ) + 万( 8 ) + 万( 1 0 ) + n ( 2 1 ) + ，r ( 2 2 ) + ，r ( 2 3 ) 】 万( 2 ) = o - q ) p 2 【万( 1 ) + 万( 2 ) + 石( 3 ) + 石( 5 ) + 石( 6 ) + 万( 8 ) + 石( 1 0 ) + 石( 2 1 ) + j r ( 2 2 ) + 万( 2 3 ) 】 x ( 3 ) = ( 1 一q ) p 3 【石( 2 ) + 1 t ( 4 ) + 石( 7 ) + x ( 8 ) + 石( 1 0 ) + 万( 2 1 ) + 7 r ( 2 2 ) + 石( 2 3 ) 】 石( 4 ) = ( 1 - q ) p 4 【石( 1 ) + 万( 3 ) + 万( 5 ) + 万( 6 ) + 万( 9 ) + 万( 2 1 ) + 石( 2 2 ) + 万( 2 3 ) 】 石( 5 ) = ( 1 一q ) p 3 石( 1 ) 石( 6 ) = ( 1 一q ) p l 【石( 3 ) + 石( 5 ) 】 x ( 7 ) = ( 1 - q ) p 石( 2 ) 石( 8 ) = ( 1 一q ) p 2 【，r ( 4 ) + 万( 7 ) 】 万( 9 ) = ( 1 一q ) p 3 # ( 3 ) 石( 1 0 ) = ( 1 一q ) p 4 石( 4 ) 矾1 1 ) = q 豫【石( 1 ) + 石( 2 ) + ，r ( 4 ) + 石( 6 ) + 万( 7 ) + 石( 8 ) + 万( 1 0 ) + 石( 2 1 ) + 万( 2 2 ) + 石( 2 3 ) 】+ p 6 防( 1 1 ) + 积1 2 ) + 石( 1 4 ) + 石( 1 6 ) + 石( 1 7 ) + 万( 1 8 ) + 石( 2 0 阳 石( 1 2 ) = 自扔【万( 1 ) + 万( 2 ) + 石( 3 ) + 万( 5 ) + ，r ( 6 ) + 石( 8 ) + 石( 1 0 ，+ ，r ( 2 1 ) + 万( 2 2 ) + ，r ( 2 聊+ a 【叫1 1 ) + 积1 2 ) + 积l3 ) + ，r ( 15 ) + 硼回+ x ( 1 8 ) + 积2 0 ) 】 x ( 1 3 ) = q p 。【石( 2 ) + 石( 4 ) + 石( 7 ) + 厅( 8 ) + 石( 1 0 ) + 石( 2 1 ) + j r ( 2 2 ) + 疗( 2 3 ) 】 + p i 【万( 1 2 ) + 石( 1 4 ) + 石( 1 7 ) + 石( 1 8 ) + 石( 2 0 ) 】 第2 章a t & t 准则下具有预警线的控制图在完全检验中的晟优设计 x ( 1 4 ) = q p 9 【万( 1 ) + 石( 3 ) + 石( 5 ) + 石( 6 ) + 石( 9 ) + 石( 2 1 ) + 石( 2 2 ) + ，r ( 2 3 ) 】 + p 9 【万( 1 1 ) + 石0 3 ) + 万( 1 5 ) + 石( 1 6 ) + 石( 1 9 ) 】 万( 1 5 ) = 明，| 板1 ) + p i 万( 1 1 ) ，r ( 1 6 ) = 吧乳【石( 3 ) + 石( 5 ) 】+ h 石( 1 3 ) + 石( 1 5 ) 】 万( 1 7 ) = 慨，f ( 2 ) + p 9 石( 1 2 ) ，r ( 1 8 ) = q p 7 【石( 4 ) + 石( 7 ) 】+ p 7 【石( 1 4 ) + 万( 1 7 ) 】 石( 1 9 ) = q p l 石( 3 ) + 几万( 1 3 ) u ( 2 0 ) = q p 9 石( 4 ) + p 9 石( 1 4 ) 石( 2 1 ) = ( 1 - q ) 【p 3 万( 5 ) + p 3 万( 6 ) + p 万( 7 ) + p 万( 8 ) + ( n + p 3 ) 万( 9 ) + ( p 2 + p ) 石( 1 0 ) 】 万( 2 2 ) = g 石( 5 ) + 见露( 6 ) + 胁万( 7 ) + 办万( 8 ) + ( p 6 + p s 沙( 9 ) + 【p 7 + 办) 石( 1 0 ) 】 + 【p i 万( 1 5 ) + p 。万( 1 6 ) + p g # ( 1 7 ) + p 9 # ( 1 8 ) + ( p 6 + p i ) 石( 1 9 ) + ( p 7 + p 9 ) 万( 2 0 ) 】 1 = 万( 1 ) + 石( 2 ) + 万( 3 ) + ，r ( 4 ) + 厅( 5 ) + 石( 6 ) + 石( 7 ) + 石( 8 ) + 石( 9 ) + 万( 1 0 + 石( 1 1 ) + 万( 1 2 ) + ，r ( 1 3 ) + 万( 1 4 ) + 万( 1 5 ) + 石( 1 6 ) + 万( 1 7 ) + 石( 1 8 ) + 石( 1 9 ) + 万( 2 0 ) + 积2 1 ) + 石c 1 2 ) + 雄3 ) 当各个状态转移概率已知时，就可以解这个系统的线性方程组。控制线的设 计要考虑到产品质量损失成本与生产系统的运营成本之间的平衡 2 4 成本模型 假设期望质量损失成本函数为： q ( x 1 = b 2 其中k 是常数，x 是所检验的产品的质量特征值。假定g 是重新制作，扔掉一个产 品的成本，t a n g 和s c h n e i d 呱1 9 8 7 ) 证明了产品的最优规格界限为； - 1 3 北京工业大学理字坝士学位论文 ( 1 ) 当质量特征值z j 时，产品被接受； ( 2 ) 当质量特征值z 时，产品被重新制作，扔掉。 因此检验产品质量的规格界限为口= 。当检测的产品不被接受时，表明 生产过程处于失控状态，所以拒绝域而，而由界限f 确定。 需要注意到，相对于可控状态，失控状态的期望质量损失成本要大许多。在确 定控制界限跗，取一个较小的控制界限硷增加不必要的生产线检测的频率，另 一方面，一个较大的控制界限双会降低控制图的敏感度和增加期望质量损失成本 和重新制作，扔掉的成本。因此，最优的控制界限砬该是使得单位产品的总期望成 本最小。 相应的期望成本系数如下： 当生产过程处于状态e 或最时，系统处于“接受”状态时的期望成本： q = r | h 2 m l “) 凼 当生产过程处于状态易或毛时，系统处于“接受”状态的期望成本为： c 2 = j b 2 ， l 胁) 出= c l 当生产过程处于状态局，历或易时，系统处于。接受”状态的期望成本 为： g = f 缸2 八x l 胁) 凼 当生产过程处于状态巨，易或巨。时，系统处于“接受”状态的期望成本 为： c 4 = e h 2 ，( 工l 鳓) 凼= q 当生产过程处于状态e 或只时，系统处于“接受”状态的期望成本为： c ，= r h 2 八x i 朋) 出+ c ， c ，为当生产过程处于失控状态而又没有做调整措施，所产生的惩罚性损失，包 括当系统不在控制状态时，机器设备的各种磨损所引起的损失费用。 第2 章a t & t 准则f 具有预警线的控制图在完全检验中的最优设计 当生产过程处于状态五或e 时，系统处于。接受”状态的期望成本为： c 6 = _ b 2 ，o i “) 出+ c p 当生产过程处于状态忍，墨或墨，系统处于“接受”状态的期望成本为： c 7 = f h 2 ，( x i h ) 出+ q 当生产过程处于状态日，b 或e 。系统处于。接受”状态的期望成本为： c s = e 缸2 ，( 工l 朋) 办+ c ， 当生严过程处于状态g l ，系统处于。琢受”袄态聃别里威卒为： c 9 = r h 2 八x i r a ) a x e ( e , ig 1 ) + f _ b 2 ，o i 胁) 舯( & i g 1 ) + e | b 2 f ( x i # 。) d g p ( e 7l g l ) + e h 2 f ( xi t 。) 舯( 昱lig 1 ) + r h 2 m f 硒) 矗p ( 局ig i ) + h 2 f ( x i # o ) a k e ( e , 。i g 1 ) + c = 而1 - q 胍( 石( 5 ) + 万( 6 ) ) + n ( 石( 7 ) + 石( 8 ) ) b + f ( 扔+ 。艮) 万( 9 ) + ( & + p ) ，r ( 1 0 ) 1 ( c l + c 3 ) + c ， 这里c ，是调整行动的成本。 当生产过程处于状态g 2 ，系统处于“接受”状态的期望成本为： c l 。= e 缸2 厂( x i 鸬) 础( 毛ig 2 ) + e h 2 ，( x i h ) 舯( 毛l g 2 ) + c 缸2 f ( x l # ) d x p ( e , fg 2 ) + e l b 2 ，( 工l 一) 蠡p ( 毛ig 2 ) + r _ b 2 ，o i 一) 舯( 岛i g ：) + h 2 八x i p 以l a ：) + 弘2 ( 工) a x e ( f , t g a ) + 弘2 f ( x i 。) 础民l g ：) 北京工业大学理学硕士学位论文 + e j h 2 八x i m ) 出p ( 易i g 2 ) + c _ h 2 ，( x i 一) 斑护( 最i g 2 ) h + r _ b 2 ，o l 朋) 击p ( bi g ：) + h 2 f ( x i z 1 ) a k p ( f , 。i g d + c = 志饥【州5 ) + 州6 ) 栅( 1 5 ) 栅( 1 粥+ 蹦州7 ) 坳( 8 ) + 席( 1 7 ) + 万( 1 8 ) 】c ；+ ( p 6 + p 。) 【g 万( 9 ) + 石( 1 9 ) 】( c 5 + q ) + ( p ，+ ；) k ，r ( 1 0 ) + 石( 2 0 ) 】( c 6 + c | ) ) + c ， 系统处于“拒绝”状态的期望成本为： c i l = c j + c 每个状态的期望成本由下式给出： 丛盔墼僮亡晶翅望盛奎 c i 石( 1 ) c l 石( 2 ) c 3 石( 3 ) g 万( 4 ) c 3 石( 5 ) c ，r ( 6 ) c 3 烈7 ) c i 万( 8 ) c 3 万( 9 ) q 石( 1 0 ) 1 6 - 局 岛 历 日 历 风 历 届 西 玩 第2 章a t & t 准则下具有预警线的控制图在完全检验中的最优设计 c ，石( 1 1 ) c 6 # ( 1 2 ) g 万( 1 3 ) c , x ( 1 4 ) c 露( 1 5 ) g ，( 1 6 ) c | 万( 1 7 ) c 6 石( 1 8 ) c 删9 ) c l 石( 2 0 ) g 石( 2 1 ) g o 靠( 2 2 ) c 1 i 石( 2 3 ) 于是生产系统的单位产品总期望成本为： c r = c + c l 防( 1 ) + 石( 6 ) 1 + c 2 防( 2 ) + 石( 8 ) 】+ q 防( 3 ) + 万( 5 ) + 万( 9 ) 】 + c j 【石( 4 ) + 万( 7 ) + 万( 1 0 闻+ c j 【石( 1 1 ) + 万( 1 6 ) 】+ c ： 7 r ( 1 2 ) + 石( 1 8 ) 】 + c ；【石( 1 3 ) + 石( 1 5 ) + ，r ( 1 9 ) 】+ c ；【万( 1 4 ) + 石( 1 7 ) + 石( 2 0 ) 】 4 - c 9 石( 2 1 ) + c m 万( 2 2 ) + g i 石( 2 3 ) ( 3 ) 这里c ，为单位产品的检测成本。 b 乃 凡 厅 昂 乃 风 局 q 倪 岛 北京工业大学理学硕士学位论文 要通过上述方程得到最优控制界限，就需要知道g ，c ，g 的值，还需要估 计七值。转换概率g 和概率密度函数- ，g 恤) 和贝x 恤1 ) 可以通过试验数据来估计因 此极小化g 可以获得最优控制界限尻 2 5 本章小结 在这一章中，主要介绍了a t & t 准则下，完全检验的区域控制图的最优设计 问题。本章首先建立了生产过程中不同状态之间的转换模型，然后建立了单位期 望成本模型，在此基础上，通过极小化单位产品期望成本，得到最优的控制界限。 第3 章批帚准则下具有预警线的控制图在完全检验中的最优设计 第3 章批量准则下具有预警线的控制图在完全检验 中最优设计 本章将讨论在批量准则下具有预警线的控制图在完全检验中的最优设计问 题。 3 1 批量准则下的检验计划 本章所研究的具有预警线的控制图与第二章的控制图相同( 参见图2 ) 。 假设x 为一个产品的检验值与目标值肺的差。我们把j 看作生产过程中产品 的质量特征值。生产出来的所有产品都要经过检验，检验后的产品，根据质量特 征值兄或者伴随着一定的质量损失成本送到顾客，或者重新制作扔掉，质量损 失成本是质量特征值工的函数。 生产过程开始为可控制状态，简称可控状态。可控状态生产的产品质量特征 值的均值( 也就是标准值) 为肺，生产过程出现问题后，产品的质量特征值的均值 就会从加转变为肋。这时候，生产状态就会从可控状态转变成失控状态。如果要 想使失控状态再转变为可控状态，就必须采取措施，调整生产状态。产品生产过 程由肋转换为肋的转换概率为常数q 。生产过程中，可控状态的产品质量特征值 x 的概率密度函数为氕x l u o ) ，失控状态的产品质量特征值x 的概率密度函数为 氕x 汹) 。在生产过程中，转换概率和概率密度函数可以通过试验数据来估计。 设口为产品质量的规格界限，纳检验过程的控制界限。一般说来，总是假设 砼尻产品质量的接受与否和生产过程的检验决策是由观察到的产品质量特征值x 所确定的。当一个产品的质量特征值满足陶棚于，就接受这个产品，这个产品 将伴随着一定的质量损失成本送达顾客，质量损失成本是质量特征值x 的函数。 当质量特征值胁洲，这个产品就会重新制作或者扔掉。本章提出利用具有控制 界限瘌产品规格界限嘲区域控制图来检测生产过程，讨论在批量准则下检验 生产过程。 批量准则为：( 1 ) 一个检测点落在啦制线之外，则表示系统失控；( 2 ) 三个 连续检铡点都落在同侧礴空制线的之外，啦制线之内，则表示系统失控。如果失 北京工业大学理学硕士学位论文 控信号被检测到，在生产过程中立即采取调整措施，系统重新开始的状态仍然是 目标值为伪的可控状态。 3 2 转换模型 在这一节，同样利用离散的马尔可夫链来描述具有预警线的区域控制图的生 产过程。设n 是生产过程中检验第k + l ( 硷- o 个产品之后控制系统的状态，定义序 列弘 疋，扣1 ，2 ，) 为控制状态过程。显然，控制状态过程r 为离散的马尔可夫 链。 当采用批量准则时，具有预警线的控制图仍有六个区域 盈，两， r 2 ( 如图2 所示) 。 在可控状态时，产品落在每个区域的概率由下面的式子给出： a = f 4 0f ( x t o ) c b t 仍= 竹i m ) a x p 3 = f ，o i m ) , x ( 4 ) a = f f ( x l a o ) 出 见= 1 一p t p 2 一p 3 一n 在失控状态时，产品落在每个区域的概率由下面的式子给出： p 。= 甓f q i ) a x 岛= 厂o i “) 出 p s = f m i 畸) a x ( 5 ) 岛= e 八x i h ) 出 设( z i ，动表示在某一时刻最后两个产品的观察值所落入区域的状态，其中z f 表示的是最后一个产品观察值所落入的区域，而乃表示的是倒数第二个产品观察 值所落入的区域。在批量准则的控制图中生产系统同样共有2 3 个状态，排列如 第3 章批鼋准则下具有预警线的控制图在完全检验中的屉优设计 下： 稳定状态( 可控状态；肋) ： 西：( 两，禺) 。( s i ，& ) ，( 岛，阮) f a - ( s 2 ，s 2 ) ，( 岛，两) ，( s 2 ，) e 3 ：( 矾，岛) ，( 矾，) e 4 ：( ，禺) ，( ，) 历：( 矾，岛) e 6 ：( s i ，) e t ：( ，是) e s - ( s 2 ，w 2 ) 警告状态( 可控状态：a = j o ) 历：( ，) e i o ：( 既，w 2 ) 稳定状态( 失控状态：钠) 凡：( s t ，蜀) ，( 两，岛) ，( s i ，w 2 ) f 2 , ( ，8 2 ) ，( ，两) ，( ，) f 3 ：( ，岛) ，( ，) f 4 ：( ，蜀) ，( w 2 ，) f s ：( 砚，两) f 6 ：( 两。啊) f t ：( w 2 ，s 2 ) 凡：( s 2 ，w 2 ) 警告状态( 失控状态：i , , t = 1 t 1 ) f g ：( 阢，矾) 2 l - 北京工业大学理学硕士学位论文 f i o ：( w 2 ，) 需要调整的状态( 出现失控信号时) g l ：当加时，最后检测的产品被接受而控制图显示系统失控。 g 2 ：当亏肌时，最后检测的产品被接受而控制图显示系统失控。 岛：最后检测的产品被拒绝同时控制图显示系统失控。 所有状态的状态转移概率由下列分块矩阵给出： 其中， b 。m = q d 。，k 。= o 羔o 。) g = ( g 羔o 。) 这里a 是由状态置，置。到耳，互。的转换矩阵； a = ( 1 一q ) a 且a 为： b 是由状态巨，e 1 。到e ，e 。的转换矩阵；c 是由置，五。到g l ，g ：，g 3 的转 换矩阵， - 2 2 - 州 q e h 枷 枷 b d g 俐脚 o o o 矶o 0 n o o o 0 o见o办0 o o o o o o o 见o o 见o o n o n o o o 0 o n o o 0 0 a o 岛o o o 见o 见o o o o 见o o o o a o 见o a n o o 风o o死o髓o o a 见o 见 见n见o见仍o见n 0 a a o n o a a n o a 第3 章批罱准则下具有预警线的控制图在完全检验中的最优设计 c = ( 1 - q ) c + q e 且c 为： d 是由状态e ，到j f ：，凡的转换矩阵： e 是由状态e ，e ，e 。到g 1 ，g 2 ，g 的转换矩阵： - 办见见见砖见见见见见 o o o o o o o o a 胁 o o o o o o o o 胁n o o o 岛0 o 岛o o o o o a o a o o o o o o o o 办o o 办o o 西 o 胁o o 0 o o 办o