（概率论与数理统计专业论文）基于weibull分布的次序统计量的随机比较.pdf

硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 中文摘要 随机序的比较是对随机变量之间相关关系的一种刻画。 k 删v a r ( 2 0 0 2 ) 证明了对于独立不同分布的两个g a 舢m 样本，当它们相同的形状 参数大于或等于l 时，只要尺度参数满足控制序，样本的卷积就满足似然比序。孙 立红( 2 0 0 4 ) 证明了当g 姐皿a 分布的形状参数属于不同范围时样本的次序统计量 有着相应不同的的随机序。 在本文中将证明：对于独立不同分布的具有相同形状参数的两个w b i b u l l 分布 样本，当它们共同的形状参数口不超过1 时，样本对应的次序统计量之间存在一致 的一般随机序；而当口大于l 时，只能得到样本对应的极大极小值统计量有着相反 的一般随机序。 关键词：w r e i 1 分布；随机序；随机比较；控制；s c h u r 凹函数 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t t h ec o m p 撕s o i l so fs t o c h a s t i co r d e ri n d i c a t ec o r r e l a t i v i 修o fr a 1 d o mv a r i a b l e s k 0 n ) 嘲犯0 0 2 ) h 勰s h o w nm a tac 0 i l v o l u t i o no fg 扯毗n ad i s t r i b 而o n 、析廿lac o m m o n 站l 乏l p e 群暇髓e t e rg r e a 钯rt l l a n li s l a 玛e ri nl i k e l i h 0 0 d 蒯o0 1 d e rw h e nt h es c a l e p 盯锄t e r sa 陀m o r cd i 唧e d i nt h es e 璐eo fm 萄0 f 圳o n l i h o n gs l ( 2 0 0 4 ) b a sp r o v e d t 1 1 a t 、) l ，：t 屺nt h es h a p ep 刮比n e t e r so fg a n l 撇d i s t r i b u t i o nh a v ed i 丘e n 斌v a l u e ，o i d e r s 伽s t i c sh a v ed i 丘b r i e n ts t o c h 弱t i co r d e rt o o i l l 也i sp a p c ri tw mp r 0 v et l l ec o n c l u s i o n 雒f o l l o w s ：晰也t w 0i n d e p e n d e n t 删1 d o m v a r i a b l e s g u _ b j e 曲g t 0d i 妇衙e n tw r e i b u l ld i s 仃i b u t i o 璐、) v i 廿l 1 e 鼢m e s h a p e p a 髓m e t i 、) l ，：h 吼l e i rc o m m o np a r a m e t e r 口i s 锄a l l 盯t h 姐0 re q l i a lt 0l ，廿l eo r d e r s t a t i s t i c sh a v eac o l 坞i s t e n ts t o c l 粥t i co r d e ri n 也es e i 蹴o fm 萄。胁i o n ；h o w e v e r ，w h e n 口i sl a 略c rm a n1 ，i to n l yo b t a i nt l l a tm em i l l i m m n 锄dm 豳u mh a v en l er e v e r s e s t o c b a s t i co r d e r k e yw o r d s ： w e i b u l ld i 嘶b u t i o n s ；蜘c h 刎co r d e r ；蛾h 枷cc o m p a r i s o 船； m 匈o r i 蜀l t i o n ；s h _ i l rc o r 比；a v e 如n c t i o n 硕士学位论文 m a s t e r st h e s l s 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：乃胥 j 日期：加g 年占月弦日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中师范 大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到 - 。 控制是对向量之间一种关系的描述。 引理1 1 1n 6 1 ：旯卜的充要条件是：存在一个有限的实数r ，以及向量夕d ， ，使得旯= 尸1 i - 。= 并且和+ d ，i = 1 ，r 一1 只在两个维 度上不同。 下面是对s c h u r 凹函数的定义，相关结论也非常重要。 定义1 1 2 ：对于函数( ) ：r 4h 月，对所有旯，r 4 ，如果旯卜有 ( 允) ( ) 成立，则妒( ) 被称为s c h u r 凹函数。 备注：如果( 允) 是s c h u r 凹函数，那么在r 中，( 五) 是关于置换对称的，也即 在置换变换下该函数是不变的。 定理1 1 1n 6 1 ：一个关于置换对称的可微函数( 五) 是s c h u r 凹函数的充要条件是： c 五一h 等一箐瑚 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 对所有i j 成立。 对于凸函数的情况不等号反向。 定义1 1 3 ：设x 和y 为两个随机变量，如果p ( x u ) p ( 】，u ) 对所有u 曰 成立，则称在x 一般随机序下大于】，记为x 。y 。 1 2 初步结果 若随机变量x 服从形状参数为口，尺度参数为旯的w e i b u l l 分布，则其密度函数 f ( x ；口，旯) 具有以下形式： f ( x ；口，力) = 抓叙厂l e 。叙严“ o 【o ， x o 其中口 o ，旯 o 。记为w e ( 口，旯) 。 显然当口= 1 时，w e i b u l l 分布为指数分布。 引理1 2 1 ：设随机变量x w e ( 口，旯) 其密度函数、生存函数和危险函数分别 为f ( x ) 、f ( x ) 和r ( t ) ，那么 1 ) 当0 1 时，r ( t ) 关于t 单调递增。 证明： 因为r ( t ) = f ( t ) f ( t ) ，而 去= 簧詈3 j f o 融q x ) ”l e 叫h 严a x 以( m ) 州e _ ( 缈 = j f o ( 州e 甜“。，d ) 【 设x 口t 口= m 口 = r 单一e 卅m 口a m 结果显然成立。 引理1 2 2 ：若( ，如) - ( h ，2 ) ，设五，x 2 ( k ，砭) 为服从于具有相 同形状参数口，不同尺度参数 ，如( 一，2 ) 的w e i b u l l 分布独立随机变量， 4 而五1 ) x ( 2 ) ( k 1 ) k 2 ) ) 为x l ，x 2 ( k ，e ) 的次序统计量，那么 1 ) 当0 1 时，五1 ) 。tk d ，五2 ) tk 2 ) 证明： 设 f ( t ) = f 铱一e 1 4 d ) 【 为w e ( 口，1 ) 的分布函数，f 、万分别为w e ( 口，1 ) 的密度函数和生存函数， 则 p ( 五1 ) t ) = p ( 五t ，x 2 t ) = p ( 墨t ) p ( x 2 t ) 而 p ( x l o 成立， p ( 五2 ) t ) = p ( 五t ，五t ) = f ( t ) f ( 如t ) a p ( x ( 2 ) ”一a 尸( 五2 ) 手业 弘 = 口( t ) 州e 一扩tf ( 如t ) 一口( 如t ) 扩1 e 一如tf ( t ) ( 1 2 2 ) 当o 1 时， ( 一如) (a p ( 五2 ) ”一a p ( 五2 ) 印 弘a如 五2 ) 。tk 2 ) 6 ) s o( 1 2 3 ) f ( m ) a ( m ) 口_ 1 e 一血严 = fa 喀) 扩l e 吖“。n d ) 【 = f 旯喀) 州e 烈严- x 勺d 】【 随旯递增，这时由( 1 2 2 ) 式可以证明( 1 2 3 ) 式。 所以五2 ) nk 2 ) 当口 0 时都成立。 7 硕士学位论丈 m a s t e r st h l s l s 主要结果及其证明士女皇日禾汉六肛忉 以下证明本文主要结论。 定理2 1 ：设后( ，五，”，x ) 和辟( k ，e ，k ) 为服从于具有相同形状 参数口，不同尺度参数( a ，如，九) ，( 。，2 ，儿) 的w e i b u l l 分布独立随机变量。 如果a _ ，那么 1 ) 当o 1 时，五1 ) 。tk 1 ) ，五。) nk 。) ， i = 1 ，2 ，n 。 证明： 对n 3 的情况，由引理1 1 1 ，存在r 维向量d ，”，使得见= d - 卜= 并且尸和，i = 1 ，r 一1 只在两个维度上不同。因此，为证明 定理2 1 ，不失一般性，可以假设允和仅在前两个维度上不同，也即可以设如= 3 ，九= 风并且( ，如) 卜( l ，2 ) 。 对所有t o 因为 p ( 五。) t ) = 万+ ( t ) 万( 如t ) 万( 九t ) p ( 五。) t ) = f ( a t ) f + ( 如t ) ，( 九t ) 类似于引理1 2 2 的证明，我们可以证明 1 ) 当0 1 时，五1 ) nk 1 ) ，五。) 。k 。) 。 当o t ) p ( 五t ，五t ) + p ( 五 t ) p ( 丑t ，五t ) = f ( 如t ) f ( 厶t ) + f( 如t ) f ( t ) + 万( 如t ) f ( t ) f 。( 如t ) 型二掣：( 如t ) f ( 乃t ) 口( t ) 口一l e 一( t ) 。t 舰 。 + f ( 如t ) f ( 如t ) 口( 丑t ) 一1 e 一 4 t 竺雩型= f ( 厶t ) 万+ ( t ) 口( 如t ) 口一- e 一( 砧严t 饥 。 1 + 万( 尢t ) f ( 元t ) 口( 厶t ) 扩1 e 一( 砧) 4 t ( 2 1 ) 一( 2 2 ) = (a p ( x ( 2 ) u a p ( 五2 ) t ) 弘弘 ) = t f ( t ) 口( t ) 护1 e 一 t r 万( 如t ) 一口( 旯2 t ) 8 1 e 一缈i ( 丑t ) + t f ( 五t ) 口( t ) 8 1 e 一却rf ( 如t ) 一口( 如t ) 口一1 e 一如rf ( a t ) 由( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 两式可以证明 ( a 一如) (卯( x ( 2 ) ”一 弘 竺! 堑型) o a 如 f + ( 厶t ( 2 1 ) ( 2 2 ) 所以p ( 五2 ) t ) 是关于 ，如的s c h u r 凹函数，也就是说五2 ) 在随机序下大于k 2 ) 。 如果n 3 ，那么 p ( 五2 ) t ) = p ( 石，五，疋中至少两个t ) = p ( 石，z 中至少两个t ， 9 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 丑，五，疋中至少两个5 t ) + p ( 石，z 中至多一个t ， 丑，五，z 中至少两个t ) = p ( 龙，z 中至少两个t ) + p ( 丑，五，五中至少两个s t ) 上式中p ( 光，疋中至少两个t ) 和 ，如无关，而p ( 石，石，中至少 两个t ) 和n = 3 的情况类似，所以有五2 ) 。k 2 ) 。 对2 r n 的情况 类似的，可以证明 定理证毕。 p ( 五，) t ) = p ( 石，五，戈中至少r 个t ) = p ( 疋，冗中至少r 个t ， 丑，疋中至少r 个t ) + p ( 五，工中至多r 一1 个t ， 石，五，中至少r 个t ) = p ( 五，z 中至少r 个t ) + p ( 石，石中至少两个t ) 五，) 。tk ，) l o 3 结束语 本文利用s c h l l r 凸函数的性质来研究w e 讪u 1 1 分布次序统计量的随机序比较问 题。事实上，这一方法还可以运用到其他结构和形式类似的分布，也可以考虑分布 中参数更多的情形。 在本文研究w b i i l b u l l 分布次序统计量的随机序比较问题的过程中，涉及到一些 比较巧妙的构造和计算，这些方法对分布的具体形式是有要求的，比较特殊不太容 易推广，有一定局限性，比如要研究整个指数族的次序统计量随机序比较问题，这 种方法就不再适用，有待各位专家的进一步讨论。 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 参考文献 1 c h a n g ， k h s t o c h a s t i co r d e r so ft h es u m so ft w oe x p o n e n t i a lr a n d o m v a r i a b l e s s 妇舌拈t 肋6 a 6 e 舌舌 j ，2 0 0 1 5 1 ：3 8 9 3 9 6 2 k o c h a r ，r m o ns t o c h a s t i co r d e r sf o rs u m so fi n d e d e n d e n tr a n d o m v a r i a b l e s z 胁j 芒j 唧一a 抬月册j j ，2 0 0 2 8 0 ：3 4 4 3 5 7 3 孙立红，张新生关于g 锄a 分布秩序统计量的随机比较应用概率统计 j ， 2 0 0 4 2 0 ：4 0 4 4 0 8 。 4 b a p a t ， r b a n dk o c h a r ，s c o n1 i k e l i h o o dr a t i oo r d e r i n go fo r d e r s t a t i s t i c s 勘e a r 彳j 职6 髓仰j j ，1 9 9 4 1 9 9 ：2 8 1 2 9 1 5 k h a l e d i ， b e a n dk o c h a r ， s c d i s p e r s i v eo r d e r i n ga m o n gl i n e a r c i m b i n a t i o n s o f r a n d o mv a r i a b l e s zs 细舌j s t 用a 力见砌如阳门c 包 j ， 2 0 0 2 1 0 0 ：1 3 2 1 6 l e h m a n ne l ，r o j oj i n v a r i a n td i r e c t i o n a lo r d e r i n g 7 乃e 彳肋a sd ， s a j s j c s j ，1 9 9 2 。2 0 ( 4 ) ：2 l o o 2 1 1 0 6 张晓冉，赵世舜，马东辉，宋立新r a y l e i g h 分布的随机比较吉林大学自然科 学学报 j ，2 0 0 0 1 ：1 4 7 张晓冉，王德辉，宋立新随机变量的随机比较吉林大学自然科学学报 j ， 2 0 0 2 1 ：1 9 8 龚海林，张新生关于指数型分布族的随机序华东师范大学学报( 自然科学版) j ，2 0 0 4 3 ：7 1 3 9 焦桂梅，刘克关于似然比序随机比较的一些结果数学物理学报 j ， 2 0 0 3 3 ：3 4 9 3 5 6 1 0 焦桂梅i f r 型寿命分布的随机比较兰州大学学报( 自然科学版) j ， 2 0 0 0 2 ：6 8 1 1 金珩，王黎明随机序关系及其在保险中的应用 j 内蒙古师范大学学报( 自 然科学版) ，2 0 0 2 3 l ：3 2 8 3 3 4 1 2 方兆本，胡太忠，吴耀华，庄玮玮广义次序统计量间隔的多维随机排序应用 概率统计 j ，2 0 0 6 2 2 ：2 9 5 3 0 5 1 3 李效虎，严定琪关于d m r l 序关系的几个性质工程数学学报 j ，2 0 0 0 2 ：1 7 3 0 1 4 p r i s c h a nf ，s e t h u r 锄a nj s t o c h a s t i cc 0 m p a r i s o n so fs t a t i s t i c sf r o m 1 2 h e t e r o g e n e o u sp o p u l a t i o nw i t ha p p l i c a t i o n s i nr e l i a b i l i t y ，d z r ，豫， j l 缸芒j 6 a r j a e 加z 陌j s j ，1 9 7 6 ，6 ：6 0 8 6 1 6 1 5 p e c a r i c ，j e ，p r o s c h a nf a n dt o n g ，y l 1 二锄y 8 i ：r 砌c t j d 门s ，胁芒j a 6 l c ，e r _ 譬s ，a 力js 芒a 芒f s t j c a j4 口p j j c a 芒j d 刀 m n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ， 1 9 9 2 1 6 s h a k e d ， m a n ds h a n t h i k u 髓r ， j g s 亡d c 船s 芒j c 伢幽阳硼口劢e 打 4 f 脚j c a t j d 刀s m n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 9 4 1 7 l e h m a n ne l 7 匆s j _ 培s 芒a 舌j s 芒j c a 9 侈d 芒而e s j s m n e wy o r k ：w i l e yp r e s s ， 1 9 5 9 1 8 寇述舜凸分析与凸二次规划 m 天津：天津大学出版社，1 9 9 4 硕士学位论文 m a s t e r s t h e s i s 在校期间发表的论文、科研成果等 2 0 0 4 年6 月在综合类核心期刊华师师范大学学报( 增刊) 上以第一作者发 表论文影响国家经济增长因素的回归分析 2 0 0 5 年9 月在概率统计国家级核心期刊数理统计与管理上以第一作者发表 论文：世界卫生保健状况评价的统计分析 2 0 0 7 年6 月在省级优秀期刊科技