（概率论与数理统计专业论文）几何型亚式期权的定价.pdf

几何型亚式期权的定价 摘要 近年来，随着金融市场需求复杂程度的提高，仅仅使用标准期权 已很难满足市场的需要，为了满足市场及某些客户的特殊需求，也为 了规避自己所面临的风险，许多金融公司除了提供人们广为熟悉的欧 式、美式期权外，还设计了大量由标准期权衍生的通常在场外市场交 易的新品种一非标准化的衍生证券，我们称其为新型期权( e x o t i c o p t i o n s ) 新型期权中大多都具备路径依赖特征，即期权价格不仅取 决于其到期丑标的资产价格，而且取决于标的资产价格在期权有效 期内的变化路径亚式期权( a s i a no p t i o n s ) 正是其中的一项代表性的 产品，同时它也是当今金融衍生品市场中最为活跃的一种新型期权 由于具备路径依赖特征，使得亚式期权的定价模型与标准期权的定 价模型相比呈现出比较大的差异，其定价i 可题远比欧式期权定价复 杂 本文主要研究新型期权中的亚式期权，它是强路径依赖型期权的 典型代表亚式期权与标准期权明显不同，它实质上是欧式期权的一 种刨新，因此它与标准欧式期权有着密切的联系，所以溯根求源，在 充分理解b - s 模型的基础上来展开本文的研究工作本文大致包括 以下内容： 第一章是全文的引言部分，简要的介绍了期权的概念，当前期权 定价的几种常用的方法，并回顾了标准期权和路径依赖期权一亚式 期权的相关历史文献，然后指出了本文的研究思路以及主要内容 第二章详细推导了敲定价格为常数时的几何型亚式期权的定价 公式首先考虑常利率的情况，然后考虑利率随时间变化时的情况， 用严格的数学方法得出了资产价格平均值的概率分布，进而得到了 期权的定价公式 第三章详细推导了以几何平均值作为敲定价格的几何型亚式期 权的定价公式首先考虑常利率的情况，然后考虑利率随时问变化时 的情况由于难以直接得出资产的平均价格和资产的到期价格的联 合分布，因此考虑以股票作为计价单位，借助测度变换，将资产的平 硕士学位论文 均价格和到期价格转化为一个随机变量，用严格的数学方法得出了 它的概率分布，进而得到了期权的定价公式 第四章阐述了亚式期权在金融市场上所起的重要作用，并对本文 内容进行总结以及展望 关键词：几何平均；算术平均；亚式期权；固定敲定价格；浮动敲 定价格 墨卫翌垩茎塑堡墼兰丝 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，a l o n gw i t ht h ei m p r o v e m e n to f d e m a n do nt h ec o m p l e x i t y i nm o n e ym a r k e t ，i ti sd i f f i c u l tt os a t i s f yt h es p e c i a ln e e d so fc u s t o m e r sb yo n l y u s i n gt h es t a n d a r do p t i o n i no r d e rt os a t i s f y i n gt h ed e m a n do fm a r k e t sa n d c u s t o m e r s ，t oa v o i d i n gt h er i s ko ft h ei n v e r t e r s ，m a n yf i n a n c i a lc o m p a n i e sn o t o n l yd e s i g n e de u r o p e a no p t i o n sa n da m e r i c a no p t i o n sb u ta l s od e v i s e dag r e a t d e 8 lo fn e wb r e e d sw h i c hd e r i v ef r o ms t a n d a r do p t i o n sa n de x c h a n g eo u to ft h e c o u n t e rc o m m o n l y w ec a l li te x o t i co p t i o n s m o s to fe x o t i co p t i o n sp o s s e s st h e f e a t u r eo fp a t h - d e p e n d e n t ，t h a ti st os a y , t h eo p t i o np r i c en o to n l yd e p e n d so n t h eo p t i o np r i c ea tm a t u r i t y ；b u ta l s od e p e n d so n l r ) ，i n go ft h eu n d e r l y i n g a s s e t sp r i c e a s i a no p t i o n sa r ej u s to n eo ft h et y p i c a lp r o d u c t s a n di ti s ak i n do fe x o t i co p t i o n sw h i c hi st h em o s ta c t i v eo n ei nf i n a n c i a ld e r i v a t i v e m a r k e t b e c a u s eo ft h ep r o p e r t yo fp a t h - d e p e n d e n t ，t h e r ee 妯s t sd i s t i n g u i s h e d d i f f e r e n c eb e t w e e na s i a no p t i o np r i c i n gm o d e la n ds t a n d a r do p t i o n s t h ei n a l ng o a lo ft h i sp a p e ri 8t os t u d ya s i a no p t i o n s i ti 8at y p i c a l r e p r e s e n t a t i v eo fs t r o n g l yp a t h - d e p e n d e n to p t i o n s a s i a no p t i o ni sd i f f e r e n t f r o ms t a n d a r do p t i o no b v i o u s l y i ti si n n o v a t i o no fe u r o p e a no p t i o n s s oi t c o n n e c t sw i t ht h es t a n d a r de u r o p e a no p t i o n sn e a r l y b l a c k - s c h o l e so p t i o n p r i c i n gm o d e li sj u s to n eo ft h em o s te f f e c t i v em e a l l 8t os o l v em a i nc o n t e n t o ft h ea r t i c l e t h e r e f o r ew es h o u l du n d e r s t a n db l a c k - s c h o l e eo p t i o np r i c i n g m o d e lf u l l yw h i c hc o n c l u d e st oo u rr e s e a r c h i t sm a i nc o n t e n ti s 够f o l l o w s ： c h a p t e ro n ei si n t r o d u c t i o no ft h ea r t i c l e i tr e v i e w st h ec o n c e p t i o no f o p t i o nb r i e f l ya n ds e v e r a lc u r r e n tm e t h o do fp r i c i n go p t i o na tp r e s e n t f u r t h e r ， i ts u m m a r i z e ss o m eh i s t o r i c a ld o c u m e n t sw h i c hi sr e l a t e dt os t r o n g l yp a t h - d e p e n d e n to p t i o n s - a s i a no p t i o n s i nt h ee n d ，t h em a i nc o n t e n ta n di d e ai n t h i sa r t i c l ei sg i v e n c h a p t e r t w o p r o v e s i n d e t a i l t h e p r i c i n g m o d e l o f a s i a n g e o m e t r i c a v e r a g e o p t i o n sw i t hf i x e ds t r i k ep r i c e f i r s t ，w ep r o v et h a tt h eg e o m e t r i ca v e r a g e p r i c eo fs t o c k sh a st h eg a u s sd i s t r i b u t i o n sw i t hc o n s t a n ta n df l o a t i n gr a t e f h m l l y , w ed r a wt h ep r i c ef o r m u l ao ft h ea s i a ng e o m e t r i ca v e r a g eo p t i o n sa t i i i 要圭兰竺丝銮 a n yv a l dt i m e c h a p t e rt h r e ep r o v e si nd e t a i lt h e 嘶c i n gm o d e lo f a s i a ng e o m e t r i ca v e r - a geo p t i o n sw i t hf l o a t i n gs t r i k ep r i c e i t i sd i f f i c u l tt od r a wt h ej o i n td s t r i b u t i o n o ft h eg e o m e t r i ca v e r a g ev a l u ea n dt h em a t u r i t yv a l u eo fs t o c k s ，s ow eu s ep r i c e o fs t o c k n u m e r a i r ea n dp r o b a b i l i t ym e a s u r ec h a i s e s t h eg e o m e t r i ca v e r a g e v a u ea n dt h em a t u r i t yv a l u eo fs t o c k sc h a n g e st oar a n d o mv a r i a b l e t h e nw e d r a wi t gd i s t r i b u t i o n f i n a l l y , w ed r a wt h ep r i c ef o r m u l ao ft h ea s i a ng e o m e t - r i ca v e r a g eo p t i o n sa ta n yv a l i dt i m e ，蠲w e l la $ c a l la n dp u to p t i o n sp r i c i n g f o r m u l ar e s p e c t i v e l y c h a p t e rf o u re l a b o r a t e sa s i a no p t i o n si sp l a y i n ga nv e r yi m p o r t a n tr o l e i nf i n a n c i a lm a r k e t ，a n ds u m m a r i z e st h i sa r t i c l e k e y w o r d s ： g e o m e t r i ca v e r a g e ；a r i t h m e t i ca v e r a g e ；a s i a no p t i o n s f i x e ds t r i c kp r i c e ；f l o a t i n gs t r i c kp r i c e 几何型亚式期权的定价 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 嗡“、， 7 年，月莎日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将学位论文的全 部或部分内容编人有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密彤 ( 请在以上相应方框内打“、 ) 作者签名： 导师签名： 、吾机 日期：啤朋拍 日螂彻日 几何翌亚式期权的定价 第一章引言 1 1 期权理论简介 近年来，在金融市场及商品市场中有很多形式的金融衍生工具 ( 朱定权益) ，而远期合约( f o r w a r dc o n t r a c t s ) ，期货( f u t u r e s ) 和期权( o p - t i o n s ) 是三种最基本的金融衍生工具若把标的资产设为股票、债券、 汇率或商品等，那么为了对这些标的资产进行风险管理，人们相应的 就设计出了股票期权( 期货) 、债券期权( 期货) 、货币期权( 期货) 及 商品期权( 期货) 等二十年来，期权等衍生工具作为一种防范风险或 投机的有效手段得到了迅猛发展这些金融衍生工具有利于活跃金 融市场，促进现货市场共同繁荣，完善市场机制因此创造和研究新 的金融衍生工具对繁荣我国市场经济以及我国金融体制的改革都具 有非常重要的指导意义 因此对金融衍生工具的研究，主要在两个方面，一是创造满足需 要的衍生工具，二是对这些衍生工具进行合理的定价而对于给定的 金融衍生工具或者未定权益，首先要解决的问题就是如何确定未定 权益的价格即未定权益的定价；其次是如何构造投资策略，已达到尽 可能地化解因出卖未定权益而带来的风险( 购买期权实质上等于购 买保险) ，即如何构造套期保值或对冲策略在所有的未定权益中，期 权的研究最为广泛，这是医为：与其他未定权益相比期权易于定价； 许多未定权益可表为若干期权合约的组合形式；各种未定权益 的定价原理是一样的，通过期权定价方法可能找到一般未定权益的 定价理论 期权是购买方支付一定的期权费后所获得的在将来某个确定的 时间买或卖一定数量的标的资产( u n d e r l y i n ga s s e t s ) 的选择权以行使 期权选择权的时间来看，期权可以分为两大类：欧式期权和美式期权 欧式期权( e u r o p e a no p t i o n s ) 只能在到期日执行美式期权( a m e r i c a n o p t i o n s ) 在规则上可以在期权有效期内任何时候执行，实际操作时一 般是在有效时期内对持有者最有利的时刻执行根据选择权利的不 硬士学位论文 同，期权又有两种基本类型：看涨期权和看跌期权看涨期权( c a l l0 1 - t i o n s ) 的持有者有权在某一确定时间以事先预定的价格，从看涨期权 合约的出售者那里购买一定数量的标的资产看跌期权( p u to p t i o n s ) 的持有者有权在某一确定时间以事先预定的价格，向看跌期权合约 的出售者出售一定数量的标的资产期权合约中事先预定的价格被 称为执行价格或敲定价格( e x e r c i s ep r i c eo rt h es t r i k ep r i c e ) 合约中的 日期被称为到期日或执行日( e x p i r a t i o nd a t eo re x e r c i s ed a t e ) 需要强调 的是，期权赋予其持有者做某件事情的权利，持有者不一定必须行使 该权利即持有者拥有权利而不承担义务 正因为期权给予合约持有人的是一种权利而非义务，即合约持有 人有放弃合约的权力因此期权的到期价值一定大于或等于零，这样 现在就必须以一定的价格才能买到期权我们对期权进行定价的时 候，实际上是研究如何确定期权的价值期权的价值等于其内在价值 和时间价值之和内在价值是根据期权执行价格与标的资产的市场 价格的数字差额而确定的价值，时间价值是由于期权未到期而拥有 的选择权的价值，它反映了期权合约距到期日的时间越长，期权价值 就越高这一事实影响期权价值的因素有：标的资产价格& 、执行价 格k 、无风险利率r 、距到期日t 的时间t - t 、标的资产的收益的波 动率盯、股票红利率p 由于期权价格是期权合约中唯一随市场供求变化而改变的量，它 的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，所以期权定价问题是期权理 论中的核心问题，也是现代金融工程特别是数理金融里面研究的热点 问题但长期以来，一直未能出现令人满意的定价模型直到1 9 7 3 年， 两位伟大的金融理论家与实务家f i s h e r b l a c k 和m y r o n - s c h o l e s 发表 了他们的著名论文“期权定价与公司债务”( t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n d c o r p o r a t el i & b i l i t y ) f 1 】i 提出了布莱克一斯科尔斯期权定价模型( b l a c k - s c h o l e so p t i o np r i c i n gm o d e l ，简称为b - s 模型) ，给出了欧式期权定价模 型及显式表达式这是金融数学一项有里程碑意义的突破性工作该 模型为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各 种以市价变动定价的期权定价奠定了理论基础，使得期权定价理论 的研究有了突破性的进展他们根据股价波动符合几何布朗运动的 假定，建立了具有划时代意义的b - s 定价模型，在风险中性意义下，推 2 几何型亚式期权的定价 导了无红利支付无交易费用的欧式期权定价公式 b - s 模型最重要的是给期权合理定价提供了重要的方法，但由于 在标准的b - s 模型中假设无风险利率r ，红利率q 和股票收益的标准 差圹均是常数，固定不变，然而在现实市场中，它们却受多种因素的 影响，一方面，利率可能是随时间变化的；另一方面，标的资产的价格 可能受多个随机因素的影响，例如受到某些重大信息的影响而资产 价格发生跳跃 因此，众多学者考虑到以上一个或两个方面，从不同的角度推广 丁b - s 模型，得到了多种更加符合现实金融市场的期权定价模型如 张顺明，杨新民【4 l 和刘海龙，吴冲锋【5 】分别介绍了推导b - s 模型的 五种方法和适用于非完全市场的期权定价方法；项立群f 6 】和俞迎达， 俞苗【7 】以及张彩玉 8 】等均从概率论角度给出了欧式标准期权的定 价；陈占锋【9 分别从两种角度一随机偏微分方程和概率方法详细地 描述了期权定价的过程等等c o x ，r o s s 等【1 0 】于1 9 7 9 年又提出一个期 权定价的简易方法一二叉树方法，随后出现了一系列从离散角度考 虑期权定价的文章陈万义【l4 给出了非风险中性意义下的欧式期权 定价公式；郑小迎，陈金贤 1 5 】等运用证券组合模拟期权收益构造了 有交易成本的欧式期权定价基本方程，通过分析保值因子，最终得到 其定价公式标准的b - s 模型均是在假设股票价格遵循几何布朗运 动的情形下得出其定价方程的，而李秉祥【1 6 、王锋、徐小平、赵炜 f l7 】等给出了股票价格在布朗运动和泊松过程共同驱动下的欧式期 权定价；闰海峰、刘三阳f 1 8 】推导了股票价格遵从o r n s t e i n - u h l e n b a c k 过程的期权定价等等 国内外许多学者在期权定价方面做了大量研究工作，根据b - s 模 型提出的重要方法，相继推出了许多期权定价模型并发展了许多期 权定价的方法，我们大致列举一下如今比较常用的定价方法： ( 1 ) 、偏微分方程法( 例如文【9 】，【1 5 i ) ：根据无套利原理，构造期权 的套期保值策略，得到关于期权价格的偏微分方程，再求解此方程，导 出其解析定价公式 ( 2 ) 、鞅方法( 例如文【9 】，【3 2 】) ：利用测度变换技巧将实际概率澍 度变换成等价鞅测度，按照风险中性定价原则，期权的现值就是到期 3 磺士学位论文 收益的折现值关于此等价鞅测的数学期萤 ( 3 ) 、二叉树方法( 例如文【t o ，【2 l 】) ：这是b - s 模型的一个离散版 畚 ( 4 ) 、有限差分方法( 例如文【2 1 d ：这是偏微分方程数值解的一种 常用技术，它利用差分逼近将b - s 模型转化为一组差分方程来求解 ( 5 ) 、m o n t e - c a r l o 模拟湖如文f 2 l 】，1 2 e j ) ：该方法利用计算机模拟标 的资产价格的随机运动和对应的期权收益，并将这一收益按无风险 利率进行贴现，由大量的随机样本得到的贴现后收益的算术平均值 就是这一期权的估计值但这种方法速度较慢，而且不能处理具有提 前执行特征的期权 ( 6 ) 、保险精算法( 例如文 3 0 1 ) ：文献 3 0 1 中在无任何经济条件假 设的情况下，提出期权定价的保险精算方法，将期权定价问题转化为 等价的公平保费确定问题其关键点是将无风险资产( 债券) 按无风 险利率折现，风险资产( 股票) 按其期望收益率折现，然后在市场概 率测度下取期望 1 2 亚式期权简介以及研究意义 近年来，随着金融市场需求复杂程度的提高，仅仅使用标准期权 已很难满足客户的特殊需要，因此许多金融公司除了提供人们广为 熟悉的欧式、美式期权外，还设计出了大量由标准期权派生出的通常 在场外市场交易的新品种非标准化的衍生证券，我们称其为新型期 权( e x o t i co p t i o n s ) 新型期权中大多都具备路径依赖特征，即期权价 格不仅取决于其到期日标的资产价格，而且取决于标的资产价格在 期权有效期内的变化路径亚式期权( a s i a no p t i o n s ) 正是其中的一项 代表性的产品，同时它也是当今金融衍生品市场中最为活跃的一种 新型期权亚式期权是9 0 年代为适应金融市场的需要而创设出来的。 从此以亚式期权为代表的新型期权也成了学术界研究的核心问题 在现今的金融市场上常见的路径依赖期权有障碍期权，亚式期权 和回望期权等从数学上讲，障碍期权是最简单的路径依赖期权之， 4 几何型亚式期权的定价 白于它的终值收益对标的资产在期权有效期内价格演化的依赖比较 弱，所以又把障碍期权归为弱路径依赖期权本文主要研究相应的强 路径依赖型期权一一亚式期权由于亚式期权是路径相关的期权，因 此一方面避免了投机者在接近到期日，通过操纵标的资产价格来牟 取暴利的可能；另一方面在一定程度上避免了期权价格的人为波动 的风险，降低了风险，因此期权费一般较低，从而人们更容易接受 亚式期权也称为平均期权，其收益依赖于标的资产价格在期权有 效期内( 或其中一段时间) 的某种平均根据取平均的方式，亚式期权 可分为算术平均亚式期权( 算术型亚式期权) 和几何平均亚式期权 ( 几何型亚式期权) 在对价格进行平均时，可以采用某时间段上一 些离散点的平均值，也可以采用某段时间资产价格的连续平均具体 地说，设0 为起始时刻，t 为到期时刻对于离散情况，设& ，岛， 为基础资产在【o ，t 】上n 个不同时刻t - ，坛，k 的价格，则 算术平均价格a 为t a ( ，1 ) ：曼鱼：墨， 。 f l 几何平均价格g ( n ) 为： g ( n ) = 坼f 否；- = = 爵 对于连续情况，算术平均值为t 1 尸 j r = 未，母d l j j 0 几何平均值为t 矗= 白科未l n 舅d f oj 0 通常，在实际交易中是离散情况，在理论研究中也有离散模型，一般 利用计算机来模拟计算；但是在数学上处理起来不方便，因此在理论 研究中更多的是研究连续情形 另外，按照结算方式的不同，亚式期权又分为平均价格期权和平 均执行价格期权其中平均价格期权又称为具有固定执行价格的亚 式期权，是以期权有效期内标的资产某段时间内的平均价格代替欧 5 硬士学位论文 式期权中到期日的标的股票的价格而平均执行价格期权又称为具 有浮动执行价格的亚式期权，是以期权有效期内标的资产某段时间 内的平均价格作为执行价格 因此，对于算术平均期权和几何平均期权又分别包括两种形式的 亚式期权，即平均价格型与平均执行价格型 如果用t 表示到期时瓤表示标的资产到期日的价橇矗表示 标的资产在有效期内的平均价格，k 为执行价格，v ( t ) 为到期收益，则 各种形式的亚式期权的持有者在到期日的收益情况如下： 算术平均亚式期权 1 ) 具有固定执行价格的看涨期权的收益为 k ( 刃一m a x ( j r 一五0 ) ， 2 ) 具有固定执行价格的看跌期权的收益为 k ( t ) r _ m a x ( k j r ，0 ) ， 3 ) 具有浮动执行价格的看涨期权的收益为 k ( r ) = m a x ( s r 一。厅，o ) ， 4 ) 具有浮动执行价格的看跌期权的收益为 k ( = m a x ( j t s r ，0 ) ， 几何平均亚式期权 5 ) 具有固定执行价格的看涨期权的收益为 ，k = m a x ( j j r 一墨o ) ， 6 ) 具有固定执行价格的看跌期权的收益为 k ( 刃= m x ( k 一西，0 ) ， 7 ) 具有浮动执行价格的看涨期权的收益为 k ( d = r e x ( s t j r t ，0 ) ， 6 几何型亚式期权的定价 8 ) 具有浮动执行价格的看跌期权的收益为 ( 研= m 一( j t 一岛，o ) 亚式期权的应用相当广泛，它在某些情况下比标准期权更适合公 司财务的需要，并且可避免期权合约的任何一方操纵价格此外，亚 式期权的价格一般也比标准期权便宜因此这类期权相对于欧式期 权对某些公司更具吸引力，在国际贸易、基金公司、保险公司等许多 金融领域有着广泛的应用，因而其定价也具有非常重要的意义由于 具备路径依赖特征，使得亚式期权的定价模型与标准期权的定价模 型相比呈现出比较大的差异，其定价问题远比欧式期权定价复杂然 而，由于取资产价格的平均值，亚式期权定价过程相对而言要复杂得 多，很难得出显式表达式问题关键就在于如何求出资产价格平均值 的分布，以及在t 时刻的价格公式里面如何反映t 以前的价格信息 近几年，许多学者在b - s 模型的基础上，创造了许多求解亚式期权 的数学方法，如郑小迎，陈金贤 1 9 m o 】在关于路径依赖型期权定价模 型的研究中剖析了路径依赖型期权的主要特征和价值形成机理，归 纳出路径依赖期权的主要类型，在新型期权及其定价模型的研究中 简单的讨论了路径依赖中的亚式以及回望期权，并创建了包含路径 因子在内的定价模型；戴民 2 l 】详细地给出了路径依赖期权的数值方 法一一二叉树方法，他运用二叉树方法定价了亚式期权和回望期权 等郑小迎等【2 2 】对亚式期权定价模型作了简要的介绍；章坷等【2 3 】 根据风险中性定价原则给出了常利率的几何平均亚式期权的定价公 式；姜礼尚【4 3 】中通过解偏微分方程求得了算术型亚式期权的定价公 式；冯广波【2 5 】利用前向打靶格的方法计算了障碍期权，也简要的介 绍了计算亚式期权的办法算术平均期权在金融市场上的运用较为 普遍，但是显式的解析定价公式很难求得，许多研究者针对这一问题 也都进行了深入的研究以寻找其近似的解析定价公式，如孙坚强等 【2 6 】，金春红等【2 7 】和胡日东【2 8 】分别通过引入一个均值函数和运用 = 阶矩近似方法，得到离散时间情形下的算术平均亚式期权的近似 定价公式曲军恒等【2 9 】在郑小迎等的研究基础上得出了有交易费 的几何平均亚式期权的定价公式，以及许端等【3 0 1 对亚式期权估价的 最新进展做了简要的介绍 7 顼士学位论文 1 3论文研究思路及主要内容 本文主要研究“连续情形”下两类几何型亚式期权的定价问题“连 续情形”也即允许交易时刻是任何实甄交易量也允许是实数其目 的是运用随机分析等强有力的数学工具来处理复杂的金融市场问题， 这种“连续化”的近似使得原来非常复杂的问题变得相对容易 本文在以上文献的基础上，首先简要回顾了期权的概念以及定价 的常用方法，以及亚式期权的一些背景知识和研究现状着重考虑了 两种类型的几何型亚式期权：固定敲定价格的几何型亚式期权和浮 动敲定价格( 也就是以几何平均值作为敲定价格) 的几何型亚式期 权，考虑利率、股票预期收益率以及波动率均随着时间变化的情况， 分别得出这两种类型的期权在任意有效时刻的定价公式具体地说， 全文共分四章，包括以下内容： 第一章是全文的引言部分，简要的介绍了期权的概念，当前定价 期权的几种常用的方法，并回顾了标准期权和路径依赖期权一亚式 期权的相关历史文献，然后指出了本文的研究思路以及主要内容 第二章详细的推导了敲定价格为常数的几何型亚式期权的定价 公式，首先考虑常利率的情况，然后考虑利率随时间变化时的情况， 用严格的数学方法得出了资产价格平均值的概率分布，进而得到了 期权的定价公式 第三章详细的推导了以几何平均值作为敲定价格的几何型亚式 期权的定价公式，首先考虑常利率的情况，然后考虑利率随时间变化 时的情况，由于难以直接得出资产的平均价格和资产的到期价格的 联合分布，因此考虑以股票作为计价单位，再借助测度变换，将资产 的平均价格和到期价格转化为一个随机变量，用严格的数学方法得 出了它的概率分布，进而得到了期权的定价公式 第四章阐述了亚式期权在金融市场上所起的重要作用，并对本文 内容进行总结以及展望 8 几何型亚式期权的定价 1 4预备知识 设概率空间( n ，只p ) 上有一随机变量x 以及芦的个子一代 教9 z 的数学期望存在令= x p 为x 关于p 的不定积分，即， ， y ( a ) = e ( x z a ) = x d p , a 只 j 则一是关于p 绝对连续的符号测度若将u p 都限于( n ，岔) ，则r p 令y 为p 关于p 在( n ，9 ) 上的r , a d o n - n i k o d y m 导数，则y 为g 可测的 随机变量，且有 e ( y i a ) = e ( x h ) ，y a 9 ， 并称y 为x 关于夕的条件数学期望 关于条件期望的计算有如下定理( 见1 4 0 1 第2 0 3 页) ； 引理1 1 设( q ，p ) 为概率空间，g 为芦的子盯代数，x g ，y 与 蛋独立，g ( z ，y ) 为( r 2 , b ( 舒) ) 上的可测函数，且e g ( x ，y ) i o 。，则t _ e l q ( x ，”旧= e 【g ( z ，y ) l i 。x 一般地，具有单点分布和正态分布的随机变量统称为高斯随机变 量 引理1 2f = ( 6 ，t t ) 为高斯系当且仅当其中任何有限个随机 变量的线性组合为一元高斯随机变量 见f 4 1 1 第2 7 页) 引理1 3 设f = ( & ，t t ) 为高斯系，又设鼠f ，且& + 岛，( 以 概率) 竹一) ，则如也是服从高斯分布的随机变量( 见【4 1 】第2 9 页) 定义1 1 设概率空间( n ，兀 刁啪，p ) 上的一可积随机过程x ( ) 称为一个p - 鞅，如果 e ( t ) l 引= x ( 曲，0 8 t 定理1 1m 定理( 见【3 1 1 ) 设x ( t ) = x o + j ok s ) d a + 上盯( 8 ) 幽( d ) ，e t o t ：r l t 假如 fv 要圭耋竺芝苎i 一 ，：【o t l 舻一r 为个光滑函数，具有有界偏导数，则t d f ( t ，x ( t ) ) 】= 五爆x ( ) ) + + ；t r l s = ( t ，x c t ) ) 矿( 咖( f ) 1 ) d t + 定理1 2g i r s a n o v 定理( 见1 3 1 】) 设( q ，芦，p ) 为某个概率空间，( ”p g ) ，五，0 t t ) 是此概率空间上的 布朗运动，过程p = 口( 亡) ，0 s t s t ) 适应 五) 令 “ w a ( t ) = 尸( t ) + o ( u ) d u ，0 t 正 ，0 “ 一 z ( ) = 唧 一o ( u ) d w p ( ) 一；f 口2 ( 哪d u ，0 t 霉 j 0 。j u ， q ( a ) = z ( t ) d e , v a 歹 j a 若对t 墨。，雄) 满足n o v i k o v 条件； 邱【唧 ；z 。口2 ) 乩 1 o ) 本文假定弘( t ) ，a o ) ，r ( t ) 均为时间t 的确定性函数，且满足以下可 积条件t t r ( t ) 出 o 。， ，u t p ( t ) d t o o ， j o 厂却) 狄。 j o 在上述假足p 方程( 2 1 ) 存在唯解： b ( t ) = 彤币( r ( s ) d s ) ，t 【o ，刁； ，i j 0 记 矗= e x p 一珂r 螂) 娜，刁 面( t ) = 伽( 0 + 口( 8 ) 出，t 【0 ，刁 ，t j o 其州8 ) _ 等铲 定义： q ( a ) 篁e ( e ( t ) j ( a ) ) ， y a 芦： 几何蛩亚式期权的定价 因为矿( t ) m 0 ，0 ) 上的一个标准布朗 运动以下就在概率空间( n ，( 五) t 邳，q ) 上讨论期权的定价问题 取债券作为计价单位，并称卢( t ) = e x p 一r ( s ) d 5 为贴现因子过 程，称( ) = 卢( ) s ( ) 为贴现资产价格过程 由i t 6 公式知，贴现股票价格过程雪( ) 满足， 卜雪( 牡d ( 辩) ；雪( 龇( p 删出+ 雪( t ) d ”( t ) = 盯( t ) 雪o ) 州) i 雪( o ) = 岛 、 ( 2 3 ) 由( 2 3 ) 可得： l n m 岛一；r 邦胁f 晔删珐 从而 =halas(t) 岛+ 瓜旷扣) ) d s + 小蛳 ( 2 4 ) 岛+ 上( r ( 8 ) 一；矿( s ) ) 如+ za ( s ) d 面( s ) ( 2 4 ) 根据随机积分的性质知雪( ) 在禊i 度q 下为鞅，这说明测度口是 风险中性概率测度因此对任何可复制的未定权益y ( t ) ，可在此风险 中性概率i 廷9 度下定价 定理2 1 风险中性定价原则( 见【7 】第2 3 9 页) ： 假设市场无套税任何可复制的未定权益y ( d ，在t 时刻的价值 为t ，t v ( o = 奶( ”唧 一7r ( 如 例 ( 2 5 ) 2 2常利率时的亚式期权定价 和经典的欧式期权定价模型一样，首先考虑利率股票收益率以 及波动率等参数为常数的情况，以便得出类似欧式期权的定价公式 硬士学位论文 考虑一份几何型亚式看跌期权，其到期时刻t 的收益为。 k ( 研= ( k 一，( ，r ) ) + ， 箕中： ，( d = 唧 亍1j c t h & a t ) 在市场完全而且无套利的条件下，嵋( 即可以复制当无风险利率、股 票收益率以及波动率为常数时，由定理2 1 易知，在t 时刻的价值由下 式给出t k ( t ) = 昱b 【嵋口) ，o 一矸i 五】= e r ( t 一研点b 【( 耳一t ，( t ) ) + i 五1( 2 6 ) 特别地，0 时刻的价格为 v p ( o ) = e e q ( k j 口) ) j( 2 7 ) 要进一步求出( o ) 的计算公式，关键是求出了口) 的概率分布 令y = ；z 2 l 母打，则t ，( t ) = ， 利用( 2 4 ) 得： y = 搿h 跏 = ；r 陋s o + ( r l a 2 ) r + 嘶】d r ) = h 岛+ 吾( r 一；矿) + ；z 7 西( r ) d t 记 乒= l n 岛+ 吾( r 一；矿) ， 吁= ；f 酬r 则，( d = e 脚，由于布朗运动的独立增量性以及l e b e s g i i e 积分的性质 知目是正态随机变量这就是下面的定理。 定理2 2 随机变量7 。n ( o ，萨) ，其中铲：孚 1 4 几何翌亚式期权的定价 证明：设t = 而 n 矗= t ，由l e b e s g u e 积分的定义有 萎面+ l 卜喇) 兰r a , ( r ) d r , ( n - - - , o o ) 面p ( i + 1 ) 一下( ) ) 兰 1 0 。” 由于亩，面( t ) ( r 0 + 1 ) 一r a ) ) 均服从正态分布，根据引理1 2 以及引 理1 3 可知口服从正态分布，并且， 奶m v a r q m 3 因此，目的密度函数为，( z ) = z f t - e - -象，从而就能进一步求出 v 丌旷 k ( o ) 的计算公式 定理2 3 假设市场完全且无套利，则看跌亚式期权( t ) = ( k 一 矗) + 在0 时刻的价值为： ( o ) - e 毋刚( 鼍) 一矿妒n ( 1 a k - 。o - e 2 ) 其中删= 而1e 一 证明：由( 2 7 ) 得 嵋( o ) = e 西岛【( k j ( ) + 】 = e - n e c t ( k e 脚) + 】 = e 小c 邓( k 一妙) 去e - 毒衄 = e 小7( 一妙) 1 芝蕾衄 ，一v ，l v = 一酬生字垦) 一矿蛳( 翌与 堡) 】 硬士学位论文 定理2 4 假设市场完全且无套利，则看涨亚式期权磁( d = 陆一 k ) + 在0 时刻的价值为： 唧) ：e n 啊州旦与 堡) ) 一k 0 - ( 生等生) ) 】 证明：类似于看跌期权利用( 2 5 ) 得 k ( o ) = e - - t r 岛i ( j r 一耳) + 】 = e - n 蜀o ( 扩却一k ) + l = e 一升0 妙耳丽1 e 一豢曲 ：e 卉叫矿( 1 一( 坠亭望) ) 一k ( 1 一( 垒等? ) ) j 由上面的定理，易得亚式看涨期权与看跌期权的平价关系 推论2 1 对于几何型亚式期权，看涨期权与看跌期权的平价关系 为， k ( o ) 一k ( o ) = e - t r 妒+ 妒一】 至此，对于敲定价格固定的几何型亚式期权，我们得到了和欧式 期权的类似公式 2 3时变利率时的亚式期权定价 一般而言无风险利率、股票平均收益率和以及收益的波动率均 与时间有关，而且刭t 时刻t 以前的资产价格信息都已知道，未知的 只是暇卅上的资产价格因此，在期权价格公式里面如何反映t 以前 的价格信息，或者期权有效期内的其它时刻的定价也是值得研究的 问题因此本节在上一节的基础上，考虑了p ( t ) ，盯( t ) ，r ( t ) 均为时间t 的确定性函数的情形，并且考虑任意时刻期权的价格先根据高斯随 机变量的性质，得出资产价格平均值的分布，再利用测度变换技巧和 鞅方法得到了期权在任意有效时刻的价格公式 考虑份看跌亚式期权，其到期时刻t 的收益为 嵋( d = ( k t ，( ) + ， 1 6 几何强亚式期权的定价 其中： ，( 刃= 唧 亍1j c t h & m ) 在市场完全而且无套利的条件下，k ( 即可以复制，由定理2 1 知，在 时刻的价值由下式给出t v g t ) = e o v p ( t ) e 一，( j ) “f 五】= e f r ( i ) 山e q ( k 一，( t ) ) + 列 令y = 刍j i n s d r ，则j c t ) = e y 利用( 2 4 ) 得。 y = 并h 油 ；( f t i n s , - d j ， + 厂l n q ，d - r ) = 新l n 鼬+ ，7 陋岛