（概率论与数理统计专业论文）几类相依的双险种风险模型破产问题研究.pdf

摘要 自从经典的c r 锄e r - l u n d b e 唱风险模型提出以来，许多人都对其 进行了推广，但往往都蕴含着这样一种假定：保险公司中不同险种的 索赔到达计数过程是相互独立的，即不同险种的理赔额是相互独立 的；保费到达计数过程与索赔到达计数过程也是相互独立的，即是保 费收入和理赔额是相互独立的随机变量。但是，在保险公司的实际经 营中，由于竞争，利率，通货膨胀率以及随机干扰项等经济环境的影 响，不同险种的索赔到达计数过程是相依的，保单到达计数过程与理 赔到达计数过程也是相依的，根据这一实际情况，有必要为这类险种 提供更符合客观实际的风险模型。本文建立并探讨了以下几种相依的 双险种风险模型： ( 1 ) 讨论了常利率和通货膨胀率下一类索赔到达过程相依同时 保费收入为复合p o i s s o n 过程的双险种风险模型的破产概率，推算了 调节系数，破产概率之间的关系等问题。先将两个相依索赔总额转化 为相互独立的索赔总额，然后利用鞅方法给出相应的l u n d b e 唱不等 式。 ( 2 ) 考虑了每次收取的保费均为独立同分布的随机变量，保费到 达计数过程是p o i s s o n 过程，而索赔计数过程是其稀疏过程的双险种 风险模型的生存概率问题，求出了生存概率满足的积分方程，并在指 数分布的情况下求出了无限时间不破产概率的具体表达式。 ( 5 ) 研究了保费率随机、保费收取过程是p o i s s o n 过程，而索赔 计数过程是其稀疏过程的带干扰的双险种风险模型，并考虑了利率和 通货膨胀率，讨论了其盈余过程的基本性质，强马氏性和鞅性，利用 鞅证明了l u n d b e 唱不等式和最终破产概率的一般公式。 关键词破产概率，鞅，生存概率，稀疏过程，保费收入过程，理赔 到达过程 a bs t r a c t t h ec l a s s i c a lc r a m e r l u n d b e 唱r i s km o d e lh a sb e e np r o m o t e db y m a n ) 7p e o p l e s i l l c ei tw a sp r o p o s e d w h i l et h e ya r eb a s e do nt h e i n d e p e n d e n ta s s u r n p t i o n s ，t h e s ea r e ，t h ec o u n t i n gp r o c e s si n d i 位r e n t t ) ，p e so fi n s u r a n c ec l a i m si si n d e p e n d e n to fe a c ho t h e r ；c o u n t i n gp r o c e s s c l a i m sa n dp r e m i u m s 耐v e da tm ec o u n t i n gp r o c e s sa r ea s s u m e dt ob e i n d e p e n d e n t i n0 t h e rw o r d s ，t h ec l a i m so f d i 仃e r e mh n d so fi n s u r 觚c ea r e i n d e p e n d e n t a n dt h ep r e m i u m sa n dc l a i m sa r ea s s u m e dt ob e 附o i n d 印e - n d e l l ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ( i i d ) i 砒l d o mv a r i a b l e ss e r i e s ， a n d d i 行e r e mt i m e so fp o l i c e sa r ei n d 印e n d e n to fe a c ho m e r ht 1 1 e m a n a g e m e no f m ei n s u r a n c ec o m p a n y ，b e c a u s eo fe c o n o m i ci m p a c to f c o m p e t i t i o n ，i n t e r e s t r a t e ，i n f l a t i o n r a t ea n d 啪d o mi m e r f - e r e m c e s ，t h e c o u m i n gp r o c e s s e si i ld i f f e r e n tt y p e so fi n s u 啪c ec l a i m sa r ed e p e n d e m ， c o u n t i n gp r o c e s sc l a i m sa n dp r e m i u m sa m v e d a tt h ec o u n t i n gp r o c e s sa r e a l s od e p e n d e n t t h e r ei sn e c e s s a 巧f o rt h i s 够p eo fg r o ws i t u a t i o nt o p r o v i d em o r eo b j e c t i v ea n da c t l l a lr i s km o d e ln e a n y i n 恤s 廿1 e s i s 、e b u i l du pa n dd i s c u s ss e v e r a ll d n d so f d e p e n d e n td o u b l e t y p er i s km o d e l s ： ( 1 ) w es t u d yac o r r e l a t e da g 黟e g a t ec l a i m sm o d e l ，i nw h i c ht h e 州v a lo ft h ei n c o m eo fp r e m i u mi sac o m p o u n dp o i s s o np r o c e s sw i t h c o n s t a n ti m e r e s ta n di n n a t i o nr a t e f i r s tw ec o n v e r tt h et w oc o r r - e l a t e d a g 伊e g a t ec l a i m st oi n d e p e n d e n ta g 铲e 2 m ec l a i m s t h e nw eg e tl u n d b e 略 i i i i n e q u a l i t yb yu s i n gm 矾i n g l et h e o r y ( 2 ) w ec o n s i d e rt h ep r o b a b i l i t ) ，p r o p e n i e so fad o u b l e 一够p er i s k m o d e li nw h i c ht h er a t eo fp r e m i u mi n c o m ei sr e g a r d e da sar a n d o m v a r i a b l e ，t h e 撕v a lo fi n s u r a n c ep o l i c i e si sap o i s s o np r o c e s sa n dt h e p r o c e s so fc l a i mo c c u 而n g i sm i m i n gp r o c e s s ai n t e 伊a le q u a t i o nf o rt h e s u r v i v a lp r o b a b i l i t yi so b t a i n e d t h ee x p l i c i te x p r e s s i o no ft 1 1 es u r v i v a l p r o b a b i l i t ) ，f o rt h ei n f i n i t ei m e a l i so b t a i n e di nt h es p e c i a lc a s eo f e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ( 3 ) w bs t u d yt h er u i np r o b a b i l i 够p r o b l e mo ft h ed o u b l e - t ) ，p er i s k m o d e lp e r t u r b e di nw h i c ht h er a t eo fp r e m i u mi n c o m ei sr e g a r d e da sa r a l l d o mv 撕a b l e ，t h e 嘶v a lo fi n s u m c ep o l i c i e si sap o i s s o np r o c e s sa n d t h ep r o c e s so fc l a i mo c c u r r i n gi st h i n n i n gp r o c e s s u s i n gm a 而n g a l e m e t h o d ，m el u n d b e 曙i n e q u a l i 哆a n dt l l ec o m m o nf o m m l af o rt h er u i n p r o b a b i l i t ya r ep r o v e d k e yw o r d s r u i n p r o b a b i l i 以m a r t i n g a l e ，s u i v a lp r o b a b i l i 坝 t h i m i n gp r o c e s s ，p r e m i u m si n c o m ep r o c e s s e s ，c l a i m s2 u r r i v a lp r o c e s s 硕十学位论文第一章引言 第一章引言 1 1 概率论与数理统计在保险风险中的应用 在日常的生活中，人们总是会受到自然界和社会上偶然发生的自然灾害和意 外事件的威胁，危险事故一旦发生，将破坏人们正常的生活和秩序，从而进一步 影响社会经济的正常秩序。这些危险事故的发生，对单个人来说是不可预测的， 随机的，但对于全体社会成员总体来说却基本是确定的，必然的。保险正是在这 一基础上建立和发展起来的，即通过众多面临某种风险的人自愿共同筹集以保险 基金的形式向保险人缴纳，当保险事故发生时，由保险人负责给付一定金额给被 保险人或其指定的受益人。因此保险是补偿和减轻发生危险事故带来损失的有效 手段，是一种互助共济的社会保障制度。 那么保险公司是如何运营才能保障盈利而不至于破产呢? 这仅仅局限于定 性方面的工作还远远不够，还需要定量分析，而且保险业中所含的风险通常局限 在不确定性可用概率刻画的风险，也就是说，保险公司承保的标的( 人的生命， 财产等) 可能发生的损失可用概率描述。由此，保险公司可以确定承保标的可能 发生的平均理培，制定出相应的保险产品的价格。标的( 人的生命，财产等) 可能 发生的损失是一个随机变量】，实际经验表明，这一随机变量的分布往往很难获 得，人们转向采取另一个研究方法，即将y 分解为两部分，保险事故发生的频率 和每次所发生的损失，只要这两个变量的分布了解了，将这两部分组合起来，就 得到】，的分布情况了。对于人寿保险，每次所发生的损失是事先确定好的，而保 险事故发生的频率指的是被保险人生或死的可能性，这可利用大量的人口数据统 计出来，对于财产保险，健康保险等保险，保险事故的发生的频率和每次所发生 的损失额都是随机变量，已有一些分布( 如泊松分布，二项分布，指数分布等) 可 以拟合。所以运用大量的数学和概率统计学理论对保险经营中风险的控制，损失 分布的拟合。保费的计算等进行严格的计算，分析和提供决策的依据，亦即保险 精算在整个保险经营中起着举足轻重的作用，而近代保险业的发展是随着精算理 论的发展而发展的，正是由于精算理论的逐步发展完善，保险业才得以快速发展， 精算是保险业的技术核心，同时，精算理论又同现代数学，概率论，数理统计的 硕士学位论文 第一章引言 发展紧密结合。 ， 风险理论作为保险精算数学的一部分，是当前精算和数学界研究的热门课 题，主要处理保险事务中的随机风险模型并研究破产概率，破产概率作为保险中 的一个重要预测方法( 即破产理论) ，已经成为风险理论的一个主要课题。而保险 业本身就是具有高风险特征的行业，一旦风险变为现实，不仅直接损害投保人的 利益，而且保险系统本身的稳定经营也会受到影响。因此需要加强对保险系统风 险的研究和预测，为保险系统提供早期的警示数据，以提高保险系统经营管理和 保险业自身的竞争力，这已经成为保障金融与保险业持续发展和稳定经营的基本 需要，从而使风险理论也成为保险系统中的重要研究课题。实际上，保险公司的 风险来源主要是发生索赔的次数和发生索赔时的索赔额，它们对保险公司未来的 稳定经营有重要的作用。而确保保险公司稳定经营的一个重要衡量指标是破产概 率，即保险公司的盈余第一次由正变为负的概率，它是研究经营状况的重要指标， 是衡量一个保险机构金融风险的极其重要的尺度。因此研究破产及与破产有关的 问题的风险理论，是防范和化解金融风险和破产风险重要理论依据，也成为金融 企业，保险系统预测风险的理论基础。 1 2 风险理论的简介 当今社会无论是自然环境还是社会环境中都充满着风险，而处理风险的有 效方法之一就是保险。于是保险公司应运而生。保险公司是经营风险的特殊金融 服务机构，它经过评估保险标的的风险大小，以收取合理的保费为条件，一旦保 险标的发生损失，公司即按保险合同规定的保险责任赔付被保险人的损失。保险 公司在考虑其实际资产与实际负债的差额是否超过了“破产”临界点时，往往强 调的是“破产”这个后果发生的概率，那么保单的定价、利率的波动、分红以及 通货膨胀等等这些因素都会对保险和理赔产生影响，这些问题解决的好坏对公司 能否顺利运营起着至关重要的作用。风险理论就是通过建立和分析这些保险业务 的随机风险模型从而对承保项目进行可行性研究的理论。现已公认，风险理论的 研究溯源于瑞典精算师f l i pl u n d b e 唱于1 9 0 3 年发表的博士论文【1 1 ，至今已有近 百年的历史。事实上，一类最重要的随机过程，即p o i s s o n 过程，正是l u n d b e r g 首次在那篇论文罩提出的。不过，l u n d b e 唱的工作不符合现代数学严格标准。 硕十学位论文 第一章引言 它的严格化是以h a r a l dc m l n e r 为首的瑞典学派完成的。他们建立了风险理论与 随机过程理论之间的联系。关于风险理论系统的论述当推g e 慨f 和q a n d e l l 。近 几十年来，随着随机过程研究的深入及其一般概念与结果在风险理论的地位不断 提高，应用随机过程的已有结果来研究风险理论的方法，极大的促进了风险理论 的发展，这不仅大大简化了一些经典结果的证明，而且可以解决许多新问题，如 平均破产时间、破产瞬间前后的盈余额的分布、破产前最大盈余额的分布、引起 破产的索赔额分布以及破产到恢复期间的最大盈余额的分布等等。这些方法主要 有鞅方法和更新方法，还有部分是利用强马氏性。并且人们对风险理论的研究更 加趋向于实用化，特别是d a v i s ( 1 9 8 4 ) 的专题文章针对p i e c e d e t e r n l i i l i s t i cm a r k o v p r o c e s s 解决了广义算子生成域结构，为鞅理论在风险理论领域的应用铺平了道 路，从而为一系列模型的提出与建立找到了理论根据，从而使风险理论的研究达 到了一个新的层次。 一般说来，风险模型可由以下三个过程组成： ( 1 ) 保费收入过程 尺( f ) ，0 ，尺( ，) 表示( o ，f ) 内收到的总保费； ( 2 ) 索赔到达的计数过程 ( r ) ，f o ，( ，) 表示( o ，r ) 内发生索赔的总次数； ( 3 ) 累计索赔额过程 s ( f ) ，s ( f ) ( 与索赔到达计数过程有关) 表示( 0 ，f ) 时问段 内的总索赔。 于是保险公司的盈余过程可表示为： u ( ，) = 甜+ r ( f ) 一s ( f )( 1 1 ) 其中，“( 甜 0 ) 表示保险公司的初始资本。随着时间，的变化，盈余可能在某一 时刻为负，当首次出现这种情况时，我们说保险公司发生了破产。当然，这里所 说的破产并不是指保险公司要面临倒闭，这样做只是为了数学上的处理方便而 已。如果把财务上其它影响盈余的因素都考虑在内的话，当保险公司出现微小赤 字时，该公司仍能继续运转，盈余c 厂( f ) 仍然可能为正的或者可能恢复为正的。然 而，我们所研究的破产概率甲( “) 仍是衡量一个保险公司或者所经营的某个险种 的金融风险的极其重要的尺度，它可以为保险公司决策者提供一个早期风险的警 示手段，也可以为保险监管部门对保险公司偿付能力的监管提供依据。因此，破 3 硕十学位论文 第一章引言 产概率的研究对保险公司的经营和保险监管部门的监管都有着非常重要的指导 意义。在我国保险公司的运作过程中，保费收入是主要收入来源，理赔则是主要 风险因素，保险公司最基本的经营目标就是提高它的偿付能力，确保稳定地运作。 因此，科学地预测保险公司未来的收入、可能发生的理赔额，以及估计保险公司 的破产概率等等都是十分重要的课题。 1 3 经典风险模型介绍以及主要结果 1 3 1 经典风险理论 对破产理论的研究最早是从古典风险模型的破产概率开始的。对模型( 1 1 ) 进行若干假定，就得到古典风险模型，它是最简单的风险模型，也是研究历史最 长且理论最完善的风险模型。首先对它进行一个严格的描述：令( q ，尸) 是一个 完备的概率空间，在其上定义下面的随机变量和随机过程。 ( 1 ) 初始准备金”= u ( 0 ) 为非负实数； ( 2 ) 索赔到达过程 ( ，) ，f 0 ) ，是一强度为五的齐次p o i s s o n 过程： ( 3 ) 索赔额序列 z ，f = l ，2 ，) 是独立同分布的随机变量序列，其均值为，分 布函数为f ( z ) ； ( 4 ) 索赔到达过程 ( f ) ，f 0 ) 与索赔额序列 x ，f - 1 ，2 ，) 是相互独立的； ( 5 ) 保费收入按线性增长，单位时间内保费收入为c o ，保费是按均值原理计 算的，c = ( 1 + p ) 舡，称p 为安全负载系数。 对古典风险模型： ( f ) u ( f ) = 甜+ c f 一x 。 ( 1 2 ) ，- l 最基本的研究成果有： ( 1 ) 帅) 2 詈广( 护妒甜詈尸妣c 茜c ： 4 硕士学位论文 第一章引言 圆邺，= 等= 南； 令厅( ，) = 弘“卵( x ) 一1 ，且存在 o ，使得，寸名时，办( ，) 专佃，即当 o ， k 时 ( r ) 佃，此时分布函数f ( x ) 为轻尾分布，则有： ( 3 ) l u l l d b e 玛不等式 ( 4 ) c m m e r - l u n d b e 玛近似 甲( 甜) p 一肋； ! 鳃p 黜帅) 2 鼎 - 抑l l 一，j ，r 其中：尺是方程办( ，) = ；的正解，称为调节系数； ( 5 ) 当z 服从指数分布时， 悱南p 一南 1 3 2 经典风险模型的推广 从经典风险模型的假设中，我们可以看到它的局限性，正是由于它的局限性 使得它与实际不能很好的相符合，因此自从它被提出以来，人们从各个方面对其 进行了推广，从而让它更好地与实际相符合，人们主要从以下几个方面对其进行 推广： ( 1 ) 改变保费收入，在经典风险模型中，保险公司在单位时间内收取的保费为 一常数c ，这种假设太过于理想化了，很多学者在这方面做了推广。孙丽娟和顾 岚1 2 2 1 认为不同单位时间所收取的保单数常常不一样，是一个随机变量，可能服 从某一离散分布，将经典复合p o i s s o n 模型的保单到达推广到和索赔发生独立的 p o i s s o n 过程，在索赔服从指数分布的情况下得出了最终破产概率满足的不等式； 龚同朝和李风军2 3 1 将此模型定义为双p o i s s o n 风险模型，利用随机过程和鞅论的 方法得出了此模型破产概率满足的l u n d b e 呕不等式和一般公式，以及当个体索 s 硕士学位论文第一章引言 赔服从指数分布时破产概率的具体表达式；龚同朝1 2 4 1 在索赔服从指数分布的情 况下，得到了有限时间内生存概率所满足的l a p l a c e 变换公式；向阳和刘再明2 5 j 考虑了一类具有马氏过程调制费率的风险模型，得到了破产概率满足的积分方 程，并且推出了在具有平稳初始分布时，破产概率的递归不等式和零初始资产时 破产概率的一个简洁估计式。 ( 2 ) 经典风险模型索赔到达过程是齐次尸。船d 行过程，推广为不再是齐次 尸d 栅d 打过程，随着点过程理论的系统和成熟，我们可以采用更一般的点过程描 述索赔到达。在实际经营中由于经济形势的变化，任意时刻的投保人数、退保人 数都是随机的，同时由于生活环境的变化、气候的影响及其它的随机因素，索赔 次数的强度是随机变化的。例如机动车辆保险中，车辆事故受突发的恶劣天气因 素的影响，因而用强度恒定不变的齐次p o i s s o n 过程描述索赔次数存在很大的局 限性。觚l d e l l l 2 6 j 中详细讨论了非齐次p o i s s o n 风险模型，c o x 风险模型，更新 风险模型，平稳风险模型，这些都是在索赔到达上进行的推广。 近年来，很多学者在索赔到达过程上进行了研究。l i i 啪s 眦和h a i l i a l l g y a n g 【2 7 1 讨论了在索赔到达过程为e r l a n g ( 2 ) 过程的更新风险模型的条件下，破产 前瞬时盈余和破产赤字的联合分布；在文献【2 7 】的基础上，c 。c h i l i 彻g 砥和 l i i 啪s l u l l 2 8 l 讨论了贴现因子的因素，得到了破产前瞬时盈余和破产赤字的联合 分布及其边缘分布，并且比较了e r l a i l g ( 2 ) 过程和e r l a n g ( i ) 过程( 即p o i s s o n 过程) 条件下的这些分布函数；s h u a n m i n gl i 和j 。g a 嘶d o l 2 9 l 讨论了索赔到达过程为 e r l a n g ( n ) 过程的更新风险模型，得到了贴现罚函数满足的更新方程，以及破产时 刻、破产前瞬时盈余和破产赤字的联合分布；刘再明1 3 0 】等应用m a r k o v 骨架过程 方法，深入地研究了索赔为一般到达的保险风险模型，得到了破产时间分布以及 破产时间与破产时刻l j 后资产盈余的联合分布，由此可以计算一些人们关心的重 要风险指标。 ( 3 ) 对索赔额序列的推广，经典j ) ( 【l 险模型研究的是关于“轻尾索赔”情形的 破产论，一个很强的约束条件是要求调节系数的存在。如果调节系数不存在，则 更新论证和鞅方法都无法奏效。但在实际中，如火灾、地震与洪水灾害等灾难性 6 硕十学位论文第一章引言 保险都是“大额索赔”的情形。从数学的角度来说，对于重尾分布的破产论，以 前的工具和方法不再适用，我们必须寻找新的数学工具，如次指数分布等。这样 的研究适用于火灾、地震与洪水灾害等灾难性保险。v 。k a l a s k o v 和d 。 k o n s t 肌t i n i d e s f 3 1 1 考虑了在常利率并且索赔额满足次指数分布的条件下，复合 p o i s s o n 风险模型的破产概率的渐近公式；唐启鹤【3 2 1 考虑了复合p o i s s o n 风险过 程在重尾索赔额的条件下，得到了破产概率的一个等价式，并且建立了次指数平 衡分布的两个重要定理。 ( 4 ) 建立多险种风险模型，经典风险模型的一个局限性就是只考虑一类同质 风险，也就是说模型只考虑经营一种险种时的情形。但随着保险公司经营规模的 日益扩大，险种的多元化及新险种的不断开发，这些单个险种的风险模型对于研 究整个公司的破产概率就无能为力了。因此，采用多险种风险模型来描述实际情 况，对于保险公司的经营及监管部门的监管更具有实际意义。如刘东海，刘再明 ( 2 0 0 5 ) ，用不同分布的随机序列来描述不同险种的索赔额分布，并用不同的点过 程来描述不同险种的索赔到达过程。 另外，对于经营刀个险种的保险公司，整个公司的偿付能力与挖个险种都有 关系，这刀个险种在经营过程中是相互“分散”风险的，整个公司的安全性自然 也就介于两个边际之间。通常，保险公司在实际的经营中并不是每个险种都是盈 利的，对于亏损或利润低的险种保险公司为了长远的计划或稳住长期的客户，不 能立即把它排出市场，而是靠着其他盈利的险种求得暂时的生存，通过改变策略 或险种的更新再寻找盈利的机会。 ( 5 ) 多险种风险模型中索赔次数与保单到达次数不再是独立的，而是具有了 一种相依关系。 ( 6 ) 考虑保险公司经营过程中可能存在各种不确定因素，而打于1 9 7 0 年提 出盈余有随机扰动的风险模型。其后有很多带随机扰动的风险模型出现，如w 抽g g w ur ( 2 0 0 0 ) 。 ( 7 ) 考虑实际经营过程中利率，通货膨胀率的影响，在保险公司同常的经营 活动中，除了保费收入和索赔支出对经营状况有很大影响外，另外还有一些不可 忽略的因素：如利率、分红。吴荣和杜勇宏【3 3 1 在常利率的更新风险模型下，利 7 硕十学位论文第一章引言 用转移概率得到了风险问题中的几个重要的量和分布：破产概率、破产时余额分 布以及破产i j 瞬间余额分布的级数展开式和积分方程；j l l i lc a i 和d 。c 。m 。 d i c k s o n l 3 4 j 在常利率的更新风险模型下，分别利用鞅方法和递推法给出了破产概 率的上界估计，并且对这两种方法得到的上界进行了比较。 对于分红的情形，也有很多学者进行了研究。研究最多的是两类分红：线性 分红和常数分红。n o m 嬲s i e g l 和r 0 b e nf 。t i c h y 考虑了复合p o i s s o n 风险模 型在线性分红，索赔额满足g a l l u i l a 分布的条件下，模型的生存概率、分红期望 以及破产前达到分红值的概率；s h l l 锄m i n gl i 和j o s eg a n - i d o 3 6 1 对于广义e r l a n g ( n ) 风险过程在常数分红的假设条件下，得到了g e 舭r - s l l i u 贴现罚函数满足的积分 方程，并且证明了方程的解与不带分红情形下的贴现罚函数之间的关系。 ( 8 ) 考虑投资回报，并把投资的回报率考虑为某些特殊的随机变量的情况，如 为三口w 过程或跳过程，或为几种的组合的情况。如p a u l s 饥，j 。( 1 9 9 3 ，1 9 9 7 ) ，w 抽g ，g 。 、m l ，r 。( 1 9 9 8 ，2 0 0 1 ) ，k 锄c 。y r u e n ，g u o j i n gw a n g ，k a iwn g 。( 2 0 0 4 ) 。 ( 9 ) 离散风险模型：实际中，保险公司对一些重要的业务通常是按某个时 间段来收取保费和支付索赔量的。例如，在人寿保险中，保险以年为单位向投保 人收取一定的保费和支付索赔量。对保险公司来讲，一年内仅有可能出现两种情 况：或有一次索赔发生，或者没有索赔发生。类似这种情况可以用以下复合二项 风险模型来描述： ( 月) u ( 甩) = 甜+ 册一r ，甩o ，= l ( 1 。3 ) 其中初始准备金“为非负整数，个体索赔额 r ) ? 为任取正整数值的i 。i 。d 的随 机变量序列。( 门) 表示前门个时段所发生的索赔的次数，假定( 刀) 是以概率 p ( o s ，即m ，是计数过程( f ) 在区间g ，f 】上的增量。如果 m 。的分布只依赖于差数，一s ，而与s ，f 的具体值无关，则称计数过程具有平稳 增量。如果对任意的正整数，l 和任意的实数0 f 2 s 0 ，增量m 。= ( ，) 一( s ) 有参数为五o s ) 的p 0 i s s o n 分 1 0 堡堂垡笙奎第二章预备知识 一 ：= = ：21 ：= = = ： 布，即对j | = 0 ，1 ，2 ，有 峨叫= 掣f 叫阳 ( 2 - 1 ) 这里五0 为常数，称作过程的强度； ( 3 ) 具有独立增量。 在以上定义中，条件( i ) 是对过程初始状态的规定，并不是实质性的限制。 条件( 2 ) 蕴含过程具有平稳增量，即m ，只依赖于参数，一s 而与s ，的具体值无关。 条件( 3 ) 表示过程是无后效的，即对任意正整数，2 和任意实数o ，l ，2 0 没有重点，即 尸( p = 0 或1 ，对每一f ( 0 ，) ) = l ( 2 2 ) 满足上式的点过程称为几乎处处有序的。此处 ， 表示点过程 ( f ) ；， 0 ) 在时 刻f 发生的点数。 令s 。表示第刀次事件发生的时刻，s 。= 0 ，乙书。一s 川表示第疗一1 次事件与 第门次事件发生的事件间隔。相邻事件的时间间隔、泊松过程与指数分布有如下 的关系成立： 定理2 1 1 计数过程 ( 吐， o ) 是具有强度为五的齐次p o i s s o n 过程的充要 条件是它的点间间距 瓦，甩1 ) 是相互独立的均值为喜的指数分布随机变量序 列。 2 2 复合p o i s s o n 过程 定义2 2 1 随机过程 s ( f ) ，f o ) 称作齐次复合p o i s s o n 过程( 简称复合p o i s s o n 过程) ，如果它可以表示为如下的形式： ，) s ( f ) = 艺，f o( 2 3 ) n 窖l 硕七学位论文第二章预备知识 其中计数过程 ( ，) ，r 0 ) 是带有参数为五的齐次p o i s s o n 过程， 匕，刀= l ，2 ，) 是 独立同分布的随机变量序列，并且过程 ( f ) ，f o ) 和序列 匕，聆= 1 ，2 ，) 是相互 独立的。 对于齐次复合p o i s s o n 过程有如下重要的定理。 定理2 2 1 设s ( f ) ，是( ，) ，瓯( ，) 为相互独立的复合p o i s s o n 过程，并设： m ( f ) s ( ，) = 圪， f o ，江l ，2 ，七 ( 2 4 ) * l 其中 m ( ，) ：，o 相互独立且是参数为五，的齐次p o i s s o n 过程，对于同一个f ， 匕 为独立同分布的随机序列( 简称z ) ，其分布函数为e ( y ) ，设其均值为鸬，则 s ( f ) = s ( r ) ，o ，还是一个复合p o i s s o n 过程，设为 l = i ( r ) s ( ，) = z ， r o ( 2 5 ) 七 其中 r ( f ) 是参数为旯= 旯，的齐次p o i s s o n 过程，且互的分布函数为 ( z ) = 五，气( z ) ，均值为= 名，肛。 ，= l几，= l 2 3 稀疏过程 设 ( f ) ，r o 是间距分布为f 的更新过程，它的点发生时间序列 s 。 - ，如 果对过程 ( f ) ，o ) 每一点都以概率p 保留和以概率g = l p 舍弃( o p 1 ) 。 同时各点被保留或舍弃的抉择是相互独立地作出的。于是，通过对过程作这样的 随机稀疏后保留下来的点的时间发生序列 s 。7 ) ? 确定一点过程 7 ( f ) ，o ，这 个点过程就是 ( f ) ；， 0 的稀疏过程。如果点过程 ( ，) ；f 0 ) 是强度为五的齐次 p o i s s o n 过程，则点过程 7 ( f ) ，r o 的强度为印。 1 2 硕七学位论文 第_ 二章预备知识 2 4 布朗运动 若随机过程 矿( f ) ，o ) 满足如下条件： ( 1 ) 形( 0 ) = 0 ； ( 2 ) 杪( f ) ，f o 具有平稳独立增量； ( 3 ) 对每一个f 0 ，形( f ) 服从正态分布，均值为0 ，方差为d 2 r ，d 为正常数， 则称此随机过程为布朗运动，又称为w r e i n e r 过程。 特别的，当d = l 时，称这一过程为标准布朗运动或标准w e i i l e r 过程。 此时，具有性质： 1 。有限维分布为正态分布，过程具有马尔可夫性。 2 。均值e 【形( f ) 】- 0 ，方差d 2 f = ，。 2 5 条件期望 概率空间记为( q ，户) ，g 是f 的某一子仃代数，gcf 。孝 ) 是满足 e 蚓 e ( ，7 i g ) ； ( 3 ) i e ( 善i g ) i e ( 1 善0 g ) ； ( 4 ) 设o 六个孝，e 悟i ，则e ( 参i g ) 个e ( 善 g ) ； ( 5 ) 设毒寸f ，i 专i 7 7 ，e 7 7 ，贝0e ( 茧i g ) 寸e ( f i g ) ； ( 6 ) 如刁对g 可测，矧勃l o o ，e 川 o o ，则e ( 勃i g ) = 袒( 纠g ) ； ( 7 ) 如f 对g 可i 9 1 0 ，贝0 e ( 孝i g ) = f ； ( 8 ) 若善与g 独立，则e ( 孝i g ) = 霹； ( 9 ) 如g 。cg ：cf ，则陋( 纠g ：) l g 。】= e ( 孝| g ) = e 陋( 孝| g 。) i g ：】； ( 1 0 ) e 陋( 善i g ) 】= e f 。 在上述各性质中等式、不等式或极限关系都是以概率1 成立的，参量，刀都 是随机变量且e 阁 ，e i 夤i 。 2 6 鞅 设( q ，尸) 为一概率空间， f ，f 0 为一单调增的f 的子盯一代数流， 】，= z ，f 0 ) 是任意的随机过程，令e 7 = 盯( e ，s f ) ，则，7 = 仃( r ，f 0 ) ，则f 7 是由过程】，在时间【0 ，f 】段生成的盯一代数流，表示过程】，到时刻f 的历史。 如果对每个，o ，z 为f 一可测，那么过程】，称为，一适应的，显然，j ，是 ，一适应的当且仅当对所有的f o ，f 7 f 成立。 定义2 6 1 实值过程m = m ，o ) 称为f 一鞅，如果满足： ( 1 ) 对于任意的f o ，m ，为f 一可测； 1 4 硕七学位论文 第二章预备知识 ( 2 ) 对于任意的，0 ，研i mf 】 o 是一常数，表示扰动强度。且 形o ) f o ，冬。o l ，o 岱：( f ) f o 三者相互独立。 ( 4 ) 由于当前经济的不稳定，加入了利率和通货膨胀率两种因素，f 为常利率， _ 为通货膨胀率。 基于以上四个方面的考虑，我们提出以下模型： m i ，)m o ( ，) l ，) m ( f ) u ( f ) = ( “+ x i + c 女) ( 1 + f 一，) 一k 一z i + d 矿( ，) ( 3 4 )