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含稀疏相关结构的二元复合泊松模型的破产概率中文摘要 含稀疏相关结构的二元复合泊松模型 的破产概率 中文摘要 破产理论一直是风险理论的重要组成部分，而破产概率也一直是风险理论中最基 本的研究课题，它是衡量保险公司偿还能力和财务稳定的个重要指标 本文第一章主要介绍了破产理论研究的背景，引入了最基本的经典风险模型以及 破产概率，并给出了风险理论研究者对经典风险模型做出的各种更符合实际的推广 第二章主要介绍了含相关性结构风险模型以及破产概率，主要考虑的是二元复合 泊松模型以及破产概率的精确表达式，由于很难直接得到破产概率，通常是利用二元 复合二项模型的破产概率来逼近 第三章主要研究的是含稀疏相关结构的二元复合泊松模型的生存概率，利用s k o r o l l o d 拓扑对二元复合稀疏二项模型的生存概率取极限，得到了含稀疏相关结构的二元复合 泊松模型生存概率的递推表达式 关键词：复合泊松模型，复合二项模型，矿稀疏过程，生存概率，破产概率 作者：田华 指导老师。王过京( 教授) 含稀疏相关结构的二元复合泊松模型的破产概率 a b s t r a c t t h ep r o b a b i l i t yo fr u i n i nt h eb i v a r i a t e p o u n dp o i s s o n i o d e l t el v a r l a t ec o r n p o u no l s s o n1 2 1 0 w i t ht h i n n i n gd e p e n d e n c es t r u c t u r e a b s t r a c t r u i nt h e o r yi sa l w a y sa ni m p o r t a n tp a r to ft h ea c t u a r i a ls c i e n c e t h er u i np r o b - a b i l i t yi st h eb a s i ct o p i co ft h er i s kt h e o r yr e s e a r c h ，w h i c hi si m p o r t a n ti n d i c a t o rt o m e a s u r et h es o l v e n c yo ft h ei n s u r a n c ec o m p a n ya n di t sf i n a n c i a ls t a b i l i t y c h a p t e r1i n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n do ft h er u i nt h e o r y ，t h ec l a s s i cr i s km o d e l a n di t sr u i np r o b a b i l i t y t h e nw es h o wt h eg e n e r a l i z a t i o no ft h ec l a s s i cr i s km o d e l c h a p t e r2p r e s e n t sas u r v i v a lp r o b a b i l i t yo fa b i v a r i a t ec o m p o u n dp o i s s o nm o d e l f o rab o o ko ft w od e p e n d e n tc l a s s e so fi n s u r a n c eb u s i n e s s w eu s et h es k o r o h o dt o p o i - o g yt og e tt h el i m i to ft h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yo ft h eb i v a r i a t ec o m p o u n db i n o m i a l m o d e l t h e nw eu s et h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yo ft h eb i v a r i a t ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e l t og e tt h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yo ft h ea s s u m e dm o d e l c h a p t e r3e x p l o r e sas u r v i v a lp r o b a b i l i t yo f ab i w r i a t ec o m p o u n dt h i n n i n gp o i s s o n m o d e lf o r b o o ko ft w od e p e n d e n tc l a s s e so fi n s u r a n c eb u s i n e s s w eu s et h es k o r o h o d t o p o l o g yt og e tt h el i m i to ft h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yo ft h eb i v a r i a t ec o m p o u n dt h i n - n i n gb i n o m i a lm o d e l t h e nw eu s et h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yo ft h eb i v a r i a t ec o m p o u n d t h i n n i n gb i n o m i a lm o d e lt og e tt h es u r v i v a lp r o b a b i l i t yo ft h ea s s u m e dm o d e l k e y w o r d s ：c o m p o u n dp o i s s o nm o d e l ，c o m p o u n db i n o m i a lm o d e l ，p - t h i n n i n g s t r u c t u r e ，r u i np r o b a b i l i t y , s u r v i v a lp r o b a b i l i t y w r i t t e nb yt i a nh u a s u p e r v i s e db yp r o f w a n gg u oj i n g i i 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权的声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含 其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学 或其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究作出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律 责任。 研究生签名：望垒e l 期： 学位论文使用授权声明 洲可，矗 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文 外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名：! 望釜日期：型笸丝 兰研究生签名：! 望奎日期：型笸丝 兰 导师签名： 第一章破产理论研究的背景 从保险学的角度来说，风险( r i s k ) 通常和自然状态的不确定性( u n c e r t a i n t y ) 联 系在起，被定义为“潜在损失的概率”或“不确定后果之间的差异程度”等等保险 公司是经营风险的企业，在经营过程中，面临许多风险，包括实际死亡率超过期望死 亡率，投资资产的质量可能恶化使实际收益率低于期望收益率，实际费用率超过期望 费用率，其他公司可能采用更为有效的经营方法，市场利率的变化导致损失等等这 些风险均会影响保险公司最终偿还能力如果保险公司资不抵债，无偿还能力，那么 依法保险公司要宣布破产因此，对于这个特殊的行业，能够持续盈利，避免灾难性 的损失，度量风险，控制风险，管理和规避风险就成了保险公司的大事经营者或者 决策者对风险进行定量分析和预测的般理论称为风险理论( r i s kt h e o r y ) 主要用 随机过程的方法来处理保险事务中的随机风险模型，例如保险事务中的收取保费，支 付索赔的过程研究这些风险模型破产概率的理论即为破产理论，这是风险理论的核 心内容 在保险实务中，破产概率已经成为评估保险公司偿还能力的重要指标，是保险公 司控制风险的定量指标，对保险公司的长期经营的稳定性分析有重要意义，其借助于 概率论和随机过程的知识构造，研究数学模型来刻画保险公司的风险业务，破产理论 成了保险公司最为关心的个热门话题破产论( r u i nt h e o r y ) 的研究溯于瑞典精算师 f i l i pl u n d e b e r g 于1 9 0 3 发表的博士论文，至今已有百年历史，破产概率的研究既有 实际应用背景，也有理论研究的意义事实上，一类重要的随机过程即0 d i 8 5 m ) 过程 正是l u n d e b e r g 首次在这篇文章中提出来，不过他的工作已经不符合现代数学的严格 性，他的严格化是由h a r a l dc r a r n d r 为首的瑞典学派完成的c r a m d r 将l u n d e b e r g 的工作奠定在坚实的数学基础上l u n d e b e r g 和c r a r n d r 的工作成为经典破产理论 的基本定理 在破产理论中，个重要的问题是研究破产概率，即保险公司首次盈余为负的概 率破产概率之所以是破产理论中的研究重点，是因为它是精算师的基础工具，是险 种制度，保险计算，再保险策略，代理人策略等工作的基础关于破产概率的研究， 可以依据不同风险模型有不同的提出 在早期模型中最为常见的是经典风险模型，它是假定保险公司经营环境为常值环 境而建立的众所周知，任何风险模型都是在随机环境中进行的，这种情形或是某种 险种的流行，或是某种险种的季节性或者是气候性变化如车险在冬季索赔发生的可 能性就会增大因此经典风险模型不仅仅是在理论上有意义，而且在实际应用中也有 重要的作用 以下引入最基本的经典风险模型s 1 合稀疏相关结构的二元复合泊松模型的破产概率第一幸破产理论研究的背景 ( 1 ) 理赔量 磊；k 1 ) 为独立同分布的非负随机变量序列，玩表示第七次理赔 量，有共同分布为f ，数学期望p = e 历 0 0 ，方差c r 2 = v a r ( z 1 ) 0 ，风险过程定义为： x ( t ) = u + c t s 0 ) ( 1 1 ) ( t ) 其中s ( t ) = 玩为到时刻的总理赔量 风险过程( 1 1 ) 称为经典风险过程，破产概率定义为妒“) = p ( i n 易o x ( t ) ( a l + a ) 似，饧 ( a 2 + a ) p y 定义第一破产时间t = i n f t ：岛( t ) 0 或s z ( t ) o ) ，若对所有t ，岛( t ) 0 且岛( t ) 0 ，则定义t = o o 破产概率定义为 妒( u 1 ，仳2 ) = v ( t o o t s l ( o ) = 牡l ，s 2 ( o ) = u 2 ) 生存概率为：b ( u l ，坳) = 1 一妒( u l ，u 2 ) 离散时间破产概率为t 砂( u l ，锄，嘞= v ( t 扎i 岛( o ) = t l ，岛( o ) = 仳2 ) 由于很难直接得封二元复合泊松模型的破产概率，所以通常用二元复合二项模型 的破产概率来近似逼近我们先介绍二元复合二项模型t 离散时间风险模型t 我们定义 仉( n ) ，t r 2 ( 扎) ) 是二元复合二项风险过程 ( 茏 ：；) = ( ：) + ( 三：) ( 2 1 2 ) 其中，1 ( n ) 为前1 7 , 个时期里第一类理赔发生的个数，n 2 ( ，1 ) 为前他个时期里 第二类理赔发生的个数在每一期时间区间里，两个类均无理赔的概率为p o o ；仅第二 类无理赔的概率为p l o ；仅第类无理赔的概率为p o l ；两个类均有理赔的概率为p 1 1 令口l = p l o + p l i ；勉= p o l + p l l ；( 1 一- - - p i t ，那么 l ( 佗) ，2 ( n ) ) 是参数为 l ；口2 ；a ) 的 个二元复合二项过程 3 墨 k 协 妒鼬蚤 圳 如 、l-、 墨 k 掣褊蚤 ，、 合稀疏相关结构的二元复合泊松模型的破产概率第二幸二元复合泊松模型的破产概率 连续时间风险模型：令 ；)= ( ：) + ( 三萋) ( 2 1 3 ) 其中 n ( 磊n ) ，2 ( 景) ) 是参数为( 詈；詈；景) 的个二元复合二项过程因为当m _ o o 它弱收敛于 h ：) + c l t ) 一( 黑) ； 协“， 川4 ( 【m 毋 n f ( i , , a 1 ) 其中胛( t ) = 五；w f ( t ) =k ，【c 】为c 的整值部分故( 2 1 4 ) 为 i = 1i = 1 ( 2 1 3 ) 当仇一o 。时的连续时间风险模型 2 2二元复合二项模型的破产概率 对于模型( 2 1 3 ) 前n 期生存概率为； 诋叫_ p ( u 。+ 等一琴五独坳+ i c 2 k 一鐾剐，k _ r a n ) 加( t 1 1 ，m n ) = p ( t l + 警一五o ；坳+ i 一o ， = p ( u t + c t t w 7 p ( t ) o ；u 2 + c 2 t 一仇7 ( t ) 0 t 七r a n ) ； 当m 较大时，可以用l 一。( 心l ，锄，m 耐来近似( 2 1 4 ) 的破产概率 在得到计算饥0 , 1 ，u 2 ，r a n ) 的递推公式前，我们需使理赔随机变量整值化仿 d i 赤, s o f t 和w a t e r s 的方法( 参见文献【7 】) 记( 7 1 = 1 + p 1 ，饧= 1 + 口2 ，p 1 ，如为正常 数，令取值离散化且随机取值于熹，七= 1 ，2 ，尻= 罢；令取值离散化且随机 取值于去，七= 1 ，2 ，尾寻詈和m 的分布等同于x 和k 的分布且c 1 尻= c 2 岛 ( 2 1 2 ) 中用和代替五和m ，记霹= 屈和玎= 展彰，i = 1 ，2 然后把 ( 2 1 2 ) 中第一式乘以尻，第二式乘以岛，故生存概率为： p ( ) j v 矿( 詹) 螺0 l ，忱，m n ) = p 1 + | | 一霹o ；叻+ 奄一0 ，七m 询 i = l i = 1 在这里咄= p i 展，故在m _ o o 时，可用螺l ，叻，r a n ) 来近似得到( p 1 ，p 2 ，n ) 令霹和垮的概率函数分别为，i 和缈，j ，j = l ，2 ，假定u 1 和叻为整数，由 4 、liliij， 墨 k 砂 曲 壁赫量 ，jii一 含稀疏相关结构的二元复合泊松模型的破产概率第二章二元复合泊松模型的破产概率 全概率公式得： ，2 + 1 蛾p 1 ，2 ，r a n ) = p o 。镌( u 1 + l ，忱+ l ，v t l n - - 1 ) + p o 。镌p 1 + 1 ，叻+ 1 一歹，m 他一1 ) 易 j = l t ，l + l i = 1 u l + 1 i = 1 婊( u 1 + 1 一i ，忱+ 1 ，m 他一1 ) ，2 + l 镌( l + 1 一i ，忱+ 1 一歹，m 礼一1 ) , a a 2 2 1 ) j = l 由递推公式( 2 2 1 ) 可以计算出螺p l ，忱，仇曲在这里我们通过计算麓( 名l ，纫，1 ) 做 例子其中z 1 = 0 ，1 ，o j a + m 佗一1 纫= 0 ，1 ，叻+ m n 一1 因为螺( z l ，z 2 ，0 ) = 1 蚴+ 1u l + 1u l + li j 2 + 1 故有。螺( z l ，7 - 2 ，1 ) = + “，彩+ p 。e 五+ p 。五仍 ，= l = ：1 i = lj = l n 押 押 第三章含稀疏相关结构的二元复合泊松模型及预备知识 3 1p - 稀疏二元复合泊松模型 含稀疏相关结构风险模型及破产概率也是研究热点，参见文献【1 4 】，本章主要考 虑的是含稀疏相关结构的二元复合泊松模型破产概率的递推表达式 设( q ，歹，p ) 为一完备概率空间，以下所有随机变量均为该空间上的随机变量 定义含稀疏相关结构的二元复合泊松模型为 ( 未 3 ) = ( ：) + ( 三 篆 3 ：z 3 ；) 一 ( 3 1 1 ) 其中s i ( t ) 和岛( t ) 分别是第一类和第二类的的风险盈余过程；白和饧分别是第类 和第二类的保费收入率；t l l 和t 2 分别是第类和第二类的初始资金；尬( t ) ，尬( t ) 和 m ( t ) 分别是参数为入l ，入2 和入的独立泊松过程；m i ( t ) 是尬( t ) 的矿稀疏过程，m 芋( 亡) 是m 2 ( t ) 的矿稀疏过程，m p ( t ) 是m ( t ) 的矿稀疏过程由泊松过程性质知( 参见文献 【4 】第二韵聊( t ) ， 笤( t ) 和m p ( t ) 分别是参数为a l p ，a 2 p 和却的独立泊松过程 x ) 和 k 分别为独立同分布的非负随机变量序列，且独立于 矗( t ) ，朋j ( 吼m ( t ) 为方便 起见，令1 ( t ) = 尬( t ) + m ( t ) ，2 ( t ) = 如( 亡) + m ( 亡) ，研i ( t ) = 卵( t ) + m y ( t ) ， 字( t ) = 砑( 亡) + m v ( t ) 故由泊松过程性质知t 1 ( t ) 和2 ( 亡) 分别是参数为a l + a 和a 2 + 入 的泊松过程， 冒( t ) 是1 ( t ) 的矿稀疏过程，鹏( ) 是n 2 ( t ) 的矿稀疏过程 学( ) 和 字( t ) 分别是参数为q l + a 蛔和( a 2 + a ) p 的泊松过程于是( 3 1 1 ) 可简化为 ( 量 3 ) = ( ：) + ( ( 3 1 2 ) 假设e 咒= l a x p l a y 定义第一破产时间t = i n f t ：研( 亡) 0 或s 2 ( t ) = 1 一妒( t l ，坳) 3 2含p 一稀疏相关结构的二元复合泊松模型的近似 本节引进含矿稀疏结构的二元复合二项模型，并用其分布来近似含矿稀疏相关 结构的二元复合泊松分布 6 噩k 警警 岬 哪 、l-、 墨 k 鬯：l荽蚤 ，i-iii一 一 、l - 、 0m q q 合稀疏相关结构的二元复合泊松模型的破产概率g _ - 章含稀疏相关结构的二元复合泊松模型及预备知识 在每一期时间区间里，两个类均无保费收入的概率为p o o ；仅第二类无保费收入的 概率为p l o ；仅第类无保费收入的概率为p o x ；两个类均有保费收入的概率为p 1 1 在前n 个时期里，令1 ( n ) 为第一类投保发生的个数，2 ( 哟为第二类投保发 生的个数，那么 l ( 妨，n 2 ( 礼) 是参数为( a l ；a 2 ；q ) 的一个二元复合二项过程其中 口l = p 1 0 + p n ；锄= p o l + p l l ；口= p 1 1 对于每个固定的n ， 1 ( 礼) ，2 ( 扎) ) 联合概率 母函数为 g ( t l ，t 2 ) = ( 1 + q 1 ( t l 一1 ) + e 2 ( t 2 1 ) + a ( t l 一1 ) ( t 2 1 ) ) n 因此在每期时间区间里，无理赔的概率为p o o + p o l ( 1 一刀) + p 1 0 ( i p ) + p l l ( 1 一p ) 2 记为q o o ；仅发生第类理赔的概率为p l o p + p n p ( 1 一p ) 记为q l o ；仅发生第二类理赔 的概率为p o l p + p 1 1 p ( 1 一p ) 记为q o l ；两类理赔都发生的概率为p 1 1 p 2 记为吼1 在前他个时期里，令啊( n ) 为l ( 礼) 的矿稀疏过程，a 学( n ) 为2 ( 曲的矿稀 疏过程，由文献【3 】3 可知 l 曙( 哟， 字( n ) ) 是参数为( 口：，必，口) 的个二元复合二项过 程其中o t i = q l o + q l l ；正；q o l + q 1 1 ；口= q 1 1 对于每个固定的n ， 川( n ) ，孵( 他) ， 的联合概率母函数为 g ( t l ，t 2 ) = ( 1 + t ( t l 一1 ) + 必( t 2 1 ) + ( t l 一1 ) ( 屯一1 ) ) ”； 于是二元复合p _ 稀疏二项风险过程为 ( ：) + ( 三麓 ：) 其中 1 ( 脚，飓( 功) 是个含参数为( a l ，口2 ，q ) 的二元复合二项过程孵( 而 是1 ( 佗) 的矿稀疏过程，婀( 砖是2 ( 哟的矿稀疏过程 定义第一破产时间，= 砒0 ：仉( 妨 服从参数为的泊松分布 证明。仿文献【2 l ( 1 ) p ( z ( o ) - = 0 ) = 1 ； ( 2 ) 对任意t 0 ，记z c t 一8 ) = z ( t ) 一z ( 8 ) v ( z ( t s ) ) p ( z ( t s ) = k l x ( t s ) = k + r ) p ( x 一8 ) = k + r ) 妻鲨害业嚷( 1 一p ) ，k 台 ( + r ) ! 飞w 卜州 户叫汹) 陛垡二业唑二丛! 二出 。二一 七! r ! r = o 。 p 叫汹) 陛垡二鲎孓隧二业二迹 。 七! 台 r5 r ：j e - x v ( t - 。) , x p ( t - s ) k ( a ) z ( t ) 有独立增量 所以z ( t ) 服从参数为却的泊松分布 口 命题1 2 设五。服从二项分布b ( n ，g ) ，令z ( 哟= ek ， k 独立同分布，共 同分布为p ( k = 1 ) = p ，p ( m = 0 ) = 1 一p ， x ( 哟；n l 与 y ( i ) ；i 1 ) 相互独 立，贝i jz ( n ) 服从二项分布b ( n ，钾) 证明，沿用 3 1 的证明可得 t tt l e e i 5 x ( n ) = e 衙g r ( 1 - q ) ”r = ( e 诂g ) ( 1 - q ) ”r = ( e “g + 1 一g ) n ； r = or = 0 8 ? 含稀疏相关结构的二元复合漕松模型的破产概率第三章含稀疏相关结构的二元复合泊松模型及预备知识 趔，) 蔓红)n x ( n ) 眈“z ( 妨= e e i 3 言k ：引e ( 户邑k l x ( n ) ) 】：妻e ( e 拓, - c - ov , l x ( 佗) ：7 ) 尸( x ( n ) ：r ) = 陋( e 妇k ) 1 7 嚷g r ( 1 - q ) ”，= ( e 印口+ 1 一p ) 7 c ：矿( 1 - q ) 舭 = q 【( e i 印+ 1 - p ) q 1 7 ( 1 - q ) “一r = e p q + g ( 1 一p ) + ( 1 一g ) 】n = 【e 妇p q + 1 一p 口】n ； 所以z ( n ) 服从二项分布b ( n ，p q ) 口 下面介绍s k o r o h o d 拓扑及其相关性质 定义1 1 s k o r o h o d 拓扑：( 参见文献【1 5 】) 定义在刃( g 严) 的拓扑称为s k o r o h g d 拓 扑，若它满足。它的空间为p o l i s h 空间，且有如下特征：一组序列( ) 收敛于o l 当 且仅当有一组序列kca 使的t ( 1 ) s u p a n ( s ) 一占l o ； ( 2 ) s u p 。 0 ，其中 幺( c u ( m ) 0 ) ，e ) = ，s u p ，p ( m i n l u m ( t ) 一u m o i ) i ，i u m ( ) 一u m ( t 2 ) i ) ) t c t l 近似相等而“( u l ，u 2 ，m 佗) 与( t l ， l s ，神近似相等( 参见文献【2 1 ) 故当m 较大时，螺p l ，叻，m n ) 与( u - ，u 2 ，而近似相等于是当m 较大时，可用 螺( 魄，w 2 ，m n ) 来近似代替西( u 1 ，坳，神令霹和w 的概率函数分别为 和g j ，i ，歹= 1 2 含稀疏相关结构的二元复合泊松模型的破产概率第四章主要结论 1 ，2 ，假定0 u 1 和为整数，由全概率公式有 螺( u l ，w 2 ，r a n ) p p ( mn于一(七) = p w 1 + m 岬( 詹) 一霹o ；忱+ m w ( 克) 一玎o ，忌m 礼) i = 1i - - - - 1 = ep 0 u 1 + m ( 孵( 七) 一岬( 1 ) ) + m 岬( 1 ) 一 k t - - 0k 2 - - - - 0k s = 0k 4 - - 0 叻+ m ( _ ? v 7 ( 克) 一( 1 ) ) + r a n 7 ( 1 ) r 一( 七) 一r ，( 1 ) + w 。，( 1 ) 霹o ； = 1 嵋一( 七) 一孵”( 1 ) + 叼p ( 1 ) 玎o ，七m n i = 1 i 川“( 1 ) = k l ，川m ( 1 ) = k 2 ，a 甲( 1 ) = ，w 护( 1 ) = h ) p ( 川n ( 1 ) = h i ，川叩( 1 ) = 七2 ， 叼( 1 ) = ，叼护( 1 ) = 七4 ) r 巾( ) 一啊“巾( 1 ) = p 0 1 + m ( 岬( 七) 一岬( 1 ) ) 一 霹0 ；0 2 + m ( 叼( 后) 一l v 7 ( 1 ) ) i - - - - 1 孵p ( 鼍卜 矿沪( 1 ) 一乏二f o ，后m 礼i p ( 1 ) = o ，p 护( 1 ) = o ，n 7 ( 1 ) = o ，n 7 巾( 1 ) = o ) p ( 岬( 1 ) = 0 ，岬巾( 1 ) = 0 ，叼( 1 ) = 0 ，坩廖( 1 ) = 0 ) m ”伊( ) 一r 一( 1 ) + p u 1 + m ( r ( 七) 一n p ( 1 ) ) + m - 霹0 ；0 u 2 + m ( 矿( 七) 一l v 7 ( 1 ) ) = 1 旧( 奄) 一孵一( 1 ) 一 玲o ，七m i 岬( 1 ) = 1 ，岬护( 1 ) = o ，8 7 ( 1 ) = o ，n 7 巾( 1 ) = o ) p ( 岬( 1 ) = 1 ，岬护( 1 ) = 0 ，岬( 1 ) = 0 ，n 7 护( 1 ) = 0 ) r ，伪卜p 炉( 1 ) + p d l + m ( r ( 后) - - l v ? ( 1 ) ) + m 一 霹0 ；0 u 2 + m ( ? ( 七) 一( 1 ) ) - b - m i - - 1 曙( ) 一叼。一( 1 ) 一 玲o ，后撇f 岬( 1 ) = 1 ，岬护( 1 ) = o ，8 7 ( 1 ) = 1 ，呀护( 1 ) = o ) 尸( 岬( 1 ) = 1 ，胛巾( 1 ) = 0 ，n 7 ( 1 ) = 1 ，w 护( 1 ) = o ) 含稀疏相关结构的二元复合泊松模型的破产概率第四章主要结论 + p ( o - , 1 + m ( r ( 七) 一r ( 1 ) ) + 仇一 r r 巾( 七) 一r ，( 1 ) w o ；t 0 2 + ，n ( 岬( 七) 一叼( 1 ) ) + 仇 = 1 一 f o ，七m 佗i 岬( 1 ) = 1 ，岬p ( 1 ) = 0 ，u t ( a ) = 1 ，w p ( 1 ) = 1 ) i = l p ( 岬( 1 ) = 1 ，胛护( 1 ) = 0 ，叼( 1 ) = 1 ，w 沪( 1 ) = 1 ) 叫 ( k ) 一p 巾( 1 ) + 1 + p 扣1 + m ( p ( 后) 一p ( 1 ) ) + m 一芝二 霹o ；t 0 2 + r n ( 1 v t ( 1 , ) 一尹( 1 ) ) + 竹】 = 1 曙一( 七) 一叼一( 1 ) 一 f 0 ，后m 叫岬( 1 ) = 1 ，胛护( 1 ) = 1 ，l v 7 ( 1 ) = 1 ，w p ( 1 ) = o ) i - - 1 p ( 卵( 1 ) = 1 ，岬伊( 1 ) = 1 ，坩( 1 ) = 1 ，叼巾( 1 ) = 0 ) 岬一( k ) 一p 一( 1 ) + l + p o j l + m ( 岬( 后) 一岬( 1 ) ) + m 一 霹o ；地+ m ( j v t ( k ) 一叼( 1 ) ) i = 1 口一( 知) 一叼一( 1 ) 一 f o ，七m 叫岬( 1 ) = 1 ，岬护( 1 ) = l ，岬( 1 ) = o ，w 巾( 1 ) = o ) p ( 卵( 1 ) = 1 ，岬巾( 1 ) = 1 ，孵( 1 ) = 0 ，坩伊( 1 ) = o ) 岬，( 七) 一r t p ( 1 ) + 尸 u 1 + r n ( 1 v ? ( 1 , ) 一l v 7 ( 1 ) ) 一 霹o ；w 2 + r n ( 1 v ( k ) 一( 1 ) ) + m i = 1 孵一( 七) 一曙沪( 1 ) 一 y i * o ，后m 钆i r ( 1 ) = o ，r ( 1 ) = o ，l v ；- ( 1 ) = l ，尹p ( 1 ) = o ) p ( 岬( 1 ) = 0 ，胛巾( 1 ) = 0 ，刀( 1 ) = 1 ，叼巾( 1 ) = 0 ) 研。一( 鼍) 一 f p ( 1 ) + p 和1 + m ( 岬( 七) 一卵( 1 ) ) 一 霹o ；屹+ m ( 坩( 七) 一w ( 1 ) ) + m i = 1 孵，( 七) 一叼p ( 1 ) + 1 一芝二 f 0 ，七m r , l l v ? ( x ) = o ，j r ? p ( 1 ) = 0 ，( 1 ) = 1 ，尹沪( 1 ) = 1 ) i - - - - - 1 p ( 岬( 1 ) = 0 ，岬巾( 1 ) = 0 ，叼( 1 ) = 1 ，坩护( 1 ) = 1 ) 岬巾( 七二譬一( 1 ) + 1 + p p l + m ( p ( 后) 一p ( 1 ) ) + m 一芝二霹o ；t 0 2 + m ( r ) 一( 1 ) ) + m i = 1 口，( 七) 一嵋，( 1 ) + 1 一 o ，后m 佗i 卵( 1 ) = 1 ，岬巾( 1 ) = l ，l v t ( 1 ) = 1 ，叼p ( 1 ) = 1 1 p ( 岬( 1 ) = 1 ，岬巾( 1 ) = 1 ，岬( 1 ) = 1 ，w 护( 1 ) = 1 ) r 一( 七一1 ) = p 叫1 + m r 一1 ) 一乏二墨o ；忱+ m ? ( 七一1 ) 含稀疏相关结构的二元复合泊松模型的破产概率 第四章主要结论 o ，丘撇i 岬( 1 ) = o ，岬巾( 1 ) = o ，岬( 1 ) = o ，n 7 护( 1 ) = o ) p ( 岬( 1 ) = 0 ，w 护( 1 ) = 0 ，坩( 1 ) = 0 ，叼护( 1 ) = 0 ) 嵋“p 忙一1 ) + p u l + m j v ? ( k 一1 ) + m 一 x t o ；u 2 + m i v 尹( k 一1 ) i = 1 埘 佧一1 ) 一玲o ，七m 叫岬( 1 ) = 1 ，胛巾( 1 ) = o ，叼( 1 ) = o ，叼沪( 1 ) = o ) p ( 岬( 1 ) = 1 ，w 护( 1 ) = 0 ，叼( 1 ) = 0 ，叼护( 1 ) = 0 ) 口p ( 七一1 ) + p 扣1 + m 岬( 七一1 ) + m 一 霹o ；o l ，2 + m 叼( 忌一1 ) + m i = 1 j 、矿p ( k - x ) 一垮o ，后m n l l v ? ( a ) = l ，岬护( 1 ) = o ，叼( 1 ) = 1 ，岬p ( 1 ) = o ) i = 1 。 - p ( 岬( 1 ) = 1 ，岬一( 1 ) = 0 ，坩( 1 ) = 1 ，坩沪( 1 ) = 0 ) r 巾( 七一1 ) + 1 + p u 1 + m i v ? ( k 1 ) + m 一 x t o ；o j 2 + m r ( 走一1 ) + m i = 1 叼护( k - 1 ) 一玲o ，七m 刊岬( 1 ) = 1 ，j r ? 巾( 1 = 1 ，叼( 1 ) = 1 ，w 巾( 1 ) = o ) p ( 岬( 1 ) = 1 ，岬护( 1 ) = 1 ，凹( 1 ) = 1 ，叼炉( 1 ) = 0 ) ：n p 一1 ) + p w l + m i v ，( k 一1 ) 一 耳o ；叻+ m 矿( 元一1 ) + m i = l 叼巾伪一1 ) 一野o ，七m 训岬( 1 ) = o ，胛巾( 1 ) = o ，w ( 1 ) = 1 ，叼巾( 1 ) = o ) i = l p ( 岬( 1 ) = 0 ，岬沪( 1 ) = 0 ，卵( 1 ) = 1 ，叼护( 1 ) = 0 ) r ，( 七一1 ) + p 扣1 + m r ( 忌一1 ) + m - 乏二霹o ；o j 2 + m r 一1 ) + m i = 1 ， 矿，( k - 1 ) + 1 一 f o ，七m i 岬( 1 ) = 1 ，岬护( 1 ) = o ，卵( 1 ) = 1 ，坩巾( 1 ) ：1 p ( 岬( 1 ) = 1 ，岬一( 1 ) = 0 ，胛( 1 ) = l ，叼护( 1 ) = 1 ) 岬。伊( 七一1 ) + l + p 扣l + m r ( 后一1 ) + m 一乏二霹o ；w 2 + 畔( 七一1 ) i = 1 嵋，( k - x ) 一玲o ，七m 叫岬( 1 ) = 1 ，岬p ( 1 ) = 1 ，卵( 1 ) = o ，w 护( 1 ) ：o ) 含稀疏相关结构的二元复合泊松模型的破产概率第四章主要结论 p ( 岬( 1 ) = 1 ，胛巾( 1 ) = l ，岬( 1 ) = 0 ，坩护( 1 ) = 0 ) r ( i , - 1 ) + p “+ m 岬 一1 ) 一 霹o ；t 0 2 + r n j v ( k 一1 ) + m i - - - - 1 嵋。一佧一1 ) + 1 一 f 之0 ，七m , t l l v ? ( 1 ) = 0 ，p p ( 1 ) = o ，l v ( 1 ) ；l ，尹巾( 1 ) = 1 ) 一i = 一1 p ( 岬( 1 ) = 0 ，时炉( 1 ) = 0 ，w ( 1 ) = 1 ，坩巾( 1 ) = 1 ) r p 巾( k 1 ) + 1 + p 【u l + 仇p ( 忌一1 ) + m - 乏二墨o ；w 2 + 岬( 七一1 ) + m i = 1 叼 ( k 1 ) + 1 一 f 0 ，走m n l l v ? ( 1 ) = 1 ，岬p ( 1 ) = 1 ，胛( 1 ) = 1 ，w p ( 1 ) = 1 ) 丢l p ( 岬( 1 ) = 1 ，岬炉( 1 ) = 1 ，啊( 1 ) = 1 ，岬巾( 1 ) = 1 ) p 一( j , - a ) 9 ，( k - 1 ) = 1 ，o o p w x + m i v ? ( k 一1 ) 一霹o ；o j 2 + m 孵皓一1 ) _ e o ，七黼) i=1=1 岬p ( k - a ) 口p ( k - x ) + p 。( 1 一力尸 u 1 + m + m r ( 七一1 ) 一写o ；忱+ m 尹( 七一1 ) 一f 0 ， i = 1i = 1 r p ( k - 1 ) 忌m 他) + p 。( 1 - p ) 2 p w a + m + m p ( 七一1 ) 一乏二霹0 ；t 0 2 + m + m 矿( 七一1 ) i - - - t 孵( 一1 )，2 一玲o ，忌m 礼) + p ( w = 歹功。