（概率论与数理统计专业论文）碰撞分支过程的对偶理论及其积分半群.pdf

碰撞分支过程的对偶理论及其积分半群 概率论与数理统计专业硕士研究生付丽 指导教师李扬荣教授 摘要 马尔科夫分支过程( m b p ) 在应用概率和随机过程等领域占有很重要的地位众所 周知，控制着m a r k o v 分支过程演变的基本性质就是它的独立性，即不同的粒子在演变 过程中是相互独立的然而，在许多的实际情况中这种独立性并不一定成立，由此m b p 的应用也就受到了限制所以人们越来越感兴趣于推广普通分支过程到更广义的相互影 响的分支模型特别地，碰撞分支过程作为一类广义分支过程引起了很多研究者的巨大 兴趣。在碰撞分支过程中粒子演变仅由两两碰撞产生，随机且相互独立；每对粒子发生 碰撞的可能性相等，在碰撞后死亡并被一定数量的子代以一定的概率取代；当系统中粒 子数少于两个时不发生碰撞 文献1 3 , 6 ，7 】等对此模型做过一些研究和讨论，并得出了较为丰富的成果。然而本文 另辟蹊径，着力于使用分析的方法，以算子半群理论为工具，主要研究碰撞分支q 矩阵 所生成的积分半群及其相关性质 在本文第二章中，我们首先讨论了碰撞分支q 矩阵的性质，然后得出其对偶矩阵并 对其对偶转移函数的性质进行了研究主要结论如下 命题2 1 4 碰撞分支g 矩阵是随机单调的 命题2 1 5 碰撞分支q - 矩阵是零流出的当且仅当m l 0 命题2 1 6 当m l 0 时，碰撞分支q 矩阵是零流入的 定理2 1 1 8 当且仅当w t l 0 时。碰撞分支过程的最小q 函数f ( t ) 是随机单调的 命题2 2 1 对偶碰撞分支过程总是存在的，且其国- 矩阵形式为。 f 驴1 ) 岫+ 1 一g ) 一j + 2 如果歹2 ，l 歹一2 勤= a i 如果j = l ，t 0 l0其他 定理2 2 2 令百为对偶碰撞分支q - 矩阵，则 i ( 1 ) q 是f e l l e r ； ( 2 ) 西是保守的； ( 3 ) 国是对偶的，即石是随机单调的； ( 4 ) 当m l 0 时，百在1 1 上零流入 定理2 2 3 当m l 0 时，对偶碰撞分支过程的最小国一函数卢( t ) 是对偶的 定理2 2 4 当m l 0 时，转移函数f c t ) 是f e l l e r 的 定理2 2 ：5 当m 1 0 时，转移函数户( t ) 不是强遍历的 在第三章中我们讨论了碰撞分支过程在b a n a e h 空间k 上所生成的积分半群，在不 同条件下其生成元是什么以及积分半群的f e l l e r 性质，主要结果如下； 定理3 1 1 当且仅当m l 0 时，碰撞分支矩阵q 在f o o 上可以生成一个积分半群 t ( t ) = ( ( t ) ；i ，j z + ) 特别地，t ( t ) 是一个m a r k o v 积分半群，且r ( o ) = q 定理3 2 3 当m l 0 时，t ( t ) 在k 上的生成元是q 5 + 定理3 2 1 当m l 0 时，由碰撞分支q 矩阵所生成的积分半群t ( t ) 满足f e l l e r 性 质 在讨论积分半群的同时，我们也研究出了当碰撞分支过程的最小转移函数分别作为 匈，z l 上的算子半群时它的生成元- 定理3 2 2 当m l 0 时，q o 是f ( t ) 在印上的生成元，骗是f ( t ) 在l l 上的生成 元，这里f ( t ) 是碰撞分支过程的最小q 函数 根据文献【2 】，我们得出在不同情况下积分半群的生成元有如下性质； 命题3 1 3 当且仅当m l 0 时，有 ( 1 ) q 耗散，且p ( q ) 3 ( 0 ，o o ) ； ( 2 ) r ( x ，q ) 对于所有a 0 是一个正矩阵算子； ( 3 ) 对于vj e ，u m a 。a r ( a ，q o o ) e j = e j 弱成立 命题3 1 4 当且仅当m 1 0 时，1 d ( q o o ) 且q 1 = 0 ，其中1 = ( 1 ，1 ，1 ) t l o o 命题3 2 4 当m l 0 时，q o ，q 6 ，q 5 + 是耗散的，且d ( q o ) 在c o 上稠密。 命题3 2 6 当m l 0 时，以下三条件成立： ( 1 ) q 6 + 是q 的限制，即q 6 + cq o o ； ( 2 ) s p a n i e e e i cd ( q 6 ) ； ( 3 ) 对v i ，歹e ，t20 ，后项方程( ) = q i k f k j ( t ) 总成立 当系统中没有或者只有一个粒子的时候，碰撞分支过程系统就会停止演变所以我 们对碰撞分支过程进行推广，在本文第四章我们将研究他们各自的积分半群当系统停 止演变时候我们希望能够存在某种外在的移民来拯救系统，而第一小节研究的就是这种 带拯救的系统的积分半群主要结果如下。 命题4 1 3 当且仅当佻s0 时，矩阵q ( r ) 是零流出的 命题4 1 4 当m b 0 时，矩阵q ( 冗) 是零流入的 定理4 1 5 当且仅当m b 0 时，带拯救的碰撞分支过程在2 0 0 上生成的积分半群s i t ) 的生成元为q 终) ( o ) = q ( m 定理4 1 6 当仇b 客0 时，积分半群s i t ) 满足f e l l e r 性质 由于碰撞分支过程中每一对粒子发生碰撞的可能性是相同的，碰撞是随机的且相互 独立的，而在实际中很多时候粒子碰撞并不是这样进行的，所以陈安岳等人推广出一类 更广义的模型一含两个参数的广义碰撞分支过程在本章第- 4 , 节我们研究该系统的 积分半群，并得到如下结果z 命题4 2 3 矩阵q ( g ) 是零流出的当且仅当下列条件中一个成立； ( 1 ) r o d m b ( 2 ) r o d m b + 且n 干卢1 ( 3 ) r o b = + o o ，q + 卢1 且 1 ( 1 - s ) a + _ _ a - 1d s ：+ ，5 - u ( s ) 一 命题4 2 4 当m d ：2 ，i a i 1i 髦0 一_ 2 蜘5 2 ，了= ，t2 l0 o t h e r w i s e t h e o r e m2 2 2l e tqb et h ed u a lq - m a t r i xo ft h ec o l l i s i o nb r a n c h i n gq - m a t r i x ，t h e n ( 1 ) qi sf e l l e r ； ( 2 ) qi sc o n v e r s i v e ； ( 3 ) qi sd u a l ，i e qi sm o n o t o n e ； ( 4 ) w h e nm l 0 ，qi sz e r o - e x t r a n c eo nf 1 t h e o r e m2 2 3w h e nm l 0 ，t h em i n i m a lq - f u n c t i o nf ( t ) i sd u a l t h e o r e m2 2 4w h e nm l 0 ，f ( t ) i sf e l l e r t h e o r e m2 2 5w h e nm l 0 ，f ( t ) i sn o ts t r o n ge r g o d i c i t y i nd i 印t e r3 ，w ed i s c u s st h ei n t e g r a t e ds e m i g r o u pg e n e r a t e db yt h ec o l l i s i o nb r a n c h i n gq - m a t r i xo nt h eb a n a c hs p a c e sz 南i n d i f f e r e n tc o n d i t i o n s ，w h a ti si t si n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o r ? a l s ow ep r o v et h a ti ns o m ec o n d i t i o nt h i ss e m i g r o u pi sf e l l e r t h em a i lr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： t h e o r e m3 1 1i fa n do n l yi fm l 0 ，t h ec o l l i s i o nb r a n c h i n gq - m a t r i xq c a ng e n - g r a t ea ni n t e g r a t e ds e m i g r o u pt ( t ) = ( ( t ) ；t ，歹4 ) o nk e s p e c i a l l y ，t ( t ) i sam a r k o v i n t e g r a t e ds e m i g r o u p ，a n dp ( 0 ) = q t h e o r e m3 1 3w h e nm l 0 ，t h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro ft ( t ) o nl o oi sq 6 + t h e o r e m3 2 1w h e nm l 0 ，t h ei n t e g r a t e ds e m i g r o u pt ( t ) = ( ( t ) ；t ，j z r + ) g e n - g r a t e db yt h ec o l l i s i o nb r a n c h i n gq - m a t r i xq i sf e l l e r m o r e o v e r ，w h e nt h ef e l l e rm i n i m a lq - t r a n s i t i o nf u n c t i o ni sl o o k e da sa no p e r a t o rs e m i g r o u p o nc oa n di x ，w ea l s oo b t a i ni t si n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o rr e s p e c t i v e l y ： t h e o r e m3 2 2w h e nm l 0 ，q 0i st h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro ff ( t ) o nc o ，q 6i st h e i n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro ff ( t ) o n1 1 ，f ( t ) i st h em i n i m a lq - f u n c t i o no ft h ec o l l i s i o nb r a n c h i n g p r o c e s s a c c o r d i n gt ot h ea r t i c l e 2 ，w ea l s ok n o wt h a ti nd i f f e r e n tc o n d i t i o n st h ei n f i n i t e s i m a lg e n - e r a t o ro ft h ei n t e g r a t e ds e m i g r o u ph a v et h ef o l l o w i n gp r o p e r t i e s ： p r o p o s i t i o n3 1 3 i fa n do n l yi fm 1 0 ， ( 1 ) q i sd i s s i p a t i v ea n dp ( q o o ) ) ( 0 ，o o ) ； ( 2 ) r ( 入，q o o ) i sap o s i t i v em a t r i xo p e r a t o rf o ra l la 0 ； ( 3 ) f o rvj e ，l i m a ，入r ( 入，q o o ) e j = e jw e a k l y p r o p o s i t i o n3 1 4i f a n do n l yi f m l 0 ，1 d ( q ) a n dq 1 = 0 ，w h e r e l = ( 1 ，1 ，1 ) t z p r o p o s i t i o n3 2 4w h e nm l 0 ，q 0 ，q 6 ，q 6 a r ed i s s i p a t i v ea n dd ( q o ) i sd e n s eo nc o p r o p o s i t i o n3 2 6w h e nm l 0 ，t h ef o l l o w i n ga r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) q ”i sar e s t r i c t i o no fq ，t h a ti s ，q cq v ( 2 ) s _ p 口n t 色】cd ( q 去) ； e ( 3 ) t h eb a c k w a r de q u a t i o n sh o l d t h a ti s ，反，( t ) = 吼静叼( t ) f o re v e r y ，j ea n d 蟊ee t o ； 。 i ft h e r ei so n l yo n eo rn op a r t i c l e ，t h ee v o l u t i o ns t o p s t h u s ，w eg e n e r a l i z et h ec o l l i s i o n b r a n c h i n gp r o c e s s t h ep u r p o s ei nt h ec h a p t e r4i sd i s c u s s i n gt h ei n t e g r a t e ds e m i g r o u po ft h e m o r eg e n e r a lb r a n c h i n gp r o c e s s e s w h e nt h em o d e ls t o p s ，w eh o p et h e r ea r es o m ei m m i g r a n t st o m a k ei tr e s u r r e c t i o n i ns e c t i o n1w ed i s c u s st h ei n t e g r a t e ds e m i g r o u pg e n g r a t e db yt h ec o l l i s i o n b r a n c h i n gp r o c e s sw i t hr e s u r r e c t i o n w eg e tt h er e s u l t s ： p r o p o s i t i o n4 1 3 i fa n do n l yi fm b 0 ，q ( 兄) i sz e r o - e x i t p r o p o s i t i o n4 1 4w h e nm b 0 ，q ( r ) i sz e r o - e x t r a n c e ： t h e o r e m4 1 5i fa n do n l yi fm b 0 ，t h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro ft h ei n t e g r a t e ds e m i - g r o u ps ( t ) ，w h i c hi sg e n g r a t e db yt h ec o l l i s i o nb r a n c h i n gp r o c e s sw i t hr e s u r r e c t i o no nl o o ，i s q 终) ( o ) = q ( r ) t h e o r e m4 1 8w h e nm b 釜0 ，s ( t ) i sf e l l e r b e c a u s et h ep r o b a b i l i t yo fe a c hp a i ro fp a r t i c l e s c o l l i s i o ni st h es a i n ei nt h ec o l l i s i o nb r a n c h - i n gp r o c e s s ，w h i c hi sn o th e l di nm a n yp r a c t i c a ls i t u a t i o n s ，c h e na y a n dl ij p i n t r o d u c e d an e wc l a s so fb r a n c h i n gm o d e l s ，t h eg e n e r a lc o l l i s i o nb r a n c h i n gp r o c e s s e sw i t ht w op a r a m e t e r s i n 【1 4 】i ns e c t i o n2w ed i s c u s st h ei n t e g r a t e ds e m i g r o u pg e n g r a t e db yt h i sm o d e l p r o p o s i t i o n4 2 3q ( g ) i sz e r o - e x i ti fa n do n l yi fo n eo ft h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sh o l d s ： ( 1 ) r o d m b ( 2 ) r o d r t b + o 。a n d0 1 + 卢1 ( 3 ) r o b = + o o ，a + 卢1a n d z 1 嵴把佃 止 一u ( s ) 一。 p r o p o s i t i o n4 2 4w h e nm d m 6 + ，q ( 翻i sz e r o - e x t r a n c e t h e o r e m4 2 5t h eg e n e r a lc o l l i s i o nb r a n c h i n gp r o c e s s e sw i t ht w op a r a m e t e r sc a ng e n g r a t e i n t e g r a t e ds e m i g r o u pa ( t ) o nl o o ，i fa n do n l yi fo n eo ft h ec o n d i t i o n si nt h e o r e m4 2 3h o l d s ， a n di t si n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ri sq 磐) g ，7 ( o ) = q ( g 1 t h e o r e m4 2 6w h e nm d 0 时，有 b x ( n + 1 ) = j l x ( t n ) = i ，x ( t n 1 ) = i n - 1 ，x ( t 1 ) = n ) = b x ( t n + 1 ) = j l x ( t n ) = 名 此等式称为m a r k o v 性质。如果对于8 ，t 满足0 s t 及任意t ，j e ，条件概率b x ( t ) = j l x ( s ) = l 只依赖于t 一8 而与粤，t 无关，则称随机过程 x ( t ) ；t o 】- 是齐次m a r k o v 链 此时b x ( t ) = j i x ( , ) = ) = 耳 x ( t s ) = j l x ( o ) = 磅称 p j ( t ) = 只 x 0 ) = j l x ( 0 ) = t vi ，歹e ，t 0 为该随机过程的转移函数 由参数连续m a r k o v 链理论f 1 】1 知道，任何一个m a r k o v 过程被它的转移函数唯一确 定，因此，对m a r k o v 过程的研究就转化为对转移函数的研究：标准转移函数的定义如下： 2 定义1 3 2 【1 l ( 标准转移函数) 设可数集e = o ，1 ，2 ，) 是状态空间p ( t ) = 【p 玎( t ) ；t ，j e ，t o ) 称为标准的转移函数，如果它满足t ( 1 ) 对任意的t 0 ，p o ( t ) 0 且 种，= = 。1 臻i ； ( 2 ) 对任意的刀，。2o ，磊( 。) s1 ；特别地，若对_ - 2o ，刀，磊黝( t ) = 1 ，则 称 ( t ) ； ，歹e ，t 0 ) 是忠实的，否则称为非忠实的； ( 3 ) 对任意的i , j e ，p o ( t + s ) = p i 七( t ) p 巧( s ) ； ( 4 ) 对任意的l e ，l t i o i m p i t ( t ) = 1 或等价的，对任意的t ，歹e ，l i m p o ( t ) = 幻( 标准 性) 本文始终假定转移函数是标准的，即满足上面的( 1 ) 到( 4 ) 同时由文献【1 】知，对于 一个标准的转移函数来说，一定存在如下形式的极限t l i m 咝尘鱼：奶v l ，歹e t j , o t 。 我们规定q = 哟；i ，歹e ) ，则得到g - 矩阵q 及相关概念的定义 定义1 3 3 1 1 1 ( 口一矩阵) 矩阵q = 【；l ，歹e ) 称为g - 矩阵，如果它满足： 0 0 只有平凡解； ( 5 ) 方程q z = 妇，一1 z 1 对某个( 因而对所有) a 0 只有平凡解； ( 6 ) 方程q z = 妇，妇k 对某个( 因而对所有) 入 0 只有平凡解 定义1 3 7 一个标准转移函数p ( t ) = ( 黝( t ) ；，j e ，t 0 ) 称为 ( 1 ) 随机单调的，如果满足 鼽七p i + l ，七o i + 1 ) k jk j ( 2 ) 对偶的，如果满足 p i k p i + l ，七o 1 ) k = 0k = 0 ( 3 ) f r r 的，如果满足 1 1 mp i j ( t ) = 0 ， vj e ，t 0 i t - 1 1 ，o 定义1 3 8 一个全稳定的q - 矩阵q = ( q t j ；i ，歹e ) 称为 ( 1 ) 随机单调的，如果满足 皱知s 吼+ 1 ，知o i + 1 ) 七jk j ( 2 ) 对偶的，如果满足 吼知q i + 1 ，七o i )z j 一z ”v ，7 k = 0k = 0 ( 3 ) f r r 的，如果满足 1 i mq i j ( t ) = 0 ， vj e ，t 0 l 十o 。 引理1 3 9 1 2 线性算子a 是耗散算子当且仅当 0 ( 入j a ) z l l 入i i z l l vz d ( a ) ，入 0 4 定理1 3 1 0 1 2 1 ( h i l l e - y o s i d a 定理) 一个( 无界) 算子a 是b a n a c h 空间x 上的岛压缩半 群t ( t ) 的生成元的充要条件是： ( a ) a 是稠定的闭算子； ( b ) ( o ，+ ) cp ( a ) 且预解算子r ( 入：a ) 满足 1 0 r ( a ：a ) i i va 0 在本文中涉及到如下序列b i n ：i n c h 空间 1 1 = t z = ( z ；i e ) l o o = 如= ( x i ；i e ) c o = 扣= ( x i ；i e ) l 蚓 + o o ) ， e s u p i 如i + ) ， i e 1 i m t g i = o ) ， i i z l l l 。= i x t l ； i e j i x l l l 。= s u pj x d ； l e i i x l l c o = s u pi 黝i 定义1 3 1 1 1 l 称q 一矩阵q ， ( 1 ) 在k 或恁上零流出的，如果满足 k ( a ) = 0 或者2 芝( 入) = o ； ( 2 ) 在1 1 或z i _ 上零流出的，如果满足 1 1 ( 入) = 0 或者f i - ( a ) = o ； 翼；中l 。( 入) = + z l 1 ( a j _ q ) z = o ) ，z 之( a ) = z z ( 入) iz o ) z 1 ( a ) = 秒1 1ly ( a i q ) = o l ，z i _ ( a ) = 秒z l ( 入) iy o ) 定义1 3 1 2 2 l 设q 为q _ 矩阵，分别在z 1 ，k ，c o 空间上定义算子q o ，q 1 ，q ，q c 。如下： y q o = y q ，d ( q o ) = s p a n e i y q l = y q ，可d ( q 1 ) = 1 1 ；i 纨幻i + 磊，且i y i 岱j + o o 】- i e e j e ed e e q o o z = q z ，z d ( q ) = 扛z ；q z z o o q c o z = q z ，z d ( q c d ) = z c o ；q z c o 这里y 是行向量，z 是列向量；并且注意到，当z k ) c o 时，q z 一定是有意义 的，即对e ，都有j e q i i x i i + o o 定理1 3 1 3 7 ( s i e g m u n d t h e o r e m ) 转移函数p ( t ) 是随机单调的当且仅当存在p ( t ) 的 对偶转移函数，也就是当且仅当存在另一个标准转移函数p ( t ) = ( t ) ；t ，j i e ) 使得 只 x ( t ) j 】= p j x ( t ) 1 ) ， ，j e ，t 0 5 也就是满足 j” 讯( t ) = p j k ( t ) ，( v i ，歹e ，t o ) k = ok - - i 本文所用的其它定义、定理直接参考对应文献 6 第二章碰撞分支一矩阵的对偶 2 1 碰撞分支q 一矩阵的性质 定义2 1 1 1 3 1 一个保守的口- 矩阵q = ，i ，歹4 称为是碰撞分支口- 矩阵，如果它 满足以下形式。 鳓= 0 ，如 0 j = 3 定义2 1 2 n 一个4 上的连续时间m a r k o v 链，如果其转移函数e ( t ) = 惋( t ) ，i ，j 4 ) 满足前向方程 ( 幻= p ( t ) q ， 其中q 是碰撞分支q _ 矩阵，且其分量可导，则称该过程为碰撞分支过程。 对定义2 1 1 中给出的序列 b j ，j 之0 ) 的生成函数b 做出下定义t 这里满足b ( 0 ) = b o 0 ，b ( 1 ) = 0 且令m 1 = b ，( 1 ) = 7 - - 1 歹6 j + 2 2 6 0 b l ，则m l 满足 一 0 对于任意的s 【o ，1 ) 都成立，1 是方程b ( 3 ) = 0 在1 0 ，1 1 的唯一解；当m 1 0 ( 包括m l = + o o 的情况) 时，方程日( 8 ) = 0 还有另外一个根q ，且满足0 q 1 ，即对 任意的0s 。 o ；对于任意的q 8 i 一2 多妻耋+ l 一2 _ ：主差一l即 0 ；所 以( 2 ) b j 一件1 对于vi ，歹z + ，且j i + 1 均大于等于0 2 一 ju 一 一 - 2 1 一= 果果他如如其 当歹= 0 时，则芒o q i + 1 ，七= 是。饥兰0 故碰撞分支q 矩阵是随机单调的 注：碰撞分支过程研究的是每对粒子碰撞的情形，所以研究的前提是粒子数不少于2 ， 故以上证明中i = o ， = 1 的情况我们不做讨论 命题2 1 5 的证明。我们只需证明当且仅当m ls0 时，方程q z = 妇，( 0 z 1 ) 对 于一些入( 即对所有a 0 ) 只有平凡解由文献【3 】的定理1 知道。碰撞分支q 矩阵是 正则的当且仅当m l 0 碰撞分支q 矩阵是保守的，当它正则时，q z = k ，( 0 z 1 ) 对所有入 0 只有平凡解 命题2 1 6 的证明：只需证明当m l 0 时，方程，7 ( a ) ( 入j q ) = 0 ，0 ，7 ( 入) l l 对于 v 入 0 只有平凡解现在假设，7 = 协；i o 】是相对于a = 1 时的一个非平凡解，则： o oj + 2 仍= 仇铆= 仇( i ) 幻一1 + 2 0 o )( 2 2 ) i = o1 - - - - 2 其中 仍00 o ) 且仍 0 ( 2 4 ) j = 2 由上可知，器。仍对于所有s 【0 ，1 】是定义很好的 所以 。o ( ) 仍 + o o ，0s s 0 ， 我们能够找到一个n 0 使得8 u p kl y k z l 彘且i 七q 1 k y k 一名i e 因此 i q i k y k 一毛i i 吼七| i 纨一z l + i 吼知z 一磊i 9 ( 莓云+ 5 瑟 由此可知：对于vi 4 ，七q i k y k = 麓，即y d ( q o ) 且q o y = z 定理2 1 8 的证明：由文献【1 2 】中的定理3 1 知；最小q 函数随机单调当且仅当满 足； ( 1 ) q 是随机单调的，( 2 ) q 是零流出的而由命题2 1 4 和命题2 1 5 知t 当且仅当 m 1s 时，满足条件( 1 ) ( 2 ) ，故定理得证 定理2 2 1 的证明：因为碰撞分支q - 矩阵是单调的，所以由s i e g m u n d 定理知t 碰撞 分支过程一定存在一个对偶分支过程不妨设x ( t ) 为其对偶分支，y ( t ) 为碰撞分支过程， p ( t ) ，p ( t ) 分别为x ( t ) ，y ( o 的转移函数，石，q 分别为其q - 矩阵，则有茫j 鼽七( t ) = ：o 秀七( t ) 及岛氟= k o 劬七，亦即妁= 女：o ( q j k q j + l ， ) 由文献【3 】知0 、1 是碰撞分支 过程的两个吸收状态 ( 1 ) 当j 2 且i j 一1 时， 磊j = ( q j k 一劬+ l ，知) k - - - - o = q j o + 劬1 + 劬2 + + 劬j 一3 + 劬j 一2 + 劬 j 一1 + 劬i 一( 劬+ 1 ，0 + g j + l ，1 + + 劬+ 1 ，j 一2 + q j + l j 一1 + q j + l ，) i = 蛳一q j + l ，七 k = j - - 2k = j - 1 ii = 晓) 6 七一j + 2 一以+ 1 ) k 。+ 1 _ j 一2知= 彳一1 令a k = 一；= o 幻，则 显然 当七2 时， 奶= ( 1 十1 ) n 一j + l 一窿) 口i j + 2 熙毗一善- 0 a o = 一6 0 0 ，a l = - ( b o + b 1 ) a o 8 1 1 0 ( 2 ) 当j 2 ，i = 歹一2 时， 葡= 劬j 一2 = 一g ) n o 不妨设口一l = 0 ，则此时翰满足奶= ( 矿1 ) 啦一升l 一( 1 ) 啦一j + 2 ( 3 ) 当歹2 ，i 2 时， j i m 勤= 卫巴 ( 矿1 ) a l j + l 一( ) 吼叫十2 ) l + o 。一l + = 也+ 1 、。1 i m n t 。+ l 一窿) 墨恐n i j + 2 = 0 当j = 1 时， 故勤_ 0 ( i _ o o ) ( 2 ) 翰= 啦+ ( + 1 ) n i j + l 一( ) 啦一j + 2 】 j = oj f f i 2 0 0 = 0 4 + 窿) n t 叫+ 2 一( ) 锄一j + 2 j j = 2 = 0 4 一( ；) 啦一2 + 2 = 0 1 1 驴 一 i l k 脚 ；星 一 = 毗 n ；量工 所以 ( 3 ) 因为碰撞分支矩阵q = 奶是保守的，所以 奶= ( q j 七一彩+ l ，七) = 一( 劬七一劬+ l ， ) = ( q j + 1 。七一劬七) k = o k = i + lk = i + l j j 氟= ( 瓠+ i ，m 一) = ( 饥+ 1 m 一) 因为i j ，所以b i - j + 2 6 2 故 ：o 讯 ：o 磊+ l ，七，即百是对偶的 而七劲瓠= 一j 七- - ；1 0 瓤( 1 c i 的保守性) ，所以 玩七一磊+ 1 ，七= ( 承+ 1 ，七一蕊七) 0 _ | b j知2 j k - - - - o 故百是随机单调的 ( 4 ) 由命题2 1 5 知t 当且仅当m l 0 ，碰撞分支q 矩阵零流出；由命题2 1 4 知： 碰撞分支q - 矩阵是随机单调的；由于碰撞分支q 矩阵是保守的，所以其对偶矩阵西的 定义正如矩阵q ( m 由引理2 3 1 知，当m 1 0 时百在z 1 上是零流入的。 定理2 2 3 的证明：由文献f 1 2 】的定理4 6 易得证 定理2 2 4 的证明：由文献【1 2 】的定理5 1 易得证 定理2 2 5 的证明：假设转移函数卢( t ) 是强遍历的，所以根据强遍历的定义有 艘l 向( 。) 一巧i oa _ 簟) 取定一个j o 4 ，则由上式可知：存在一个t 一 k 您 j i + 町 j j m 劬 占 一 羞兰 + 劬 占 = 吼 ，脚 一 缎 ，脚 第三章碰撞分支q 一矩阵导出的积分半群 3 1 碰撞分支q - 矩阵生成的积分半群 定理3 1 1 当且仅当m l 0 时，碰撞分支矩阵q o o 在k 上可以生成一个积分半群 t ( t ) = ( ( t ) ；i , j 2 + ) 特别地，t ( t ) 是一个m a r k o v 积分半群，且r ( o ) = q 命题3 1 2 当m 1 0 时， ( 1 ) q 在l o o 上稠密 = 专q 有界； ( 2 ) t ( t ) x 连续可导铮ze d ( q o o ) ，z k ，t 0 ； 此时， j 云t ( t ) z = q o o t ( t ) x + z ( 3 ) 对vz k ，t t ( t ) x 是弱可导的 命题3 1 3 当且仅当m 1 0 时。有 ( 1 ) q 耗散，且p ( q o o ) ) ( 0 ，o o ) ； ( 2 ) r ( 入，勺) 对于所有入 0 是一个正矩阵算子； ( 3 ) 对于v 歹e ，l i m x 一+ x r ( x ，q ) e j = e j 弱成立 命题3 1 4 当且仅当m 1 0 时，1 d ( q ) 且q 1 = 0 ，其中1 = ( 1 ，1 ，1 ，1 ，) t k 3 2 积分半群的性质和生成元 定理3 2 1 当m l 0 时，由碰撞分支q 矩阵所生成的积分半群t ( t ) 满足f e l l e r 性 质 定理3 2 ，2 当m l o 时，q o 是f ( t ) 在c 0 上的生成元，q a 是f ( t ) 在z l 上的生成 元，这里f ( t ) 是碰撞分支过程的最小q - 函数 定理3 2 3 当m l 0 时，t ( t ) 在k 上的生成元是q 矿 命题3 2 ，4 当m 1 0 时，铂，q 5 ，q 6 + 是耗散的，且d ( 铂) 在c o 上稠密 命题3 2 5 当m 1 0 时， ( 1 ) 若z d ( q 扩) ，舌0 ，贝0t ( t ) xed ( q 矿) 瓦d t ( t ) z = q ；t ( ) z + z ( 2 ) 后t ( s ) x d , d ( 娥+ ) 对v 。k ，t 0