（应用数学专业论文）美式债券看跌期权定价的数值方法.pdf

查些查堂堕主堂堡垒查 ： 一 一塑! l 美式债券看跌期权定价的数值方法 摘要 自1 9 7 3 年春季期权在芝规哥期权交易所首次进行交易以来，期权 交易的发展引起了众多学者的极大关注。对于欧式期权，布莱克和舒 尔斯早已给出解机形式的定价公式。然而，对于美式看跌期权的价格， 并不存在这样的觯析公式，也无法求得精确解。因此，发展各种计算 美式期权定价的数值方法具有着重要的实际意义。在本文我们分别研 究了美式债券看跌期权定价问题的有限差分f r o n ；t r a c k i n g 方法和惩 罚方法。 文献 5 中给出了美式股票期权定价问题有限元方法的误差分析 和稳定性证明，和美式债券期权定价问题有限元方法和有限体方法的 误差分析和稳定性证明。参考文献 2 中，把有限差分f r o n tt r a c k i n g 方法用在了美式股票看涨和看跌期权定价问题上，并且给出了数值例 子和这种算法的稳定性证明。本文的第二章就是建立在文献 5 和 2 的基础上的。在本文的第二章中，我们把有限差分f r o n tt r a c k i n g 方 法应用到了美式债券看跌期权定价问题上。数值例子表明我们的算法 是快速的，稳定的，精确的，而且收敛的速度很快。晟后我们给出了 这种算法的稳定性和收敛性证明。 加拿大w a t e r lo o 大学些学者这几年来一直研究惩罚方法( 与非 保守有限体积方法结合) 在期权定价问题上的应用，目前惩罚方法在 美式股票看涨和看跌期权定价这个问题上基本已得到解决。本文第三 章的主要工作是相应地给出了美式债券看跌期权定价问题的惩罚方 法，并且给出了惩罚法的误差分析和收敛性证明。 关键词有限差分f r o n tt r a c k i n g 方法惩罚方法美式看跌债券期权 s o r 投影法自由边界问题 u 、东北大学硕士学位论文 l b s t r a c t n u m e r i c a lm e t h o d sf o ra m e r i c a np u tb o n d o p t i o np r i c i n g a b s t r a c t s in c e0 p t i0r lsw a sf i i - s tt r a d e dir lt h ec h i c a g o1 3 0 0 , r d0 f o p t jo ne x c h a n g e ina o r i l197 3 ，t h ed e v e l o p 册e n t o fo p t i o n tr a d i l l ga r o use dc0 ns ide r a b lei i 1 te r e s tg m o n gt h ea c a d e m ic c o i n l i i u n i ty d r b 】ac ka n dp r o f sc h 0 1esf i rs t g a v ea no p t i o n 9 r ic ef o r m u l at 0 c 8 , lc u l a t ee ur o p e a n o p t i on ， 1 3 u tf o r a m e r ic a n o p t io n 。t h e t ed o e sn o te x is t s uc hf o f i i i u l a w e c a n t g e tt h ee x a c ts 0 1u t i0 n s 0i tis v e f yir l l p o r t a n tt o d e v e l o p v a r i0 us0 fn u l n e r ic a li l l e th0 ds t 0 a p p r o x i i n a tet h e s 0 1u t i o no fa m e r i c a 九o p t i o np r i c i l 3 9 ir lth is p a p e r ，w eg iv e f r o n tt r o , c k i n gf j l 3 i t ed i f f e ren cem e t h o dsa l l dp e n a l t ym e t h o d f o r p r ic ir l ga 玎1 e f ic a l lp u tb 0 n d0 p t io n s y h er e f e rer lce 5 g i v es thee r i - o ran a l ys is a n d s t a b i l i t yp 1 - 0 0 fo f t h ef i n i t ee ler n e n tr n e t h o df o i - p r i c i n g ar i l e f ic ar ls t o ck 0 p t i o i ls a t i de r l - o r a n a l y s isa n ds t a b i l i t y p r o o f0 ft h ef in jtee 1e m e n tm e t h 0da n df i l 3 i t ev o lu 1 1 1 ee le m e l 3 t r i l e t h o df o rp r ic in g a m e l - ic 0 i 3b o n d o p t io ns 2 d e v e lo p e d f r o n tt r a ck in g f in i ted if f e rence m e t h o dsf o rp r ic i n g a m e r ic a ns t o cko p t i o n sa n dg a v el h en u m e r i c a l e x a m p l es8 n d s t a b i l i t yp r o o fo ft h isa lg o r i th m o u r c h a p t e f2int h is p a p e risb a se do n 2 a l q d 5 i nc h a p t e r 2 。w eg iv et h ef r o n t t r s c k i l 3 9 m e t h0 d b 8 se d0 nf i l 2 i ted i f f e r e n c e i i l e t h o df o r p r ic i n g m e r i c o 1 qp u tb o nd o p t i 0 nsa n dt h ea 1g o t i t h m a c c o r d in g ly t hel q u n l e r ic a le x a m p l es h o w st h a t o u rj i 】e t h o d is v e r yf a s t ，s t a b l e ，e x a c tar l dc 0 e l v e i g e n t w ea 1s o g i v e t h e s t a b i l i t y8 1 d c 0 1 3 v e r g e n c ea n a l ys i so f 0 u rm e t h o d s o m esc h 0 1a fsi 1 3 w a r e r lo ol j n iv e r s i t yh a v eb e e n 东北大学硕士学位论文 b s t r “c t 1 - es e a r c h i n g0 np e n a l t ym e t h o d ( t o g e t h e rw i t hu n c o ns e r v a t lv e f i n i t ev 0 1 u m ee 1e m e n tm e t h o d ) f o rp r ic in ga m e r ic a no p t io n s ， t i l ln o w ，p e n a l t ym e t h o df o rp r i c i n ga m e r i c a ns t o c ko p t i o n s h a sa l m o s tb e e nr e s 0 1v e d o u rw o r kint h et h i rd c h a p t e ro f t h is p a p e r g i veso u t p e n a l t y m e t h o d ，r es p 0 ns iv ee r r o r a n a lys isa n d c o n ve r g e n c e p r 0 0 f f o r p r ic in ga m e r ic a np u t b 0 n d0 p t i0 r ls k e y w o r d s f i n i t ed i f f e r e n c e ，f r o n tt r a c k i n g 【i e t h o d ， p e n a l ty i 】e t h od a m e r ic a np u t b 0 1 3 d 0 p t io n ， p r o je c t e ds o rm e t h o d ，f r e eb ol i n d a ryp r o b l e m i v 东北大学硕士学位论文 声明 声明 本人声明：所呈交的学位论文是在导师的指导下，独立进行研究工作 所取得的成果。论文中取得的研究成果除加以标注和致谢的地方外，不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究作出重要贡献 的个人，均已在论文中作了明确的说明并且表示谢意。 本人签名：哲笔瞎 同 期：2 0 3 ，1 形 东北走学硕士学位论文 第一章绪论 第一章绪论 1 1 选题背景及意义 ， 在现代金融理论和实践中，各种衍生证券的定价是很重要的问题。 截止到1 9 9 8 年底，全球各种衍生证券的交易总和已超过3 万亿美元。 期权是一种非常特殊的衍生工具，是在未来时间的选择权，是一种“或 有”要求权。期权也是最重要的衍生工具之一。自1 9 7 3 年春季，期权 在芝加哥期权交易所首次进行交易以来，期权市场的发展十分迅猛。 l9 9 8 年初，仅股票期权的交易市值已达1 4 8 0 亿美元。 期权交易的发展引起了众多学者的极大关注。已故的布莱克博士 和舒尔斯教授首先给出了计算欧式看涨期权的一个期权定价模型。布 莱克和舒尔斯的工作发表后，随着期权交易的发展，很快被引入实际 应用，人们紧接着开展了大量的后续发展。其中默顿教授为布莱克一舒 尔斯提出的期权定价理论的完善化做出了杰出的贡献。这个模型和各 种推广被广泛地应用到股票期权定价、股票指数期权定价、货币期权 定价等等。1 9 9 7 年度的诺贝尔经济学奖授予舒尔斯教授和默顿教授， 以表彰他们自7 0 年代以来在期权定价理论方面的杰出贡献。 目前，在西方金融市场蓬勃发展的资产证券化业务中，期权发挥 着特殊显著的作用。期权由于其损益状态图的非线性和具有特殊性能 的时间价值，通过组合可以构造出具有许多奇异的收益，风险特意的 新型会融产品。而且，在各种会融交易和企业的财政活动中，还存在 许多隐蔽的期权。在所有的这些方面，期权定价理论都提供了重要的 理论基础。它的应用，现在已经迸步延伸到实物资产的投资决策上 去。因此，上年度诺贝尔经济学奖授予在期权定价理论方面做出杰出 贡献的学者，f 体现了经济学界对期权定价理论巨大意义的充分肯定。 中国在经济发展和改革丌放的过程中，会融市场逐渐发育并于世 界接轨。各种新型金融产品的出现和新型金融交易的引入，是势不可 免的。因此，开展期权定价理论的研究是非常必要的。 对于欧式期权，布莱克和舒尔斯早已给出解析形式的定价公式。 然而，对于美式期权的价格，并不存在这样的解析公式，也无法求得 精确解。因此，发展各种计算美式期权定价的数值方法具有着重要的 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 实际意义。 1 2期权定价问题 期权是非常特殊的一种衍生工具，是在未来时间的选择权，是一 种“或有”要求权。所谓“或有”的含义是“在一定的情况发生时爿 有意义”的意思。传统的期权有买权和卖权两种。赋予期权的购买者 在未来的时间按预先指定的价格( 执行价) 买或卖一定数量的标的物 的权利而不必承担义务( 目口不是非要执行不可的) 。买权只有在标的物 的市场价格高于执行价格时才会被执行，卖权反之。所以，期权所提 供的买或卖的权利是“或有”权利。从而，期权具有与其它衍生工具 非常不一样的特性，它可保证期权的购买者在价格向不利方向变动时 免于遭受损失，又可为购买者保留价格向有利方向变动时可以获得的 好处。既然期权给予它的持有者一个权力而无任何义务，它必有一定 的价值，这个价值就叫做期权的价格。然而，期权的这种特性又使它 们的估值和定价变得非常的困难和复杂。 1 2 1 股票期权定价问题 在布莱克和舒尔斯的第一个期权定价模型中，他们认识到期权的 风险实际上在标的物的价格及其运动中得到反映，而且标的物的价格 还反映了市场对未来的预期。因此，要研究期权定价必须首先刻画标 的物价格的运动规律，而这也是所有后续的期权定价理论的出发点。 经典的期权分为欧式和美式两种。欧式期权是到期同才能执行的，而 美式期权则在到期日之前都可以执行的。在对标的物的特性和期权及 标的物的交易规则给出一系列假设条件后，他们对作为标的物的股票 的价格运动规律做出了一个基本的假定：即股票价格的运动是连续变 化的，遵循一种称之为带漂移的几何布朗运动规律，在数学上则表现 为称作伊藤过程的一种随机过程，可以表示为 d s = p s d t + o s d z ( 1 2 1 1 ) 其中s 表示标的物( 股票) 的价格；表示连续计算收益率的股票在单 位时间内收益的自然对数的数学期望值；盯表示连续计算收益率的股票 在单位时间内收益的自然对数的标准差；出= f 硪表示维纳过程的一种 随机过程，占的数学期望值为0 ，方差为l 。我们有以下一个重要的数 学结果( 即所谓的伊藤引理 3 , 1 2 1 ) 东北大学硕士学位论文第一章绪论 矽= ( 西o f 肛+ 瓦o f + j 0 矛2 f 仃2 s 2 ) 威+ 善a 砒， ( 1 2 1 2 ) 其中，= f ( s ，t ) 是衍生品的价格( 取决于标的物股票的价格s 和时间f ) 。 布莱克和舒尔斯用期权，标的物股票和一种无风险证券来构筑一 个无套利均衡的组合头寸，是这样做的： 卖空一个单位的期权( 其价格用 表示) ，买入善份标的物股票( 股 票的价格是s ) ，再卖出与这两者组合的价格之和等值的无风险证券。 | j 百两者组合的价值记为 n 一厂+ 翥s ， 经过一段微小的时问a t i i = - ，+ 篆峨 这两者组合的价值变化应为 伊藤过程刻画了s 而伊藤引理刻画了v 式代入上式，则有 ( 1 2 1 4 ) 将( 1 2 1 1 ) 和( 1 2 1 2 ) 兀- ( _ 等一；警盯蛩心 ( 1 2 1 5 ) 请注意，在上面的表达式旱，随机项z 不再出现。这意味着在两者 的组合早，风险已经被对冲掉。所以，这两者的组合和与之等价的无 胍险证券是完全等价的。即两者组合的收益率应当等于无风险收益率 ，有 案一翩 于是，这两者的组合加上等值的无风险证券的空头( 即卖出无风险 证券) 就构成了一个无套利的组合头寸，令出_ + 0 并在上述关系式罩展 开兀和n ，就得到了布莱克一舒尔斯随机微分方程 等+ 圭拥2 繁十。s 善可- o ， z ， 按照期权到期时的情况可以定出这个微分方程的终端和边界条件 如下：对于看涨期权来说，有 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 c ( s ，r ) = 厂( 丁) = m a x ( s ( t ) 一e ，o ) ，当r = t1 c ( s ，r ) ；0 ，当s = 0 ， c ( s ，f ) s s ，当s j i 其中e 是期权中预先指定的标的物的价格( 执行价格) 。 来说，有 p ( s ，t ) = f ( t ) = m a x ( e s ( 丁) ，o ) ，当r = t j p ( s ，r ) ；e ，当s = 0 ， p ( o ，r ) ；0 ，当s 斗i 对于看跌期权 由( 1 2 1 7 ) 式( 1 ，2 1 9 ) 式，不难得到布莱克一舒尔斯的欧式看涨期权和 看跌期权定价公式 3 j2 。利用它们的数学表达式，编制好程序装入计算 器旱，经纪人可以随时很方便的用它们给期权定价。 我们已知道美式期权和欧式期权的主要区别是：美式期权可在期 权有效期内的任何时间执行。因此，我们还需对美式期权加上除( 1 2 1 7 ) 式( 1 2 1 9 ) 式外的限制条件。对于美式看跌期权，有 p ( s ，r ) m a x e s ，o ，0 t t( 1 2 1 10 ) 同样地对于美式看涨期权，有 c ( s ，f ) m a x s e ，o ，0 t t( 1 21 1 1 ) 不难知道，对任何时问，从期权的持有者来看必存在某一值s + ， 对执行美式期权来说它是最优的。美式期权的定价更加复杂，既然在 每时刻我们不仅要决定期权的值，而且还要决定对每一s 是否应该执 行期权，这就是自由边界问题。 1 2 2 债券期权定价问题 从上述的期权定价模型，我们不难发现这种类型的定价模型是很 吸引人的，因为它们是独立于风险偏好的。但是为了保持独立于风险 偏好，一些变量不得不被抛弃或视为常数。例如在大多数文献中，利 率都被视为常数，但事实不是这样的。一些证券，例如债券，就有很 长的有效期，故它们的定价模型应该包含作为变量的利率。 一个债券是一个预先支付的合同，它使持有者在未来已知时刻r 得 到已知数量的钱。可以用下面的一个问题把债券定价的问题解释明白： 为了在1 0 年后得到1 元钱，我现在需要支付多少钱? 在这个例子中，债券的有效期为1 0 年，而一个典型的等值期权的 有效期为9 个月或更少。对于这么长的时间段。我们不能假设利率是 查苎查芏堡主芏竺堕查 苎= 主! 堑型l 常数或是时间的一个已知函数，而把利率视为随机变量。 我们利用c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s 给出的以利率为变量的债券定价模 型( c 1 r 模型 3 , 12 1 ) 不难得到以下的债券定价方程，边值和终端条件： 警+ 等帆叫r ) 警砒_ o ， o ( 1 2 2 ) = ( r ，瓦) = e 。，0 ； ( 1 2 2 2 ) l i m ( ，f ) = 0 ，0 f g ( r ，f ) ，0 ， r ( r ) ，0 t ，( ，) 时， r ( t ) ，且，+ ( o ) = r ( o ) a 由a ( t ) 和c ( t ) 的定义可以得到结论( 1 ) 和( 2 ) 。注意到对v t 0 ，p ( r ，) 总是正值，再由( 1 2 2 7 ) 式，( 1 2 2 8 ) 式和( 1 2 2 10 ) 式，结论( 3 ) 成立。 1 3期权定价问题的研究现状和本文的主要工作 在最近二十多年来，各种解析近似和数值方法被广泛地应用到了 股票期权定价问题上。对于解析近似方法，有插值方法，复合期权近 似方法，二次近似方法等等( 参见文献 2 l ，2 3 2 7 ) 。而数值方法沿 着两条主线发展，模拟股票价格的随机过程和求解自由边界问题。例 如f r o n tt r a c k i n g 方法，惩罚方法，直线方法，二叉树方法，蒙特卡 罗方法，有限差分方法，有限体方法和有限元方法( 参见文献 2 ，5 ， 7 ，9 1 1 ，1 4 2 0 ，2 8 3 3 ) 。 相对于股票期权定价问题，债券期权定价问题并没有受到太多的 东北大学硕士学：| _ 主论文 第一章绪论 关注。现在已有的数值方法，例如惩罚方法，二叉树方法，有限差分 方法，有限体方法和有限元方法( 参见文献 5 ，1 6 ，3 4 3 9 ) 。股票期 权定价问题和债券期权定价问题有很多相似之处，故一些应用在股票 期权定价问题上的方法，我们可以把他们作些相应的变动应用到债券 期权定价问题上。 在本文我f f 分别研究了美式债券看跌期权定价问题的有限差分 f r o n ttf a c k in g 方法和惩罚方法。 加拿大a 1b e y t a 大学的林延平教授，a 1 1e g r a t t o 教授及其学生在 期权定价这个问题上得到了很多好的结果。在文献 5 中给出了美式股 票期权定价问题有限元方法的误差分析和稳定性证明，和美式债券期 权定价问题有限元方法和有限体方法的误差分析和稳定性证明。美国 p u r d u e 大学的p a n t a z o p o u lo s 在参考文献 2 中，把有限差分f r o nl t r a c k i n g 方法用在了美式股票看涨和看跌期权定价问题上，并且给出 了数值例子和这种算法的稳定性证明。有限差分f r o n tt r a c k i n g 方法 的最大好处是计算的区问短，故计算的速度很快，在这一点上很类似 文献 2 8 。本文的第二章就是建立在文献 5 和 2 的基础上的。在本 文的第二章中，我们把有限羞分f r o n ttr a c k i n g 方法应用到了美式债 券看跌期权定价问题上。数值例子表明我们的算法是快速的，稳定的， 而且收敛的速度很快。最后我们给出了这种算法的稳定性和收敛性证 明。 加拿大w a t e r o o 火学一些学者这几年来一直研究惩罚方法( 与非 保守有限体积方法结合) 在期权定价问题上的应用，并取得了一系列 成果( 参见文献 14 l7 ，3 9 ) 。目前惩罚方法在美式股票看涨和看跌 期权定价这个问题上基本已得到解决，而且对于两因素的股票期权定 价问题也有了很好的结果。本文的主要工作是在第三章中相应地给出 了美式债券看跌期权定价问题惩罚方法的误差分析和收敛性证明。 东北大学硕士学位论文第二章美式债券看跌期权定价的有限差分f r o n t tr a c k i n g 方法 第二章美式债券看跌期权定价的 有限差分f t 方法 近年来，f r o n t tr a c k in g 这种方法在国外越来越流行了，它的一 些应用参见文献 1 ， 2 ， 6 1 0 ，以下简称f t 方法。在参考文献 2 中，把有限差分f t 方法用在了美式股票看涨和看跌期权上。从文 献 5 知对于美式债券期权其自由边界是一个上凸的函数，而不象美式 股票期权的自由边界是个币调函数。本章只讨论了美式债券看跌期权 其自由边界是单调递增时，如何用有限差分f t 方法给美式债券看跌期 权定价。本章第一节给出了美式债券看跌期权定价的问题；第二节给 出了建立在有限差分基础上的f t 方法；第三节给出了相应的算法和数 值例子；第四节给出了有限差分f t 的稳定性和收敛性分析。 2 1 美式债券看跌期权定价问题 为了简便和f t 方法的需要，用r ( t ) 表示自由边界，( ，) ，用x 表示 利率r ，d 。为自由边界的一。个上界，令c ( x ，f ) 表示美式债券看跌期权的 价格p ( x ，r ) 和债券的价格( x ，) 之和，即 c ( x ，f ) = p ( x ，) + p j ( x ，t f )( 2 1 1 ) 不难把( 1 2 2 7 ) ( 1 2 2 1 0 ) 式写成如下的对称形式： 啊一( 占，) 。+ s = 0 ，s z ( x ，) ，0 x r ( ，) ，0 f t ( 2 1 2 ) f ( 月o ) ，) = e，、( r ( ，) ，) = 0 ，0 g ( t ) ，0 ，兰t( 2 1 4 ) s ( o ，) = z ( o ，) ，0 ，t( 2 1 5 ) e ( x ，0 ) = z ( x ，0 ) ，d o 工0( 2 1 6 ) 其中 m ( x ) = x e 一，( x ) ：车工”e 一，( x ) = xv e - a r ，u ：掣+ l ， 盯 j ：掣，z ( x , t ) = m a x ( e 蚓彬 根据注解1 2 2 2 ，我们有 东北大学硕士学位论文第二章美式债券看跌期权定价的有f 堕分! 竺! ! ! ! ! ! ! ! ! 查查 r f 0 1 ：l n ( e 口a ( t ) e )( 2 1 7 ) c ( ? ) 2 2 建立在有限差分基础上的f t 方法 为了得到美式债券看跌期权的数值解，我们可把( x ，t ) 平面划 分成一个有规则的有限网，因为自由边界是有界的，我们可将x 限制 于一个区间 o ，d 。 中，用表示在区白j 【0 ，尺( f ) 】内x 点的个数，三表示 时间步长的个数。用h 表示空间的步长，a r = t 三表示时间的步长。 对于任何第m 步( m = 0 ，1 ，2 三) ，h 不变。由于我们的假设知道，对 于美式债券看跌期权，当m 增加时，r ( t ) 也增加，故我们也要相应的增 加网格，也即对这个网格加入更多的点。由上可知，是时阳jr 的增函 数，不妨电为。，它表示在第m 步网格点的个数。初始化为 n o = i n t ( r ( 0 ) h ) + 1 ( 2 2 1 ) 其中i n t ( y ) 表示对y 的值下取整。由上面的定义式可看出，对于任何的 第m 步，自由边界r 。，( f ) 在网格点( 。一1 ) 和。之间，用p ，表示其实际的 位置，o 蔓p 。 1 ，易知应有_ 卜i 式成立 r 。( ，) = ( n 。一1 ) h + p 。，h( 2 2 2 ) 很显然，为了在第步求出自由边界月。( f ) ，我们必须先得到| 。和p 。 下面对自由边界进行近似。 对( 2 1 3 ) 的日d 一个等式关十，求全微分，得到 掣弘( m ，) 掣吲m 忙o ， ( 2 2 3 ) d td l 利用( 2 1 3 ) 式得到 s ，( r ( ，) ，f ) = 0 ， ( 2 2 4 ) 而( 2 1 2 ) 式取工= r ( f ) ，利用分步积分，( 2 2 4 ) 式和( 2 1 3 ) 式，即有 0 2 ( m t 一( ) ，+ 刮。 = ( w t 一( ) ，一+ 刮。 = ( 一s 。+ e ) i 。 根据已知式 查生垄兰堡主壁竺笙墨 苎三主叁叁堡查重塑垫查生堕查坠兰坌竺坐_ 三竺竺生! ! 至查 ( x ) ：要x ”e 一，( x ) = x o e - d r , 代入化简为 “撕f ) _ 等 在自由边界r 。( f ) 处关于变量x ，t a y l o r 展开有 8 “一l ：s ( r 。， ) 一p 。 一。( r 。r ) + l ( p 。， ) 2 - s 。( r 。，f ) + o ( h 3 ) 将( 2 1 3 ) 式和( 2 2 5 ) 式代入上式，近似为 钆，e + ( 蚋) 2 事 从上式即可求出p 。 由( 2 2 1 ) 式，( 2 2 2 ) 式和( 2 1 7 ) 式可得到p o p o = ( r ( o ) 一( o 一1 ) a ) h 为了避免单用显式，隐式和c r a n k n i c o ls 0 n 方法 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) 我们采用一般 的有限差分臼逼近。利用向后差分： 一占= 等， 记占，= 占( 。) 。 ，mr 月卜l 对于i = 1 , 2 ，n 。一2 ，( 2 1 2 ) 式有 彬( x 。) 4 占，= ( 1 一目) ( + 0 - ( 哪。) 华一吣) 华 帅。) 鱼m - i t i t 一- iw 2 ( 生 仃门 一( 一) s ，) ( 一) r 。) ( 2 2 ，9 ) o s 臼s 1 ，a = 1 ，臼2 兰和口= o 分别对应显式，c r a n k n i c o l s 和隐式有 限差分近似。在i = n 。一1 处作一些特殊的处理， 即在点 x s - 2 , x 。+ 蔓。， 处进行差值 啊。x，4r：。一护，。!兰：2i二!兰i：!；垡一。t，r， 垒! ! 查芏堡主兰堡垒查苎三主墨查堡查重竺塑壑垄堕塑宣堡墨坌! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! 垄鲞 + 0 ( 帅) 焦一帅f ) 兰华- - e f i i 一( 石，) 占) ( 2 2 1o ) 注意到其中占三z 一。= e 占墨。= e 。 0 = 0 时，将式( 2 2 9 ) 和式( 2 2 1 0 ) 写成矩阵形式为 d 5 u ”+ 4 u ”= f u h ”( 2 2 11 ) 其中 d h “2 z ? 7 z ； z ；。j a = a 。一b b 1“2 一b 2 f z “ 妊 一b 2 日3一b 3 u ”= 占， 占f s 忍一t b 一2 | 口。，一l ( 2 2 12 ) ( 2 2 13 ) d ，= 彤( x ) ，j = 1 , 2 ，n 。一1 ；c ，= 玎( x ，) 矗，j = 1 , 2 一，n 。一1 ( 2 2 1 4 ) 以= 1 w a x ，+ 1 ) ，= o ，1 ，2 ，。一2b “一= 去( x “。，) 口j = b j i + 6 ，+ c j ，j = 1 , 2 “，n 。一1 ； ? = b 0 z o ，：。j - = e bn 。- ， ：= 0 ，j = 2 , 3 ，n m 一2 我们可以有下面的更一般的形式 d 6 , u ”+ a u = f ” u ”h 1 其中 ( 2 2 15 ) ( 2 2 16 ) ( 2 2 17 ) ( 2 2 18 ) u ”一9 = 日u ”一1 + ( 1 一o ) u “，f ”一8 = o f ”一1 + ( 1 一o ) f “，m = 1 , 2 ，l 。 一 ” o 3札 东北大学硕士学位论文第二章美式债券看跌期权定价的有限差分f r o n t ! ! ! ! ! ! 塑岁法 其中 为了便于利用s o r 投影法”4 1 求解( 2 2 9 ) 式，可将其改写为 一e l ( i ) 占三l + f i g ( i ) s f m f i j ( i ) s 竺l = 6 7 “ ( 2 2 1 9 ) f j ( i ) ：e 一* ( 1 + ! ) v ， f i j ( i ) = f i ( i ) + f j ( i ) ， f h = ；h 2 ， f h i ( i ) = f h + f l ( i ) ， f i g ( i ) = 1 + h ( i ) + f i j ( i ) + f ( f ) ， = f i ( f ) 茚+ i = 1 万旧( f ) 掣i l + ( 1 一口f i g ( f ) ) r + 0 凡，( f ) 一：i 】， 2 1 - 与o o 仃( f ) 掣1 1 + ( 1 - 曰t 脚( i ) ) 掣“， + 0 - f i j ( i ) i l 】，( 2 f n 。，一2 ) 对于( 2 2 1 0 ) 式，可将其改写为 一f l ( i ) s 乏一2 + f i g p ( i ) 占轴= 6 m - 1 1 其中 ( 2 2 2 0 ) ( 2 2 2 1 ) ( 2 2 2 2 ) 脚( 。一1 ) = e - 舯( 1 + ：，曼_ ) ”， “h ，一i f ：【z p ( v ，一1 ) = f i ( n ，一1 ) 8 聊( 。一1 ) ， f i g p ( n m 一1 ) = 1 十( 。一1 ) + ，：俨( 。一1 ) + f h i ( n 。一1 ) ， 1 6 器2 南 聊( r 1 ) e + o ，h ( n ，一1 ) s ! z + ( 1 0 f i g p ( n 。一1 ) ) s m - 一i l 】 ( 2 2 2 3 ) 注解2 2 1 数值实验表明当我们对空间和时间采用相同的步长时即 a r = h 时，能获得最好的近似结果，上面( 2 2 1 9 ) ( 2 2 2 3 ) 式就是在 这样的情况下得到的。 1 2 东北大学硕士学位论文第二章美式债券看跌期权定价的有限差分f r o n tt r a c k i n g 方法 2 3 算法和数值侧子 在这一节我们将给出有限差分f t 方法的算法，并且利用它计算几 个实例。 j i 砉h - ， 自由】黔 g i n + 1 ) 一 r ， 一_ 洲一， i ， 礤m 1 ) - _ 一一讪- 器ir a 吁辨一1 )j 确 ) a 吖m 】) 图2 3 1 f ig ，2 3 1 假设我们已经知道在第m 一1 少时，肘于空 日的剖分有n 。个点，如 图2 3 1 ，黑色的圆点表明已经计算到了。一一1 处的值，图上已表出了 由。的值和( 2 2 7 ) 式得到的p 。( 如果= 1 ，根据( 2 2 8 ) 式，便可 得到p 。的值) 。在第晰步，令n 。= n 。，利用( 2 2 9 ) 式，( 2 2 1 0 ) 式， 已知条件及s o r 投影算法h 4 1 可求得解到点卅一1 处，如图仍用黑色的圆 点表示，利用( 2 2 7 ) 式可得到的，如果p 。 1 ，我们什么也不需要 做i 如果1 ，也即如图2 3 i 中的跨度大于一个步长，在这种情 况下，网格必须得扩张，增加的结点数如下： t l = i n t ( p 。) ， 并且使得 n m = 虬+ 以， p 2 p 一n 此时仍有f 0 ，1 ) ，再利用( 2 2 2 ) 式，不难得到自由边晃也，对于图 东北大学硕士学位论文 第二章美式债券看跌期权定价的有限差分f r o n tt r a c k i n g 二窆兰 2 3 1 中疗= 2 ，注意到在第所步有两个在区间( 0 ，如) 内的点( 图中用黑 色的矩形表出) 我们还没有计算出任何值，为此我们需要在第朋一1 步 相应的两个点( 图中用黑色的矩形表出) 给出值，不难发现这些点在 区间( r m _ ”+ 。o ) 内，故可令这些点的都为e ，根据( 2 2 9 ) 式和( 2 2 1 0 ) 式，我们可得到在结点。一2 ，巩，一1 的值。同理可继续第m + 1 步。 如上是网格的扩张过程，算法如下： 初始化条件：扩，r ( o ) ，p 。，n o ， f 0 r m = lt old 0 ( a ) 利用s o r 投影算法求解式( 2 2 9 ) 和式( 2 2 10 ) ，得到占， ( b ) 求解式( 2 2 7 ) 可得p i f n ，1 扩张网格， e ls ec 0 n t h u e ) 以上就是主要的算法。 现在补充s o r 投影法如下： 1 已知，首先利用式( 2 2 2 0 ) ，式( 2 2 2 1 ) 和( 2 2 2 3 ) 得出向量 b ”。 2 用q 。= ( g ? ，靠一) 表示重复使用的中间变量。我们从矿开始 s o r g t 影算法由q 得q ”1 。，斗+ ，有q 斗s “7 ，q o = m a x ( 占m , d 意必有g o z ”“，不然这种方法就不收敛了) 。 3 贝u “= ( 酽+ f i ( o q 1 + ，w ( f ) 口二1 ) ，册( f ) ，( 2 fs n 一2 ) “，1 = ( 吖+ f l ( i ) g ，：) f i g p ( i ) ，( f = n 一1 ) ， 利用 ( 注 q “= m a x ( 可”1 ，g ，7 + m ( u ，”2 一q 1 ) ) ，在这罩珂是一个给定的松弛因子。 4 否( 口? “一9 7 ) 2 e r r o r ，( e ，r o r 为预先给定的) ，如果上式成立，转到 第5 步，如不成立转到第3 步，用g 川代替重复此过程。 5 。当收敛到所要求那样时，使占“= 印川。 6 转到第1 步，直到所要求的时间全部完成。 下面将利用如上的算法，编程计算几个数值例子，并且用所得的 结果与有限差分方法所得的结果作比较。我们的程序是用c 编写的， 在奔腾i p c 上运行的。 很多数值实验表明为了获得最好的近似结果，我们需要对空间和 时间采用相同的步长。故对于以下的所有数值例子中n 将由时间步长 查些查兰堡主兰堡垒圭苎三主兰墨堡查重些塑垫奎竺竺查坠兰坌! ：! 竺唑坐立查 数上所决定。我们考虑如f 的例子：考虑一个不付红利债券的美式看跌 期权，期权的有效期为一年，执行价格为￥6 0 ，债券的面值为￥1 0 0 。 自由边界的上界取为0 5 。 数值例子中其它的参数值耿为 表2 3 ，l w a b le2 3 1 盯 k v 占 z o 5o 1o 0 3 2 0 0 6 4o 80 首先比较运行的的时i 目，这些时嵋j 包含计算出到期同前第一个月到 第十二月网格结点所有自由边界值和期权值，我们在同样的条件下( 相 同的p c ，参数等) ，当日= 0 时得到下表( 单位秒) 表232 1 a b ie2 32 f 1 1 2 01 2 4 0l 4 8 0l 9 6 01 1 9 2 0 l 3 8 4 0 有限差分 o 1 8 00 5 2 l1 3 9 24 0 9 61 5 6 9 2 9 4 8 3 6 有限差分f t 0 0 1 0o 0 4 0o 15 0o 5 7 l1 9 3 36 8 5 0 当p = 0 3 时得到下表( 单位秒) 表2 3 3 t a b le23 3 f 1 1 2 0l 2 4 0i 4 8 0l 9 6 01 1 9 2 0l 3 8 4 0 有限差分 0 1 9 00 5 6 l1 5 3 24 8 6 71 6 7 4 48 1 8 3 7 有限差分f t o 0 100 0 5 00 2 0 0o 9 0 l3 8 3 517 0 2 4 这说明了我们的有限差分f t 方法比有限差分快的多。从理论上也很显 然，因为有限差分f t 方法比有限差分法计算的区间短。 下面的表2 3 4 ( 所用参数与上面的相同，单位秒) 是文献 5 中 利用b r e n n a n s c h w a r t z 算法计算美式债券看跌期权c p u 所用的时间 查些查堂塑主堂堡垒查 苎三主墨壅堡查重些塑坚查堡塑查坠兰坌旦竺生三竺坐堡! ：芏兰 表2 3 4 t a b le2 3 4 f 1 1 2 01 2 4 0 1 4 8 0l 9 6 0l ，1 9 2 01 3 8 4 0 有限元方法 0 0 30 0 8 o 3 11 2 2 4 9 02 0 4 6 有限体方法 o 0 2o 0 6 0 2 1o 7 73 0 4 1 1 9 9 正如文献 5 所说有限体方法比有限元方法快，由于对有限体方法的计 算区域是【o ，d o o ，1 】，而有限元方法的计算区域是 o ，d o 】 o ，1 。上表 与表2 3 2 和表2 3 3 相比，我们不难发现，当循环的次数比较少时 ( 例如r = 1 1 2 0 ) ，有限差分f t 方法很显然比有限元方法，有限体方法 都要快。当0 0 且循环的次数比较多时( 例如r = l 3 8 4 0 ，口= 0 3 ) ，应 该注意我们所用的方法s o r 投影算法( 与b r e n n a n s c h w a r t z 等其它算法 相比) 本身就是一种很耗时的一种算法，故在这种条件下我们不能况 原有的有限体方法比有限差分f t 方法速度快。 我们不难想到如果将我们的方法与有限元或是有限体方法结合， 则这些有限元f t 方法或是有限体f t 方法都应该比原来的方法快的多。 其次，有限差分f t 方法比有限差分法又大大节省了空间，这个也 是由于计算的区间短。 接着我们比较一下在某一利率值x 处，期权p ( x ，r ) 期权值，当 ，= l 1 2 0 时，f = 1 9 6 0 ，有下表 表2 3 5 t a b l e2 3 5 0 = 0 00 = 03 0 0 = 0 5 0 x 有限差有限差有限差有限差有限差有限差 分f t分分f t 分 分f t分 o 0 5o 0 1 2 6 4o 0 1 2 6 40 0 1 2 6 40 0 1 2 6 4o 0 12 6 4o 0 1 2 6 4 o 1 00 0 1 l3 1o 0 l13 lo 0 1 1 3 00 o l1 3 00 0 1 13 0o o l l 3 0 0 2 0o 5 4 2 1 3o 5 4 4 3 8o 5 5 1 2 50